Оптимальное управление режимами технологических печей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62.52

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РЕЖИМАМИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПЕЧЕЙ

Н. Д. Демиденко

СКТБ «Наука» КНЦ СО РАН Россия, 660049, Красноярск, просп. Мира, 53. E-mail: tpya74@mail.ru

Сформулирована краевая задача для нестационарных режимов трубчатых печей с применением законов сохранения энергии, массы и количества движения. На основе этой модели поставлены задачи оптимального управления для основных управляющих параметров. С помощью вариационных методов получили и проанализировали необходимые условия оптимальности для выбранных управляющих функций. Полученная сопряженная краевая задача по структуре аналогична исходной краевой задаче. При этом множители Лагранжа заданы в конечный момент времени, что обуславливает особенности на численную реализацию задачи оптимального управления. Предложен численный алгоритм решения задачи оптимизации, который включает в себя решения двух краевых задач и антиградиентный спуск по вариационным равенствам к минимуму. Сформулирована и решена задача оптимального управления технологическими режимами трубчатых печей, как объектов с распределенными параметрами.

Ключевые слова: оптимальное управление, система с распределенными параметрами, необходимые условия оптимальности, сопряженная краевая задача.

OPTIMAL CONTROL OF TECHNOLOGICAL FURNACES REGIMES

N. D. Demidenko

SDTB «Nauka» KSC of the SB RAS 53 Mira prosp., Krasnoyarsk, 660049, Russia. E-mail: tpya74@mail.ru

The author formulates the boundary value problem for the stationary modes of the tube furnaces with the use of the laws of energy conservation, mass and momentum. On the basis of this model the optimal control problem for the main control parameters is formulated. With the help of variational methods the author analyzed and obtained the necessary optimal conditions for the selected control functions. The obtained conjugate boundary value problem is similar in structure to the original boundary value problem. In this case, the Lagrange multipliers are given at the finite time, which provide for the particularities on the numerical implementation of the optimal control problem. The author proposes a numerical algorithm for solution of the optimization problem, which involves solution of two problems and antigradiently incline on the variational equations to the minimum. The problem of optimal control of technological regimes of the tube furnaces as objects with distributed parameters.

Keywords: optimal control, a system with distributed parameters, necessary conditions of optimality, conjugate boundary value problem.

Автоматизированная система регулирования (АСР) технологическими печами предназначена для поддержания оптимальной температуры нагреваемого продукта на выходе из печи с одновременным снижением расхода жидкого топлива и уменьшением загрязнения окружающей среды продуктами сгорания, предусматривающая максимальное использование топливного газа.

В качестве объекта управления выбрана секция С-100 установки ЛК-6У по переработке нефти, состоящая из трех трубчатых печей: П-101, П-102, П-103. Печь П-101 состоит из 8 секций, расположенных в виде двух блоков по четыре секции друг против друга и отдельно стоящих девятой и десятой секций. Все секции печи П-101 (первая и пятая) предназначены для нагрева горячей циркулирующей струи колонны К-101, остальные восемь секций предназначены для нагрева сырья колонны К-102. Печь П-102 состо-

ит из одной отдельно стоящей секции. Она предназначена для поддержания температуры низа стабилизационной колонны К-104.Печь П-103 состоит из одной отдельно стоящей секции. Она может быть использована для нагрева горячей циркулирующей струи колонны К-101 или для нагрева сырья колонны К-102.

АСР используется для регулирования разряжения в печах по всему тракту движения дымовых газов с целью поддержания оптимального коэффициента избытка воздуха и обеспечения равномерности работы горелок. Следящая АСР перепада давления «пар-мазут» предназначена для автоматического изменения давления пара, идущего на распыление жидкого топлива в зависимости от изменения давления жидкого топлива.

Нормальный технологический режим работы печей поддерживается путем правильной организации

горения топлива в горелках и контролируется по приборам и техническим характеристикам печи.

Температура нагреваемого сырья поддерживается путем автоматического регулирования количества топлива, сжигаемого в печи. Повышение температуры нагрева продукта в печах выше нормы не допустимо, так как это может привести к выходу из строя змеевика печи или к коксованию продукта.

Температура на «перевале» при эксплуатации должна поддерживаться в каждой секции за счет обеспечения равномерной работы всех горелок во всех радиантных камерах каждой печи. Величина температуры определяется показаниями термопар, установленных на перевалах печей.

Ниже приводится математическая модель нестационарного процесса горения в трубчатых печах [1].

