Оптимальная толщина локально нагреваемого теплозащитного покрытия с зависящим от температуры коэффициентом теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математика к Математическое

моделирование

ХДК 536.244

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. №2. С. 22-33.

Б01:10.7463/шаШш.0216.0843758

Представлена в редакцию: 09.06.2016 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

Оптимальная толщина локально нагреваемого теплозащитного покрытия с зависящим от температуры коэффициентом теплопроводности

Зарубин В. С.1'*, Котович А. В.1, Кувыркин Г. Н.1 *fn2@bmstu.ru

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Один из широко применяемых в технике способов защиты конструкций и оборудования различного назначения от непосредственного воздействия локализованного теплового потока состоит в нанесении на их поверхность слоя теплозащитного покрытия. В работе построена математическая модель, описывающая процесс стационарной теплопроводности при локальном нагреве наружной поверхности теплозащитного покрытия на охлаждаемой плоской стенке. Коэффициент теплопроводности материала покрытия зависит от температуры, а тепловой контакт между покрытием и стенкой принят неидеальным. Количественный анализ математической модели сведен к решению краевой задачи для уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат. Полученное в аналитической форме решение задачи позволило определить оптимальную толщину покрытия, при которой температура наиболее нагретой точки на его наружной поверхности будет наименьшей. Установлено, что при наличии идеального теплового контакта между покрытием и стенкой указанный оптимум отсутствует, а температура наиболее нагретой точки наружной поверхности

Ключевые слова: теплозащитное покрытие; локальный нагрев; оптимальная толщина покрытия

Введение

Эффективная защита конструкций от локализованного интенсивного теплового воздействия возможна путем применения теплозащитного покрытия [1, 2, 3, 4]. При нанесении слоя покрытия на поверхность конструкции тепловой контакт на этой поверхности в общем случае отличается от идеального и соответствует некоторому значению коэффициента контактного теплообмена. В случае высокого уровня плотности локализованного теплового потока температура в наиболее нагретой точке наружной поверхности покрытия может существенно превосходить температуру защищаемой конструкции, что приводит к необходимости учитывать зависимость коэффициента теплопроводности материала покрытия от температуры.

Для количественного анализа влияния перечисленных особенностей теплового взаимодействия покрытия с защищаемой конструкцией целесообразно использовать методы математического моделирования [5, 6, 7], позволяющие построить адекватную математическую модель процесса теплопроводности в слое теплозащитного покрытия. Такая модель должна дать возможность определить при заданной толщине покрытия его температурное состояние, но и найти оптимальное соотношение определяющих параметров, обеспечивающих наименьшую возможную температуру в наиболее нагретой точке наружной поверхности покрытия. Одним из этих параметров может быть толщина слоя покрытия, которую следует считать оптимальной.

1. Построение математической модели

Рассмотрим плоский слой теплозащитного покрытия толщиной к с зависящим от температуры Т коэффициентом теплопроводности А(Т). Покрытие нанесено на плоскую поверхность защищаемой от нагрева конструкции, имеющей заданное значение температуры Т0, обеспечиваемое системой охлаждения этой конструкции. Неидеальному тепловому контакту между покрытием и конструкцией соответствует коэффициент контактного теплообмена а. Наружная поверхность покрытия подвержена локальному нагреву, описываемому осесимметричным распределением плотности теплового потока по закону

д(г) = 00ехр(-72г2), qo > 0, т> 0, (1)

где г — радиальная координата, отсчитываемая от оси О г цилиндрической системы координат (рис. 1). Параметр 7 формуле (1) характеризует степень концентрации теплового потока при локальном нагреве слоя теплозащитного покрытия.

Рис. 1. Расчетная схема слоя покрытия при локальном нагреве

Стационарное распределение Т (г, г) температуры в слое покрытия удовлетворяет дифференциальному уравнению с частными производными

1 8Т\ ^(хдТ\ _о

г дг I дг I дг I дг I

с граничными условиям

дТ дг

г=0

дТ дг

= 0,

(2)

(3)

г^оо

А—

дг

г=0

«(V(г,0) - То

А—

дг

3(г).

