Оптимальная система неподобных подалгебр суммы двух идеалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 1 (2014). С. 94-107.

УДК 517.9

ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА НЕПОДОБНЫХ ПОДАЛГЕБР

СУММЫ ДВУХ ИДЕАЛОВ

Д.Т. СИРАЕВА

Аннотация. Рассматривается двенадцатимерная алгебра Ли L12, допускаемая уравнениями газовой динамики с уравнением состояния специального вида. Алгебра Ли L12 является прямой суммой двух идеалов L11 и Y1. Для алгебры Ли L11, допускаемой уравнениями газовой динамики с произвольным уравнением состояния, оптимальная система неподобных подалгебр построена с точностью до внутренних автоморфизмов. Используя оптимальную систему для алгебры Ли L11, в работе получена оптимальная система неподобных подалгебр суммы двух идеалов L11 и Y1, а также правило построения таких подалгебр.

Ключевые слова: алгебра Ли, оптимальная система, газовая динамика.

Mathematics Subject Classification: 35Q99

1. Введение Уравнения газовой динамики (УГД) имеют вид [1]:

pt + (и ■ V)p + р divu = 0,

ut + (и ■ V)u + p-1Vp = 0, (1)

St + (и ■ V)S = 0.

Здесь и - скорость, р - плотность, S - энтропия, р - давление связаны уравнением состояния p = f (р, S).

Уравнения (1) с уравнением состояния общего вида допускают максимальную алгебру Ли L11, для которой оптимальная система неподобных подалгебр построена [1]. Для алгебр Ли, допускаемых УГД с уравнениями состояний специального вида [2], оптимальные системы построены не для всех алгебр. Они не построены для алгебр Ли L11 ф {Y1},

L11 ф {Y1,Yp} и Ьц ф {У1,УР,УР2}, где Y1 = dp, Yp = рдр + pdp, Yp2 = 2ррдр + р2др. В дан-

ной работе будет построена оптимальная система неподобных подалгебр для Ь11 Ф {Y1}, которая есть прямая сумма двух идеалов.

Уравнения газовой динамики с произвольным уравнением состояния инвариантны при действии группы G11 - группы Галилея, расширенной равномерным растяжением:

1o. x = x + а (переносы по пространству),

2o. t = t + ao (перенос по времени),

3o. x = Ox, и = OH, OOT = 1, det O = 1 (вращения),

4o. x' = x + tb,u' = и + b (Галилеевы переносы),

5o. t = tc,x = cx (равномерное растяжение).

D.T. Siraeya, The optimal system of non-similar subalgebras of the sum of two ideals.

© Сираева Д.Т. 2014.

Работа поддержана грантом № 11.G34.31.0042 правительства РФ по постановлению №220.

Поступила 5 августа 2013 г.

Группе Оц соответствует алгебра Ли Ьц с базисом из операторов, записанных в декартовой системе координат:

Х1 = дх, Х2 = ду, Хз = дх,

Х4 = Ьдх + ди, Х5 = Ьду + ду, Хе = tдz + дш,

Х7 = удг — гду + рдт — и)ди, (2)

Х8 = гдх — хдг + /шди — мдад,

Х9 = хду — удх + иду — ^ди, Х10 = дЬ,

Хц = Ьд1 + хдх + уду + хд%.

Коммутаторы базисных операторов запишем в табл. 1, где вместо операторов Х^,г = 1,11, стоят их индексы г:

