Научная статья на тему 'Оптимизация месторасположения и диаметров крепежа из условия максимальной статической прочности стыкового узла'

Оптимизация месторасположения и диаметров крепежа из условия максимальной статической прочности стыкового узла Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
96
32
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Ученые записки ЦАГИ
ВАК
Область наук

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Лагутин В. Г., Марков В. Г.

В качестве стыкового узла рассмотрен консольный кронштейн, передающий сосредоточенную силу на группу крепежных элементов. Исследуется задача поиска наивыгоднейшего месторасположения и оптимальных диаметров крепежных элементов, обеспечивающих максимизацию статической прочности стыкового узла. При этом минимизируется потенциальная энергия сдвига, накапливаемая в крепеже при изопериметри-ческом условии постоянства суммарной площади поперечного сечения крепежных элементов. Для определения усилий, воспринимаемых крепежными элементами, используется приближенный метод В. Г. Шухова. Иллюстрируются закономерности наивыгоднейшего расположения крепежа, которые можно использовать при проектировании рациональных стыковых узлов. Предложен алгоритм оптимизации и доказана его сходимость.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Оптимизация месторасположения и диаметров крепежа из условия максимальной статической прочности стыкового узла»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVII 1986

№ 4

УДК 692.7.015.4.023.8

ОПТИМИЗАЦИЯ МЕСТОРАСПОЛОЖЕНИЯ И ДИАМЕТРОВ КРЕПЕЖА ИЗ УСЛОВИЯ МАКСИМАЛЬНОЙ СТАТИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ СТЫКОВОГО УЗЛА

В. Г. Лагутин, р. Г. Марков

В качестве стыкового узла рассмотрен консольный кронштейн, передающий сосредоточенную силу на группу крепежных элементов. Исследуется задача поиска наивыгоднейшего месторасположения и оптимальных диаметров крепежных элементов, обеспечивающих максимизацию статической прочности стыкового узла. При этом минимизируется потенциальная энергия сдвига, накапливаемая в крепеже при изопериметри-ческом условии постоянства суммарной площади поперечного сечения крепежных элементов. Для определения усилий, воспринимаемых крепежными элементами, используется приближенный метод В. Г. Шухова. Иллюстрируются закономерности наивыгоднейшего расположения крепежа, которые можно использовать при проектировании рациональных стыковых узлов. Предложен алгоритм оптимизации и доказана его сходимость.

Членение авиационной конструкции на конструктивные элементы во многом обусловлено технологическими соображениями, подразумевающими простоту изготовления конструктивных элементов и удобство их сборки. Перестыковка элементов в авиационных конструкциях осуществляется посредством крепежных элементов (заклепок). Возникает задача поиска наиболее выгодного месторасположения крепежных элементов с одновременным нахождением их диаметров, при котором стыковой узел будет обладать максимальной статической прочностью. Изучим решение поставленной задачи на примере консольного кронштейна.

1. Оптимизация месторасположения и диаметров крепежных элементов в стыковом узле из условия максимальной статической прочности.

Рассмотрим кронштейн 1 (рис. 1), передающий на элемент конструкции 2 через п заклепок статическую нагрузку. Материал кронштейна 1, конструкции 2 и заклепок одинаков (например, алюминиевый сплав). Ограничимся изучением таких кронштейнов, прочность которых определяется прочностью заклепок на срез.

Ответим на вопрос: при каких значениях поперечных сечений каждой йй заклепки (1=1, 2, 3,..., п) потенциальная энергия сдвига, накапливаемая в крепеже, будет наименьшей при условии, что суммарная площадь поперечного сечения элементов Т7 остается постоянной? Напомним, что минимизация энергии деформации [1] при фиксированном объеме силового материала приводит к выравниванию удельной потенциальной энергии в элементах конструкции, а в рассматриваемом случае приводит к равнонапряженному (по срезу) крепежу, обладающему наибольшей статической прочностью. На каждый крепежный элемент с радиусом г% г действует на А'-н итерации сила

О после оптимизации, одеспечибаюицй наибольшую статическую прочность крепема

Рис. 1

Ры ;, которую, следуя приближенному методу В. Г. Шухова ([2, 3]), можно определить следующим образом:

PN, і ~ ]/"(P/V, і)2 + (Pn. і')2 + N. і і cos a/V, І>

PN, і —

Pft

/V, і

=P _ PeJV?N, ifN, і

N, і •

где aN< г — угол,

г=і

образованный

2/*. /

/ Рл, і

г=і

на N-й итерации радиус-вектором р^ г и осью х (руу ; соединяет начало координат ху с центром г'-ro элемента); eN — эксцентриситет места приложения силы Я относительно начала координат х^'^\ y(N (точка 0N), которое располагается в центре тяжести площадей fN t, вычисленных на N-й итерации.