(4)

(5)

г=Н

Условие (3) означает отсутствие радиальной составляющей вектора теплового потока на координатной оси Ог симметрии распределения температуры и на большом удалении от зоны локального нагрева, где, согласно формуле (1), д(г) ^ 0.

Соотношения (1)-(5) определяют постановку нелинейной краевой задачи, вытекающей из математической модели процесса теплопроводности в слое теплозащитного покрытия. Исходя из физического смысла этой задачи следует, что Т0 ^ Т(г, 0) < Т(0, 0) < < Т(0, Л) = Тт при г > 0, где Тт — наибольшая температура слоя покрытия. Примем, что в промежутке значений температур Т0 и Т(0, 0) допустимо принять коэффициент теплопроводности теплозащитного покрытия не зависящим от температуры и равным А0. Тогда, введя функцию

т

^(Т) = I А(Т') ЛТ',

То

для указанного промежутка температур получим

^(г, 0) = Ао(Т(г, 0) - То).

При помощи формулы (6) преобразуем соотношения (2)-(5) к виду

0,

1 д ( д2^ г Зп дг / дг2

д^ дг

г=0

д^ дг

0,

д^ дг

2=0

у-^(г, 0), А0

д^ дг

(6)

(7)

(8) (9)

(10) (11)

г=Н

причем правая часть соотношения (4) преобразована с учетом равенства (7), использование которого в сочетании с формулой (6) позволило линеаризовать нелинейную краевую задачу и свести ее к стандартному виду для уравнения Лапласа в двумерной области.

2. Решение поставленной задачи

Уравнение Лапласа (8), записанное в цилиндрической системе координат, можно решить методом Фурье разделения переменных [8, 9], представив искомую функцию в виде

-0(г, г) = Я(г) X(г).

(12)

г—>оо

Подстановка этой формулы в уравнение (8) приводит к равенству

1 ( ( (Е(т) \ 1 d2Z(г)

тЕ(т) (ту (т у Z(г) (г2

Полученное равенство можно выполнить лишь при условии, когда его левая и правая части равны порознь некоторой одной и той же величине, которую обозначим р2. Тогда из этого равенства следуют два обыкновенных однородных дифференциальных уравнения

1 ( ( (К(т)\ 2„, , d2Z(г) ,

с соответствующими общими решениями

Я(т) = С^0(рт) + С2У0(рт), Z(г) = Вх сЬрг + В2 бЬрг. (13)

Поскольку функция Бесселя У0(рт) при т ^ 0 неограниченно возрастает, а ^ 0 при

т ^ 0 и т ^ ж, граничные условия (9) могут быть удовлетворены первым равенством (13) лишь при С2 = 0, но при произвольном значении С\. Из граничного условия (10) и второго равенства (13) следует

а

^2 = — А. (14)

рЛо

Область решения задачи в направлении радиальной координаты т является полуограниченной. Поэтому параметр р изменяется непрерывно, принимая все возможные неотрицательные значения. Тогда вместо равенства (12) с учетом соотношения (14) запишем

ф(т, г) = У В(р) Л0(рт) ^бЬрг + сЬрг^ (р, (15)

о р 0

где В(р) = С\0\ — не зависящая от координат величина, являющаяся функцией лишь параметра р. Для ее нахождения используем граничное условие (11), которое после подстановки в него формулы (14) примет вид

те

J В(р) Л0(рт) ^ — сЬрН + р бЬрН^ (р = д(т). Из сопоставления этого равенства с интегралом типа Фурье — Бесселя [10]

те те

У Л0(рт) р(р I д(т') Л0(рт') т' (т' = д(т)

00

получим

рЛ0 те , ч т , ч , рЛ0 50 ( р

2

В (р) = „.„и „и , „л „и „г, I 5(т) ^(рт) т(т = , „л „и„г, ТГ~2 еХЦ и 2 I '

