CC BY
47
Современные технологии - транспорту
259
54. Укороченные уравнения и асимптотический портрет в теории тонких оболочек / Б. Н. Квасников // Асимптотические методы в механике деформируемого твердого тела. Сб. тр., посвященный 70-летию проф. П. Е. Товстика. - СПб. : СПбГУ, 2006. - С. 36-59.
55. Теория сопряжённых и подкрепленных оболочек / С. Б. Филиппов. - СПб., 1999. -196 с.
56. Сокровища Леонардо да Винчи / Мэттью Ландрус. - М., 2006. - 66 с.
57. О сумме степеней делителей квадратичных полиномов / Н. Гафуров // Математические заметки. - М. : РАН, 1983. - Т. 34, вып. 4. - С. 485-500.
58. Asymptodolology / M. D. Kruskal // Proceeding of Conference on Mathematical Models on Physical Sciences. Englewood Cliffs, Hf: Prentice-Hall, 1963. - P. 17-48.
59. Математическое программирование / Л. М. Абрамов. - Л. : Изд-во ЛГУ, 1981. -328 с.
60. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Вазов. - М., 1968. - 462 c.
61. Исследования возможности выброса вагона при движении длинного тяжеловесного поезда по кривой под уклон в режиме торможения / Б. Н. Квасников // Известия Петербургского университета путей сообщения. - 2008. - Вып. 3 (16). - С. 126-146.
62. Критические точки и эталонные структуры постулата И. Ньютона / Б. Н. Квасников // Междунар. научн. конф. по механике «Пятые Поляховские чтения». СПб. : СПбГУ, 2009. - С. 170.
Продолжение статьи в следующем номере.
Статья поступила в редакцию 09.10.2009;
представлена к публикации членом редколлегии В. В. Сапожниковым.
УДК 69.003.13 К. С. Сергин
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИЙ ПРИ АНТИСЕЙСМИЧЕСКОМ УСИЛЕНИИ НЕСКОЛЬКИХ ОБЪЕКТОВ
Рассмотрены возможность управления сейсмическим риском за счет выбора инвестиционной политики и задача оптимизации инвестиций в сейсмостойкое строительство для группы объектов. Для решения указанных задач предложен метод оценки эффективности инвестиций в сейсмостойкое строительство.
сейсмостойкое строительство, экономическая эффективность, рентабельность, инвестиции, страхование, ценообразование.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
Введение
Антисейсмическое усиление зданий и сооружений осуществляется в соответствии с нормами проектирования в сейсмических районах и картами сейсмической опасности. За последние 50 лет и нормы, и карты сейсмического районирования несколько раз пересматривались. В результате выяснилось, что большая часть сейсмостойкой застройки прошлого века не удовлетворяет современным требованиям
сейсмостойкости и требует антисейсмического усиления. Однако государство и региональные органы власти обладают ограниченными средствами для повышения сейсмостойкости объектов старой застройки. Именно в данной ситуации возникает экономическая задача оптимизации вложения ограниченных средств в антисейсмическое усиление зданий и сооружений.
Задача оптимизации распределения ограниченных средств в
промышленности и строительстве рассматривается в отечественной и зарубежной литературе с середины прошлого века. Основополагающими в этой области являются работы лауреата нобелевской премии по экономике академика Л. В. Канторовича. Первые работы по оптимизации инвестиций в производство освещены им в известной публикации 1939 года [1]. Непосредственно задача оптимизации инвестиций на антисейсмическое усиление в отдельный объект поставлена Л. В. Канторовичем, В. И. Кейлис-Бороком и Г. И. Молчаном в 1959 г. На основе этих исследований в 1962 г. Институт математической экономики АН СССР выпустил «Методическое руководство по оценке экономической эффективности сейсмостойкого строительства» [2]. Это руководство не потеряло своей актуальности до настоящего времени, на его основе проведены исследования последних лет, выполненные А. В. Перельмутером [3], В. Г. Воробьевым [4], В. В. Воронец и О. А. Сахаровым [5] и др. Аналогичные подходы развиты в зарубежных исследованиях [6], [7] и др. В перечисленных исследованиях решалась задача оптимизации тех или иных экономических показателей в зависимости от объема инвестирования. Различие подходов авторов заключалось в выборе целевой функции. Так, в [1], [2] оптимизировался предотвращенный ущерб, обусловленный инвестированием в антисейсмическое усиление; в [3] оптимизировалась прибыль от инвестирования за срок службы сооружения; в
[6] оптимизировалась прибыль от вложений за ближайшие 7 лет.
