CC BY
63
УДК 621.039.56
Н. Н. Панасенко, Р. К. Асадулин Астраханский государственный технический университет
ОПТИМИЗАЦИЯ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ ПОДЬЕМНО-ТРАНСПОРТНЫК МАШИН
Под сейсмостойкостью подъемно-транспортных машин (ПТМ) понимается способность их металлоконструкций и исполнительных механизмов сохранять при землетрясениях прочность и функциональную надежность с целью обеспечения безопасности промышленных производств, таких, например, как атомные электростанции (АЭС). Обеспечение сейсмостойкости ПТМ энергетических установок приводит к удорожанию оборудования в среднем на 10 % для районов с сейсмичностью 8-9 баллов. При строительстве сейсмостойких АЭС с реакторами на тепловых нейтронах ВВЭР-440, 1000, 1500, с реакторами на быстрых нейтронах БН-800, 1600, атомных станций теплоснабжения с реактором АСТ-500Т и других затраты на антисейсмическое усиление ПТМ будут возрастать с одновременным возрастанием мощности АЭС. При этом удельные капитальные вложения в сооружения АЭС в 1,5-2 раза превышают удельные капиталовложения в строительство обычных инженерных сооружений. В связи с этим центральной задачей обеспечения сейсмостойкости ПТМ АЭС является снижение затрат на усиление сейсмостойких конструкций до минимально возможного размера при одновременном обеспечении их сейсмостойкости.
Методам математической оптимизации металлоконструкций ПТМ посвящено крайне мало работ. Подавляющее большинство из них посвящено задачам оптимизации крановых мостов при статических нагрузках. В отечественной литературе одной из первых работ, посвященной оптимизации конструкций при колебаниях, следует считать статью И. М. Рабиновича [1], опубликованную в 1965 г. В отличие от статической, в динамической задаче появляется новая независимая переменная - время. В 1962 г. Тейлор [2] опубликовал статью, посвященную расчету стержня наименьшего веса при продольных и поперечных колебаниях с заданными значениями собственной частоты (СЧ) с использованием принципа Гамильтона. Тэрнер в 1967 г. в [3] разработал метод численного определения таких пропорциональных зависимостей между значениями параметров элементов упругих конструкций, при которых одна или несколько собственных частот конструкции принимают заданные значения, а полная масса конструкции достигает минимума. В связи с применением ЭВМ в строительной механике расчету оптимальных систем значительно способствовали работы А. И. Виноградова [4]. Рубин в [5] предложил процедуру расчета конструкции минимального веса, удовлетворяющей определенному требованию к величине ее СЧ. Оптимизации колебательных систем со многими степенями свободы в вынужденном и собственном режи-
мах по силовым и аплитудно-частотным характеристикам (АЧХ) посвящены работа В. К. Гринкевича и др. [6]. В работе А. И. Цейтлина и др. [7] разработан метод вычисления производных СЧ минуя процедуру определения собственных векторов (форм колебаний).
Возможность практического применения методов оптимального проектирования при создании пространственных металлоконструкций ПТМ пока еще весьма ограничена (рис.1). Сложность задачи обусловливается не только большим количеством параметров управления и состояния, которыми приходится оперировать, но и отсутствием в настоящее время четкой формулировки критериев оптимальности в условиях сейсмического воздействия. В этом случае уравнения состояния преобразовываются в дифференциальные, в которые входят параметры как силового, так и деформированного состояния. При этом нагрузка, действующая на систему, будет зависеть от размеров поперечных сечений несущих элементов (параметров управления) и характеристик сейсмического воздействия (акселерограммы либо спектра ответа землетрясений) [8].
Рис. 1. Перегрузочная машина АСТ-500Т: а - РДМ МП АСТ-500Т; б - спектр ее СЧ; в - сейсмические спектры ответа здания АСТ на отметке 31 м
В качестве объекта оптимального проектирования рассмотрим расчетную динамическую модель (РДМ) металлоконструкции перегрузочной машины (МП) атомной станции теплоснабжения АСТ-500Т (рис.1), где пролетные балки моста и основные несущие элементы грузовой тележки выполнены из тонкостенных стержней закрытого профиля. Здесь задача оптимального проектирования МП по весу с ограничениями на СЧ строится с учетом сейсмических нагрузок, представленных обобщенным поэтажным спектром ответа ( рис.1, в).