а сЬ рН + рЛ0 бЬ рН У а сЬ рН + рЛ0 бЬ рН 272 у 472

Согласно [11], с учетом зависимости (1) запишем

тете 2

J д(г)Ло(рг)г ¿г = до J Ло(рг) ехр(—72г2)г ¿г = ехр ^—

Подстановка двух последних соотношений в формулу (15) дает решение рассматриваемой задачи в виде

до 7т/ ^ЛосПР^ + а81Р^ ( Р2 А Р А плч

^ = 7 / Ло(рг) а с.рЛ + рЛо >1рЛ еХЧ-4^ Ч(16)

3. Оптимальная толщина слоя покрытия

Поскольку Л(Т) > 0, из формулы (6) следует, что функция ф(Т) является строго монотонной возрастающей, т.е. значению Тт = Т(0, Л) в наиболее нагретой точке покрытия соответствует наибольшее значение

Тт

Фт =/ Л(Т) ¿Т

То

этой функции. Использовав соотношение (16), запишем

0 = = те рЛо сПрЛ + а рЛ ехр(—_р2_А й(Р.А. (17)

до/7 7 а спрЛ + рЛо бпрЛ V 472/ 427/

Теперь в качестве оптимальной толщины Л* покрытия из материала с коэффициентом теплопроводности, зависящим от температуры, можно считать такое значение Л, которое соответствует наименьшему возможному значению 0.

При Л ^ 0, когда слой покрытия становится весьма тонким и перенос теплоты теплопроводностью в направлении радиальной координаты убывает, из формулы (17) получим очевидный результат 0о = 7Ло/а = 1/в ,ав случае весьма толстого слоя покрытия (Л ^ то) из той же формулы следует

0те = /ехр(-<£) = £ - 0,88,

о

Для последующего анализа формулу (17) представим в виде

0=те ^2*0 + в вЪ^) ех ,2) (18)

0 = У всЬ(2к£) + 2{ >1.(2*0 еХР<_е ' ^ <18)

где £ = р/(27) и к = 7Л,. На рис. 2 в полулогарифмических координатах представлены построенные по формуле (18) графики зависимости 0 от параметра к при различных значениях в (кривые, расположенные ниже кривой для в =1, соответствуют изменению этого параметра с шагом 0,1 до значения в = 2). При в = 2 наименьшее значение 0 равно

Рис. 2. Зависимость В от параметра к при различных значениях в

в* = 1/в = 0, 5 и достигается при К ^ 0, т.е. в случае бесконечно тонкого покрытия. С уменьшением в наименьшее значение в возрастает и при в ^ 0 и К ^ стремится к значению в7. Проведенные расчеты показывают, что при в > 2 зависимость вт от параметра к становится монотонной, т.е. экстремум отсутствует и не существует оптимальное значение толщины покрытия. Этот результат можно обосновать более строго.

Необходимым условием существования минимума зависимости в от толщины к слоя покрытия является равенство

(а)2 - (Л)2 ч / £ ч =0,

дк У (а еЬрк + рЛ0 вЬрк)2 V 472/ \27

в котором подынтегральная функция непрерывно убывает при изменении переменного интегрирования р. Поэтому при фиксированных значениях параметров а, Л0, к и 7 возможно лишь единственное нулевое значение интеграла. Это означает, что если экстремум существует, то он единственный. Экстремум будет минимумом лишь в том случае, если при

д В

увеличении к значение в сначала уменьшается, т.е. < 0 при к ^ 0. Поскольку при

к ^ 0

дв=7(1 - / р^ ч2ч ехр/-^ и р-ч=7 - / 42

дк IV1 -1—;; ехЧ-п^=7 -1—)7-

получим, что минимум существует при условии в = а/(7Л0) < 2.

