CC BY
226
5. Гольдштейн Л.Д.,. Зернов НМ. Электромагнитыые поля и волны. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Советское радио, 1971. - 664 с.
6. Баскаков С.И. Основы электродинамики. Учебное пособие для вузов. - М.: Советское радио, 1973. - 248 с.
7. Першин И.М. Распределенная система передачи информации // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2005. - № 11.
8. . . . - : -КМВ, 2008. - 148 с.
9. Пер шин И.М. Система обработки распределенных сигналов // Труды VIII Международной научно-технической конференции по динамике технологических систем. Т. 1.
- Ростов-на-Дону, 2007. - С. 196-202.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор В.Л. Заковоротный.
Першин Иван Митрофанович
Пятигорский государственный технологический университет.
E-mail: ivmp@yandex.ru.
357500, . , . 40- , 56.
.: 88793399844.
Кафедра управления и информатики в технических системах; заведующий кафедрой, .
Pershin Ivan Mitrofanovich
Pyatigorsk State Technological University.
E-mail: ivmp@yandex.ru.
56, 40 years of October Street, Pyatigorsk, 357500, Russia.
Phone: +78793399844.
The Department of Management and Informatics in Technical Systems; Head of
Department; Professor.
УДК 681.5
ЭЛ. Рапопорт, ЮЗ. Плешивцева
ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ: ПРОГРАММНЫЕ И ПОЗИЦИОННЫЕ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ*
Предлагаются некоторые пути дальнейшего развития опирающейся на фундаментальные закономерности предметной области прикладной теории управления системами с распределенными параметрами применительно к центральным проблемам построения конструктивных алгоритмов программной оптимизации и аналитического конструирования агрегированных автоматических регуляторов. Для построения программных управляющих воздействий используется специальный метод редукции к задачам полубес-конечной оптимизации, разрешаемым с помощью альтернсшсных свойств искомых экс.
Система с распределенными параметрами; оптимальное управление; параметризация управляющих воздействий; полубесконечная оптимизация; альтернансный метод; мак; .
*
Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 09-08-00297), аналитической ведомственной целевой программой «Рювитие научного потенциала высшей школы па 2009—2011 гг.» (проект № 2.1.2/4236) и Федеральной целевой программой «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.» (Государственный контракт № П231 от 23.07.2009 г.)
E.Ya. Rapoport, Yu.E’. Pleshivtseva
OPTIMIZATION OF SYSTEM WITH DISTRIBUTED PARAMETERS: PROGRAMMED AND POSITIONAL STRATEGIES OF CONTROL
The approaches and methods for further development of applied theory of systems with distributed parameters are suggested to solve problems of construction of programm optimisation algorithms and analytical designing of automatic regulators. These approaches are based on fondamental laws of different subject areas.
Distributed parameter system; optimal control; control actions parametrization; semiinfinite optimization; alternance method; macro-variable; aggregated regulators.
.
управления системами с распределенными параметрами (СРП) серьезно осложняется необходимостью их существенной адаптации применительно к широкому спектру приобретающих принципиальный характер особенностей прикладных задач, от которых вынужденно абстрагируется формализм теоретических схем в постановочном, алгоритмическом и вычислительном аспектах исследуемых проблем. Только на приоритетной основе сущностных физических закономерностей соответствующей предметной области и реально предъявляемых требований к управляемым процессам могут быть получены алгоритмически точные и технически реализуемые решения таких задач в рамках опирающихся на эту фактологическую базу модифицированных постановок даже в тех ситуациях, когда наиболее употребительные формальные модели приводят либо вообще к выводам об отсутствии этих решений, либо к теоретически существующим, но практически неосуществимым управляющим воздействиям. В настоящей работе рассматриваются некоторые пути развития в данном направлении прикладной теории оптимального управления СРП применительно к центральным проблемам построения конструктивных алгоритмов программной оптимизации и аналитического конструирования автоматических регуляторов.