Рассмотрим пространственную стержневую систему произвольного вида (см. рис. 1, а) (стержневые элементы имеют сечения, представленные на рис. 2):
\//////,7777771
У
гйггагггггг
Ь\
мі
б
Рис. 2. Поперечные сечения конечных элементов МП: а - труба; б - коробчатая балка; в - двутавр
Сечение трубы описывается двумя переменными параметрами й и В, сечение коробчатой балки описывается пятью параметрами г, к, Ь, Ь1, 8, а двутавр четырьмя - г, к, Ь1, 8, так как Ь всегда равно нулю. Для удобства все виды сечений будем описывать семикомпонентным вектором: ^ = (^1, 52, 53, 54, 55, 56, 57 ) . Для трубы вектор З имеет вид
5 = (й, В ,0,0,0,0,0); для двутавра 5 = (0,0,0,5, Ь1, к, г); для коробчатой балки 5 = (0,0, Ь, 5, Ь1, к, г).
Пронумеровав все стержни РДМ системы, можно получить матрицу 5 размерности 7 X п , т. е. матрицу
5 = к I , (1)
1 У -*7хп ’ ' '
где 5^. - /-я компонента /-го стержня, а п - число стержней системы. Можно перенумеровать все элементы матрицы 5 по столбцам и получить одномерный массив х
= (х1, Х2, Х3 , к) , где Х1 = 511 , х2 = 521 , ..., Т. е.
Х = (511 , 521 , 531 ,..., 571 , 872 , 573 ,... ) .
(2)
В качестве независимых переменных будем рассматривать некоторые геометрические характеристики сечений отдельных (возможно, и всех)
х
к
5
5
Ь
і
а
стержней, т. е. в качестве независимых переменных будем рассматривать некоторые из координат вектора (2).
Пусть вектор у состоит из тех координат вектора х из (2), которые будут независимыми:
{7 } = ( у^..^ у. ^.^ ут ) = ( х^ х/ 2 ^.^ х/т ) , (3)
где уз = х/(/ = 1,..., т) - независимые переменные; т - число независимых переменных. Ограничения, которые будем накладывать на независимые переменные (3), делятся на простые, линейные и нелинейные. Простые ограничения имеют вид
У/н£ У/£ У/к; (/ = 1,2,...,т), (4)
где у/н, у/к - заданные границы изменения параметра у{.
Линейные ограничения имеют вид
У/ £ У^ (5)
если у/ есть внутренний диаметр трубы, или
У1 + 2Уг+1 < С/; (5а)
У/ + 2 У/+1 < У/+2; (5б)
с + 2 У/+1 < У/+2; (5в)
У/ + С < У/+2 , (5г)
если У{ есть параметр Ь в сечении, где С1 - константы, которые вытекают из условий й < В, Ь + 25 < Ь1.
Нелинейные ограничения являются ограничениями на СЧ колебаний стержневой системы (конструкции). Пусть ю2- квадрат /-й СЧ, тогда ю2 является функцией от компонент У1,...,Ут вектора (3), т. е. ю2 = ю2(у). Квадраты СЧ ю2 являются собственными значениями матрицы [м ]-' [к ] , где [м ] - суммарная матрица распределенных и сосредоточенных масс конструкции; [к ] - её матрица жесткости. Матрицы [М] и [К] нелинейно зависят от У1,...,Ут из (3), т. е. от независимых переменных. Отсюда ясно, что и ю2 нелинейно зависят от тех же параметров, а следовательно, и ограничения, которые мы накладываем на ю2, будут нелинейными ограничениями на параметры У1,...,Ут из (3).
Установление ограничений на СЧ металлоконструкций ПТМ, проектируемых в сейсмостойком исполнении, связано с анализом внешних сейсмических сил 5, которые генерируются в конструкциях по каждой к-й форме их собственных колебаний (см. рис. 1, б) и зависят от частотных спектров акселерограмм, представляемых сейсмическими поэтажными обобщенными спектрами ответа (ПСО) (см. рис. 1, в):
где
ok
Sk = &&* {{jk Y M]{cOs}/{jk }T [m]{jk }iMj },
- сейсмическое ускорение, которое принимается по ПСО (см. рис.1, в) и соответствует СЧ колебаний конструкции; {cos} - вектор направляющих косинусов сейсмического воздействия; {jk} - вектор собственных форм колебаний конструкции по k-й частоте. Здесь и далее Т -индекс транспонирования. Отсюда следует, что увеличение сейсмостойкости инженерного сооружения может быть достигнуто обеспечением несовпадения его СЧ с максимумами частотного спектра сейсмических ускорений xo и избежания резонанса в области их максимальных значений.