Таким образом, из равенства (19) при в < 2 можно найти оптимальное значение к* толщины слоя покрытия, а затем из формулы (17) вычислить соответствующее этому значению минимально возможное значение в* = ф*7/д0. На рис. 3 представлены результаты расчетов по указанным формулам в виде графиков зависимостей от параметра в числа Био Ы* = ак*/Л0, включающего искомое значение к*, и параметра в*, содержащего минимально возможное значение ф* функции ф(Т) в наиболее нагретой точке наружной поверхности слоя покрытия. Поскольку эта функция строго монотонна, ей соответствует также

Рис. 3. Результаты расчета оптимальной толщины и минимальной температуры покрытия при локальном нагреве

строго монотонная обратная функция T(—), то позволяет по найденному значению —* однозначно вычислить значение T* (—*) минимально возможное значение температуры в наиболее нагретой точке наружной поверхности.

Из рис. 3 следует, что приуменьшении параметра в возрастает значение в*. Стремление параметра в к нулю в данном случае может быть вызвано двумя причинами. Одна из них связана с возрастанием параметра 7, т.е. с усилением локализации теплового воздействия на наружную поверхность покрытия. Второй причиной является увеличение коэффициента теплопроводности Ао, что может быть характерно в случае применения достаточно теплопроводного покрытия. При в = 0 вычисления приводят к значению Bi* « 0, 903 и к уже указанному выше значению в* = у/л/2 ~ 0, 886.

На рис. 4 штрихпунктирная прямая устанавливает связь между функцией — (T) и температурой T в частном случае неизменности значения коэффициента теплопроводности А материала теплозащитного покрытия при изменении температуры (А = const), штриховая линия отвечает материалу с убывающим значением этого коэффициента по мере увеличения

Рис. 4. Влияние характера зависимости коэффициента теплопроводности от температуры на значения аргумента функции ф(Т) при ее фиксированном значении ф*

температуры (dA/dT < 0), а сплошная кривая — материалу с возрастающим значением, когда dA/dT > 0. Из этого рисунка следует, что при фиксированном значении —*, соответствующем оптимальной толщине h* покрытия температура T* в наиболее нагретой точке его наружной поверхности в случае dA/dT > 0 будет иметь меньшее значение по сравнению со случаями А = const и dA/dT < 0.

Следовательно, с точки зрения стойкости теплозащитного покрытия, подверженного интенсивному локализованному тепловому воздействию, для уменьшения температуры Tm в наиболее нагретой точке целесообразно выбирать материал этого покрытия с коэффициентом теплопроводности, возрастающим с увеличением температуры. Отметим, что дополнительно можно снизить значение Tm путем применения покрытия из слоистого анизотропного материала, у которого коэффициент теплопроводности в плоскости слоев имеет большее значение по сравнению с коэффициентом теплопроводности в направлении, перпендикулярном слоям [4, 12].

Если зависимость коэффициента теплопроводности от температуры линейна и имеет вид Ai(T) = А0 + A'(T — T0), А' = 0, то в соответствии с формулой (6) получим

A'(T — T )2

—i(T) = Ao(T — To) + ( 2 0) . Отсюда следует формула для функции, обратной по отношению к функции —1 (T):

™ = т. + ЭД^ - 0 •

В случае экспоненциальной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры в виде Л2(Т) = Ао ехр(а(Т — Т0)) (а = 0), используя формулу (6), вычисляем

) = ^ fexp(a(T - T0)) - l)

a v /

ВД)= To + iln(l + ^).

a V Ao /

!0 а

и затем находим функцию, обратную по отношению к функции O2(T):

а V А0

Полученные формулы при линейной и экспоненциальной зависимостях коэффициента теплопроводности изотропного материала покрытия позволяют перейти от полученного решения задачи в виде функции O(r, z) к соответствующему распределению температуры Т(r, z).

