Оптимизация заключения договоро в и поиск оптимальных правил остановки Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

№ 1 (25) 2010

В. Е. Лихтенштейн, Г. В. Росс

оптимизация заключения договоров и поиск оптимальных правил остановки

В статье представлена общая структурная формулировка задачи заключения договоров, а также технология ее решения в среде модуля Equilibrium инструментальной системы Decision. Авторами предложен подход с использованием Эволюционно-симулятивной модели.

Задача заключения договоров является типичной в том смысле, что заключение договоров — повсеместная практика как в бизнесе, так и в политике. По своей математической природе эта задача является игровой и сводится к Эволюционно-симулятивной модели [4]. Вместе с тем данная задача обладает рядом характерных черт, которые придают ее математической формулировке глубокое своеобразие. В частности:

• договорные позиции по-разному влияют на хозяйственные (или политические) ситуации для каждой из договаривающихся сторон;

• издержки завышения и издержки занижения в явном виде не зависят от PL — искомого равновесного значения утверждаемого показателя(договорной позиции);

• расчетные показатели зависят от совместных с оптимумом реализаций факторов.

Теоретическая база инструментальной системы Decision была разработана в 19701980 гг. В работах [1, 2, 3] предложены Эво-люционно-симулятивный метод (ЭСМ) статистической оптимизации и Алгоритм динамического программирования для решения булевых задач (АДПБЗ). В 1995 г. был создан программный макет, реализующий ЭСМ и АДПБЗ. В дальнейшем эта система была усовершенствована и получила название Decision. Решением Международной ассоциации авторов научных открытий (которая является союзом юридических лиц, выполняет функции государственного патентного института и состоит из 28 лауреатов Но-

белевской премии) Президиум Российской академии естественных наук признал инструментальную систему Decision открытием (решение № 126 от 15 июня 2000 г.), на методологию, реализованную в Decision, были получены патент (№ 2 229 741, приоритет от 30 сентября 2002 г.), лицензия (свидетельство № 2 004 612 453, зарегистрировано в реестре 3 ноября 2004 г.) и сертификат соответствия № РОСИ. 1013.1.643. С0109.0.

Система Decision включает в себя 2 модуля: Equilibrium — программная реализация ЭСМ; Combinatorics — программная реализация АДПБЗ.

Система Decision описана в практикуме, изданном в 2-х книгах [4, 5]. В 1-ой книге дано описание системы Decision, способов ведения диалога и подробно рассмотрены типовые задачи из области маркетинга, микро- и макроэкономики, а также задачи составления комплексных программ. Во 2-ой книге рассмотрены способы решения задач нормирования, включая нормирование производственных запасов и нормирование на предприятиях, работающих на принципах Кан-бан; прогнозирования тенденций фондового рынка и принятия решений оператором фондового рынка; составления расписаний и назначений; расчета параметров эмиссии ценных бумаг; управления портфелем ценных бумаг; управления работами; управления проектами; задач теории игр; поиска решений на графах; предупреждения чрезвычайных ситуаций; построения системы, оптимальной по надежности; планирования экспериментов и др.

-ч ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 1 (25) 2010 ' -

ЭСМ включает в себя корректную структурную математическую формулировку равновесной задачи в условиях неопределенности или риска, называемую Эволюционно-симулятивной моделью, и универсальные алгоритмы поиска ее решения. Одна из возможных упрощенных формулировок Эволю-ционно-симулятивной модели представлена совокупностью соотношений (1) — (9):

f = f.....fn .

p = Pl.....pm.

Fa1 = r (f. p>.

Fa2 = r2 (f. p>. F = q1(PL.Fa1.f. p). F2 = q2(PL. Fa2. f. ~p).

F1.PL > Fa1

Ф ( Fa'Fa'F~F' > = {£я. < Fa„

min {max {M {Ф (PL. Fai. F >}}}.

Я = ¥ (PL. f. p).

