CC BY
43
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXVII ' 199 6
№3-4
УДК 533.6.011.5:629.7.025.1
ОПТИМИЗАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА ПУТЕМ ЕЕ ПРОСТЕЙШИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Т. М. Притуло, С. А. Таковицкий
Предлагается решение задачи оптимизации крыла треугольной формы в плане с изломом поверхности в рамках линейной теории сверхзвуковых течений газа. Найдено аналитическое решение задачи и точно учтены особенности в распределении давления по поверхности крыла. Проведено сравнение полученных данных с результатами численного решения уравнений Эйлера для той же задачи.
В настоящее время появились решения задач оптимизации поверхности крыла в нелинейной постановке. Рассмотрены треугольные крылья, обтекаемые сверхзвуковым потоком идеального газа [1]. Возникает вопрос, который теперь может быть разрешен: насколько точны методы оптимизации, развитые в линейной теории крыла, имеются ли возможности их корректировки по имеющимся данным задач оптимизации в нелинейной постановке? Следует также отметить, что в численных методах линейной теории сверхзвуковых течений газа распределение особенностей по поверхности крыла учитывается лишь приближенно. Можно увеличить точность расчета путем увеличения числа панелей, на которые разбивается крыло. Но на тех участках поверхности крыла, где, по линейной теории, возникают бесконечные значения давления, точность численных методов вряд ли может быть увеличена. Необходимо отметить, что бесконечные значения давления всегда присутствуют на крыльях со звуковыми кромками, которые и рассматриваются в настоящей статье. Простейшие способы оптимизации поверхности — изломы — осложняют проблемы численного счета, поскольку на линиях излома давление обращается в бесконечность. Но хорошо развитый аппарат линейной теории позволяет найти точное решение задачи в аналитическом виде с учетом особенностей.
1. Постановка задачи в линейной теории. Рассмотрим крыло треугольной формы в плане, имеющее излом поверхности, как показано на рис. 1. Крыло обтекается сверхзвуковым потоком газа. Угол наклона поверхности относительно скорости набегающего потока а(х, у) предполагается малым. Введем следующие обозначения: добавочный потенциал ф(х, z) в плоскости крыла, р = >/м2 -1, где М — число Маха
в набегающем потоке, t = ^ Z , ще %
угол стреловидности по линии излома приведенная стрело-
(2¥
крыла, и = ”~
видность. Решение будем искать в виде суммы
Ф = Фі +Ф2»
ще фі — решение задачи об обтекании треугольного крыла со звуковыми кромками и углом атаки а = а!, а ф2 — решение задачи для крыла с углом атаки а = а2 при / < 1 и а = 0, при 1< / < и
(здесь ср,- = —, и„ — скорость набе-
Рис. 1. Общий вид треугольного крыла с изломом поверхности
гающего потока).
Как и принято в линейной теории, граничные условия задаются не на поверхности крыла, а в координатной плоскости у = 0.
Рассмотрим сначала отдельно задачу определения ф2 для внутренней части крыла (с дозвуковыми кромками при симметричном относительно оси у обтекании). Согласно [2], запишем
2
-^2. = —~.„Жггиг arch,
Я* п pV»2 -1 '
и2-/2
1-і2
(1)
Формула (1) справедлива при 0 < t < 1; п > 1;
дф2
дх
а2
71 р>/и2 -1
arch.
«2-1 It2-1
(2)
Формула (2) справедлива при 1 < Г < и; и > 1.
Расчет возмущений, определяемых потенциалом ф1; может быть проведен по формуле (1) при предельном переходе я = -> 1:
дФі
дх
2а 1
(3)
где
К-~-
По линейной теории, коэффициент давления ср связан с производной потенциала соотношением ср =
2. Вычисление подъемной силы и сопротивления крыла с изломом поверхности. В силу теоремы обратимости коэффициент подъемной силы треугольного крыла со сверхзвуковыми и звуковыми кромками равен [3]:
су = А//“(*’(4)
где 51 — площадь крыла.
В нашем случае этот интеграл
_4о1 402 ^ у ~ р р £ ’ ()
где 5^ — часть площади крыла, на которой а2 отлично от нуля.
Сопротивление крыла вычисляется путем интегрирования по площади крыла произведения коэффициента давления ср на местный угол атаки а(х, у).
Учитывая, что сверху и снизу крыла давление и угол атаки отличаются от соответствующих величин на верхней поверхности знаками, для коэффициента сопротивления имеем
где ср и а(х, у) вычислены на одной нижней (верхней) поверхности крыла.
Для суммы двух решений линейного уравнения
°Х =§ШСр1 +СР2^а1+ а2№ =^{1СР1а1^ +
s s
+ }НСР2а^ + §{{СР1а2‘/3 +41Ка2^-
(6)
В этой формуле первое слагаемое равно коэффициенту сопротивления крыла со звуковыми кромками и постоянным по крылу углом атаки о^. Как известно, в том числе и по теореме обратимости, это слагаемое
Второе слагаемое в формуле (6) сХ2 также может быть легко найдено с помощью теоремы обратимости. В силу теоремы обратимости
\\ср^ = |||а2(х, у)М = |а2^.
