CC BY
29
УПРАВЛЕНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 629.78
ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА МЕЖДУ КРУГОВЫМИ КОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ
©2005 О.Л. Старинова
Самарский государственный аэрокосмический университет
Сформулирована задача оптимизации движения материальной точки постоянной массы между круговыми компланарными орбитами под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от притягивающего центра с точки зрения быстродействия. Получены приближенное аналитическое и численное решение задачи оптимизации на основе принципа максимума Понтрягина. Предложен подход к выбору начальных параметров краевой задачи и получены зависимости длительности и угловой дальности движения от граничных условий и начального уровня ускорения.
Рассматривается задача о плоском движении материальной точки постоянной массы в гравитационном поле одного притягивающего центра. На точку непрерывно действует сила, величина которой обратно пропорциональна квадрату расстояния от притягивающего центра, а направление образует угол Я с радиус-вектором г (рис. 1).
Такой моделью можно приближенно описывать, например, перелеты космического аппарата с двигателями малой тяги при следующих допущениях:
- мощность энергоустановки обратно пропорциональна квадрату расстояния от Солнца;
- двигатель работает без выключения;
- скорость истечения настолько большая, что расходом рабочего тела можно пренебречь по сравнению с массой аппарата.
Такое движение в полярной системе координат описывается системой уравнений:
.2 -1 + a0cosA -rq>=-1-.
.. a. sin/. 2г<р + гр = -*—:—,
0)
где г, V -безразмерные полярные координаты точки, а„ - безразмерное ускорение на орбите единичного радиуса, л - угол между ускорением и радиус-вектором, а - угол между вектором скорости и радиус-вектором.
Рис. 1. Система координат
Аналитическое решение задачи
с Я = const ■
В динамике полета КА с малой тягой известно [ 1 ] аналитическое частное решение системы, полученное при тангенциальном
направлении ускорения, т. е. при |«| = Я . Траектория этого решения - логарифмическая
спираль раскручивающаяся при о. = Я (вектор ускорения направлен по вектору скорости) и скручивающаяся при а = -Я (направление ускорения противоположно вектору скорости). Радиус вектор материальной точки и длительность движения по такой траектории в обозначениях системы (1) в зависимости от угловой дальности перелета изменяются согласно зависимостям:
(2)
scosa
Однако, оказалось возможным получить аналитическое решение в более общем случае - когда углы а и Я постоянны, но не равны. Такое решение для космического аппарата с солнечным парусом было описано в [3].
Найдем условие существования спиральной траектории с постоянным углом между скоростью и радиус вектором а . Предположим, что движение точки происходит по такой траектории, т.е. описывается уравнениями:
уг
г = г0е^а, у = с'ёа . (3)
Продифференцируем первое уравнение из (3) и подставим в (1):
. 2 ■» 2 a„cosX-1 гф ctga + гф ctga-гф = —-г-,
гф + 2г clga ф
t ■■
21
■И-**)
sin(a - Я)
3cosaJl-a„ ""'v '*> ■ (8) sin а
Уравнение (8) преобразуется в известное уравнение (2), если а = Л ■
Продифференцировав (5), с учетом (7) получим
y = -\v1ctga. (9)
Подставив (9) во второе уравнение (4), с учетом (5) получим уравнение связи углов а и Я:
coxa-sinа
2 - cos а
ап sin Я 1 -а0 cos Я '
(10)
Будем считать, что заданы величина ускорения а0 и его направление Я > тогда угол а можно выразить в виде:
1) если спираль скручивается (радиус орбиты уменьшается), то
2 _a0sinX (4)
В (з - Vi - 8 J32)
(П)
Выражая из второго уравнения (4) ф, подставим в первое и получим:
если выполняется
<Р =
[. sin{a - Я)
sinaM-aB —---1
V sin а
гХ
(5)
Отсюда имеем:
sin а
, sinía - Я) 1-а„—-i-
sima-Л.) cosa.ll-а„—----i
А.е[-*;0]. a0 < --
3 sin[x-x)' 2) если спираль раскручивается, то
- - т arcsm
если выполняется
!-(з + УГ
ш
I + в2
sin а , (6)
(12)
(13)
(14)
[ sin(a-?.) cosa. 11- а. —---
к =r = l vctga =-* sina ■ (7)
г 1
Уравнение (5) можно проинтегрировать и получить зависимость длительности движения от радиусов начальной и конечной траекторий:
гае
В =
a0sinX ~ i
1-г Я = arcsin- » 0,3398 гид
1 -a0cos/.' 3
Пользуясь условиями (12) и (14) можно построить области допустимых параметров
ад и Я при которых движение по спиральной траектории (3) возможно. Эта область показана па рис. 2.