1. Краевые задачи программного управления динамическими моделями систем с распределенными параметрами. Известные трудности решения краевых задач оптимального управления динамическими объектами (ЗОУ) в классической двухточечной формулировке приобретают принципиальный характер применительно к бесконечномерным СРП и усугубляются в целом ряде ситуаций, представляющих практический интерес, неуправляемостью объекта относительно требуемых конечных состояний по типичной причине их несогласованности с граничными условиями математических моделей, описывающих поведение объекта [1].
Возможный способ преодоления отмеченных затруднений состоит в переходе к заведомо разрешимой ЗОУ с заданным целевым множеством в бесконечномерном фазовом пространстве СРП, которое отвечает достижимым значениям практически всегда существующих и, как правило, оцениваемых в прикладных задачах в равномерной метрике допусков на отклонение от номинальной точки, фиксируемой положением правого конца фазовой траектории в исходной двухточечной схеме [1]. Ниже приводятся формальная постановка и предлагаемые способы решения ЗОУ СРП в указанной трактовке.
. - -модели СРП в форме линейного стационарного уравнения в частных производных параболического типа с краевыми условиями Дирихле, Неймана или их линейной комбинации [1], метод конечных интегральных преобразований [1, 2] приводит к описанию управляемой функции состояния Q(x, t) объекта с распределенными
параметрами в зависимости от пространственной координаты x Е [Х0, Х1 ] и време-
ни t £ [О, ^ ] бесконечной системой дифференциальных уравнений для временных М°Д 0п (Мп, t) разложения Q(х, t) в сходящийся в среднем бесконечный ряд по ортонормированной системе собственных функций (рп(¡лп, х), п =1,2,...:
^п ^п, t) = — Ж (М п, ) + ип (М п, 11) + ш О пио(t) + (t);
ш (1)
О,(¡лп,О) = QО0)^п), п = 1,2,...;
Q(х, t) = £ Qn (^п, t) Фп (^п, х). (2)
п=1
Здесь un (fln, t) - моды разложения внутреннего распределенного управляющего воздействия U (X, t) в ряд вида (2):
u (X, t) = £ Un (|яn, t) фn n, x); (3)
n=1
U0 (t) и u (t) - граничные управления, сосредоточенные в точках X = X0 и X = X1 соответственно; ^ - собственные числа; d0n, dln - известные коэффициенты, и ö00)( Hr,), n = 1,2,... - заданное начальное состояние объекта (1). Управляющие воздействия стесняются ограничениями:
Umin < U ( X, t) < U max; U1min < U1 (t) < U1max; U0 min < U0 (t) < U0 max;
(4)
X£ [x0,X1 ]; t £ [0,t1 ],
с заданными границами диапазона их возможного изменения.
Пусть качество процесса управления оценивается интегральным функционалом
tl _
I = \/o(Q,W,t )dt ^min, (5)
0
с заданной подынтегральной функцией f0 своих аргументов, где Q = iyQn(ßn,t)), W(t) = ((ßn,t),U0(t),U1 (t)), n = 1,2,..., включая центральную задачу быстродействия при f0 (, W, t) =1.
Пусть далее требуется за время t1 обеспечить приближение Q(X, t1) к заданному пространственному распределению управляемой величины Q (X) с допустимой абсолютной точностью е согласно соотношению
< £, (6)
max
хє[ x0, x1 ]
IQ п(Лп, !) Фп(Лп, х) - х)
п=1
определяющему с учетом (2) целевое множество допустимых конечных состояний
/О** / ч
СРП с оценкой отклонений от Q (х) в равномерной метрике, включая вариант
**
неуправляемости объекта (1) относительно состояния Q (х), для которого заведомо выполняется неравенство В >0 для достижимых значений 8 в (6).
Необходимо найти оптимальное управление W*(t), которое переводит бес-
(1) -, (6), -сти (5) в условиях ограничений (4).
Приведенная постановка ЗОУ (1)-(6) легко распространяется на пространственно-многомерные линейные модели СРП с переходом к их описанию в виде, (1),
кратные ряды по собственным функциям путем последовательного применения конечных интегральных преобразований к исходным уравнениям объекта по каждой из пространственных переменных. Аналогичное описание СРП может быть получено в пространстве коэффициентов разложения распределенного выхода системы в бесконечные ряды по ортогональному семейству базисных функций
,
моделей [3] или путем дифференциально-р^ностной (в том числе, в конечно) ,
, .