Пусть [a 2 j _1, a 2 j ] j = 1,..., l, - допустимые интервалы для квадратов
СЧ конструкции, т. е.
a j-і < ю2 (у )< a^
а2/-1 — ш/ \У )— и2/ • (6)
Чтобы свести ограничение (6) к нелинейному, рассмотрим функцию ф0 (х), которая равна нулю, если х принадлежит множеству
x
a2j-1, a2j ], и отлична от нуля, если x не принадлежит этому мно-
j=1
жеству. Примером такой функции jG (x) может быть функция:
а1 (al - x)p
(x - a )p (a
а2 x - a G
jG (x
(x - a4)p (
■x)p
■x )p
а3 x - a G
al (x - a2l-2 )p (a2l-1 - x)p
al +l(x - a2l )p
если x < a ;
, если al < x < a2; если a2 < x < a3 ; если a3 < x < a4 ; если a4 < x < a5;
, если a5 < x < a6; если a2l-2 < x < a
(7)
, если a2l-l < x < a2l;
если x > a
2l
Заметим, что у = (х - a )(Ь - x), а < Ь , есть парабола, проходящая через точки а и Ь и обращенная ветвями вниз, а график функции ф0 (х) из (7) имеет вид (при р > 1), представленный на рис. 3. Высоту «горбов» на графике можно регулировать выбором значений аі(і = 1,2,...,І +1). Если
положить что аі = 4рСі /(а2і-1 - а2і-2)2р ; (і = 2,...,І), то высота і-го «горба» будет равна Сі. Выбор значения р позволяет получить нужное число раз дифференцируемую функцию ф0 (х). Используя функцию ф0 (х) (7), ограничения на СЧ конструкции можно записать в виде
ф о(®2 (у ))= ^ (і = к). (8)
G
3
5
G
Рис. 3. График функции ф0 (х)
В качестве функции цели, т. е. минимизируемой функции, будем рассматривать функцию веса конструкции МП, представленную суммой весов всех стержней, т. е.
Р = ТР- (9)
/-1
где п - число стержней в конструкции, а Р - вес /-го стержня. Перенумеруем стержни так, что 1, 2,..., п1 будут номера тех стержней, в которых варьируются параметры поперечных сечений, а п1 + 1,..., п - номера стержней, в которых параметры сечения не варьируются. Тогда вес оптимизируемой конструкции машины можно записать в виде
П п
Р=2 Р + Т Р ■ (>°)
і=і ]=пі+1
Так как второе слагаемое в (10) не меняется и не зависит от варьируемых параметров, то точки минимума функции Р (9) и функции
п1
О=ТР (11)
1=1
совпадают. Учитывая сказанное, будем минимизировать функцию О (11). Вес і-го стержня вычислим по формуле
Р1 = [(П421 + 4 )+ 2(*71 ■ *51 + *41 ■ *61 ^Р1 , ( 12)
где Ї] - длина 1-го стержня; р 1 - плотность материала 1-го стержня;
*1 (/ = 1,...,7) - компоненты сечения 1-го стержня. Учитывая (12), перепи-
шем (11) для всей РДМ:
0 = Т [(П4)(*21 + *121 )+ 2(*71 ■ *51 + *41 ■ *61 )]?1-Р 1 . (13)
/=1
Заметим, что если все стержни имеют одинаковую плотность материала, то в формуле (13) р 1 можно считать равным единице. Такое допущение не влияет на точку минимума функции 0 (13).
Квадраты СЧ конструкции ю2 (у) определяем из уравнения свободных колебаний РДМ машины со многими степенями свободы:
[М(у)И+[К(у)]й = [0}. (14)
Исключение времени из матричного уравнения (14) на основе допущения, что свободные колебания имеют вид простых гармонических колебаний, приводит к системе уравнений для собственных значений относительно форм колебаний
[М (у )]-1 [К (у )][Ф]- №(у)] = {0}, (15)
где [Ф1х„ - фундаментальная матрица матричного произведения
[М (у )]-■ [К (у)] , составленная из собственных векторов {фт} по каждой т-й форме колебаний, расположенных по столбцам; [^(у)] - диагональная матрица собственных значений, элементами которой являются квадраты СЧ.