1. Уравнения нестационарного горения. Теория горения капли жидкого топлива в [1] развита для случая молекулярных процессов горения. Ее можно распространить на случай конвективного тепломассообмена. Исходя из одномерности движения потоков, математическая модель нестационарного горения в технологической печи может быть представлена следующими уравнениями [2-4]:

1. Уравнение неразрывности

др + div (pu ) = 0

(1)

где р - массовая плотность смеси; и - скорость движения.

Для покомпонентной модели процесса горения уравнение (1) можно записать в виде

д^) + д(pxu )= px

дt

дl

(2)

здесь I - линейный размер; х - концентрация горючего вещества в смеси (0 < х < 1); т - время сгорания.

2. Уравнение движения в виде

f ды ды Л дР Л

pi — + u— l+— = 0 .

Ut дl J дl

3. Уравнение сохранения энергии

(3)

Уравнения (1)-(5) представляют собой математическую модель теплового процесса печи.

Дополним систему (1)-(5) уравнением состояния

P

- = RTn р

(6)

где Я - газовая постоянная.

2. Постановка задачи. Рассмотрим следующую тепломассообменную задачу для процессов в трубчатой печи. Для этого приведем систему (1)-(6) к нормальной форме:

др _ др ди

~ и~31

дх дх х

дt д1 т ’

ди ди дТп ЯТп др

— _ -и---------Я—п-----п—-,

дt д1 д1 р д1

дТп Т )х ди дТп +

—- _(1 -у)Тп------и—- +

д^ 4 п д1 д1

+ С~+К ( -Тп)

Чт Сур

дТ дТ

с _-М!+ * (Тп -Тс)-0(Тп).

(7)

дt

дl

Дополним систему (7) начальными и граничными условиями

нач. усл.

гран. усл.

рТп (д£+и - 0 (Тп )+К (Тс - Тп ), (4)

где q - теплота сгорания топлива; 0(Тп) - потери на

Р

излучение; £ - энтропия, причем £ _ Су 1п—

рУ

(у _ 1.0 -1.4 , так как для жидкостей различие между

Сv и Ср незначительно); Тс - температура сырья

(нефтепродукта в радиантных трубопроводах печи); К - коэффициент теплопередачи для рабочего потока; Тп - температура продуктов сгорания.

4. Уравнение теплообмена между нагреваемым сырьем и нагревательным газом

§-- . Цс _ *2 ( - Тс 0 ( ),

где К2 - коэффициент теплопередачи для стенки печи.

р(1,0 )_ч>1 (1) р(0, t )_^1 Т)

х (1,0)_Ф2 Т ), х Т0, t )_^2 Т )

и (1,0) _ф3 (I), и (0, t)_у3 (t), (8)

Тп (1,0)_ф4 (I), Тп (0,0_у4 (t),

Тс (1,0) _Ф5 (I), Тс (Ь, t)_у5 (t).

Здесь температура сырья задается в точке I _ Ь, так как сырье подается сверху в печь, и таким образом, имеем противоточный технологический процесс.

В качестве управлений возьмем изменение плотности горючего VI, концентрации у2, скорости у3, температур дымовых газов v4 и сырья v5. На управления наложим следующие ограничения:

_ (9)

v < v < v i = 15

imin _ i ~ imax’ ’

Введя фиктивные управления zi, i = 1,5, сведем неравенства (9) к равенствам

(vimax - vi ) (vi - vimin ) - Zf = 0, i = 1,5 (10)

Связь граничных условий с управлениями представлена ниже:

др (0, t)

дt ды (0, t) дt

=b1v1 (^

3x (0, t)

дt

= b2V2 (t),

дT„ (0, t)

= b3v3 (t), --------^-------= b4V4 (t)

дTc (0, t)

дt

= b5V5 (t).

Задача оптимального управления формулируется

следующим образом. Найти такие vi (), i _ 1,5 из

промежутков (9), которые в силу систем (7)-(8) дос тавляют минимум критерия качества

Т Ь

Ц (Тс (/, t)- т;(/, t)) с),

0 0

руется ^ (/, t), п (/, t), (i _ 1,5) - функции Лагранжа, I

определена ниже.

Вычислим вариацию функционала / при оптимальных р, х, и, Тп, Тс. Окончательно вариация функционала / выглядит так:

5/! _

(11)

где Т* - заданная температура сырья на выходе печи;

Т - время управления.