, -ется также бесконечной системой нелинейных дифференциальных уравнений
¿0, Сип , t) = — 2°^п , t) + у (ф + йп ([Лп , t) + шопио ^) + Ш1пи1 ^);
ш (7)
йп(1ЛП,0) = ё0О)^п), п = 1,2,...
относительно временных мод разложения Q (х, t) в ряд вида (2) по собственным функциям линейного приближения исходных уравнений объекта и отличающегося от (1) только функциями/п^) ^О, определяемыми в явной форме разностью
действительного и линеаризованного дифференциальных операторов по простран. -ча программного управления (1)-(6) и указываются пути распространения результатов для более сложных моделей СРП.
Параметризация управляющих воздействий и редукция к задаче полубес-конечной оптимизации. На бесконечномерную задачу (1)-(6) распространяется в (4), (6) , -
нение которой приводит к сложной, практически неразрешимой краевой задаче
( - ), -ское представление W *(!) с точностью до граничных значений бесконечного
[1].
(6) [4] -
раметризации W *(!) на множестве финишных значений ц>1, I =1, N, первых N
сопряженных функций, соответствующих первым N модам Qn, п = 1, N, в (1),
при равных нулю всех остальных значениях у. (^), I > N (“¥(ю-параметризация”):
у(N) = (у. (tl)) = (у), I = 1, N; у. (tl) = 0, I > N. (8)
Равенства (8) представляют собой условия трансверсальности на правом конце траектории в бесконечномерном фазовом пространстве СРП с некоторыми фиксированными конечными значениями , п = 1, N, первых N мод ^ (¡лп,!) при t = ^ и свободными величинами Qn (¡лп, ^) для всех п > N.
В условиях (8) минимально достижимые в классе управлений, однозначно
Hf(N) е (N) _
характеризуемых вектором у , значения 8 min ошибки е равномерного приближения Q(X, t1) к Q (x), т.е. минимаксные погрешности приближения на отрезке [Х0, Xj ] Э X , монотонно убывают с ростом N G {1,р} :
£(1) > £(2) > ... > £(j) > £(ji+1) > ... > Е(Р> = £■ f >0 (9)
min min min min min inf 5 v '
характеризуя сужающееся к Q (x) семейство целевых множеств для £ = еmn, j = 1,р, в (6) вплоть до значения = einf > 0, где точная нижняя грань 8inf оказывается большей или равной нулю, соответственно для неуправляемых или управляемых относительно Q (X) объектов[4].
(9) -
мой точности S >0 достижения Q (х) при конечном числе N, принципиально
, , .
(N)
В [4] установлен принцип минимальной сложности ^ -параметризованной
структуры оптимальных программных управлений W (у/N), t), согласно которому за счет свободы выбора конечных значений Qn (iwn, t1), n > N, оптимальные управляющие воздействия в рассматриваемой ЗОУ характеризуются минимально возможной для данного значения е в (6) размерностью N = N0 вектора
(N0)
^ 0 , устанавливаемой по определению величин минимакса в последовательно-(9):
n0=и Ve: ^min ^£ < ^mrnl}, и^{1,р}. (10)
, (8) y/i (t) = 0 для всех i > N, а в качестве аргументов f0 в (5) фигурируют не более
N первых составляющих Qn, исходная ЗОУ СРП сводится к управлению усеченной конечномерной подсистемой первых N уравнений модели объекта (1) [4], что кардинальным образом упрощает задачу определения структуры параметризованных программных управлений wV n° \ t).
Дальнейший прямой путь непосредственного вычисления вектора Ц/(N°) связан с необходимостью решения, как правило, существенно нелинейной и весьма сложной даже при конечном числе N0 компонент Ц(Л?0) П-системы принципа .
случаях преодолены путем построения отображений ^(N) ^ Д(N) на множество
параметров Д(N) = (Дi), i =1, N, непосредственно характеризующих управляющие воздействия оптимальной структуры в пространственно-временной области .