Все упомянутые исследования связаны с инвестированием в отдельно взятый объект. Однако в практике эксплуатации зданий и сооружений возникает экономическая задача распределения ограниченных средств на несколько различных объектов. Так, в задаче об усилении старой застройки, состоящей из зданий одного типа, оказывается возможным провести ограниченное усиление всех зданий или полное усиление
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
2 6 1
небольшой части зданий. Задача распределения инвестиций в антисейсмическое усиление зданий рассматривается в настоящей статье. Эта задача сводится к максимизации эффективности E от инвестирования в антисейсмическое усиление:
E = E](Ilm.i) + E2(IIIIJ + ... + E„(Il„). (1)
В формуле (1) E. (Iinv ) - экономическая эффективность от вложения средств Iwv в i-й объект.
Эффективность вложений средств рассчитывается как
^тах
Epr=-^+f-[Pp,-l + a-Ppr К„1 •!(/)-
Апах Апах
-£ Р(К,)-Щ)+ £ Ins(K„ 1)-Щ)\
где Iinv - капитальные затраты (инвестиции) на антисейсмическое усиление; f - коэффициент приведения затрат (дисконтирования);
Ррг - годовая прибыль;
D(Ks, I) - величина предотвращенного ущерба для сооружения, усиленного на восприятие землетрясений силой Ks баллов от
землетрясения силой I баллов (функция уязвимости D(Ks, I) принята по данным [2]);
L(I) - среднегодовое число землетрясений силой I баллов на площадке строительства;
F(Ks) - ежегодный страховой взнос собственника сооружения;
Ins(Ks,I) - выплата в результате страхового события. Величина страхового взноса и страховых выплат поставлена в зависимость от класса сейсмостойкости сооружения Ks, который представляет собой силу землетрясения в баллах, воспринимаемого сооружением без перехода в предельное состояние.
Если принять функцию E(I I ,...Iim; ) в качестве целевой функции, а
массив {I ,Iinv ,...Iinv } в качестве параметров управления, то поиск
экстремума функции Е в зависимости от капиталовложений Iinv осуществляется методами динамического программирования. В основе метода динамического программирования решения задач управления многошаговыми процессами лежит принцип оптимальности, то есть оптимизация многошагового процесса. Важно отметить, что оптимизация всего процесса как единой системы не сводится к оптимизации по отдельным шагам. Достижение максимального эффекта на одном из шагов
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
может потребовать слишком больших затрат ресурсов, что приведет к снижению экономического эффекта на последующих шагах и на всём многошаговом процессе в целом.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
263
1 Задача распределения ресурсов между разными объектами
Формирование оптимальной политики наиболее эффективного распределения или использования ресурсов по этапам является основной задачей оптимизации многошагового процесса, приведённой в методическом руководстве по использованию методов динамического программирования [8]. Эту задачу можно описать следующим образом:
max a(t) + bit) < max a(t) + max b(t) ;
t t t
min a(t) + b(t) > min a(t) + min b(t) ,
t t t
где a(t) и b(t) - произвольные функции отдельных шагов процесса. Исходя из этого становится ясно, что вычислять максимум или минимум суммы по отдельности нельзя, а соответствующая задача максимизации или минимизации является более сложной и требует более основательного подхода. Важно отметить, что между задачами на максимум и на минимум существует прямая связь и min функции F(t), заданной на некотором промежутке T, достигается в тех же точках, что и max функции - F(t):
min Fit) = - max -Fit) .