Тогда сХ2 • —^ага!.
Вычисление третьего слагаемого в формуле (6) сХз проводится по формуле (3) для крыла со звуковой кромкой:
\\сР1а2^ - 2<*г [—1^= = 4 а*а? агскш—.
{{ {тф^/П^ 218X1 яР^1 "
Получим для сХг соотношение
воной .1
с -------- ' агсвш—.
3 .ЗгсР^Х! л
Четвертое слагаемое в формуле (6) требует вычисления интеграла от распределения скорости в задаче с постоянным распределением а2 по части крыла с площадью ^ (формула (1)). Обозначив это слагаемое с*4, получим
<7)
8а? г . 1и2 - А
---/ == I ар
1Ял1п2 -1 £
После интегрирования (7) по частям
8а?
*х4 =--------------2
яр
О л/«2 —1(1 + /)7я2 - /2 Входящий в формулу (8) интеграл вычисляется подстановкой
(8)
С*4
а2 ( 1 Л
8— агсвш— + 1пя —^. яР ^ я ) £
При решении вариационной задачи будем определять минимум сопротивления при постоянной подъемной силе. Положим (формула (5))
Л _ **4 4а2 ^1 _ 4а0
су--р-+-уТ~~Т-
Здесь а0 есть угол атаки плоского треугольного крыла с той же подъемной силой, что и у оптимизируемого. Угол а0 задан в задаче и является фиксированным. Тогда
4<х0 8ао . 1 1 *$1
сх-—а1 + а2—-агсвш— + —-1пя—(10) Р яр я яр о
Находим минимум сопротивления при заданной подъемной силе, т. е. при заданном значении а0. Тогда по формуле (9) имеем
°4 = <х0-а2-^-.
Из условия минимума сопротивления
екх 4а0 ( .УЛ 8а0 . 1 _
—— = —У- —±-1 + —У-агсвш— +---------- — |1пи = О
йа р ^ .У) яр п яр V .У /
получаем выражение для угла а2: г
. я Я [Я} 2 . 1^ (л 1Ч
а2 = а0 ~7~гГ~!— агсмп- . (11)
4 ^ 1пи V Я п п)
Затем, подставляя выражения для 04 и а2 в формулу (10), получаем соотношение
К _ у 1
*—±----------------------------------------------------19 (12)
, яи Г~2 7( 2 .1 IV
1 - ——\и -1 — агсвт-----------------------
V я п п)
81пи
где К — качество оптимального крыла с изломом, а — значение качества плоского треугольного крыла.
3. Описание численного метода. Методика расчета основана на интегрировании уравнений движения для стационарного течения невязкого совершенного газа двухшаговым (предиктор — корректор) конечно-разностным методом Мак-Кормака. Уравнения Эйлера записывались в цилиндрической системе координат в консервативной форме, что позволило получать информацию о скачках уплотнения и других разрывах течения без специального их выделения.
При построении расчетной сетки применялся мношзонный подход. Рассчитываемая область течения разбивалась на две зоны, расположенные под и над крылом. Это позволило добиться равномерного распределения узлов сетки и таким образом значительно сократить время счета. В узлах расчетной сетки, лежащих на крыле, после расчета по основной схеме осуществлялся двумерный изоэнтропический поворот потока, в результате чего обеспечивалось выполнение условия непротекания. Для узлов, принадлежащих вертикальной плоскости симметрии, использовались известные принципы отражения. Более подробно методика расчета сверхзвуковых течений изложена в работе [4].
4. Результаты численного и аналитического методов исследования.
Перейдем теперь к сравнению результатов расчетов по линейной теории и численным методом решения уравнений Эйлера.
На рис. 2—4 приведены результаты расчетов соотношения К - К
— - ™ по (12) и угла отклонения 0 в зависимости от положения ли-
Ліш
нии излома поверхности. Здесь К — аэродинамическое качество крыла при оптимальном угле 0 для данного значения п, Кт — аэродинамическое качество плоского крыла (0 - 0) той же формы в плане с тем же значением коэффициента подъемной силы су, а 0 — угол отклонения
боковых частей консолей крыла относительно его центральной части. Расчеты проводились для значения коэффициента подъемной силы су =0,1.
