Научная статья на тему 'Оптимизация методов фигурного раскроя листового материала. Аппроксимация методом касательных'

Оптимизация методов фигурного раскроя листового материала. Аппроксимация методом касательных Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
377
69
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
АЛГОРИТМ / ВНЕШНЯЯ АППРОКСИМАЦИЯ / ДВУМЕРНАЯ ФИГУРА / КАРТА РАСКРОЯ / ОПТИМИЗАЦИЯ МЕТОДОВ РАСКРОЯУПАКОВКИ / ALGORITHM / EXTERNAL APPROXIMATION / TWODIMENSIONAL SHAPE / NESTING / OPTIMIZATION OF NESTING METHODS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гуров Павел Владимирович

Оптимизация методов раскрояупаковки листового материала сводится к решению задачи внешней аппроксимации двумерных фигур. Рассмотрен метод прямоугольной аппроксимации, показаны его достоинства и недостатки. Предложен новый алгоритм внешней аппроксимации двумерных фигур методом касательных. Использование данного метода в программном продукте EC DuctMaker компании EastCoast (http://www.eccadcam.com) позволило значительно повысить качество карт раскроя.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Optimization of shaped cutting methods. Approximation method of tangent

Optimization of methods for pattern cutting is reduced to solving the problem of external approximation of twodimensional shapes. The paper describes an approximation of rectangles, its advantages and disadvantages. This paper presents a new efficient algorithm for external approximation of twodimensional shapes using tangents. The proposed method is used in software product EC DuctMaker company EastCoast (http://www.eccadcam.com). This will increase the quality of nesting.

Текст научной работы на тему «Оптимизация методов фигурного раскроя листового материала. Аппроксимация методом касательных»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22)2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 004.021 + 658.52.011.56 ОПТИМИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ФИГУРНОГО РАСКРОЯ ЛИСТОВОГО МАТЕРИАЛА. АППРОКСИМАЦИЯ МЕТОДОМ КАСАТЕЛЬНЫХ

© П. В. ГУРОВ

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра вычислительных систем и моделирования e-mail: gurovpv@gmail.com

Гуров П. В. - Оптимизация методов фигурного раскроя листового материала. Аппроксимация методом касательных // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 139-144. - Оптимизация методов раскроя-упаковки листового материала сводится к решению задачи внешней аппроксимации двумерных фигур. Рассмотрен метод прямоугольной аппроксимации, показаны его достоинства и недостатки. Предложен новый алгоритм внешней аппроксимации двумерных фигур методом касательных. Использование данного метода в программном продукте EC DuctMaker компании EastCoast (http://www.eccadcam.com) позволило значительно повысить качество карт раскроя.

Ключевые слова: алгоритм, внешняя аппроксимация, двумерная фигура, карта раскроя, оптимизация методов раскроя-упаковки.

Gurov P. V. - Optimization of shaped cutting methods. Approximation method of tangent // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 139-144. - Optimization of methods for pattern cutting is reduced to solving the problem of external approximation of two-dimensional shapes. The paper describes an approximation of rectangles, its advantages and disadvantages. This paper presents a new efficient algorithm for external approximation of twodimensional shapes using tangents. The proposed method is used in software product EC DuctMaker company EastCoast (http://www.eccadcam.com). This will increase the quality of nesting.

Keywords: algorithm, external approximation, two-dimensional shape, nesting, optimization of nesting methods.

Задача раскроя-упаковки

Задача автоматического построения оптимальных карт раскроя имеет большое прикладное значение, а также представляет значительный интерес с научной точки зрения. Практическая ценность решения этой проблемы обусловлена постоянной потребностью сократить временные затраты и количество отходов при раскрое листового материала, что важно для снижения издержек в таких отраслях промышленности, как машиностроение, металлообработка, текстильное производство, и др. В изучении задачи оптимального размещения двумерных фигур можно выделить два тесно связанных друг с другом направления. Первое можно определить как создание и развитие формального математического аппарата и построение единых подходов к решению данного класса задач. Второе направление заключается в разработке оптимизационных методов для построения карт раскроя и подготовки данных, минимизирующих алгоритмическую и временную сложность методов размещения фигур на плоскости. Существует ряд фундаментальных работ, посвященных задаче раскроя-упаковки, в которых для решения этой задачи используются методы линейного программирования [4], разработаны детерминированные алгоритмы «перестройки» упаковки, методы динамического перебора. Данные алгоритмы имеют различную трудоемкость, которая может быстро расти с увеличением размерности задачи [2], и, тем не менее, не гарантируют нахождение глобального оптимума. Часто для уменьшения размерности задачи прибегают к аппроксимации сложных фигур прямоугольными объектами, что является очень грубым приближением. Но, несмотря на это, программы автома-

тического раскроя прямоугольников широко применяются на практике для размещения как прямоугольников, так и аппроксимированных фигур.