teT teT
Таким образом, задача оптимизации многошагового процесса на поиск минимума целевой функции Z может сводиться к такой же задаче на поиск максимума целевой функции с обратным знаком при неизменных оптимальных решениях. Целевая функция Z описывает весь многошаговый процесс в целом:
Z — Z] (х0 ,Uj ) + Z2 (Xj, и 2 ) + ... + ZN (xn_j , uN ) ,
где x0 - начальное состояние системы;
х12 v_| состояние системы на определённом шаге процесса, в силу соотношения
Х1 — f 1 iFo Fj),
здесь X - множество допустимых значений фазовой переменной; щ2 N - управляющая переменная на определённом шаге процесса;
U - множество допустимых значений управляющей переменной;
N- число шагов в многошаговом процессе, N> 1; i — номер шага процесса;
— функция процесса для шага с номером i;
z. — частная целевая функция на шаге с номером /.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
©©Временные технологии - транспорту
Соответственно и целевая функция Z зависит от начального состояния системы х0 и от всех управляющих переменных:
Z — Z( Xq ,и i ,u 2, • • • ,U )
Рассмотрим случай поиска максимума для вычисления оптимального значения задачи управления многошаговым процессом Z в частном случае, когда начальное состояние системы х0 фиксировано. Пусть многошаговый процесс включает п шагов управления, то есть N = п, тогда вектор управляющих переменных (и1,и2,...,ип) содержит п компонент и целевая функция принимает вид:
Z = Z{u1,u2,...,un) = Zjix^Uj) + z2(Xj,u2) +... + Zn(xn_lfun).
Вычислим максимум целевой функции по всем управляющим переменным:
Z* = max z1(x0,u1) + z2(x1,u2) + ... + zn(xn_1,un) ;
и1,и2,-,ип
Z = max ZjfXgyUj) + тах z2(xpu2) + ... + max zn(xn_1,un) .
И1 «2 «я
Важно отметить, что вычисление максимума целевой функции по n управляющим переменным сводится к последовательному вычислению максимума каждой управляющей переменной. Введём вспомогательную функцию
В„-,(хп_,) = тах 3,(х„_,,и„)
ип '
Смысл функции В^/х^) заключается в том, что она является условнооптимальным или максимальным значением частной целевой функции zn на некотором шаге n, при условии, что до этого шага управляемая система находилась в состоянии хп_х.
Условность оптимального значения объясняется тем, что оно относится не ко всему многошаговому процессу z , а к его заключительной части и
зависит от выбора состояния хп_г (под действием управления ип),
являющегося начальным для одного из множества шагов процесса. Принцип оптимальности выражается функциональным уравнением:
Z* =B„_,(x„_I) = max \(х„_,,ип) + В„(х„)х„ =f„(x„_,,u„)
и
n
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
265
Полученное выражение называется принципом оптимальности Беллмана. Основной принцип оптимальности управления многошаговыми процессами выражается следующим образом: “Оптимальное поведение обладает тем свойством, что каковы бы ни были исходное состояние и первоначальное решение, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первоначального решения. Иными словами, любой участок оптимальной траектории, в том числе и завершающий, также является оптимальным, а ошибки в управлении, приводящие к отклонениям от оптимальной траектории, впоследствии не могут быть исправлены”. Функциональное уравнение Беллмана имеет индивидуальную особенность, которая заключается в том, что в последовательности функций В0(х0),В1(х1 ),...,Вп_[(хп_[) каждая предшествующая выражается через последующую.
Возвращаясь к методу динамического программирования (ДП), следует отметить, что именно в его основе лежит рассмотренный принцип оптимальности Беллмана. В метод ДП входят три этапа:
1) предварительный;
2) этап условной оптимизации;
3) этап безусловной оптимизации. Предварительный этап заключается в нахождении всех допустимых значений управлений щ, состояний системы xt и исключении всех неподходящих, нереализуемых значений рассматриваемых переменных. Предварительный этап проводится от первого шага к последнему: N = 1, 2,..., п. Соответствующие расчёты, проводимые на данном этапе, основываются на уравнении процесса: хп = f 7 (хп_г ,ип).