Матрицы [^(у)] и [Ф]„х„ определяются из уравнения
[М (у )]-1 [К (у)]- [Е ][о(у )]]• [Ф] = {0} (16)
любым из известных методов, реализованных на ЭВМ. Частотное уравнение для 7-й частоты ю2 (у) имеет вид
Ю2 (у )[М (у )]-[К (у )] = 0, (17)
где [М (у)] - матрица масс, а [К (у)] - матрица жесткости стержневой системы.
Имея алгоритм формирования матриц [М (у)] и [К (у)] , можно разработать подпрограмму вычисления ю2 (у), а следовательно, и подпрограмму вычисления нелинейных функций в ограничениях. Для решения задачи оптимизации определим скорость и ускорение изменения квадратов СЧ, т. е. точки экстремума и интервалы возрастания-убывания функции ю2 (у) для удовлетворения условия (13).
Дифференцируемость нелинейных функций в ограничениях связана с дифференцируемостью квадратов СЧ, где матрицы масс и жесткости системы зависят от варьируемых геометрических характеристик сечений (3), а квадрат СЧ удовлетворяет уравнению
([К (у)]-ю2 (у )[М (у )]){ф7 (у )} = {0}, (18)
где {ф7 (у)} - вектор 7-й собственной формы. После преобразований получим
к- (у)}Г ([к (у)]-ю2 (у )[м (у )])ф (у )} = {0}. (19)
Продифференцировав уравнение (19) по параметру у, получим
Ц
Ъ,-
=(Ф/ ( у )1Т
эк
ЭУ/
■Ш/
( у )
эм
ЭУ/
{ф/ ( у )}.
(20)
Из формулы (20) видно, что для нахождения производной от квадрата СЧ по параметру у, т. е. скорости изменения квадрата СЧ ю2 (у) от параметра у,, достаточно знать СЧ, отвечающую ей, собственную форму ф7 (у) и производные от матриц масс и жесткости.
Производная от матрицы масс для произвольного стержня (конечного элемента в МКЭ) в местной системе координат равна
эм
эУ/
= р • I •
Iі [М ]+А
эУ/
эм1
эУ/
(21)
" эк' = Е " эк1"
_ эУ/ _ = 1 _ эУ/ _
где р - удельная масса стержня; I - его длина; А - площадь поперечного сечения; [М1 ] - матрица распределенных масс.
Производная от матрицы жесткости для произвольного в местной системе координат
(22)
где I - длина стержня; Е - модуль Юнга материала стержня; [К1 ] - матрица жесткости стержня в местной системе координат.
При нахождении вторых производных от функций, входящих в нелинейные ограничения (7), надо определить вторые производные от квадратов СЧ (19), т. е. ускорения изменения квадратов СЧ, для чего используем равенство
{ф* (у )} [Л(у)Ыу)}= 0, (23)
где {фк (у)} - вектор собственных форм, отвечающий СЧ ш2 (у);
[Ак (У)] = [к (У)] - ш2 (У)[м (У)].
Дифференцируя (23) по параметру у, получим
{Фк (У)}
эа.
эУ/
{Фк(У )}= 0.
(24)
Дифференцируя (24) по параметру у , получим
э Ши
{Фк } [М0 ]ф }+ 2{фк }
эА£
эУ/
э{фк}
эУ/
эу/2 ф } [М (у Жф* }
где входящие в (25) величины:
" Э 2к ' Э®2 ЭМ Э®2 " ЭМ" ЭМ
_ ЭУгЭУ] _ ЭУг . ЭУ]. ЭУ] . ЭУ1 . _ ЭУгЭУ]_
Элк
_ ЭУг _
Эк
ЭУг
М
ЭУг
[М ]-
ЭМ
ЭУг
Как видно из матричной формулы (25), для нахождения вторых производных от СЧ необходимо знать производные от собственных форм. Так как векторы {Фк К к = 1 2.---. к. являются линейно независимыми, то любой вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов:
Э{Фк }
ЭУг
(26)
Если собственные формы найдены, то достаточно найти коэффици-
енты акг] в (26):
Ф=1С ({ф,1г Л Ф }Ф,}.