Таблица 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 -3 2 1

2 3 -1 2

3 -2 1 3

4 -6 5 -1

5 6 -4 -2

6 -5 4 -3

7 -3 2 -6 5 -9 8

8 3 -1 6 -4 9 -7

9 -2 1 -5 4 -8 7

10 1 2 3 10

11 -1 -2 -3 -10

2. Оптимальная система неподобных подалгебр Ь12

Если уравнение состояния общего вида, то максимальная алгебра Ли, допускаемая уравнениями (1) есть Ь11. Для специальных уравнений состояния возникают дополнительные операторы, расширяющие допускаемую алгебру до Ьк, к — размерность алгебры. Неизоморфные алгебры приведены в работе [3]. Для почти всех алгебр оптимальные системы неподобных подалгебр построены. Осталось построить оптимальные системы для алгебр Ли, являющихся прямой суммой двух идеалов (3 случая). Здесь будет построена оптимальная система подалгебр для двух 12-и мерных алгебр Ли, которые изоморфны друг другу. Это алгебры Ли №9: Ь11 ®У1 с уравнением состоянияр = / (р)+д($) и№3: Ь11 фУрсуравне-нием состояния р = р/(д(£)р), где У1 = др, Ур = рдр+рдр. Эти алгебры эквивалентны. ДейР —

ствительно, при замене р = —, р = 1пр следует У1 = УР, а операторы из Ь11 не меняются. Из

Р

уравнений состояния в силу замены следует тождество 1п(р/(д(Б)р)) = /(/(~g(S)р)) + д(Б). Замена т = рд^) дает равенство — /(/(т)) + 1п(т/(т)) = 1n(g(S)) + д^), в котором переменные т и S разделились. Можно считать, что обе части равенства равны нулю: д^) = — 1п(д^)); 1п(т/(т)) = /(/(т)). Следовательно, функции д, / определяются через функции д, /, то есть уравнения состояния согласованы. При этом в системе (1) изменится только первое уравнение О1пр = (1 + р/'(р))01пр, если /(р) не постоянно.

Коммутатор У1 со всеми операторами Х^,г = 1,11 равен нулю. Значит, алгебра Ь12 есть прямая сумма двух идеалов Ь12 = Ь11 ф }. Далее перечисляются подалгебры различных размерностей с помощью известных подалгебр из Ь11 [4, приложение]. При этом будут использованы внутренние автоморфизмы, которые получаются при решении

задачи с начальными данными для линейного уравнения Xa = [X , У], X | а=0 = X, У = Xг,У1, I = 1,11 [2, с. 533] в алгебре Ли Ь12, где X = хгХ^ + у°У\, X = хг'Xг + у0' У1. Все внутренние автоморфизмы компактно записанны в табл. 2.

Таблица 2

т р1(х') = р1(х) + х11 С51 — а х рз(х)

Г Р1(х') = Р1(х) — х1°С52,Р 2 (х') = р 2 (х) — (52 X р з(х)

0 Р1(х') = Ор1(х),р 2 (х') = Ор 2 (х), р з(х') = Ор з (х)

А10 р1 (х ) = р1 (х) + а10р 2 (х), х10 = х10 + а10х11

А11 0 1 х1 а1 о 1 ,х (х) р11 а1 ох а,

В1 у°' = Ь1 у°

£1 р1(х') = —р1 (х),р 2 (х') = —р 2 (х)

£2 0 1х 1 '0 1 ,х (х) (2 р — ' (х) 2

где с>р1 = (а^а2,аз), с52 = (а4,а5,а6), а10, а11, Ь1 — параметры автоморфизмов, О — матрица вращения, заданная углами поворота вокруг одной из ортогональных осей, а £1,£2 — замеченные дискретные автоморфизмы.

Выводится правило построения п-мерных неподобных подалгебр в Ь12 = = Ь11 ф У^ где п=2,3,...,12 с помощью внутренних автоморфизмов.

Подалгебра размерности п в Ь12 задается базисом а1У1 + Z1, а2У1 + Z2, ..., апУ1 + Zn.

Можно считать, что а1 = 0, то есть подалгебра из Ь12 существенна. Тогда автоморфизм В1 делает а1 = 1. Вычитание умноженного на соответствующий коэффициент оператора У1 + Z1 из остальных дает а2 = ... = ап = 0.

Оператор Z1 определен с точностью до линейной комбинации операторов Z2,..., Zn. Коммутаторы базисных операторов подалгебры Z1 + У^ Z2,..., Zn таковы:

п

+ У1^] = £ с, • zt = [^,г,] (3)

к=2

так как [У1, Zj] = 0; , Zk] = ^П=2 с,к • Zl, к = 2...п.