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

а §

E

u

0

ü

ü S

1 t i

8 О

с

SS CO

о &

CO 12 о 4

n

¡u

§ i

s i

При этом: ] — вектор факторов, т. е. случайных величин либо величин, информация о которых неполная; р — вектор исходных показателей, т. е. условно-постоянных величин; PL — искомое равновесное состояние системы; Fa1 и Fa2 — случайные реализации состояния, получаемые с помощью имитационных моделей г1 и г2 соответственно; Ф — штрафная функция; F1 и F2 — штрафы, возникающие в случае несовпадения PL с Fa1 или Fa2, рассчитываемые_с помощью имитационных моделей q1 и q2; Я - вектор расчетных показателей. Условием оптимальности и вместе с тем условием равновесия является (8), где М — знак математического ожидания.

К формулировке (1) — (9) сводятся некоторые формулировки задач статистической оптимизации и стохастического программирования, байесовская задача и др.

Рассмотрим одну из возможных содержательных экономических интерпретаций Эво-люционно-симулятивной модели (1) — (9) на предельно упрощенном примере маркетин-

гового планирования. Пусть f1...fn — факторы. определяющие платежеспособный спрос (количество покупателей. их доходы и предпочтения); р1.....рт — исходные показатели. выражающие цену и компоненты себестоимости; Fa1 и Fa2 — платежеспособный спрос в натуральных единицах; F1 — издержки производителя. возникающие в ситуации. если маркетинговый план продаж окажется больше платежеспособного спроса (издержки завышения); F2 — издержки производителя. возникающие в ситуации. если маркетинговый план продаж окажется меньше платежеспособного спроса (издержки завышения); Я — прибыль. затраты и другие показатели работы фирмы.

Укрупненная блок-схема маркетингового планирования представлена на рис. 1. Лицо. принимающее решение (ЛПР) (блок I). составляет план продаж (PL). который. как правило. выражается в натуральных единицах.

Очевидно. что план должен быть принят до начала планового периода. в течение которого этот план предполагается осуществить.

План осуществляется под воздействием внешних случайных факторов f = f1.....fn.. таких как количество потенциальных покупателей. их доходы. предпочтения. конкуренция и др. (блок III). Поэтому фактический объем продаж. как правило. отличается от составленного плана. При этом существуют два факта: Fa1 представляет собой объем всех продаж. включая дополнительные продажи. которые. быть может. удалось выполнить вне рассматриваемого сектора рынка. В отличие от этого. Fa2 представляет собой совокупный объем продаж только на рассматриваемом секторе рынка. Поэтому Fa1. Fa2 — продажи вне рассматриваемого сектора рынка.

Экономические условия (блок II). в которых действует фирма. складываются из налогового законодательства. конъюнктуры рынка. технологии и организации производства. способов хранения и транспортировки и др. Эти условия определяют размер издержек. которые возникают вследствие несовпадения факта и плана. В частности. если план оказался невыполненным. т. е. если PL > Fa1.

№ 1 (25) 2010

Ра,

Задержка и усреднение

IV

Издержки завышения

ММ

Риск

завышения

Факторы спроса III

V ' п

Экономические условия

ЛПР

N. 1 У

Издержки занижения

ММ

Задержка и усреднение

Риск

занижения

Рис. 1. Блок-схема управления в условиях неопределенности

8 <£ со

i

I Й

i

то товар в объеме PL - Fa1 будет залеживаться или вовсе пропадет. В этом случае возникнут издержки на хранение, от потери качества во время хранения и от замораживания средств, вложенных в этот товар. Размер этих издержек на рис. 1 обозначен через F1.

Если план продаж оказался меньше платежеспособного спроса, т. е. если PL < Fa2, то возникнут упущенные возможности в виде упущенного дохода, упущенной прибыли, упущенной доли на рынке. Все это можно было бы получить, если бы было больше запланировано и значит заготовлено. Размер этих упущенных возможностей (издержек занижения) на рис. 1 обозначен через F2.

Размер и содержание издержек ЛПР узнает не сразу, не тогда, когда принимает решение, а позднее, когда решение не только принято, но также исполнено, т. е. по завершении планового периода. Причем происходит не только задержка во времени, но еще и усреднение издержек завышения и занижения с теми издержками, которые были получены от ранее осуществленных планов (блоки IV и V). Как видно на рис. 1, усредненные издержки обозначены через М и М ^2}, где М — знак математического ожидания.

Итак, мы имеем блок-схему управления с обратной связью: ЛПР получает резуль-

тат принятого решения в виде того или иного рода издержек.