Аналитические условия оптимальности в совокупности с дополнительной информацией о свойствах оптимизируемых процессов в конкретной предметной области в целом ряде модельных ситуаций вполне определяют характер оптималь-
ных управляющих воздействий на участках их непрерывного изменения в про-
-
величины е в (6) возможные варианты компоновки оптимальных программ из этих участков с конечным числом разрывов в точках их”сшивания” [4-7]. Эти точки и выступают чаще всего в роли параметров , приобретающих, тем самым, очевидный физический смысл. Последующее сопоставление Ц(N) - и Д(N) -параметризованных структур создает возможности построения однозначных отображений ^(N) ^ Д(N) в форме замкнутой системы соотношений, связывающих
компоненты Ц(N) и Д(N) [4, 5]. Переход к « Д(N^параметризации» управляющих воздействий сохраняет базовые соотношения (9) и (10) [4].
Во многих случаях условия оптимальности в форме принципа максимума
Понтрягина позволяют непосредственно получить Д(N) -параметризованное представление W*(A( N>, t)
(N)
Ц -параметризации [1, 4-7]. Кроме того, в целом ряде прикладных задач изначально требуется найти управляющие воздействия в заданном классе Д(N) -
, , -
скими возможностями их реализации [6].
Интегрирование уравнений объекта (1) с Д(N^ -параметризованными управлениями W(A( N>, t) дает возможность получить, согласно (2), конечное состояние объекта Q( х, О (5) -
симостей, соответственно, Q(X, Д(N)) и I(Д(N)) от компонент Ai, i =1, N, вектора Д( N) , где для фактических вычислений неравномерно сходящихся на границах X = х0 и X = х1 бесконечных рядов вида (2) могут быть использованы известные эффективные способы улучшения их сходимости [5, 6, 8].
В результате осуществляется точная редукция исходной ЗОУ СРП к задаче
полубес конечной оптимизации (ЗПО) [1, 4] на минимум функции I (Д N ^) конечного числа N переменных Ai, i =1, N,
I(Д(N)) ^ min; (11)
4 ' д( N)
, (6)
X £ [X0, х1 ] и заменяемых одним условием
max IQ (х,Д( N)) - Q **( х) I <е. (12)
хе[ X0, X1 ] I I
Альтернансный метод в прикладных задачах полубесконечной оптимизации. Решение широкого круга ЗПО вида (11), (12) с учетом правила (10) относительно вектора Д(N), а также априори неизвестных величин минимакса в (9) при £ = emn, j£ {1,р}, может быть получено в условиях малостеснительных ограничений альтернансным методом [1, 7].
Метод базируется на специальных альтернансных свойствах вектора Д(N°), являющихся аналогом условий экстремума в теории нелинейных чебышёвских при-
ближений, и существенном использовании дополнительной информации об оптимальной форме пространственного распределения результирующего состояния
Q( X, Д( "0)) управляемой СРП, диктуемой закономерностями предметной области в
каждой конкретной рассматриваемой задаче. Согласно установленным в [7] альтер-
,
тах Q(X, Д("0)) - Q** (X) , равные допустимой величине е в (6), достигаются в
хе[Х0 ,Л! ] I I
некоторых точках X°, 7 — 1, Я, на отрезке [Х0, Хх ], общее число Я которых, как правило, оказывается равным числу всех искомых неизвестных в ЗПО (11), (12):
Г N если £("0) < £ < £("0 1)#
ЫУ 0’ если £т1п ^£^£тт ’ ....
Я — ^ (13)
Г "+1, если£—£(^>.
Последующая редукция данных равенств на основании дополнительных сведений о форме кривых Q(X,Д("0)) - Q (X) на [Х0,Х1 ] к соответствующей системе уравнений относительно N значений Д1,"0), , —1, "0 , при
4' < е < ^П-1' ™< N0+1 вели,™ Д" I — Т" , „ £“П0' при £ — ^0 ' в
(6),
решение исходной ЗОУ СРП.
