CC BY
17
УДК 622.143 Г.М. Редькин
ОПТИМИЗАЦИЯ ОБЪЕМА ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫХ РАБОТ
Семинар № 1
Разведку месторождений полезных ископаемых проводят для выявления запасов минерального сырья и для оценок геологических, технических и экономических параметров, обуславливающих рентабельность разработки.
В целях снижения риска экономических потерь при введении месторождения в эксплуатацию эти оценки надо знать достаточно точно. Дисперсия оценок выступает в качестве объективной меры необходимой информации, которая стоит дорого. Т.к. на проходку разведочных горных выработок, скважин, шпуров расходуется существенная доля капиталовложений.
Рассмотрим два крайних гипотетических варианта - нулевые затраты на разведку и максимальный риск экономических потерь при отработке месторождения и нулевой риск при бесконечных затратах на разведку. Между этими вариантами существует решение, отвечающее оптимальному соотношению между затратами на разведку и риском экономических потерь. Ниже найдем это решение, определяющее оптимальный объем разведочных работ.
Планируемый экономический результат будущей эксплуатации месторождения представим в виде
а =
где t - время; п - лаг капитальных вложений; т - лаг отдачи; N - срок эксплуатации рудника; ц - размер годовой добычи; с - среднее содержание полезного компонента; р (ц) -удельные затраты на эксплуатацию за год; Ц (с) - стоимость металла, извлекаемого из тонны руды с содержанием с ; к (ц) - удельные капитальные вложения; 1 = 1п (1 + Е) - логарифм
основания коэффициента приведения, где Е - норматив приведения.
Положим в равенство (1) 1 = 0 , проинтегрируем его и получим более простую формулу для неприведенной прибыли
а =
где
[Ц (с)- р (ц)] Д (с)- К (ц), (2)
Д (с ) = цN , К (ц) = к (ц) п
(3)
- соответственно запасы руды и капиталовложения.
Удельные затраты за год р (ц) и
капиталовложения К (ц) аппроксимируют в приложениях соответственно функциями [1]
'■ = Я Ц (с)- р (ц)] це
(4)
- | к (ц)е,
-(п-т)
(1) К (ц ) = со + с1ц .
(5)
и
Следовательно, на основе равенств (2) - (5) ожидаемый экономический баланс будущей разработки месторождения можно представить выражением
а = (Ц - а0 )Д - Со - С1ц -
а1 Д
(6)
V = тах Э- МЭ , ц
(8)
тах
ц
Э (цтах ) = (Ц - а0 ) Д - С0 - 2л/31С1Д
(9)
принимает при размере годовой добычи
цтах
а1 Д
(10)
Э ”(ц ) =-2с, 1-^-
У4тах) ^ ^ Д
Таким образом, на основе равенств (8)-(12) получим выражение экономических потерь в зависимости от дисперсии размеров годовой добычи
Оптимальный объем разведочных работ будем определять из условия минимума суммы экономических потерь V и затрат на разведку Н , т.е.
V + Н ^ т1п (7)
Экономические потери или ущерб от погрешности (дисперсии) работы предприятия в оптимальном режиме определим в соответствии с разработкой [2]
V = с
а1 Д
Оц ,
(13)
который равен разности между максимальным значением экономического результата и его математическим ожиданием в окрестности точки максимума.
Исследование функции (6) на экстремум приводит к следующему результату. Экономический баланс (6) свое максимальное значение
где годовая добыча ц связана равенством (10) с запасами руды на месторождении.
Можно показать, что для любой дважды дифференцируемой функции ф( х) от случайной величины х справедлива формула
ОФ (х) = [Ф' (Мх)]2 Ох + 2[Ф" (Мх) Ох]2.
(14)
Применяя формулу (14) к равенству (10), найдем выражение дисперсии годовой добычи Оц через дисперсию запасов руды на месторождении
Оц =
4с1 Д
1+I ОД.
(15)
которая является точкой максимума баланса (6).
Из работы [2] также следует, что
МЭ = Э (цтах )+ 2 Э"(цтах ) Оц , (11)
где значения дисперсии Оц определяются объемом разведочных работ, а
8с1 Д2
Подставим равенство (15) в формулу (13) и получим выражение экономических потерь через дисперсию запасов руды на месторождении
V = — (1 + ^^^^ОД . (16)
4 Д ( 8 Д Л Д
В геостатистике доказывается [1], что если месторождение разбурено по сети с прямоугольными ячейками при отношении между сторонами ячейки, равном отношению основных размеров месторождения, то относительная дисперсия тоннажа руды определяется выражением
ОД 0,276 А
Д2 = ,32 +
п'
с
1
с
где п - число скважин; А - величина несколько меньшая, чем относительная дисперсия мощности залежи и ее можно рассматривать как постоянную.
Учитывая, что затраты на разведку равны
Н = Сп , (18)
где С - стоимость бурения одной скважины; а также равенства (16), (17) представим минимизируемый критерий (7) в виде
У + И =
4
п
(0.276 АЛ —+ —
V пЗ2 п
, (19)
который позволяет определить оптимальное количество скважин п.
В качестве иллюстрации разработанной методики определения оптимального объема разведочных работ рассмотрим пример [1] африканского железорудного месторождения, которое характеризуется параметрами:
Д = 1 млрд. т, а1 = 3 • 106 , с1 = 10 , А = 0,1, С = 2000 долларов.
При данных значениях параметров критерий (19) минимизируется п = 58 скважинами.
1. Матерон Ж. Основы прикладной геостатистики. - М.: Мир, 1968. -407 с.
2. Мининг С.Э., Редькин Г. М. Влияние точности определения параметров на
------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
эффективность оптимизации горного производства. - В кн.: Геометризация месторождений полезных ископаемых. - М.: Недра, 1977, с.196-213.
— Коротко об авторах------------------------------------------------------
Редькин Г.М. - кандидат технических наук, доцент, зам. заведующего кафедрой прикладной математики, Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова.