Значит, Z2,..., Zn — идеал размерности п — 1 в алгебре У1 + Z1, Z2,..., Zn С Ь12 и идеал в подалгебре Z1,..., Zn С Ь11, если Z1 = 0. Таким образом, перечислить подалгебры в Ь12 можно так. Выбрать подалгебры Z2,..., Zn из оптимальной системы Ь11. Далее, приписать к базисным операторам оператор Z1 + У1, где из Z1 вычтена линейная комбинация операторов Z2,...,Zn. Вид оператора Z1 уточняется вычислением коммутатора по формуле (3). Простейший вид для Z1 получается внутренними автоморфизмами, сохраняющими операторы Z2,..., Zn.

Замечание. Если получится, что Z1 = 0, то это тривиальная подалгебра Ь12. В табл. 3 такие подалгебры не заносятся.

Пример вычисления подалгебры из оптимальной системы для Ь12. К подалгебре из Ь11 с номером 3.35, с базисом а1 + 4,63 + 5,62 — 6, а2 + Ь2 = 1 в соответствии с правилом вычисления добавляется оператор У1 + х^1 + ... + х1^11, из которого вычтена линейная комбинация операторов а1 + 4, Ь3 + 5, 62 — 6. Вычисляются коммутаторы:

[а1 + 4, У1 + х^1 + ... + х1^11 ] = — ах^з + ах^2 + ах1^1 — х^6 + х^б —

—x10X1 = А1(а1 + 4) + ^1(Ь3 + 5) + 71(Ь2 — 6)

[63 + 5, У1 + х^1 + ... + х1^11] = —Ьx7X2 + bx8X1 + Ьx11X3 + x7X6 — х^^

—x10X2 = А2(а1 + 4) + ^(Ь3 + 5) + ^2 (Ь2 — 6)

[Ь2 — 6, У1 + х^1 + ... + х1^11] = Ьх7 X3 — Ьx9X1 + bx11X2 + х7 X5 — х^4+

+x10Xз = Аз(а1 + 4) + ^з(Ь3 + 5) + ,уз(Ь2 — 6).

b2 — 6,Yi + cl- d2 - f e3. Автомор

0 1 b 0 d

векторы b , 0 , 0 , -І , e

Сравнение коэффициентов при одинаковых базисных операторах дает систему уравнений: аж11 = 0; аж9 = bx8; —аж8 = bx9; bx8 = -аж9; —bx7 — x10 = —bx7; bx11 = 0; —bx9 = —ax8; x10 = 0; a2 + b2 = 1. Ее решение таково: x8 = x9 = x10 = x11 = 0. Значит, подалгебра примет вид a1 + 4, b3 + 5, b2 — 6, Y1 + x1X1+ +x2X2 + x3X3 + x7X7. Внутренние автоморфизмы упрощают вид подалгебры.

Если x7 = 0, то автоморфизмы Т, A11 (табл. 2) делают а1 + 4, b3 + 5, b2 — 6, Y1 + e1 + 7, a2 + b2 = 1. Получили подалгебру 4.42 из табл. 3. Если x7 = 0, то следует al + 4, b3 + 5,

физм О поворачивает одновременно вокруг осей x1 и x4

на угол <^. Угол ^ можно выбрать так, чтобы коэффи-

—e

циент при 3 после преобразования равнялся нулю (tan ^ = ——), а заменой базиса второй

d

и третий операторы подалгебры примут прежний вид. В результате получим подалгебру а1 + 4, b3 + 5, b2 — 6, Y1 + c1 + +d2, а2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1 с номером 4.43 из табл. 3.

Теорема 1. Все неподобные нетривиальные подалгебры L12 сводятся в следующую Табл. 3, в которой r — размерность подалгебры, i — порядковый номер подалгебры данной размерностии, в последних двух колонках приведен номер подалгебр из L11, по которым построена подалгебра в L12. При этом если отбросить оператор, содержащий Y1, то получится подалгебра на единицу меньшей размерности из оптимальной системы для L11.