Во многих прикладных задачах при выполнении некоторых дополнительных
допущений точки X0 образуют чебышёвский альтернате [1, 7], и указанная система уравнений принимает следующий вид:
Q(X”,д("°))-Q"(XІ0) — п(-1)7£, п — ±1, 7 — 17Я;
(14)
X0 < X0 < X0 <... < -1 < < X,
со знакочередующимися отклонениями Q(X0, Д("0)) — Q (xj ), где несовпадаю-
щие с границами отрезка [ X0, X1 ] точки X ■ £ 1X7 }, г — 1, Я, Я < Я, экстремума разности Q(X,Д("0)) - Q (X) фигурируют в роли промежуточных переменных, для определения координат которых система (14) дополняется равенствами
± .(X», ^ - О^» — 0, г — 1Ж. (15)
Описанная схема решения ЗОУ СРП в рассматриваемой постановке распространяется на задачи со значительно более сложными, в том числе нелинейными и цифровыми моделями СРП с управляемыми функциями состояния, описывающи-
-
физических полях различной природы [1, 4-7].
В работах [1, 4-7, 9, 10] предлагаемый метод используется для построения алгоритмов оптимального по ряду основных технико-экономических критериев программного управления применительно к широкому кругу нестационарных термодиффузионных процессов технологической теплофизики, в том числе в центральных задачах быстродействия и минимизации расхода энергии.
, -го управления СРП в типичных условиях интервальной неопределенности характери, -
зуемых неопределенных факторов в пределах известных границ заданных множеств их изменения Ьг С Ег, у £ Ьг, ЗОУ СРП опять сводится к виду (11), (12)
с ограничением (17), рассматриваемым на расширенном по сравнению с (12) множестве О. элементов I — (X, у); О — X, X1 ] X Ьг, включающем, наряду с пространственной переменой х, все допустимые составляющие вектора у [10].
2. Аналитическое конструирование агрегированных регуляторов в системах с распределенными параметрами. В настоящее вре мя существуют различные подходы к решению отличающейся большой спецификой и сложностью центральной проблемы автоматической отработки оптимальных процессов в замкнутых системах управления объектами с распределенными параметрами. В этих целях для построения систем, близких к оптимальным по базовому критерию бы, -гуляторы с функциями переключения, синтезируемыми в форме линейных комбинаций обратных связей по выходу СРП в некоторых точках пространственной области его определения, число которых должно быть равно числу интервалов постоянства оптимальных сосредоточенных управляющих воздействий, а коэффициенты обратных связей определяются по результатам расчета программных управлений [1, 5].
Классический метод динамического программирования применяется для аналитического конструирования регуляторов, оптимальных по типовым квадратичным критериям качества в системах автоматической стабилизации программных траекторий СРП [1, 11]. Регулярные методы синтеза, базирующиеся на структурной теории распределенных систем, приводят к построению автономных контуров независимого регулирования отдельных гармоник разложения управляемой функции состояния в бесконечный, сходящийся в среднем ряд по собственным функциям модели объекта в задачах с распределенными управляющими воздействиями или к связанному регулированию модальных переменных при использовании граничных сосредоточенных управлений [12].
К аналогичным результатам приводит метод пространственно-частотной декомпозиции [3], основанный на спектральной теории разложения управляемой величины в бесконечные ряды по произвольной ортонормированной системе функций пространственных координат.
Новые эффективные пути построения замкнутых систем управления объектами с распределенными параметрами открывают конструктивный подход к проблеме синтеза регуляторов в сложных нелинейных системах автоматического , -,
искомых коэффициентов обратных связей [13].
В достаточно общем случае СРП описывается следующей бесконечной сис-
(7)
£п — Qn - Qn от заданного состояния:
тах
¡еО.
I(Д(м)) ^ тіл ;
д( Ю
їх|е(I,Д(*))-х)\ <є ;
(16)
(17)
(18)
Тп (0 ) = г1, Ъы є , й0п, } при $ = 1; Ьіп = %іп, і = 1, >1
в большинстве практически реализуемых вариантов по характеру используемых сосредоточенных управляющих воздействий vi (t), i = 1, s, подчиненных ограничениям
и • < и (t) < и ; i = 1, s; и • , и = const (19)
i min i\ s i max ’ ’ ’ i min’ i max ’
где x\ (t) G {V1, u0, u1} при s =1; vi (t) = V; (t) при s >1, и рассматривается типичный случай представления распределенного управления u (x, t) в форме
s s
u(x, t) = 2 gi (x)Vi (t); Un (¡лп, t) = 2 gin Vi (t); n = 1,2,... (20)
;=i i=1
с заданными значениями gin мод разложения в ряды вида (2), (3) зависимостей
gt (x) от пространственной координаты, изначально фиксируемых, исходя из
требований технической реализации.