Этап условной оптимизации заключается в вычислении функций Беллмана, он проводится, согласно принципу оптимальности, от последнего шага к первому: N = п, п 1,..., 2, 1. Для последнего шага N = п, с учётом условия Вп(хп) = 0 принцип оптимальности Беллмана примет вид:
Bt,_,(xtl_I) = max zjx^.uj .
ип
Вычисленное значение функции позволяет перейти к предшествующему шагу при N = п — 1 и снова использовать принцип оптимальности.
Этап безусловной оптимизации заключается в итоговом вычислении
оптимального значения задачи Z и построении оптимальных управления
, * * * .
(ui , Щ2 >•••> Un )
и траектории состояния многошагового процесса
(x0,Xj,..;Xn). Данный этап проводится от первого шага к последнему:
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
N = 1, 2,..., п. Таким образом, построение оптимального решения исходит
из определения оптимального значения задачи Z и определения
*
оптимального значения д0 - начального состояния системы. Если
*
начальное состояние системы д0 определено, то оптимальное значение
задачи Z = В0 (х0), принимая х(] = х(]. Если начальное состояние системы не определено и может принимать различные значения из некоторого множества начальных состояний Х0, то оптимальное
значение задачи Z = шах В() (х()) , в этом случае за д0 принимаем то
х0еХ0
значение д0, при котором данный максимум достигается.
Оптимальное управление и оптимальная траектория состояния многошагового процесса строятся с использованием функций,
вычисленных на этапе условной оптимизации: Un^x^), где ип - значение
управляющей переменной, для которой достигается максимум при вычислении функционального уравнения Беллмана для каждого фиксированного значения хп_г. Таким образом, на различных шагах
многошагового процесса оптимальные управление и траектория будут выражаться:
un =Un(Xn_l); Xn=fn{Xn_1,Un).
Следует отметить, что при решении поставленной задачи методом динамического программирования многошаговый процесс просчитывается три раза в переменных направлениях.
Метод динамического программирования имеет ряд индивидуальных особенностей:
простота расчётов, которые удобны для реализации при написании программ на персональном компьютере;
низкая трудоёмкость решения задач за счёт более полного использования свойств управляемых систем;
рассмотренные в данном методе динамического программирования функции могут быть заданы как таблично, так и аналитически, что даёт некоторые преимущества и удобства в расчетах.
Экономико-математическая модель решения задачи динамического программирования включает в себя следующие этапы:
1) определение числа шагов N в
рассматриваемом управляемом процессе;
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
267
2) установление параметров, определяющих
состояние системы и выбор из их множества фазовой переменной х вместе с налагаемыми на неё ограничениями;
3) установление параметра управляющей
переменной и и определение налагаемых на неё ограничений;
4) составление функции процесса f,
определяющей закон изменения состояния системы;
5) составление целевой функции z,
определяющей экономический эффект на каждом из шагов управляемого процесса.
Таким образом, в настоящей задаче управляемой системой является рассматриваемый объект строительства, многошаговым процессом -выделение средств в объекты строительства. Структура многошагового процесса определяется порядком планирования распределения
инвестиций. Экономический эффект представляет суммарная величина эффектов от инвестирования в каждый объект по отдельности, задача при этом решается на поиск максимума.
На этом математическую формализацию поставленной задачи можно считать завершённой.
2 Оптимизация распределения средств между отдельными объектами. Сравнительные решения для городов Сочи и Красная Поляна
В качестве примера решения такой задачи рассмотрим вложения в пять одинаковых объектов для г. Сочи (табл. 1) и г. Красная Поляна (табл. 3). Известно, что для района г. Сочи с ситуационной сейсмичностью (8,9,9) по картам А,В,С в первом приближении повторяемость землетрясений L:
L* ^бО’Уюо^Аоо’Узоо’Уюоо’/ю5 ’ а для Рядом расположенного курорта
Красная Поляна с ситуационной сейсмичностью (8,9,10) по картам А,В,С, 17 17 17 17 1
<20’/50’/юо’/500’/юоо’/5000 . Принятые значения L означают, что, например, для Сочи 5-балльные сотрясения имеют повторяемость примерно раз в 50 лет, 6-балльные - раз в 100 лет, 7-балльные - раз в 200 лет, 8-балльные - раз в 500 лет, 9-балльные - раз в 1000 лет, а десятибалльные имеют пренебрежимо малую вероятность - раз в 100000 лет.