Таблица 3

Оптимальная система неподобных подалгебр для L12

r i Базис подалгебры г (L11)

r-1, i r, i

2 І b4 + c7 + 11, Y1 + а4 + 7 1.1 2.1

2 а4 + 7, Y1 + b4 + 11 1.2,1.3 2.1

З 10, Y1 + 7 + а11 1.10 2.2, 2.5

4 4 + 10, Y1 + а1 + 7 1.9 2.3

5 7 + c(4 + 10), Y1 + а1 + 4+ 10 1.5 2.3

б 1 + 7, Y1 + 10 1.4 2.4

Т 10, Y1 + 1 + 7 1.10 2.4

8 7 + e10, Y1 + 10; e = 0 V 1 1.3,1.6 2.5

9 10, Y1 + 7 1.10 2.5

І0 10, Y1 + 11 1.10 2.6

ІІ b4 + 7 + а11, Y1 + 4; а = 0 1.1 2.Т

І2 4, Y1 + 7 + а11 1.12 2.Т, 2.10

ІЗ 1, Y1 + b4 + 7 + а11; а = 0 1.13 2.8

І4 e1 + 7, Y1 + 4 1.3, 1.4 2.9, 2.10

І5 4, Y1 + e1 + 7 1.12 2.9, 2.10

Іб e1 + 7, Y1 + 1 1.3,1.4 2.11

ІТ а4 + 7, Y1 + 1, а = 0 1.2 2.11

І8 а4 + 7 + 10, Y1 + 1 1.5 2.12

І9 1, Y1 + а4 + 7 + e10 1.13 2.11, 2.12

20 а4+ 11, Y1 + 5 1.Т 2.13, 2.14

2І 4,Y1 + а5 + 11 1.12 2.14

22 1,Y1 + а4 + b5 + 11 1.13 2.15

2З 10, Y1 + 1 1.10 2.1Т

24 1,Y1 - 10 1.13 2.1Т

25 4 - 10, Yl - al-3 1.9 2.18

2б 3, Yl - 4- аб- 10 1.13 2.18

2Т 4 - 10, Yl - 1 1.9 2.19

28 1,Yl - 4-10 1.13 2.19

29 al - c3 - 5, Y1 - bl - d2 - 6; a2 - b2 - 1.11 2.20

30 (c - d)2 = 1 3-5,Y1 -2 — б 1.11 2.21

31 5, Y1 -6 1.12 2.22

32 3 - 4, Y1 -2 1.11 2.23

33 a1-2,Y1 -3-4 1.13 2.23

34 b2-4,Y1 - al-2 1.11, 1.12 2.24

35 a1-2,Yl -4 1.13 2.24

Зб 3-4,Yl - 1 1.11 2.25

ЗТ 1,Yl -3-4 1.13 2.25

38 4, Yl -1 1.12 2.26

39 1, Yl -4 1.13 2.26

40 a2-3,Yl -2 1.13 2.2Т

З 1 a4 - Т, b4 - 11, Yl -4 2.1 3.3

2 10, Т-all, Yl - 11 2.2, 2.5 3.2

3 al-Т, 4 - 10, Yl -1 2.3 3.6

4 1-Т, 10, Yl -1 2.4 3.5

5 Т, 10, Y1 - 1 2.5 3.5

б 10,11, Yl -Т 2.6 3.2

Т 4, Т-all, Yl - 11 2.Т, 2.10 3.3

8 1,b4 + Т + all, Y1 -c4-dll, a = 0,c2 -d2 = 1 2.8 3.4, 3.12

9 4, є1 - Т, Y1 -1 2.9, 2.10 3.13

10 1, a4 - Т, Y1 - 64-11 2.11 3.4

11 1, a4 - Т, Y1 - b4 - c10, b2 - c2 = 1 2.11 3.5, 3.6, 3.13