Система (18) при необходимости аппроксимируется с любой требуемой точностью достаточно большим, но конечным числом N ее первых уравнений при обычно выполняющихся в прикладных задачах усиленных условиях Коши-
Липшица [3, 14]. Всюду далее на этом основании учитываются N мод zn,
n = 1, N , где Nj =то или N = N < в зависимости от используемой схемы
анализа и возможностей практической реализации исследуемых алгоритмов .
Дополним структуру объекта (18) малоинерционными интеграторами [13]
dz • —
T0i—^~ = v0i(t), i = 1,s, s > 1, T0i = const (21)
dt
с условными управлениями v0i (t) на их входах, полагая
„і = Ц, + ЦіШ^), Lii = ; L!i = Wp* (22)
с целью учета ограничений (19) при всех rfi = const > 0.
В результате, согласно (18), (21), (22), получим описание СРП в расширенном фазовом пространстве (z, z0), z0 = (z0i), i =1, s :
dzo dt
T0i-^=%■ (tX i=1, s;
(23)
—Т $
—Г = — п2 Тп +/п (z) + X Ъп (4 + іТоі )), п = 1, 2,...
Ш і=1
В соответствии с предлагаемой в [13] методологией синтеза требуется найти алгоритмы управления с обратной связью ьі (г, Т0), обеспечивающие перевод
объекта (23) из произвольного начального состояния сначала в окрестность пересечения параллельной совокупности притягивающих многообразий
щ (г, То) = о, і = 1, Ї, (24)
і , -
дующее асимптотически устойчивое движение вдоль этого пересечения к точке
равновесия г = 0 с требуемыми качественным и показателями переходного процесса. Выбор траекторий движения макропеременных в виде решений системы дифференциальных уравнений
Т + % (у/і) = 0, і = 1,Т = сотї,
ш
(25)
принадлежащих подсемейству устойчивых экстремалей, минимизирующих сопровождающий квадратичный функционал качества
Г \2"
\ . Т'2
'=л
0 і=1
% (¥і)+т
(26)
обеспечивает асимптотическую устойчивость в целом этом движения относительно многообразия (24) при любых Т >0 для произвольных и дифференцируемых
функций Л (у/1) в условиях Л (0) = 0; (ул) > 0 ф 0, I = 1,5 [13].
Выберем следующие нелинейные агрегированные макропеременные в (24) -(26), полагая (^л ) =у/п I = 1,5 :
(г, г,) = ік
п=1
(27)
с априори неизвестными коэффициентами обратных связей. Вычисляя здесь # i(z, ^ ) .Г“
полные производные-
і =1,5, на уравнениях модели объекта (23)
подставляя результаты дифференцирования в (25), получим основную систему
:
Т
N1
і+ ЪРіп
ск2р \Т01€кО^) 0і п-1
-И п2 гп + /п(г Nl) + Ъ Ьп(Ц і + ц іік(г! ))
І =1
(28)
N1
+ікр = 0 Р = <Л;+ Ц2і ік(іігоі)) + £/*Л, і=1, ^
решение которой относительно условных управлений ь0І, і = 1,5 , полностью определяет с учетом (21), (22) искомую структуру регулятора оДг^, г0), і =1,5 , в
рассматриваемой задаче синтеза с вектором г 1 = (гп), п = 1, N , фазовых коор-
,
мод разложения Q (х, і) в ряды по собственным функциям модели СРП.
Идеализированное представление о возможности полного и точного измерения распределенного выхода СРП обосновывается известной теоремой разделения, позволяющей отдельно рассматривать задачу построения наблюдателя состояния с требуемыми свойствами [11].