Оптимальное размещение объектов произвольной формы является значительно более сложной и востребованной задачей [3]. Очень часто ее решение разбивают на две составляющие. Первая из них - это построение карт раскроя с использованием определенных эвристических моделей. Входными параметрами такой задачи служат заданная последовательность размещения деталей и их ориентации. Вторая составляющая - оптимизационная, она заключается в аппроксимации фигур более простыми многоугольниками, обеспечивающей минимальные затраты алгоритмов размещения и достаточную эффективность карт раскроя.

Аппроксимация фигур

Фигурой будем называть множество точек на плоскости, образующих замкнутую ломаную без самопересечений.

Аппроксимацией фигуры будем называть построение многоугольника около заданного таким образом, чтобы они не пересекались.

Основными проблемами методов аппроксимации являются либо недостаточная точность приближения, либо сложность полученного многоугольника. Т.е. необходимо искать некоторый баланс между этими критериями.

Помимо этого не мало важным критерием является длина отрезков в полученном аппроксимированном многоугольнике, поскольку на практике большинство алгоритмов размещения чувствительны к малым смещениям.

«Внешняя» аппроксимация методом касательных

Аппроксимация фигур методом касательных заключается в разбиении исходного многоугольника на выпуклые и вогнутые участки, аппроксимация которых происходит отдельными методами.

Таким образом, аппроксимация фигуры состоит из 4 этапов:

1. Определение выпуклых и вогнутых участков,

2. Аппроксимация вогнутых участков,

3. Аппроксимация выпуклых участков,

4. Соединение аппроксимированных частей.

Рисунок 1. Двумерная фигура

Двумерная фигура, с математической точки зрения, представляет собой набор точек Р (х, у) в прямоугольной декартовой системе координат (ПДСК), соединенных отрезками. Для разделения фигуры на выпуклые и вогнутые участки воспользуемся формулой определения ориентированной площади треугольника [1]:

*1 Уі

1

*2 У2 1 *3 Уз 1

= ( *1 - *3 )(У2 - Уз ) + ( *2 - *3 )(Уз - У1) ,

(1)

где (х1, у1), (х2, у2), (х3, у3) - точки треугольника, расположенные в порядке их следования в составе ломаной, образующей фигуру (рис. 2).

Величина определителя (1) есть «знаковая» площадь треугольника. Выделим 3 случая:

1) = 0 - точки расположены на 1 линии, поэтому имеет смысл удалить из состава фигуры вторую точку исследуемого треугольника;

2) SД> 0 - точки треугольника образуют вогнутую часть ломаной;

3) SД < 0 - точки треугольника образуют выпуклую часть ломаной.

Таким образом, для всех троек точек фигуры определяется величина «знаковой» площади треугольника, который они образуют:

X у 1

^ = Х+1 У+1 1 = (X - Х+2) (У+1 -У+2) + (Х+1 - Х+2) (У+2 - у) (2)

Х+2 У1+2 1

Точка р (х,у1) - точка перегиба (точки перегиба выделены на рис. 3), если выполняется условие

(3)

Для вогнутых участков используется метод, исключающий точки по заданному критерию (например, отношение площадей исследуемого многоугольника А и вогнутого участка В, рис. 4).

Рисунок 4. Аппроксимация вогнутой части многоугольника

Вычисление площади многоугольника производится по следующей формуле [1]:

1 п

S = т Ё X (У-1- У+1),

2 /=1

где (xn+l, Уп+1 ) = ( ^ У1).

(4)

Пользуясь отношением

(5)

где е - мера точности аппроксимации, можно упростить исходную вогнутую ломаную.

Аппроксимированная ломаная будет состоять из некоторых точек вогнутой части фигуры, где количество точек будет меньше или равно исходному количеству точек в зависимости от параметра е , который подбирается опытным путем.