12 1, a4 - Т - 10, Y1 - b4 - c10, b2 - c2 = 1 2.12 3.5, 3.6, 3.18

13 4,11, Yl -5 2.13 3.21

14 4,11, Yl-Т 2.13 3.3

15 4,a5-11, Y1 - b5- c6,a = 0,b2 - c2 = 1 2.14 3.21

Іб 1, a4 - b5 - 11, Y1 - c4 - d5 - еб, c2 - 2.15, 3.22,

d2 - e2 = 1 2.16 3.23, 3.24

1Т 1,a4- 11, Y1 - c4 - Т 2.15, 2.16 3.4

І8 1,10, Y1 - a2 - b4, a2 - b2 = 1 2.1Т 3.28, 3.29, 3.33

19 1,10, Yl - a4 - Т 2.1Т 3.5

20 3, 4-аб - 10, Yl - bl- c2- d6,b2 - c2 -d2 = 1 2.18 3.2Т, 3.30, 3.31, 3.32

21 1, 4 + 10, Уі + а2 + 64, а2 + б2 = 1 2.19 3.28, 3.29, 3.31

22 1, 4 + 10, Уі + 64 + 7 2.19 3.6

23 а1 + с3 + 5, 61 + ^2 + 6, У1 + е1 + f 3 + є4, а2 + +62 + (с + ^)2 = 1, (е2 + f2 = 1,є = 0) 2.20 3.34

24 3 + 5, 2 - 6,У1 + а4 + 7, а = 0 2.21 3.9

25 3 + 5, 2 - 6,У1 + є1 + 7 2.21 3.9

26 3 + 5, 2 - 6, У1 + а1 + 62, а2 + 62 = 1 2.21 3.37, 3.40

27 3 + 5, 2 - 6,У1 + а2 + 4 2.21 3.34, 3.35

28 5, 6,У1 + а4 + 11 2.22 3.21

29 5, 6, У + а2 + 4 2.22 3.35, 3.36

30 а1 + 2, 3 + 4, У1 + 61 + с3 + ^5 + е6, 62 + с2 + +^2 + е2 = 1 2.23 3.37, 3.44

31 а1 + 2, 4,У1 + 65 + с6 + 11 2.24 3.22

32 а1 + 2, 4, У1 + Л + е3 + f 5 + Л,6, ^2 + е2 + f2 + +й2 = 1 2.24 3.37, 3.38, 3.39, 3.41, 3.42, 3.45

33 1, 3 + 4,У1 + а5 + 66 + 10 2.25 3.27, 3.28

34 1, 3 + 4,У1 + а2 + 65 + 6 2.25 3.37

35 1, 3 + 4, У1 + а3 + 5 2.25 3.37

36 1, 3 + 4, У1 + а2 + 63, а2 + 62 = 1 2.25 3.44

37 1, 4, У + 7 + а10 + 611, а ■ 6 = 0 2.26 3.12, 3.13, 3.18

38 1, 4, У1 + а5 + 11 2.26 3.23, 3.24

39 1, 4,У1 + а5 + 10 2.26 3.27, 3.29

40 1, 4, У1 + а3 + 5 2.26 3.37

41 1, 4,У1 + 2 2.26 3.45

42 2, 3,У1 + а4 + 7 + 611 2.27 3.14, 3.15, 3.17

43 2, 3,У1 + а4 + 65 + 11 2.27 3.25, 3.26

44 2, 3, У1 + а4 + 65 + 10 2.27 3.30, 3.31, 3.32, 3.33

45 46 47 48 2, 3,Yl -4- b5 2, 3, Y1 -5 2, 3, Y1 - 1 - b5 2, 3, Y1 - а4-Т- b10,b = 0 2.2Т 2.2Т 2.2Т 2.2Т 3.42, 3.43 3.45 3.44, 3.46 3.19, 3.20