При идеальном тепловом контакте слоя покрытия с охлаждаемой конструкцией а ^ <х>. В этом случае вместо формулы (17) получим

/ 2 =qO/Y =/(,h - ы < !)• (20)

а вместо равенства (19) —

д( J>2_\ pdp

dh 2k J eXPV 4k22 J ch2 ph' o L

Из этого равенства следует, что при h ^ 0

оо

= /expf —P^ÎtP ) = k > 0,

дк У ^ V 4к2/ \2к 0

т.е. необходимое условие ^^ = 0 существования минимума зависимости в7 от к не может

m

быть выполнено. Таким образом, при увеличении толщины к слоя покрытия значение -ф функции ф (Т) в наиболее нагретой точке наружной поверхности этого слоя в случае а ^ то будет монотонно возрастать, что равносильно монотонному возрастанию температуры в этой точке. При этом значение фт можно найти из формулы (20), а распределение ф(г, г) в слое покрытия найти из преобразованной при а ^ то формулы (16) в виде

оо

ф(г'г) = ?/Ло(рг) е^ ехр(- 4?) К 0

Следовательно, при а ^ то, т.е. в случае идеального теплового контакта покрытия с защищаемой охлаждаемой конструкцией не удается достигнуть наименьшего значения температуры в наиболее нагретой точке наружной поверхности покрытия путем изменения его толщины.

Заключение

Количественный анализ математической модели, описывающей установившееся распределение температуры в теплозащитном покрытии, наружная поверхность которого подвержена локальному нагреву, позволил установить область определяющих параметров, в которой путем изменения толщины покрытия с зависящим от температуры коэффициентом теплопроводности можно обеспечить минимально возможное значение температуры в наиболее нагретой точке этой поверхности. Установлено, что в случае идеального теплового контакта между покрытием и защищаемой конструкцией температура наиболее нагретой точки наружной поверхности покрытия монотонно возрастает с увеличением его толщины, т.е. отсутствует возможность подбора оптимальной толщины локально нагреваемого теплозащитного покрытия.

Работа выполнена по гранту МК-6573.2015.8 программы Президента РФ государственной поддержки молодых кандидатов наук, а также в рамках проекта 1712 по государственному заданию 2014/104 Минобрнауки РФ и государственного задания по проекту 1.2640.2014.

Список литературы

1. Материалы и покрытия в экстремальных условиях. Взгляд в будущее: В 3-х т. Т. 1. Прогнозирование и анализ экстремальных воздействий / Под ред. С.В. Резника. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 224 с.

2. Зарубин B.C., Станкевич И.В. Расчет теплонапряженных конструкций. М.: Машиностроение, 2005. 352 с.

3. Никитин П.В. Тепловая защита. М.: Изд-воМАИ, 2006. 512 с.

4. Котович A.B., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Локальное тепловое воздействие на теплозащитное покрытие. Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. 61 с.

5. Зарубин B.C. Моделирование. М.: Издательский центр «Академия», 2013. 336 с.

6. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Особенности математического моделирования технических устройств//Математическое моделирование и численные методы. 2014. Т. 1, № 1-1. С. 517.

7. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математическое моделирование термомеханических процессов при интенсивном тепловом воздействии // Теплофизика высоких температур. 2003. Т. 41, №2. C. 300-309.

8. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Bысшая школа, 2001. 550 с.

9. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 367 с.

10. Диткин B.A., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.

11. Градштейн HC., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

12. Зарубин B.C., Котович A.B., Кувыркин Г.Н. Оптимальная толщина анизотропного покрытия на охлаждаемой стенке при локальном внешнем нагреве // Известия РАН. Энергетика. 2014. №5. C. 45-50.

Mathematics Í Mathematical Modelling

Electronic journal of the Bauman MSTU

Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2016, no. 2, pp. 22-33.

DOI: 10.7463/mathm.0216.0843758

Received: 09.06.2016

© Bauman Moscow State Technical University

http://mathmjournal.ru

The Optimum Thickness of Locally Heated Thermal Barrier Coating with a Temperature-Dependent Thermal Conductivity

V.S. Zarubin V.S.1'*, Kotovich A.V.1, Kuvyrkin G.N.1 *fn2@bmstu.ru

1 Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: thermal barrier coating, local heating, the optimum thickness of the coating

Applying a thermal barrier coating can ensure effective protection of structures from localized intense heat exposure. When applying a coating layer to the surface structure the thermal contact on this surface, generally, differs from the ideal value and corresponds to some value of a coefficient of contact heat transfer. With high density of the localized heat flux a temperature at the hottest point of the coating outer surface can substantially exceed the temperature of the protected structure, which makes it necessary to take into account the dependence of the thermal conductivity of the coating material on the temperature.