ЭУг Т=1
(27)
где
С,
12
[Л, ] =
(®2 - ) К ]
Э[М ]
ЭУг
.если г = к ;
.если г ф к ,
.если г ф к ; .если г = к .
(28)
(29)
Матричная формула (27) имеет место. если выполняется условие {ф 1 }Т [М ]{ф, } = 1. которое всегда можно получить соответствующим подбором собственных форм.
Первая производная от функции ® 2 (У ) позволяет определить точки экстремума функции. а вторая производная - интервалы ее возрастания-убывания. т. е. находим максимальные значения СЧ и направления. в которых необходимо изменять параметры управления для изменения значений СЧ.
В заключение укажем. что предложенное решение оптимизационной задачи нелинейного программирования предусматривает такой подбор вектора }. чтобы удовлетворить минимизации функции цели. Посколь-
ку минимизация одного параметра влияет на выбор других. в будущем следует считать целесообразным выделение парето-оптимального множества неулучшаемых вариантов варьируемых параметров {^ }. т. е. множества таких Ук. которые нельзя улучшить. не ухудшив при этом значения
г=1
1
других ym. Такая задача нелинейного программирования, очевидно, будет
задачей многокритериального программирования [9].
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Рабинович И. М. К расчету стержневых систем наименьшего веса // Исследование по теории сооружений. - М.,1965. - Вып. XIV. - С. 131-141.
2. Тейлор (J. E. Taylor). Расчет стержня наименьшего веса при продольных колебаниях с заданными значениями собственной частоты // РТК. - 1967. -Т. 5, № 10. - C. 244-246.
3. Тернер (M. J. Turner). Проектирование конструкций минимального веса, имеющих заданные собственные частоты // РТК. - 1967. - Т. 5, №3. - С. 27-35.
4. Виноградов А. И. Алгоритм теории оптимальных стержневых систем // Тр. Харьков. ин-та инж. ж.-д. транспорта. - Харьков, 1969. - Вып. 116. - С. 48-53.
5. Рубин (C. P. Rubin). Проектирование сложных конструкций минимального веса при ограничении, накладываемом на величину собственной частоты // РТК. - 1970. - Т. 8, № 5. - С. 78-84.
6. Гринкевич В. К., Соболь И. М., Статников Р. Б. Об одном методе поиска оптимальных параметров колебательной системы // Изв. АН СССР. Машиностроение. - 1971. - № 1. - С. 18-22.
7. Цейтлин А. И., Плотников Ю. Г., Ким Л. И. Определение параметров систем с заданными частотами // Строительная механика и расчет сооружений. -1983. - № 6. - С. 36-41.
8. Панасенко Н. Н., Козоброд Т. А., Козоброд В. Н. Методы математической оптимизации пространственных металлоконструкций грузоподъемных кранов по весу и спектру собственных частот // Ред. ж. Изв. Сев.-Кавказ. науч. центра высш. шк. Техн. науки. - Ростов н/Д, 1990. - 28 с. - Деп. в ЦНИИ-ТЭИтяжмаш 26.03.90. № 575-ТМ90.
9. Перминов М. Д., Статников Р. Б. Многокритериальный подход к задаче идентификации структурно-сложных динамических систем // Автоматизация эксперимента в динамике машин. - М.: Наука, 1987. - С. 53-64.
Получено 14.02.05
OPTIMIZATION OF GAIN-FREQUENCY CHARACTERISTICS OF METAL CONSTRUCTIONS OF LIFTING-TRANSPORT MACHINES
N. N. Panasenko, R. K. Asadulin
In the article there have been mentioned specific influence of seismic activity on cargo cranes in atomic power stations. It is necessary to minimize their metal consumption and to keep natural frequencies of crane spans, that don’t concern resonance spectrum of calculated seismic aspects of the solution. The method of mathematical optimization is based upon the search of extremum of squares of natural frequencies of span constructions as first derivative from matrix equation for natural oscillations of n-order formed for design-dynamic crane model by method of final elements , and the search of course of changes in control parameters (independent variables), that characterize geometry of cross sections of central design-dynamic crane model as second derivative from this equation. There has been offered development of obtained optimized solution on the base of a problem of multicriterial programming.