Координаты л:^‘т), у$' т' точки Оы относительно произвольных осей х, у (ось у расположена параллельно линии действия силы Р) определяются из соотношений:

*frT)-=

/=1

УУлГ. і

1=1

v(“- Т) .

Уы

Ха <•

1=1

2/л

/=1

(2)

Метод В. Г. Шухова не учитывает следующие факторы:

1) упругость кронштейна 1 и ответного элемента конструкции 2 (т. е. склепываемые листы предполагаются абсолютно жесткими);

2) смятие материала в заклепочных отверстиях.

В методе В. Г. Шухова предполагается также, что касательные напряжения тдг г, обусловленные действием силы Ры% распределены равномерно по площади /Н' і (здесь и далее везде индекс N указывает на принадлежность к Ы-й итерации)

-.V, г"

N. і'

і

(3)

Известно [2—4], что при разрушающих нагрузках неравномерность в распределении усилий по «крайним» крепежным элементам, обусловленная упругостью крепежа и склепываемых листов и не учитываемая методом В. Г. Шухова, быстро падает и все заклепки разрушаются при одновременном срезе (т. е. происходит выравнивание разрушающих напряжений среза). Поэтому использование метода В. Г. Шухова для рассматриваемой задачи максимизации статической прочности стыкового узла, воспринимающего предельные нагрузки, является правомерным, в отличие от задачи максимизации усталостной прочности, где для определения усилий на крепеж необходимо использовать более точные методы, учитывающие податливости склепываемых листов [6].

Введем вспомогательное напряженное состояние т ^ дг+1 г, определяемое при усилиях Л/-й итерации (, радиусах подлежащих отысканию на (А'+1)-й

итерации:

Рк

N + 1. I

N. I

I

(4)

Выделим в каждом І-м элементе слой единичной толщины 6=1, который располагается между сопрягаемыми плоскостями кронштейна 1 и конструкции 2. Энергия деформации ^N,N+-1,1 вспомогательного напряженного состояния для каждого такого і-го слоя будет равна:

= 2 (1+ [а) т?.........AN. і

^ЛГ+1. I

ГГ — * Vі -г N -.2 г\2 . _ “И. і /сч

'-'N,N + 1.1--------------------------------------------------------------------------------Кр- ZN, N+1, iж°N + ^, і Ь-Го- ’

О + I1) Р% I ® „

где I = --------------11—; В ~ модуль упругости, одинаковый для всех закле-

* Ни

пок; {а — коэффициент Пуассона.

Определим такие значения -ь, при которых суммарная энергия дефор-

я .. /■

мации ^ г минимальна при изопериметрическом условии постоянства

<=1 . суммарной площади ^ поперечного сечения всех крепежных элементов:

А

N. і

— тіп, (6)

: ■ ГЇІ ^N-1,

если '

п

2

І= 1

Решейие поставленной задачи итерационной мйнимизации (6). при изопериметрическом условии (7) получим методом Лагранжа:

и».~—Vя- <8>

1

\ 1 = 1

Убедимся, что решение (8) приводит к уменьшению энергии деформации (ЛА+ 1)-й итерации

1 = 1 * = 1 кЛ?+1, <

по сравнению с энергией деформации ЛГ-й итерации

( 1 + и.) Р м , В

где Ам і =-—— — .силовой* фактор, определяемый при силах Ри ■,

* Еъ > у

приходящихся на каждый і-й крепежный элемент на Ы-й итерации;

(1 + (а) Р%< і_ і 8

Ду+1 ;=----------—-----------.силовой* фактор, определяемый при силах Рд>+1і/,

приходящихся на каждый г-й крепежный элемент на (к +- 1)-й итераций.

Покажем, что имеют место следующие соотношения:

1 = 1 і=1

<=1 1=1

п V ^■N.1 п > V - і

( = 1 4, і і-і р2

п • X І=1 Ац, 1 п ^ЛЧ-М

р2 і=і р2 'МУ+І, і

(10)

(11)

Подставляя значения ^лч-м из (®) в пРавУю часть (10), получим:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

"2)

«=1 *N,1 \г=1 I

Учитывая, что в (12) /Г= /> имеем:

»=1

ч< = 1 I / \1= 1 1 \1-1

Вводя в (13) обозначения а; = г, получим неравенство

г

Коши (14), доказывающее справедливость неравенства (10):

п п С п \ 2

2аг*г • {14)

г=і г=і \г=і

Неравенство (11) имеет место всегда согласно началу наименьшей работы [6]: «Из всех напряженных состояний тела, статически соответствующих заданной внешней нагрузке тела, условиям сплошности удовлетворяет то единственное, которое обращает потенциальную энергию деформации в относительный минимум».