На рис. 3 показан пример спиральной
траектории движения аппарата для а0 = 0,3, Я = 12° (точка А на рис. 2), при этом по формуле (10) а = 79,8°.
90
Рис. 3. Траектория движения при а0 = 0,3 , Л = 12°. а(а0,Л)= 79,8°
При заданном начальном уровне безразмерного ускорения а0 длительность перелетов по таким траекториям изменяется в зави-
Рис. 4. Зависимость длительности перелетов с г0 = 1, а0 = 0,3 в зависимости от угла направления ускорения Д
симости от выбранного угла Л согласно зависимостям (7,10) или (7,11). Например, на рис. 4 показаны зависимости длительности перелетов от выбранного угла X с безразмерным ускорением а0 = 0,3, начальным радиусом орбиты г0 = 1 (орбита Земли) и конечными радиусами гк = 0,387, 0,723, 1,524 (средние радиусы орбит Меркурия, Венеры и Марса соответственно).
Получить аналитическую зависимость угла , обеспечивающего минимальную длительность перелета, от начального уровня
безразмерного ускорения а0 и конечного радиуса перелета гк не представляется возможным. В таблице 1 показаны результаты численного решения этой задачи при гк = 1,524
Таблица 1. Результаты аналитического решения задачи об оптимальном по быстродействию перелета с гк = 1,524 для различных уровней начального ускорения
а„, безр а„, мм/с2 ТтШ > безр ^.сут Я, рад Я,град
0,333 1,9795 0,6252 36,32 1,2380 70,93
0,30 1,7816 0,8298 48,20 1,3603 77,94
0,25 1,4847 1,0711 62,22 1,4198 81,35
0,20 1,1877 1,3936 80,96 1,4595 83,62
0,15 0,8908 1,9055 110,70 1,4515 85,46
0,10 0,5939 2,9039 168,69 1,5196 87,07
0,05 0,2969 5,8592 340,37 1,5456 88,56
0,01 0,0594 29,376 1706,5 1,5658 89,71
(орбита Марса) для различных уровней а„. При пользовании этой таблицей и графиками (рис. 4) необходимо учитывать, что на спиральной траектории с л = const составляющие вектора скорости точки должны удовлет-V* - ,
ворять уравнению связи тг - с18а (в том
г
числе начальные и конечные условия).
Численное решение задачи
с Л = Аор,(().
Рассмотрим задачу об оптимальном по быстродействию перелете между круговыми компланарными орбитами материальной точкой, уравнения движения которой описываются (1). Приведем эту систему к нормальному виду:
dr
dt
dip Tt'
= Vr,
(15)
dVr_ К 1
dt г г2 г2
dV г . V V ' г" р
dt г г2
cos Л ■•
(16)
При не фиксированной угловой дальности, с учетом условия трансверсальности
Р9{Г) = 0 и уравнений для оптимального управления (16), система дифференциальных уравнений для сопряженных множителей имеет вид [2]:
ж
V 21 г' У VV 2a„ P r f , 0 "Я r2 + r,
II 0 => P,*0,
dPv ~dT V. = -Pr+Pyt-L, ' r
dPr > _ PyV, -2Pvyf
dt r
(17)
Таким образом, задача об оптимальном по быстродействию перелете между круговыми, компланарными орбитами сводится к следующей двухточечной двухпараметрической краевой задаче. Требуется найти такие началь-
значения
Л =arctg-
В соответствии с формализмом принципа максимума Понтрягина введем вектор сопряженных переменных
Pr, РК, Pyj'
и составим Гамильтониан Н = • Р,
где X = (г, (р, Vr, )т - вектор фазовых
координат системы (15). Из условия максимума Гамильтониана найдем оптимальное управление:
Р.,
sin Л ■■
В = +К,(>оУ (рг = ±1 - ИЗ условия нормировки), чтобы на концах оптимальной траектории выполнялись начальное и конечное условия:
Д'о) = (^о=1. ?о=0, Ко= 0, ^0=1),
(18)
Х(Т)-
rk, <рк -unfixe, Vri=Q, rn=-f=
Vt J
Функция невязок / = ^(Л Уг)2 +(дК?)2 (выход из интегрирования осуществляется по гк ) краевой задачи очень чувствительна к начальным значениям подбираемых параметров и "овражистый" характер. Например, на рис. 5 показана такая зависимость в окрестности оптимального решения (для гк = 1,524,
ч>
г
vr
и
2,5 0,25
Рис. 5. Линии уровня функции невязок краевой задачи (15-18) / = ^(ДV,)' + (д^)2 от начальных условий подбираемых параметров ^ ~ агс'^~р~ >л В
а0 = 0,1). Поэтому краевая задача плохо схо-
В результате решения этой задачи по-
дится. Использование в качестве начального лучены зависимости программы изменения приближения для подбираемых параметров угла управления Лор1 (/) от начального уров-
результатов аналитического решения при X = const приводит к существенному улучшению сходимости краевой задачи.
