CC BY
47
НАУЧНЫЕ СТАТЬИ И ДОКЛАДЫ раздел МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 519.711
ОПТИМИЗАЦИЯ КАТАЛИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА.
Валиева Ю.А., Мустафина С.А., Спивак С.И.*
На основе принципа максимума Понтрягина решена задача теоретической оптимизации реакции олигомеризации а-метилстирола в присутствии цеолитного катализатора. Получен оптимальный температурный режим проведения химического процесса. Вычислен заданный критерий оптимальности.
При разработке любых химико-технологических процессов всегда приходится сталкиваться с задачей выбора оптимального варианта из множества допустимых. Это связано с тем, что реальные химические и физические процессы, как правило, являются управляемыми, то есть характер их протекания может быть изменен под воздействием влияющих на него факторов. При этом возникает проблема поиска наилучшего по некоторому критерию оптимального управления.
Прежде чем приступать к созданию химического реактора с оптимальными конструктивными и режимными параметрами для рассматриваемого процесса, необходимо провести теоретический этап оптимизации для выяснения экстремальных свойств химического превращения. Определение теоретического оптимального режима проведения реакции осуществляется на основе кинетической модели.
Применение классических методов математического анализа и вариационных методов исчисления для решения задач теоретической оптимизации наталкивалось на значительные затруднения, связанные в реальных задачах с наличием ограничений на фазовые и управляемые переменные. Принцип максимума Понтрягина позволяет распространить вариационные методы на оптимизационные задачи для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, при произвольных ограничениях на значения управлений, а также при некоторых видах ограничений на фазовые координаты. На его основе можно создать не только общие вычислительные схемы, но и выявить в ряде случаев общий характер управляющих функций.
Рассмотрим теоретический этап оптимизации на примере кинетической модели реакции олигомеризации а -метилстирола в присутствии цеолитного катализатора.
Продукты реакции (линейные и циклические димеры) находят практическое применение в качестве пластификаторов, модификаторов полимеров, каучуков, в производстве синтетических масел и др.
Введем следующие обозначения:
X]— а -метилстирол, х2-4-метил-2,4 дифенилпентен-1 (а -димер), х5-4-метил-2,4 дифенилпентен-2 (Р -димер), х4-1,1,3-триметил-3-фенилиндан (циклический димер), х5-тримеры.
Согласно закону действующих масс, кинетические уравнения, соответствующие схеме химических превращений, для реакции олигомеризации а -метилстирола можно выразить уравнениями:
2х1 о х2, м1 = к1*12 - к10 -*2 >
2х1 о х3, 2х1 ^ х4, х2 о х3, м2 = к2^12 - к11-*3 > м3 = кз *12 > м4 = к4*2 - к12*3,
х2 ^ х4, м5 = к5 х2 >
х3 ^ х4, = к; *3,
х1 + х2 ^ х5, ^7 = к7 Х1Х2,
х1 + х3 ^ х5, м8 = к8 ^1^3 >
х1 + х4 ^ х5, ^9 = к9 Х1Х4,
где - скорость у стадии (м3 • кг 1кси • ч 1)), ]=1..9 ; х, - концентрации I компонента (мольная доля),
1=1.. 5; к8 — константы скорости стадии (м3 • кг 1 ка • ч 1)), 8=1..12, зависящая от температуры Т по уравнению Аррениуса:
Валиева Юлия Ахнафовна - аспирант 3 года обучения кафедры математического моделирования БашГУ Мустафина Светлана Анатольевна - к. ф.-м. н., доцент кафедры математического моделирования БашГУ Спивак Семен Израилевич - д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой матем. моделирования БашГУ
к, (Г) = к? в ,
к® - предэкспоненциальный множитель, Е, - энергия активации реакций (кал ■ моль 1), Я -
—1 тг— 1
универсальная газовая постоянная (кал ■ моль ■ К ).
При разработке математического описания процесса учитывается изменение числа молей N (реакционного объема) в ходе протекания химических реакций.
Уравнения материального баланса реакции олигомеризации а -метилстирола в присутствии цеолитного катализатора имеют вид:
^, і = 1..5; (1)
&
С 9
= — ТУц^і , І = 1-5
1 Т/ і—! V 1 ’ ур і=1
с начальными условиями і = 0: хі = X0, і = 1..5, где Ск - вес катализатора, Ур - объем реактора,
V у - стехиометрические коэффициенты.
Систему уравнений (1) замыкает условие нормировки по компонентам жидкой фазы:
5
Т хі = 1- (2)
і=1
Преобразовав систему (1) с учетом (2), получим систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений:
dxi F — X-Fn
—- = —-------------------—, і = l..5,
dt N
dN G A v5
(3)
V,,
dt Vp% 4
с начальными условиями t = 0 8 Xj = , N = 1. (4)
Таким образом, система дифференциальных уравнений (3) с начальными условиями (4) является математическим описанием реакции олигомеризации а -метилстирола в присутствии цеолитного катализатора. Фазовыми переменными являются переменные xj, N (концентрации веществ, относительное изменение числа молей), в то время как температура Т является управляющей переменной, значение которой можно изменять по ходу реакции.