п

Напомним, что при вычислении энергии деформации ^6^

____ ЛГ+1, і

/= 1

п я

г> А и і

V’ V ;

= 2^ — вспомогательного напряженного состояния „использовались зна-

1 = 1 ^N+1,1

чения Яц+1 принадлежащие (Ы + 1)-й итерации, и значения силовых факторов 8—1048 101

Аы I для А^-й итерации, что не обеспечивает совместности деформаций сдвига крепежных элементов. Поскольку неравенства (10), (11) выполняются, то справедливо и неравенство (9), доказывающее сходимость по энергии деформации рассматриваемого алгоритма.

Располагая центры крепежных элементов в узлах достаточной частой прямоугольной сетки, можно наблюдать после применения рассматриваемого алгоритма вырождение одних — «неудачно» расположенных элементов, и увеличение поперечных сечений других — «удачно» расположенных крепежных элементов. Таким образом, задачу минимизации энергии деформации, накапливаемой в заклепках, можно решать с помощью оптимального расположения центров крепежных элементов одновременно с определением их оптимальных диаметров.

2. Численные примеры оптимизации. Рассмотренный алгоритм применялся для оптимизации крепежа консольного кронштейна 1 (см. рис. 1), который в исходном варианте был закреплен на конструкции 2 81-й заклепкой радиусом 1 мм. Центры 81-й заклепки располагались в узлах прямоугольной сетки, состоящей из ячеек размером 10x10 мм (см. рис. 1). После итерационной оптимизации по предложенному алгоритму (8) (время решения задачи на ЭВМ БЭСМ-6 20 с) оказалось, что наиболее выгодным, с точки зрения максимума статической прочности крепежа, является расположение 4-х попарно одинаковых заклепок с радиусами ^ «2,012 мм и Лг*® «6,037 мм в «углах» прямоугольной сетки, аппроксимирующей допустимую область месторасположения центров заклепок. Легко убедиться, что полученное после оптимизации конструктивное решение действительно является равнопрочным по срезу заклепок.

Если крепежные элементы могут располагаться в узлах прямоугольной сетки, изображенной на рис. 2, то оптимальным, с точки зрения максимума статической прочности крепежа, является также расположение четырех крепежных элементов в «углах» допустимой области. При этом оптимальные значения радиусов крепежа следующие: /?з«2,84 мм; #4»1,89 мм (два крепежных элемента имеют одинаковый радиус); ^5 = 8,112 мм. Идентичные результаты были получены и при решении двух вышерассмотренных примеров оптимизации методом локальных вариаций [7] (время решения задачи на ЭВМ БЭСМ-6 2 мин 30 с).

В третьем примере (рис. 3) консольный кронштейн в исходном варианте был закреплен пятью заклепками радиусом 1 мм. После оптимизации по алгоритму (8) «казалось, что максимальная статическая прочность крепежа будет обеспечиваться

при следующих размерах радиусов заклепок: /?0 = 1^1,5, #7 = 1^3,5. Радиусы остальных трех заклепок выродились в нуль.

О после оптимизации, обеспечиеатщеи наабшшр» статическую прочность крепежа

Рис. 2

Рассмотренный алгоритм целесообразно использовать при проектировании кронштейнов для поиска зон, в которых невыгодно располагать крепежные элементы. В приведенных примерах видна тенденция к установке наиболее мощного крепежного элемента в той допустимой области, которая наиболее близко расположена к месту приложения силы.

В заключение авторы признательны В. М. Фролову, А. А. Белоусу за полезные замечания и обсуждение работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Прагер В. Основы оптимального проектирования конструкций. — М.: Мир, 1977.

2. Астахов М. Ф., Караваев А. В., Макаров С. Я.,' С у з-дальцев Я. Я. Справочная книга по расчету самолета на прочность. —

М.: Оборонгиз, 1954.

3. Уманский А. А., Вольмир А. С., Коданев А. И. Курс сопротивления материалов. Часть I, — Издание ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 1954.

4. Фомин Н. К расчету заклепочных соединений. — Труды ЦАГИ,

1935, вып. 205.

5. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов.— М.: Наука, 1983.

6. Папкович П. Ф. Теория упругости. — Л.—М.: Оборонгиз, 1939.

7. Мои се ев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. — М.: Наука, 1978.

Рукопись поступила 12/111 1985 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.