3. Необходимые условия оптимальности. Введем параметрические переменные, которые представляют основную особенность уравнений в нормальной форме:

др_£«, _С(2), ди _С(3)

д1

д1

д1

дТ _с(4), Т _С(5).

(12)

д/ д1

С учетом (12) система (7) будет иметь вид

д. = -иС(,)-р{(3). А',.

дt

£ = -и?(2)- х . .А,, а т 2

—_-иС(3)-ЯС(4)-^С(1) . Х3, дТ р 3

дТ„

_(1 -у)ТпС(3)- ис(4) +

(13)

дt хq С т

дТс дt

+ х-- ^ + *1 (Тс - Тп ). А 4, т рТп

_-^С(5)+ *2 (Тп - Тс )-0 (Тп ). А5.

/ _ /| + / 2 _ Ь&С + ^ ,

дО

где

др

дt

дх

дt

Ь _2 ^-Хх 1+^2 I ^-^2 | + §з| 1 +

ди

дt

+ 24 ^ - Х4 ) + ?, (^ - Х5 ) + П. (£-С(" | +

+- (I-;'2|Ь (I-’Ь (£-с-|+

+ П5 -С

(5)

ТЬ

_ Я

0 0

(РГ(3) рг(1) Щ 2 ОТтп) ^ (т) СП (t)

Ь1^ Ь3^ 2 ^4 „ 2

л

С,р2

дt

д/

5р(/, t) +

\

2 1 -2 _9_ д^2(Т) -дП2(/^

^2 т 24 С„т дТ д/ у

(Сх (/, ) +

^1с(1) +22с(2) +23с(3) +24с(4) -д23 (Т) дПз (/,Т)

1з ЯС(1)-^4

25*2

дТ

1

д/

5и (/, Т) +

Л

(1-у)с(3)+ С

чр

д24 (/, Т) дг|4 (/, Т)

-1

( ) Л

д0 (Тп)

дТ

д/

дТ, 5Тп (/, Т) +

- *1

^5*2 + 2Тс -2Т*+ад -

д^5 (/, Т) дп5 (/, Т)•

дТ

д/

+ (^1и + 23 -"р1-П )5С(1) + (и-П)5С(2) +

+ ( + ^и-^4 (1-У)Тп -П)

(3).

+ ( +^4и-П4 )5С(4)+(|5Ю-П5 )

ф)

см.

В уравнениях (13) параметрические переменные и управления входят формально одинаковым образом. Однако между ними имеются принципиальное различие, так как эти переменные играют различную роль. Дело в том, что управления задаются произвольно,

?~и)

а £ не задаются, а определяются по известным управлениям в результате решения задачи.

Для получения необходимых условий оптимальности рассмотрим вспомогательный функционал [3]

Собираем слагаемые при одинаковых вариациях функций и, используя аргументации теории вариационных исчислений, получим сопряженную систему уравнений относительно функций Лагранжа

д^1 _РГ(3)-РГ(1)ятп -2 0(Тп)-д дТ ^ ^3^ р2 ^4 Cvр2 д/ ’

д^2 _? 1 -? _q 5^2

дТ 2 - 4 ^ ,

т С т д/

% _ 2]С(1) +22С(2) +23?(3) +?4С(4 ’-д

дТ

д/

23 ^Я с(1)-24 ((1 -у)С(3) +

д24

дТ р

( 1 - 1Лд0 (Тп )

(14)

С, р

V у

дТп

- *

25 *2

дП4

д/

д2;^ = 25*2 +2Тс-2Тс*+24 *1 -^П/^ дТ д/

П1 _21и + 23 Яп-, П2 _ 22u, р

П3 _21р+23и - 24 Т1 -у)тп , (15)

П4 _ 23Я + 24u, П5 _25®.

С помощью (15) исключим в (14) п1, П2, П3, П4, П5 и, имея в виду, что

+

+

дп (І, і) _ д|і (/, і) 2 ди (І, і) ЯТп д^з (І, і)

дІ

дІ

: + 2

дІ

дІ

2зЯ дТп (І, і) 2зКТп др (І, і)

дІ

дІ

дП2 ( і) _„д22 (І,^, 2 ди (І,^)

" + Ь2"

дІ

• _ и-

дІ

дІ

дпз (І , і )_рдііМ+2і5рМ+и 5^з ( і)+

+2.