Обратимся к общей структурной формулировке задачи заключения договоров между двумя участниками. Пусть имеются две договаривающиеся стороны («А» и «Б») и X, i = 1,..., п — договорные позиции. Допустимые сочетания договорных позиций для «А» формируются с помощью имитационной модели риА, т. е.:

((1.....Хп) = рА ((.....А) = рА(е), где А.....А—

факторы, определяющие условия заключения договоров и являющиеся случайными величинами; е — номер статистического испытания. Аналогичным образом допустимые сочетания договорных позиций для «Б» формируются с помощью имитационной модели ри: .....Хп ) = р^ ((.....^) = риБ (е).

Поскольку договорные позиции взаимосвязаны, то, как правило, среди них можно выделить некоторую позицию Хк е {{,...,Хп} и считать ее «основной» или «главной». С Хк так или иначе связаны все другие договорные позиции. В качестве «основной» можно поочередно выбирать любую позицию.

Для «А» каждое сочетание позиций (Х1,.,Хп) создает ситуацию (,...,У{А), которую можно моделировать с помощью ориентированного, взвешенного знакового

5

№ 1 (25) 2010

i §

is

Ц

0

1 i

а i t 1

is

о с =s со

о &

со

0

ч

1

¡U

§

t S

i

графа. При этом: (А ,...,УА ) = рА ((,..., Хп), где рА — имитационная модель. Ситуация ((,...,УА) для «А» характеризуется критерием КА (Y1А,...,YtА), который является отображением области параметров в некоторую упорядоченную шкалу.

Аналогично для «Б». Каждое сочетание позиций (X1,...Xn) создает ситуацию ((,...,, которую также можно моделировать с помощью ориентированного, взвешенного знакового графа (,...,У/) = р'Б((,...,Хп). Ситуация (Б,...,У/) для «Б» характеризуется критерием KБ (Б,...,УБ), который, как и критерий KА (А,...,УА), каждому набору параметров ситуации ставит в соответствие значение в упорядоченной шкале, отличающейся от шкалы значений КА (А,...,УА).

Задача состоит в том, чтобы подобрать такие значения договорных позиций (Xv...,Xn), которые удовлетворяли бы минимаксному критерию, составленному из индивидуальных критериев «А» и «Б».

Пользуясь терминологией, принятой в Эволюционно-симулятивной методологии, а также перейдя к векторным обозначениям X = ((,...,Xn), YA = (,...,УА) и Y = (Б,...ХБ), можно записать:

^ j — (10)

Х = рА ((.....fAr )=_р_л (е)

Fa1 = Хк; k е {{п} модель условий завышения

- - (ii)

х = рБ ((.....fss )=_Р_Б (е)

Fa2 = Хк; k е {l,n} J модель условий занижения;

Y =

р (Х)

F = ¥, (Y

модель издержек завышения;

Y =

рБ (Х)

F2 (

модель издержек занижения;

{ax {((

min {max,

Хе|1,2Ц Y [

(14)

(12)

критерий оптимальности

(из введенных обозначений следует, что при X = 1 L = А, а при X = 2 L = Б).

Формулировка (10) — (14) дает принципиальную возможность для решения задач оптимизации договоров с использованием модуля Equilibrium инструментальной системы Decision. Для практического решения подобной задачи необходимо построить ориентированные графы, описывающие условия принятия решений сторонами, и на основе этих графов построить имитационные модели риА, рБ, рА, рА, и функции , . Этого достаточно для того, чтобы реализовать модель в Equilibrium (см. параграф 7.9 в [5]). Далее, выполняя диалоговую процедуру:

Расчет ^ Прямой/Обратный ^ Прямой,

можно найти согласованное значение «главной» договорной позиции Fa1 и Fa2 и Хк и соответствующие согласованные значения других договорных позиций или, что в принципе то же самое, остальных компонент вектора Х. При этом компоненты вектора Х (кроме Хк) должны рассчитываться на основе совместных с оптимумом реализаций факторов (способ получения таких реализаций описан в [5] в приложении 7).