При проектировании по карте В для обоих районов расчетная сейсмичность одинакова (Ib = 9), однако с экономической точки зрения эти районы требуют различной стратегии вложения средств. Зависимость Iinv(Ks), описанная в [9], принята для этого случая в соответствии с
работой [10]: К = 0.0008 • Ks + 0.003 • К2.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
Общая сумма вложений для каждого города по отдельности составляет 7% от стоимости здания без усиления. Эффективность вложения средств принята в соответствии с зависимостями Iinv(Ks) и D(Ks,I), а повторяемость сотрясений принята в соответствии с рассматриваемым городом. При этом в качестве эффективности вложений принималась величина предотвращенного ущерба (уменьшение риска R). Все данные приведены по отношению к капитальным затратам на возведение неусиленного сооружения.
Применительно к рассматриваемому практическому примеру экономикоматематическая модель решения задачи динамического программирования формулируется следующим образом.
1. N=5.
2. Фазовая переменная x - суммарный объём средств, выделенных объектам строительства после каждого шага процесса. Переменная Xj -объём средств, выделенных объектам строительства после первого шага процесса (только объекту строительства П1). Переменная х2 - объём средств, выделенных после второго шага (только объектам строительства П1 и П2). Переменная х3 - объём средств, выделенных после третьего
шага процесса (всем объектам строительства П1, П2, П3) и т. д. Поскольку общая сумма выделенных средств в начальный момент равна нулю, то и начальное состояние системы х0 = 0.
3. Управляющая переменная и - классы сейсмостойкости в 6, 7, 8 и 9 баллов для объектов строительства П1, П2, П3, П4 и П5. Переменная щ -набор классов сейсмостойкости, соответствующих объекту строительства П1 (на первом шаге процесса). Переменная и - набор классов сейсмостойкости, соответствующих объекту строительства П2 (на втором шаге процесса). Переменная и - набор классов сейсмостойкости,
соответствующих объекту строительства П3 (на третьем шаге процесса) и т. д. до П5, но использованы будут только объёмы инвестиций согласно рассмотренному классу сейсмостойкости.
4. Функция процесса xt = ft , uj), определяющая закон изменения состояния системы, для данной задачи представлена как X, =*м +К(и,).
5. Функция E, определяющая частный экономический эффект на шаге с номером / процесса, зависит только от объёма инвестированных средств в объекты строительства /7., т. е. Et = Etи определяется по таблице данных задачи по столбцу, отвечающему за рассматриваемый объект строительства Пг.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
269
ТАБЛИЦА 1. Эффективность вложения средств в отдельное предприятие (г. Сочи),
в процентах от стоимости сооружения
Возможные инвестиции, % 0 0,0038 0,0136 0,0294 0,0512
Класс сейсмостойкости Ks, баллы 6 7 8 9 10
Эффективность вложений, % 0 0,164 0,343 0,461 0,535
В результате решения задачи динамического программирования получено распределение средств между зданиями, приведенное в таблице 2. Оказалось, что при рассматриваемых показателях уязвимости и сейсмической опасности четыре здания следует усилить на 8 баллов и одно - на 9 баллов.