Для выпуклых участков исключение близко расположенных точек возможно только добавлением новых, расположенных на продолжении исследуемого отрезка выпуклой части многоугольника (рис. 6).

Сложность аппроксимации выпуклых частей многоугольника в поставленной задаче заключается в построении новых точек, таких чтобы результирующая аппроксимированная ломаная не пересекала исходный контур

и, следовательно, площадь, ограниченная новой ломаной, должна быть больше или равна площади, ограниченной исходным набором точек.

Новую точку можно определить как пересечение двух прямых [1], построенных на парах точек исходного контура.

Рисунок 5. Аппроксимированная ломаная вогнутой части фигуры

/

Рисунок 6. Аппроксимация выпуклой части многоугольника

Іі: ах + Ь у + с = 0,

І.: а х + Ь у + с. = 0

J J ^ J

где J >i, ак = у+1 -У, К = Х -Х+1, ск = УЛ+1 -хкУк+1.

(6)

где (х, у) координаты точки пересечения линий 11 и Л.

Критерием подбора новой точки может служить также отношение площадей многоугольников А и В, однако, условие (5) для выпуклой части многоугольника будет неверным, поскольку приведет к выбору исходных

точек ломаной. В данном случае условие (5) необходимо изменить

с

0 <-^ <е (7)

С,

Условие (7) удобно использовать, если заранее известно, что выпуклые части фигуры имеют «плавные» очертания, иными словами, набор точек возможно описать гладкой функцией.

В случае если выпуклая часть фигуры имеет точки, которые можно считать «переломными» («переломные» точки выделены на рис. 7), т.е. точки, которые необходимо включить в результирующую ломаную, применять критерий (7) нецелесообразно.

Рисунок 7. «Переломные» точки выпуклой части фигуры

Для того чтобы учесть «переломные» точки, а также корректно и с достаточной точностью построить аппроксимирующую внешнюю ломаную, нужно использовать более сложные функции, включающие угол между образовавшимися векторами и удаленность новой точки от исходного полигона, что позволит точнее реагировать на характер ломаной.

Таким образом, можно записать целевую функцию:

1) как набор условий

^^ <^ ^=( х, у)(у+1 у а = (х, yj)(х+1, yj+1),

< _ ________________________„ (8)

\ах\ < й, ах =( х,■+1, У+1 )(X У)

где со - максимальный угол между векторами (для определения «переломных» точек), й - максимальное расстояние до новой точки.

2) Как минимаксную функцию

F = а[в( а,- a^j ))®в(?(| а\ )) (9)

где в и ф - функции, а и в - коэффициенты.

Целевая функция подбирается исходя из условий задачи и типа фигур.

После того как для выпуклых и вогнутых частей фигуры построены аппроксимирующие ломаные, их необходимо соединить. Так как, оба типа аппроксимации (выпуклой и вогнутой частей) предполагают наличие в

результирующих ломаных точек перегиба, соединение частей не вызывает трудностей.

Построение ломаной около заданного многоугольника методом касательных зависит от параметров и функций, которые будут определяться в контексте поставленной задачи, в зависимости от требуемой достаточной точности аппроксимации.

Достаточную точность аппроксимации можно определить как отношение площадей исходного полигона и результирующего контура (10) или как допустимый прирост площади (11).

Рисунок 8. Результат внешней аппроксимации методом касательных

1 (10)

5'-5 <#д (11)

Данный метод позволяет достичь высокой точности аппроксимации и достаточной простоты полученного многоугольника. Алгоритм «внешней» аппроксимация фигур методом касательных реализован автором в подсистеме построения оптимальных карт раскроя в программном продукте ЕС DuctMakeг компании EastCoast (http://www.eccadcam.com).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Погорелов А. В. Аналитическая геометрия. Уфа: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005.

2. Мухачева А.С., Валеева А.Ф., Картак В.М. Задачи двумерной упаковки в контейнеры: новые подходы к разработке

методов локального поиска оптимума. М.: МАИ, 2004.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3. Фроловский В. Д. Оптимальное группирование геометрических объектов при проектировании карт раскроя материалов// Программные продукты и системы. 2000. № 3.

4. Канторович Л. В., Залгаллер В. А. Рациональный раскрой промышленных материалов. Новосибирск: Наука, 1971.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.