На достаточно большом удалении от притягивающих многообразий, где, со-
гласно (27), (28), Р Ф 0;
1;
¿і
0, іє{1, 5}, -
ционала (26) на соответствующих временных интервалах в условиях Л (ул ) = Ц1 1 практически превращаются в критерий быстродействия с выходом управлений
п =1
(У) на ограничения (19), отвечая типичным требованиям минимизации времени процесса перевода объекта в равновесное состояние.
При движении вдоль пересечения многообразий (24), где Р = О, г = 1, 5 получаем при малых отклонениях от точки г = О , согласно (22), (24), (27), линейный закон управления
Х,1
і (і) = -£ в т
(29)
В окрестности этих многообразий при малых р , где ґНРі ~ р, функционал
(26) принимает вид стандартного квадратичного критерия качества с управляющими воздействиями либо близкими к (29), либо принимающими предельно допустимые значения в (19).
В итоге с весьма малой погрешностью реализуется значительно более простой по сравнению с (28) алгоритм управления
N N
ЕВ 7 V . < —"V Я 7 < о *
' іп п ^ і шіп — / і і іп п — і шах’
V. (г) =
1
— В 7 ^0 *
с ’ / ^' іп п — і шах ’
І =1,5. (30)
п=1
1
— V В 7 <0 .
Піп ’ / і Г Іп^п — Ішіп
п=1
с ограниченным выходным сигналом пропорциональных регуляторов (42).
Соответствующий выбор коэффициентов обратных связей /і п применительно к уравнениям первого приближения нелинейной модели (18) с регуляторами (29):
& А (Т\( (."Л ^ 5 N
=1
<&(?А)
ді,
(31)
т )
І =1
гарантирует любое заданное расположение корней характеристического полинома системы (31) с отрицательной вещественной частью при М1= N < [15] и сле-
, , , -чивость положения равновесия нелинейного объекта (31) с линейным законом управления (42) при N1 [14, 15].
В простейшем частном варианте
Рт = К !<Рт (Мт, хс ), Х,с € [хо , Х1], г =1, ^ т = 1, N1, Щ=™ (32)
будем иметь в (29), согласно (2):
и (г) = ~К1 2 1т (У) Фт (Цт , Хс ) = -К, [б(Хс , у) - (Хс )] , I =1, 5 . (33)
т=1
В данном случае алгоритм управления (30) сводится, в соответствии с (33), к построению системы регулирования выхода объекта Q(Хс, У) , г =1,5, сосредоточенного в 5 точках Хс € [ХО, Х1 ], если коэффициенты Кг передачи пропорциональных регуляторов обеспечивают требуемые показатели качества процессов управления. Во многих типичных ситуациях такой выбор К г становится возможным [12].
т
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Рапопорт ЭЯ. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами.
- М.: Высшая школа, 2009. - 677 с.
2. Бутковский АТ. Методы управления системами с распределенными параметрами.
- М.: Наука, 1975. - 568 с.
3. Коваль В.А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных управляемых сис-
. - : , 1997. - 191 .
4. Плешивцева Ю.Э.,Рапопорт ЭЯ. Метод последовательной параметризации управляющих воздействий в краевых задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2009. - № 3.
- С. 22-33.
5. Рапопорт ЭЯ. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. - М.: Металлургия, 1993. - 278 с.
6. Rapoport E., Pleshivtseva Yu. Optimal Control of Induction Heating Processes. CRC Press, Taylor & Francis Group, Boca Raton, London, New York, 2007. - 348 p.
7. Рапопорт ЭЯ. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. - М.: Наука, 2000. - 336 .
8. Карташов ЭМ. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. - М.: Высшая школа, 2001. - 550 с.
9. Рапопорт ЭЯ. Оптимальное по быстродействию управление нелинейными объектами
//
: . . . - : , 1996.
- С. 81-91.
10. Рапопорт ЭЯ. Робастная параметрическая оптимизация динамических систем в условиях ограниченной неопределенности // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 3.
- С. 86-96.
11. Дегтярев Г.Л.,Сиразетдинов ТЖ. Теоретические основы оптимального управления
. - .: , 1986. - 214 .
12. Рапопорт ЭЯ. Структурно-параметрический синтез систем автоматического управления с распределенными параметрами // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2006.