4 1 Т, 8,9, Y1 - 11 3.1 4.1

2 Т, 8,9, Y1 - 10 3.1 4.2

3 1, а4 - Т, b4 - 11, Yl -4 3.4 4.5

4 1,10, b4+Т+all, Y1 -c4-dll, c2-d2 = 1 1, 4 - 10, a4 - Т, Yl -4 3.5 4.3, 4.Т

5 3.6 4.Т

б 1,10, a4 - 11, Y1 - b4 - сТ, b2 - c2 = 1 3.Т 4.3, 4.12

7 5, б^-Т-аП^-c4-d11,a = 0,c2-d2 = 1 3.8 4.4, 4.15

8 3-5, 2 - 6, al - 64-Т, Yl - cl- d4,c2 -d2 = 1 3.9 4.1Т, 4.20

9 5, 6, el- а4-Т, Y1 - bl - c4,b2 - c2 = 1 3.10, 3.11 4.1б, 4.18, 4.19

10 5, б, a4 - Т, Yl - b4- 11 3.11 4.4

11 1, 4, Т-all, Y1 - 11 3.12, 3.13 4.5

12 1, 4, Т, Yl - 10 3.13 4.Т

13 2, З,b4 + Т + a11,Y1 -c4-d11,c2-d2 = 1, a = 0 3.14 4.6, 4.21

14 2, 3, a4 - Т, Yl - b4 - 11, a = 0 3.15 4.6

І5 2, 3, а4-Т, Y1 -bl-c4, b2-c2 = 1, a = 0 3.15 4.21, 4.22, 4.24

1б 2, 3,1 -Т^ - a4- 10 3.16 4.10, 4.11

17 2, 3,1 - Т, Y1 - al - b4, a2 - b2 = 1 3.16 4.22, 4.24

18 2, 3, Т, Y1 - a4- 11 3.1Т 4.6

19 2, 3, Т, Yl - a4- 10 3.1Т 4.9, 4.11

20 2, 3, Т, Y1 - al - b4, a2 - b2 = 1 3.1Т 4.21, 4.24

21 1, 4, Т - 10, Yl - 10 3.18 4.Т

22 2, 3, a4 + 7 + a10, Y1 - bl - c(4-10), b2 -c2 = = 1, a = 0 3.19 4.11, 4.25

23 2, 3, Т - 10, Yl - al - b10, a2 - b2 = 1 3.20 4.9, 4.10, 4.25

24 5, 6, a4 - 11, Y1 - b4 - c^ b2 - c2 = 1 3.21 4.4, 4.26

25 1, a4-5, b4- c6 - 11, Y1 - d4- еб, d2 -е2 = 1 3.22 4.2Т, 4.28, 4.29

2б 1, 4,a5-11, Y1 -b5-c6,b2 -c2 = 1,a = 0 3.23 4.29

27 1, 4,11, У! + 7 3.24 4.5

28 1, 4,11, У + 5 3.24 4.29

29 2, 3, а4 + 65+ 11, У + с4 + ^5 + е6,с2 + а2 + е2 = = 1,6 = о 3.25 4.30, 4.31

30 2, 3,а4+ 11,У + 64 + 7 3.26 4.6

31 2, 3, а4 + 11, У + 64 + с5, 62 + с2 = 1 3.26 4.30, 4.32

32 3,а1+62+6, 4+10, У+с1+^2,с2+^2 = 1 3.27 4.35, 4.36

33 1, 2 + 4,10, Уі + а2 + 63, а2 + 62 = 1 3.28 4.37, 4.38

34 1, 4,10, Уі + а7+ 11 3.29 4.7, 4.12

35 1, 4,10, Уі + 7 3.29 4.7

36 2, 3,4 + а5 + 10, Уі + 61 + с5 + ^6, 62 + с2 + а2 = = 1, а = 0 3.30 4.35, 4.39

37 2, 3,5 + 10, Уі+а1+65+с6, а2+62+с2 = 1 3.31 4.36, 4.37, 4.38, 4.39

38 2, 3, є4 + 10, Уі + а1 + 7 3.32, 3.33 4.9, 4.10, 4.11

39 2, 3,4 + 10, Уі + а1 + 65, а2 + 62 = 1 3.32 4.35, 4.39

40 2, 3,10, Уі + а1 + 65, а2 + 62 = 1 3.33 4.37, 4.38, 4.40

41 —а2 + 63 + 4, а1 + ^2 — с3 + 5, -61 + с2 + е3+ +6,Уі + /1 + $2 + й3,/2 + $2 + й2 = 1, а2 (е—а)2 + 62е2 + с2а2 = 1 3.34 4.41