дІ ди (І, і) ! дІ

дІ

дІ

дІ

-(1 -У)

д^4 (І,і) + 2 дТп (І,і)'

дІ

- + 2

дІ

дп4 (І, і) д2з (І, і) ди (І, і) д24 (І,і)

- _ Я 1 ”

дІ

дІ

+ 24

дІ

■ + и -

дІ

дп5 (І, і)_ д^5 (І, і)

дІ

дІ

окончательно получим сопряженную систему относительно 2г, І _ 1,5

52!_ 2 Є(Тп) и ^ (І,і) ді 24 С„р2 дІ

ЯТп д2з (І, і) 2зЯ дТп (І, і)

дІ

дІ

д2

ді

2 2 1 2 Я .. 922 (І, і) 2 ди (1,0

_ Ь2 Ь4 „ и Ь2

С, Т

дІ

дІ

д2з

ді

_2

дх (І, і) д21 (І, і) д23 (І, і)

дІ

дІ

-и-

+ (1 -т)Т, §-+(2-т)2.

дІ

дТп (І, і) дІ ’

(16)

д24 _2

■ _ Ь4

ді р

24Ї ге (Т)

Я МИ+(у-2)24 £иМ+

ді

ді

т_________________________5,^2 - ЯдкМ - и дкМ -*,24,

С> дТп 5 2 ді ді 14

*2 + 2 ( - Т,' ) + » + ?4*1.

Начальные условия

2г (І, Т)_ 0, і _ ІД (17)

Аналогично проведем преобразования вспомогательного функционала І2 на границе области, имея в виду, что

/ _ Х(1)

+ х(з)

др(0, і ) ді

ди (0, і)

-Ьу1 (і)

-Х(2)

ді

- ьз^ (і)

-Х(4)

дх (0, і )

ді

дТп (0, і) ді

~Ь2^ (і) - Ь4^4 (і)

■х(5)

дТс (Ь, і)

ді

- Ь5^ (і)

+ ^(1) [(^1шах -V (і)) (і) - ^шіп ) - ) (і)] -

+ ^2) [^2шах - ^ (і))(^ (і)- ^шіп )- (і)]

+ ^3) [(шах - V (і)) (і)- ^шт )- ) (і)]

+^(4) [(шах - ^ (і)) (і)- У4шт )- ) (і)]

+ ^5) [(шах - V (і)) ( (і) - ^шт ) - ) (і)] .

Х(і^ (і), ц(і^ (і) (і _ 1,5) - функции Лагранжа.

При этом получим:

т [ ( Л

8і2 _{ п ^, і)§р(4і)- п (°і)+§р(0, і)+

Л х(2)

Лі

+ П2 (Ь і )8х (^ і )- П2 (0, і ) +

V

( ЛХ(3) ^

+П3 (Ь,/)8и(Ь,ї)- п3 (0,і)+-------------

V

и ^(4) л

Л

И х(5)

+ П4 (Ь,і)8Тп (Ь,г)- П4 (0,і) +

V

(

+ П5 (Ь,і)8ТС (Ь,і)- П5 (0,і) +

Лі

5х (0, і) + 8м (0, /) + 8Т„(0, /) + 8Т(0, і) +

+ (-Х(1)ь1 + Ц(1) (У1шах - 2Vl (і) + ^1шіп ^) ■

+ (-^(2)^2 +^(2) (^2шах - 2^2 (і) + ^2шіп ))8^2 (і)’

+ (-Х(3)Й3 + Ц(3) (У3шах - 2Vз (і) + ^3шіп )) () "

+ (-Х(4)ь4 +Ц(4) (У4шах - 2^4 (і) + V4шi^ ))8V4 (і)

V V // (18)

+ (-Х(5)ь5 + Ц(5) (|^5шах - 2v5 (і) + V5шiJ) (і) -- 2ц(1Ц (і)8г1 (і)- 2ц(2)г2 (і)8г2 (і)-2ц(з)гз (і)х

) +

1 + ) +

1 +

х 8гз (і)-2ц(4)24 (і)8г4 (і)-2ц(5)г5 (і)8г5 (і) откуда

П1 (0,,)+Л^;1)_ о. П2 (0,<)+Л^_ 0,

”3 (°, ') + Л^(- = 0 44 (°, ') + ЛЛ'- = °,

( ) Лх(5)

Пз(Ь,')+ — = 0

или с учетом (15) имеем

““""■__21 (0, і )и (0, і )-2з (0, і )ЯТМ,

Лі,

Лі

Л Х(2) Лі

_-22 (^ і)и (0, і)

(з)