Ставится задача теоретической оптимизации каталитического процесса. Определить оптимальный температурный режим, при котором выбранный критерий оптимальности достигает экстремальное значение. При этом, в зависимости от постановки задач, критерий может иметь следующий вид:
1. R = t('к7 — t(0) =тк ^ min (задача о быстродействии);
2 R = x2(t(к)) + х3(t(к)) ^ max (задача о максимальном выходе целевых продуктов реакции);
3. R = x2(t('к)) + x3(t(к)) — x4(t(к)) ^ max (задача о максимальном выходе линейных димеров при
минимальном выходе циклического димера);
4 R = х2 (t(к)) + х3 (t(к)) — х4 (t(к)) — х5 (t(к)) ^ max (задача о максимальном выходе целевых
продуктов при минимальном выходе побочных продуктов (циклических димеров и тримеров);
5. R = xt (t(к)) ^ max, j = 2..4 (задача о максимальном выходе j-го продукта) и другие критерии.
Область допустимых управлений может быть задана в виде совокупности типа равенств или неравенств. Исходя из технологических соображений, на выбор оптимального значения температуры могут быть наложены
ограничения: Т. < Т < Т2.
Рассмотрим подробно решение задачи о максимальном выходе целевых продуктов при минимальном выходе побочных продуктов (циклических димеров и тримеров).
Задачу решим с использованием принципа максимума Понтрягина[1], согласно которому оптимальная температура в каждом сечении реактора находится из условия максимума для функции Н:
Н = £ + 1, ^ £ уи, где X; = N. (5)
2=1 Х6 % ] =1 2=1
Здесь функции 1 (1) удовлетворяют системе сопряженных уравнений:
&12 дН
&1 дхI
, 2 = 1..6. (6)
(к)
Из условий трансверсальности для функций 1 (1) будут заданы граничные значения при 1
1(1(к7) = 0,12(1(*7) = 1,13(1(к7) = 1,14(1(к7) = -1,15(^(к7) = -1, 1б(1(к7) = 0. (7)
Принцип максимума дает возможность свести задачу теоретической оптимизации к двухточечной нелинейной краевой задаче для систем дифференциальных уравнений процесса (3) и сопряженной системы (6) при граничных условиях (4), (7). Решение подобных задач усложняется тем, что для систем большой размерности трудно надеяться на аналитические результаты, поэтому задача решается числено с использованием методов условной и безусловной минимизации и численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
В результате находится некоторое решение системы уравнений (3), (6). Но в процессе численного интегрирования нужен контроль за степенью приближения получаемой траектории к заданной конечной точке, описанной выражениями (7).
В зависимости от постановки задачи в качестве контроля можно использовать соотношения вида
г = £ 1 (1(к:) - 1(к) 3 ^ 111Ш ,
2=1 + / (к)
если момент окончания интегрирования 1 = 1 задан или
г = тт £ И2 (1) - 1(к) 3 ^ тт,
1 2=1
если 1кк не определено. В обоих случаях величина г может служить оценкой того, насколько удачно выбраны начальные приближения 1(0) . При этом величина г, рассматриваемая как функция от
1;0)
, должна
быть минимизирована выбором подходящей совокупности значений 1 (1(0)), 2 = 1..6, т.е. необходимо решить задачу отыскания минимума функции нескольких переменных:
тт г (12- (1(0))) = 0,2 = 1..6.
1 (10 )
На базе имеющихся экспериментальных данных, полученных в лаборатории приготовления катализаторов ИНК АН РБ и УНЦ РАН (рук. лаб. д.х.н. Кутепов Б.И.), математического описания процесса олигомеризации а -метилстирола и построенного алгоритма[2] было разработано программное обеспечение, с помощью которого решена задача теоретической оптимизации со следующими входными данными.
Начальные концентрации компонентов реакции при начальном реакционном объеме N = 1 принимают
значения: х 10 = 1, х2 = 0, х30 = 0, х4 = 0, х5 = 0. На температуру наложены ограничения:
30° С < Т < 130°С. Продолжительность реакции при 10% содержании цеолитного катализатора - 2ч.
Рассмотрим полученные зависимости оптимальной температуры (рис.1) и концентраций продуктов от времени продолжительности реакции (рис.2), соответствующих найденному оптимальному температурному режиму. Температурная зависимость является кусочно непрерывной функцией, состоящей из трех участков: на первом наблюдается рост температуры от 860 С до максимальной, на втором и на третьем температура постоянна и принимает максимальное и минимальное значения соответственно. При таком оптимальном температурном режиме выбранный критерий оптимальности принимает свое максимальное значение, а концентрации изменяются так, как показано на рис.2.
Таблица №1
№ к8 (100° С), м3 • кг 1 ка1 ■ ч 1 Е2, ккал ■ моль 1
1 61,357 196
2 8,9534 263
3 7,7916 259
4 1,1693 238
5 0,11922 275
6 0,12041 127
7 0,019308 247
8 41,556 194
9 0,03662 115
10 0,04547 279
11 0,0995 204
12 0,05132 13800
Построенный алгоритм носит универсальный характер, который позволяет решать задачи с различными критериями оптимальности и входными данными.
130----1------1--------------
120 I------------
по— !
100 /------н-----
90- -
Щ ™
70-----
60-----
50-----
40-----
30 -------н----- -------------------------------------------------------------------
20-]---,------,-1---,----,--1-----,-----\-,--,-,---|-,---,-,---1-,----,-----\----------1----г-
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1 75
Г
рис. 1 Оптимальный температурный режим
1
рис.2 Изменение концентраций продуктов реакции.
ЛИТЕРАТУРА
1.Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961, 392 с.
2.Валиева Ю.А., Мустафина С.А., Спивак С.И. Моделирование и оптимизация процесса олигомеризации а -метилстирола// Труды Средневолжского математического общества, 2004, т.6., №1, с.75-81.
Поступила в редакцию 16.08.04 г.