Величина А'пд в линейной теории {кт дни) определяется как —,
’ а0
а в нелинейной постановке задачи значение Кт определяется числен-
Рис. 2. Величины аэродинамического качества К крыла с изломом и эквивалентной плоской пластинки Кш в зависимости от положения /'//
Рис. 3. Зависимость угла отклонения 0 боковых частей консолей крыла от положения линии излома /'// при числе М = 2
ю'
Лтёмая теория Чштыаричап
---1----1----1-----1----!----1—---Р
4? Щ1
Рис, 4. Зависимость угла отклонения 0 боковых частей консолей крыла от положения линии иало-, ма /'// при числе М = 4
н° (лГпл.нелин)- Отношение этих величин у п?:.лин^. = 1,047 при числе
\-*пл.нелии/
М=4 и значений су = 0,1. Численные расчеты выполнены при оптимальных в нелинейной постановке значениях 0. В линейной теории при малых а2 значение 0 определяется по формуле ^ =
= (м2 -1) ^-/10,2 (здесь а2 = а2/а0) и максимальное значение аэродинамического качества как функции параметра п достигается при п = (V \ Л
= 1,20215 I — = — = 0,832 . При этом максимальное приращение вели-п ;
чины аэродинамического качества за счет оптимизации формы поверхности крыла составляет 7,86% аэродинамического качества плоского крыла. Этот выигрыш не зависит от числа Мв или угла стреловидности крыла по передней кромке (поскольку рассматриваются лишь звуковые передние кромки крыла). Отношение а2/а0 (см. формулу (11)) также не зависит от параметров набегающего потока и угла стреловидности по передней кромке, а зависит лишь от их комбинации п. Однако значение угла 0 резко возрастает с ростом числа М при фиксированном значении с^. ,
Расчеты по нелинейной теории численным методом показывают, что величина максимального аэродинамического качества близка к результату линейной теории, но достигается при существенно отличных
* (т)
V ‘ /л
от I — значениях относительного положения линии излома Полин !
/' /' верхности оптимального крыла (у = 0,585 при М = 2 и — = 0,550 при
М = 4). При оптимальном в линейной постановке задачи значении
/' К - К
— -1,20215 величины углов 0 и отношения ————, рассчитанные по
I ^пл .
линейной теории и численным методом в нелинейной постановке, находятся в удовлетворительном соответствии. Напротив, в области максимума аэродинамического качества при точном решении задачи зна-
чения углов отклонения, особенно при М = 4, существенно отличаются
от данных линейной теории.
Следует отметать, что в точной постановке вблизи максимума
нейной теории может дать существенное отклонение в значении вели-
области ее максимума. Но эта небольшая неточность в форме поверхности приведет к существенной ошибке в значении качества К в нелинейном (точном) решении задачи. Поиск точного решения, таким образом, является оправданным. Линейная теория в точном решении задачи дает правильную форму крыла и пригодна для приближенного решения задачи оптимизации формы и качественного анализа.
В линейной теории для крыла со сверхзвуковыми (в том числе звуковыми) передними кромками вариационная задача при заданной подъемной силе рассматривалась в работах [5] и [6]. В работе [5] крыло имеет прямую заднюю кромку, перпендикулярную набегающему потоку. В работе [6] рассматривается крыло произвольной формы в классе крыльев со сверхзвуковыми кромками. Было отмечено, что в случае звуковой передней кромки сопротивление крыла с оптимизированной формой поверхности значительно отличается от сопротивления плоского крыла той же формы в плане. Но этот факт требует тщательной проверки, так как применимость линейной теории в этом случае вызывает сомнение [6].
выигрыш в качестве на величину 7,86% по сравнению с плоским крылом со звуковой передней кромкой вместо 12,5% максимально возможного его значения, рассчитанного в работе [6]. Выводы линейной теории относительно величины приращения качества при простейших деформациях находятся в удовлетворительном соответствии с расчетами по нелинейной теории при числах М ~ 2. Поэтому целесообразно проанализировать также результаты линейной теории для крыльев со стреловидными задними 1фомками, где, по данным линейной теории [6], максимальные выигрыши могут достигать 22%.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 96-01-00629).
1. Притуло М. Ф., Таковицкий С. А. Увеличение аэродинамического качества крыла путем простейших деформаций // Сб. трудов межд. конф. «Исследование гиперзвуховых течений и гиперзвуковых технологий».— 1994.
2. Puckett А. Е. Supersonic wave drag of thin airfoils // J. of Aeronautical Sciences.— 1946. Vol. 13, N 6.
мическое качество
К - К
качество —-——. Небольшая ошибка в расчетах К по ли-
*пл
чины у из-за достаточно пологого вида функции
Простейшая деформация поверхности треугольного крыла дала
ЛИТЕРАТУРА
3. Жилин Ю. Л. Подъемная: сила, действующая на тела, слабо возмущающие сверхзвуковой поток // Ученые записки ЦАГИ.— 1971. Т. 2, № 4.
4. Таковицкий С. А. Метод расчета сверхзвукового обтекания летательных аппаратов с использованием многозонных расчетных сеток // Труды ЦАГИ,- 1995. Вып. 2590.
5. Коган М. Н. О телах минимального сопротивления в сверхзвуковом потоке газа // Прикладная математика и механика.— 1957. Т. XXI, вып. 2.
6. Ж и л и н Ю. Л. Крылья минимального сопротивления // Прикладная математика и механика.— 1957. Т. XXI, вып. 2.
Рукопись поступила 14/П11995