ТАБЛИЦА 2. Результаты оптимизации вложения средств для г. Сочи
Номер объекта Расчетная сумма инвестиций J-invi-, % Расчетный класс сейсмостойкости K , баллы Экономический эффект, %
1 0,0136 8 0,343
2 0,0136 8 0,343
3 0,0136 8 0,343
4 0,0294 9 0,461
5 0,0136 8 0,343
Итого 0,0838 - 1,833000
ТАБЛИЦА 3. Эффективность вложения средств в отдельное предприятие
(г. Красная Поляна)
Возможные инвестиции, % 0 0,0038 0,0136 0,0294 0,0512
Класс сейсмостойкости Ks, баллы 6 7 8 9 10
Эффективность вложений, % 0 0,378 0,847 1,083 1,174
ТАБЛИЦА 4. Результаты оптимизации вложения средств для Красной Поляны
Номер объекта Расчетная сумма инвестиций 1 invi-, % Расчетный класс сейсмостойкости K , баллы Экономический эффект, %
1 0,0136 8 0,847
2 0,0136 8 0,847
3 0,0136 8 0,847
4 0,0136 8 0,847
5 0,0294 9 1,083
Итого 0,0838 - 4,471
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
Современные технологии - транспорту
Заключение
Сравнивая полученные результаты для городов Сочи и Красная Поляна, можно сделать практический вывод о том, что инвестирование в антисейсмическое усиление сооружений в г. Красная Поляна более эффективно, чем в г. Сочи.
Изложенная в статье методика была использована для решения задачи распределения инвестиций в Кемеровской области после Алтайского землетрясения 27-28 сентября 2003 г. По предложенной методике были подготовлены рекомендации для проведения антисейсмического усиления сооружений на средства, выделенные для этой цели федеральным правительством. Объем статьи не позволяет детально остановиться на полученных результатах, но хотелось бы отметить, что эффективнее оказалось полное усиление части застройки, чем одинаковое, но ограниченное усиление всех сооружений. Это в свою очередь привело к необходимости пересматривать систему оплаты в жилищно-коммунальном хозяйстве.
Библиографический список
1. Математические методы организации и планирования производства : методическое руководство / Л. В. Канторович. - Л. : ЛГУ, 1939. - 68 с.
2. Методы оценки экономического эффекта сейсмостойкого строительства / В. И. Кейлис-Борок, И. А. Нерсесов, А. М. Яглом. - М. : Изд-во АН СССР, 1962. - 46 с.
3. Избранные проблемы надежности и безопасности строительных конструкций /
A. В. Перельмутер. - Киев : Изд. УкрНИИпроектстальконструкция, 2000. - 215 с.
4. Учет сценариев эксплуатации зданий и сооружений при расчетах в сейсмически опасных районах / В. Г. Воробьев, О. А. Сахаров, А. М. Уздин // сб. тезисов докладов междунар. конф. «Современное сейсмостойкое строительство», 5-7 июня 2006. РГП КазНИИССА. - Алма-Ата : LEM, 2006. - C. 47-49.
5. Оценка статистических характеристик экономического сейсмического риска /
B. В. Воронец, О. А. Сахаров, А. М. Уздин // Сейсмостойкое строительство. - 2000. -
C. 6-8.
6. Экономический анализ стихийных бедствий: метод упорядоченного выбора / Г. В. Кюрнрейтер // Стихийные бедствия: изучение и методы борьбы. - М. : Прогресс, 1987. - С. 274-296.
7. Сойе developments in earthquake engineering / M.N. Fardis. - 12th European Conference on Earthquake Engineering. - London, 2002. - Paper Reference 845.
8. Динамическое программирование в экономических задачах : учеб. пособие / А. В. Лежнёв. - М. : Бином. Лаборатория знаний, 2006. - 176 с. - ISBN 5-94774-344-2.
9. Задача оптимизации страховой политики для сейсмостойкого строительства / О. А. Сахаров, К. С. Сергин, А. М. Уздин // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. - 2007. - №3. - C. 39-42.
10. Сейсмостойкое районирование и сейсмостойкое строительство (методы, практика, перспектива) / С. И. Полтавцев, Я. М. Айзенберг, Г. Л. Кофф, А. М. Мелентьев, В.И. Уломов. - М. : ГУП ЦПП, 1998. - 259 c.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС 2009/4