For a quantitative analysis of the impact of the above features of thermal interaction between the coating and the protected cover design it is advisable to use the mathematical modeling methods, allowing to build an adequate mathematical model of heat transfer process in a layer of thermal barrier coating. This model should enable us to determine a thermal state of the coating at its specified thickness and also to find an optimal ratio of defining parameters, ensuring the lowest possible temperature at the hottest point of the outer surface of the coating. One of these parameters may be the thickness of the coating layer, which should be regarded as optimal.

The paper offers a mathematical model that describes a process of the stationary thermal conductivity with the locally heated outer surface of the thermal barrier coating on a cooled flat wall. The coefficient of thermal conductivity of the coating material depends on the temperature, and the thermal contact between the coating and the wall is accepted as non-ideal. A quantitative analysis of the mathematical model is reduced to the solution of the boundary value problem for the Laplace equation in the cylindrical coordinate system. A solution to the problem obtained in the analytical form allows us to find the area of defining parameters where the minimum possible value of the temperature at the hottest point of the surface can be ensured by changing a thickness of the coating with temperature-dependent thermal conductivity. It is found that in case of an ideal thermal contact between the coating and the structure to be protected the temperature at the heattest

point of outer coating surface monotonically increases with its thickness, i.e. there is no possibility to select the optimal thickness of the locally heated thermal barrier coating.

References

1. Reznik S.V., ed. Materialy Ipokrytiia v ekstremal'nykh usloviiakh. Vzgliad v budushchee. T. 1. Prognozirovanie I analizv ekstremal'nykh vozdeistvii [Materials and coatings under extreme conditions. Looking to the future. Vol. 1. Forecasting and analysis of extreme impacts]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2002. 224 p. (in Russian).

2. Zarubin V.S., Stankevich I.V. Raschet teplonapriazhennykh konstruktsii [Calculation of heat-stressed designs]. Moscow, Engineering Publ., 2005. 352 p. (in Russian).

3. Nikutin P.V. Teplovaya zashchita [Thermal protection]. Moscow, MAI Publ., 2006. 512 p. (in Russian).

4. Kotovich A.V., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Lokal'noe teplovoe vozdeistvie na teplozash-chitnoepokrytie [Local thermal effect on the thermal protection coating]. Saarbriicken, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2015. 61 p. (in Russian).

5. Zarubin V.S. Modelirovanie [Modeling]. Moscow, Publishing Center "Academiya", 2013. 336 p. (in Russian).

6. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Special features of mathematical modeling of technical instruments. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody = Mathematical Modeling and Computational Methods, 2014, vol. 1, no. 1-1, pp. 5-17. (in Russian).

7. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Mathematical modeling of thermomechanical processes under intense thermal effect. Teplofizika vysokikh temperatur, 2003, vol. 41, no. 2, pp. 300-309. (in Russian). (English version of journal: High Temperature, vol.41, no. 2, pp. 257-265. DOI: 10.1023/A:1023390021091)

8. Kartashov E.M. Analiticheskie metody v teorii teploprovodnosti tverdykh tel [Analytical methods in the theory of solid bodies heat conduction]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2001. 550 p. (in Russian).

9. Martinson L.K., Malov Yu.I. Differentsial'nye uravneniia matematicheskoi fiziki [Differential equations of mathematical physics]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2011. 367 p. (in Russian).

10. Ditkin V. A., Prudnikov A.P. Integral'nyepreobrazovaniyai operatsionnoe ischislenie [Integral transformation and operational calculus]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961. 524 p. (in Russian).

11. Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, summ, riadov i proizvedeniy [Tables of integrals, sums, series and products]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963. 1100 p. (in Russian).

12. Zarubin V.S., Kotovich A.V., Kuvyrkin G.N. Optimal thickness of the anisotropic surface on the cooling plate with applied local external heating. Izvestiya RAN. Energetika = Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Power Engineering, 2014, no. 5., pp. 45-50. (In Russian).