ня безразмерного ускорения а0, показанные на рис. 6. При небольших уровнях ускоре-
5 10 15 20 25 Т, безр
Рис. 6. Оптимальные программы управления \р1 (') для гк = 1,524 и различных уровнях безразмерного ускорения а0
Рис. 7. Траектория перелета: а - гк =1,524, а0 =0,01 б- гк =1,524 а„ =0,1, а0 =1
ния (а0 да 0,05) оптимальный по быстродействию управляющий угол (г) колеблется относительно угла управления, полученного аналитически с периодом приближенно равным одному витку орбиты. С уменьшением ускорения амплитуда этих колебаний уменьшается. Для больших уровней ускорения программа оптимального по быстродействию управления существенно отличается от аналитического. Угол управления в этом случае близок к классическому решению для двигателей большой тяги - импульсного перелета по эллипсу Гомана.
Сравнивая результаты численного оптимального решения с аналитическим можно
утверждать, что при а0 <0,333 полученные длительности перелета и траектории движения близки. Траектории движения второй задачи (рис. 7, а) при таком уровне ускорения близки к траекториям первой задачи, особенно на среднем участке траектории.
Начальный и конечный участки траектории у первой и второй задачи существенно отличаются из-за разницы в начальных и конечных условиях по составляющим скоростей. При увеличении ускорения а0 существенно меняется вид траекторий полученных с оптимальным углом управления Хор1 (?) (рис. 76). Траектория перестает носить спиральный
характер.
Поскольку при малых значениях а0 решения первой и второй задач близки, то результаты аналитического решения можно использовать в качестве начального приближения для краевой задачи. Такое использование позволило получить множество решений краевой задачи для широкого диапазона параметров гк е [0,1; 5] и а0 е [0,001; 5]. На рис. 8 показаны зависимости длительности перелета от начального уровня безразмерного ускорения а0, для перелетов с увеличением конечного радиуса орбиты гк.
По результатам решения построены ап-проксимационные зависимости для начальных значений параметров краевой задачи, длительности и угловой дальности перелета. Эти зависимости можно использовать в качестве первого приближения для решения задач оптимизации движения КА с двигателями малой тяги с солнечной энергоустановкой. При достаточно больших скоростях истечения рабочего тела погрешность вычисления длительности и угловой дальности перелетов, связанная с изменением массы КА составляет от 5 до 15 процентов, однако структура оптимального управления и вид траектории практически не изменяется.
Рис. 8. Зависимость минимальной длительности перелета ТкШ от начального уровня безразмерного ускорения а0 для различных конечных орбит
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В. В. Механика космического полета (проблемы оптимизации). М.: Наука, 1975.
2. London H.S. Some exact solution of the equation of motion of a solar sail with constant sail setting. ARSJ. 1960. V.30. №2. (Рус. пер.: Лондон Г.С. Некоторые точные
решения уравнений движения космического корабля с солнечным парусом при постоянном угле установки паруса// В кн.: Механика: Сб. переводов, № 1. М.: 1962.)
3. Ишков С.А., Мылокумова О.Л., Сашин В.В. Оптимизация замкнутых межпланетных перелетов Земля-Марс-Земля с малой тягой //Космические исследования. 1995. Т.ЗЗ. №2.
OPTIMUM DRIVING ON SPEED BETWEEN CIRCULAR COPLANAR ORBITS
©2005 O.L. Starinova
Samara State Aerospace University
The problem of optimization of driving of a mass point of a constant mass between circular coplanar orbits under an operation of force, inversely proportional to quadrate of distance from the attracting center is formulated from the point of view of speed. Are obtained the approached analytical and numerical solution of a problem of optimization on the basis of the Pontryagin maximum principle. The approach to a choice of initial parameters of a boundary value problem is offered and approximating associations of duration and angular distance of driving on boundary conditions and an initial level of acceleration are obtained.