При многократном выполнении диалоговой процедуры «главная» договорная позиция Хк будет незначительно колебаться (в пределах допустимой погрешности), а прочие компоненты вектора Х могут изменяться достаточно сильно, каждый раз оставаясь внутренне согласованными. Последнее означает, что полученные в оптимизационном расчете компоненты вектора Х удовлетворяют системе приближенных равенств:

¥

(13)

рА И~рБ (е ■)

(рА (Х)) ( (Х ))Г

где е — номер статистического испытания, в котором реализовалось оптимальное зна-

6

№ 1 (25) 2010

чение. Следовательно, многократные оптимизационные расчеты позволяют генерировать варианты согласованных договорных позиций.

С математической точки зрения модель (10) — (14) обладает следующими важными особенностями: модель издержек завышения и модель издержек занижения в явном виде не зависят от PL — искомого равновесного (согласованного) значения основной договорной позиции, а зависят только от Fa1 и Faг соответственно; расчетные показатели, т. е. компоненты вектора X зависят от совместных с оптимумом реализаций факторов.

Рассмотрим некоторые основные положения представленной технологии. Обратимся к примеру задачи заключения договора между авиаперевозчиком и поставщиком горюче-смазочных материалов (ГСМ).

Авиакомпания «А» ведет переговоры с поставщиком ГСМ «Б» на предстоящий год по следующим договорным позициям:

Х1 — количество поставляемого авиационного керосина;

Х2 — цена керосина;

Х3 — количество поставляемого моторного масла;

Х4 — цена моторного масла;

Х5 — стоимость услуг по доставке ГСМ.

Для авиакомпании договорные позиции определяются следующими основными факторами:

fA1 — ожидаемый объем авиаперевозок;

— доли общей нагрузки по основным направлениям;

fA5 — ожидаемый средний уровень цен на авиаперевозки.

Для поставщика ГСМ договорные позиции определяются иными факторами: fБ1 — стоимость нефти; fБ2 — цена керосина у конкурирующих поставщиков;

fБ3 — состояние производственных мощностей.

Не вдаваясь в детали, отметим, что нет сколь-либо существенных видимых препят-

ствий для построения имитационных моделей

X =Рл ((.....fAr ) = РА (е)

и X = рББ ((.....fБs М (е).

В качестве «основной» договорной позиции выберем Х1. Таким образом, к = 1.

Функциональный ориентированный знаковый граф, отражающий влияние договорных позиций на деятельность авиакомпании, показан на рис. 2. При этом У\А — доход авиакомпании; У2А — доля, занимаемая на рынке авиаперевозок; У3А — качество обслуживания пассажиров.

Влияние объема топлива на доход компании положительное, т. е. чем больше потребляется топлива, тем больше перевозок и больше доход. Эта зависимость нелинейна и отражается функцией а1-1. Доля на рынке авиаперевозок также зависит от объема топлива (а1-2). Цена топлива, напротив, снижает доход (отрицательное влияние), а2-1 — функция, отражающая это влияние.

Оценка договорных позиций для авиакомпании «А» осуществляется через сравнение вариантов сочетаний характеристик ее деятельности У1А , У2А и У3А . Поскольку эти величины непосредственно несопоставимы, необходимо отображение троек (У1,У2,У3) в некоторую упорядоченную шкалу F1, т. е.: Тд( У1А , У2а , У3А ) ^ F1. Можно, в частности, конкретизировать содержание функции следующим образом:

^ = к+(У )+( ) +( ).

При этом F1 — балльная самооценка состояния авиакомпании.

Влияние договорных позиций на деятельность компании «Б» также описывается функциональным ориентированным знаковым графом. Пусть УБ — прибыль компании «Б»; У2Б — имидж компании «Б».

Граф влияния договорных позиций на показатели деятельности компании «Б» показан на рис. 3. Смысл зависимостей в общих чертах состоит в следующем: цена керосина и количество поставляемого моторного масла в наибольшей степени влияют на при-

8 ¿г

со

i

I Й

i

7

№ 1 (25) 2010

Рис. 2. Граф влияния договорных позиций на показатели деятельности авиакомпании

имидж компании. Здесь следует подчеркнуть, что рассматриваемый пример призван проиллюстрировать методические приемы построения графов, и в остальном он является условным. Для нас важно лишь то, что критерии деятельности договаривающихся сторон и графы влияния договорных позиций на эти критерии существенно различны.