Лі

■ _ -21 (0, і) р (0, і) - 2з (0, і)+24 (0, і) (1 - у) Тп (0, і),

Л х(4) Лі

_-2з (0, і )я -24 (0, і) и (0, і),

— -<5 {и Ь (.9)

Для системы (19) начальные условия следующие:

х(1){:т) = о, х{2)(т) = о, х(3){т) = о,

х{4){т) = о, х(5){т) = о. ( )

кроме того,

п(1)(м ) = о, ) = о, п{3)СМ ) = о,

п(4)(ь, г ) = о, п(5) (о, г) = о

или

5. (ь, г)и (I, г )+5з (ь, г = о,

52 (ь, г) и (ь, г ) = о, 5. (ь, г) р (ь, г)+5з (ь, г)и (ь, г) - (1 - у) 54 (ь, г) г„ (ь, г) = о, 53 (ь, г) я+54 (ь, г)и (ь, г) = о, 55 (о, г )ю = о.

Из (18) также следует, что

Л () = 0, (г) = а () = а

Ц4^ (г) = о, цЯЦ (г) = о.

A = ■ -X(1)bj - +ц(1Ч v — 1max 2v1 (t)+ v1min ) = :0,

L2 = 2 <N - +ц(2) (v2max — 2v2 (t)+ v2min ^ ) = 0,

L3 = —X(3)b3 +ц(3)| (v3max - 2v3 (t)+ v3min ) = 0,

L4 = —X(4)b4 +ц(4) (v4max — 2v4 (t)+ v4min ^ ) = 0,

L5 = -X(5)b5 +ц(5)| ^ 5max - 2v5 (t)+ v5mm) = 0.

Таким образом, мы получим систему (16) с начальными условиями (17) и граничными условиями (19)-(22). Из (21) следует: если zi = о, i = 1,5, то управления у1 (г), i = 1,5 принимают граничные значения шт или тах . Если же ^ (г) = о, i = 1,5, то

на технологические параметр процесса наложены жесткие условия.

Левые части (22) конечно-разностных аналогов уравнений представляют собой градиенты аппроксимированного функционала качества (11). Следовательно, для решения задачи может быть применен градиентный метод.

Метод решения задачи оптимального управления заключается в следующем:

1. Задаются начальные приближения управления v0 (t), i = 15.

2. Если vn (t) известны, из системы уравнений (7) и начальных и граничных условий (8) находятся

p(n)(l, t), x(n)(l, t), u( n)(l, t), t( n)(l, t), t( n)(l, t) и из

сопряженной задачи (16)-(22) находятся |(n) (l, t),

Х( n)(l, t), i = 15.

3. Далее полагаем v|n+1) = v" — xLi, n = 0,1,2,..., i = V5.

4. Предельные значения управлений дают решение задачи оптимального управления.

Библиографические ссылки

1. Варшавский Г. А. Горение капли жидкого топлива (диффузионная теория) // Бюро новой техники НКАП. М. : Гостехиздат, 1945. № 6. С. 87-106.

2. Демиденко Н. Д. Моделирование статических и динамических режимов в трубчатых печах // Управление, вычислительная техника и информатика // Вестник Томского государственного университета. 2012. № 3 (20). С. 13-21.

3. Демиденко Н. Д., Потапов В. И., Шокин Ю. И. Моделирование и оптимизация систем с распределенными параметрами. Новосибирск : Наука. 2006. 551 с.

4. Демиденко Н. Д., Еркаева Е. А., Школьникова И. Р. Разработка методов и программ расчета статических и динамических характеристик технологических печей. Красноярск : Вычислительный центр СО РАН СССР. 1986. 23 с.

References

1. Warshawskiy G. A. Byuro novoy tekhniki NKAP. Moscow, Gostekhizdat, 1945, № 6, р. 87-106.

2. Demidenko N. D. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. 2012, 3 (20), р. 13-21.

3. Demidenko N. D., Potapov V. I., Shokin Y. I. Modelirovaniye i optimizatsiya sistem s raspredelennymi parametrami (Simulation and optimization of distributed parameter systems). Novosibirsk, Nauka, 2006, 551 р.

4. Demidenko N. D., Erkayeva E. A., Shkolnikova I. R. Razrabotka metodov i programm rascheta staticheskikh i dinamicheskikh kharakteristik tekhnologicheskikh pechey (Development of methods and programs for calculation of static and dynamic characteristics of process furnaces). Krasnoyarsk, Vychislitel'nyy tsentr SO RAN SSSR, 1986, 23 р.

© Демиденко Н. Д., 2013