- № 4. - С. 47-60.
13. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. - М.: Энергоатомиздат, 1994.
- 343 .
14. Валеев Г.К.,Жттыков (ХА. Бесконечные системы дифференциальных уравнений.
- - : , 1974. - 415 .
15. Андреев ЮМ. Управление конечномерными линейными объектами. - М.: Наука, 1976.
- 424 с.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор H.H. Ефимов. Рапопорт Эдгар Яковлевич
Самарский государственный технический университет.
E-mail: rapoport@samgtu.ru.
443110, г. Самара, а/я 4183.
.: 88463370700.
Кафедра автоматики и управления в технических системах; д.т.н.; профессор.
Плешивцева Юлия Эдгаровна
E-mail: yulia_pl@mail.ru.
443100, г. Самара, ул. Самарская, 190, кв. 20;
.: 88463324234.
Кафедра управления и системного анализа в теплоэнергетике; д.т.н.; профессор.
Rapoport Edgar Yakovlevich
Samara State Technical University.
E-mail: rapoport@samgtu.ru.
Box 4183; Samara, 443110, Russia.
Phone: +78463370700.
The Department of Automatics and Management in Technical Systems; Dr. of Eng. Sc.; Professor.
Pleshivtseva Yulia Edgarovna
E-mail: yulia_pl@mail.ru.
190-20, Samarskaya Street, Samara, 443100, Russia.
Phone: +78463324234.
The Department of management and the system analysis in power system; Dr. of Eng. Sc.; Professor.
УДК 681.5
А.Б. Чернышев, Ю.В. Ильюшин
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШАГА ДИСКРЕТИЗАЦИИ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ ТРЕХМЕРНОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
Рассматривается методика расчета шага дискретизации, однородного трехмерного объекта управления, исходя из заданной погрешности. Рассматривается влияние шага дискретизации на заданную погрешность. Получена функция начального нагрева и проведено математическое моделирование температурного процесса, проведен анализ полученных результатов. Сделан вывод об обобщении разработанного метода определения шага дискретизации на класс систем, для которых существует фундаментальное решение (функ-ция Грина).
Температурное поле; управляющие воздействия; шаг дискретизации; функция Грина.
Y.V. Ilyushin, A.B. Chernyshev
THE DETERMINATION OF THE STEP TO SAMPLING FOR CALCULATION OF THE HEAT FIELD OF THE THREE-DIMENSIONAL OBJECT OF MANAGEMENT
It Is Considered methods of the calculation of the step to sampling, uniform threedimensional object of management, coming from given to inaccuracy. It Is Considered influence of the step to sampling on given inaccuracy. It Is Received function of the initial heating and is organized mathematical modeling of the warm-up process, is organized analysis got result. Conclusion is Made about generalization of the designed method of the determination of the step to sampling on class of the systems, for which exists the fundamental decision (the function Grina).
Thermal field; controlling actions; discretization step; Green's function.
Рассмотрим пространственно трехмерный объект управления, который представляет собой объект, ограниченный пространственными координатами. Математическая модель такого объекта имеет вид [1]:
dQ(x, y, z, t) dt
• - a
à2Q(x, y, z, t) | d2Q(x, y, z, t) + d2Q(x, y, z, t)
dx
dy2
z2
= f ( x, y, z, t );
б(X, у, 7,0) = бо (X, у, і);
Q(0, у, 7,X) = Яі(у, 7,X); б(Ь, у, 7,X) = q2(у, 7,X); б(х,0,і,X) = ^(у, і,X); б(х,Ь>, г,X) = q4(х, г,X); б(X,у,0,X) = q5(X,у,X); б(X, у,Ьз,X) = q6(X, у,X).
0 < X < Ь1; 0 < у < Ь2; 0 < 7 < Ь3; X > 0; а > 0;
Расчет показателей температуры будем вести по функции Грина, представленного в виде бесконечного ряда Фурье
G(x, y, z, p,v,û,t) =
8
-Ц 2
L
Z Bk.m.n o • exp
- a2ж2 • t
kl
I2
\Li
m n
L2 l2
+
k ,m,n=1