Существует одно непременное условие, при котором осуществление переговоров в принципе возможно, а именно: оценка качества принимаемых сторонами решений должна производиться в одной шкале. Это значит, что множество QA значений F1 и множество QБ значений F2 должны совпадать; кроме того, должны совпадать их элементы

и способы упорядочения, т. е. должно быть: Q = Q = Q

Если договаривающихся сторон больше двух, то прежде всего необходимо заполнить незакрашенные поля таблицы.

Из таблицы видно, кто и с кем участвует в переговорах, а также в какой степени соглашения достигнуты. Знак «-» указывает на то, что клиенты непосредственно не участвуют в переговорах между собой; знак «и» — необходимо согласование решений; знак «+» — согласование достигнуто.

i §

Е

и

0

1

а £

i 1

§

о с

5: со

о &

со 12

0 Ч

1

¡и

§ i

i

Х„

X,

хл

Рис. 3. Граф влияния договорных позиций на показатели деятельности поставщика ГСМ

быль компании, а объем поставляемого керосина, цена моторного масла и стоимость услуг по доставке прежде всего влияют на

№ 1 (25) 2010

Таблица

Согласование позиций договаривающихся сторон

Участники А Б В

А - +

Б U

В

S3

¿г

ва

f

I Й

i

Задача (10) — (14) должна решаться для каждой пары договаривающихся сторон. Если при этом существует противоречие, например, между соглашением, достигнутым «А» с «Б», и соглашением, достигнутым «А» с «В» по позициям Х', то «А» вступает в дополнительные переговоры, ужесточая позиции по Х, пока не будет достигнуто соглашение.

Рассмотрим еще одну задачу, имеющую практическое значение и вместе с тем отличающуюся математическим своеобразием. Эта задача, как и предыдущая, сводится к Эволюционно-симулятивной методологии (ЭСМ) [5] и поэтому может решаться с помощью модуля Equilibrium инструментальной системы Decision. Речь идет о задаче поиска оптимальных правил остановки. Такая задача возникает в случае, когда необходимо выполнить дорогостоящие эксперименты, каждый из которых приносит дополнительную информацию. Например, при поиске полезных ископаемых производят пробные бурения. С одной стороны, чем больше пробных буровых, тем больше информации о месторождении. С другой стороны, каждая буровая — довольно дорогостоящее инвестиционное вложение.

Математическая специфика данной задачи состоит в том, что риск завышения и риск занижения зависят от количества статистических испытаний N. При этом каждое статистическое испытание рассматривается как шаг, на котором можно остановить эксперимент.

Эволюционно-симулятивная модель приобретает в этом случае следующий вид:

Fai =Pi (e) = e — модель условий завышения;

(15)

Fa2 =р2 (e) = e — (16)

модель условий занижения;

F = P1 (PL, Fa),PL > Fa,— (17) модель издержек завышения;

F = p2 (PL,Fa2),PL < Fa2 — (18) модель издержек занижения;

^{x (F(PL,Fa,)}} — (19)

критерий оптимальности,

где е — номер статистического испытания; p1 (PL,Fa,) — издержки от проведения дополнительного испытания; р2 (PL,Fa2) — издержки от потери информации при недостаточном количестве экспериментов.

Представленный подход может быть эффективно реализован на практике с помощью соответствующих имитационных моделей, разработанных с применением пакета Decision.

Список литературы

1. Лихтенштейн В. Е. Дискретность и случайность в экономико-математических задачах. М.: Наука, 1973.

2. Лихтенштейн В. Е. Эволюционно-симулятивный метод и его применение для решения плановых и прогнозных задач. М.: Наука, 1976.

3. Лихтенштейн В. Е. Эволюционно-симулятивные модели в планировании. М.: Наука, 1979.

4. Лихтенштейн В. Е., Росс Г. В. Информационные технологии в бизнесе. Применение системы Decision в микро- и макроэкономике. М.: Финансы и статистика, 2008.

5. Лихтенштейн В. Е., Росс Г. В. Информационные технологии в бизнесе. Применение системы Decision в решении прикладных экономических задач. М.: Финансы и статистика, 2008.

9