42 а1+4,63+5, 62—6, У+є1+7, а2+62 = 1 3.34, 3.35 4.17, 4.18

43 а1+4, 63+5, 62 —6, Уі+с1+^2,а2+62 = = 1,с2 + а2 = 1 3.35 4.41, 4.42

44 4, 5,6,Уі + а7+ 11 3.36 4.15, 4.26

45 4, 5,6,Уі + є1 + 7 3.36 4.16, 4.18

46 4, 5,6,Уі + 1 3.36 4.43

47 а1 + 3, 61 + 5, с1 + ^2 + 6,У + е1 + /2 + 4, е2 + +/2 = є, 62 + с2 + а2 = 1 3.37 4.41

48 а1 + 3, 61+5, с1+^2+6, Уі+е1+/2, е2 + /2 = = 1,62 + с2 + а2 = 1 3.37 4.44, 4.47

49 а1 + 3, 5,6,Уі + 64+11 3.38 4.27, 4.28, 4.29

50 а1 + 3, 5, 6, Уі + 61 + с2 + 4,62 + с2 = є 3.38 4.41, 4.43

51 а1 + 3, 5,6, Уі + 61 + с2, 62 + с2 = 1 3.38 4.46, 4.47

52 1, 3 + 5, а2 + 6, Уі + 62 + с3 + 4, а = —1 3.39 4.41

53 1, 3 + 5, а2 + б, Yl + 62 + сЗ, 62 + c2 = 1 3.39, 3.4G 4.44, 4.47

54 1, 3 + 5, 2 - 6,Y + а4 + 7 3.4G 4.2G

55 1, 3 + 5, 2 - б, Y1 + 62 + c3 + 4 3.4G 4.41, 4.42

56 1, 5,6,Y + а4 + 67+11 3.41 4.19, 4.28

57 1, 5, б, Y1 + 64 + 7 3.41 4.19

58 1, 5, б, Y1 + а2 + 63 + 4, а2 + 62 = є 3.41 4.41, 4.43

59 1, 5, б, Yl + а2 + 63, а2 + 62 = 1 3.41 4.47

60 2, 3,4, Yl + 7 + 611,6 = G 3.42 4.21

61 2, 3,4, Yl + 61 + 7 3.42 4.21, 4.22

62 2,а1 + 3, 4, Y1 + є1+ 65 + сб,62 + с2 = 1 3.42 4.44, 4.47

63 2,а1 + 3,4, Yl + 1 3.42, 3.43 4.48

64 2, 3,4, Y1 + а7+ 11 3.43 4.21

65 2, 3,4, Y1 + є1 + 7 3.43 4.21, 4.22

66 2, 3,4, Y1 + є1 + а5 + 66, а2 + 62 = 1 3.43 4.44, 4.47

67 1, 2, 3 + 4, Y1 + а5 + 6б + 1G 3.44 4.35, 4.36, 4.37

68 1, 2, 3 + 4, Yl + а5 + б 3.44 4.44, 4.45

69 1, 2, 3 + 4, Yl + аЗ + 5 3.44 4.45

70 1, 2, 3 + 4, Y1 + 3 3.44 4.48

71 1, 2,4, Y1+а5+6б+сЮ+^11, с2+d2 = 1 3.45 4.3G, 4.35, 4.36, 4.38

72 1, 2,4, Y1 + 65 +б 3.45 4.47

73 1, 2,4, Y1 + аЗ + 65, а2 + 62 = 1 3.45 4.45, 4.46, 4.48

74 1, 2, 3, Yl + а4 + 7 + єЮ + с11,с = G ^ є = G 3.4б 4.23, 4.24, 4.25

75 1, 2, 3, Y1 + а4 + 11 3.46 4.33, 4.34

76 1, 2, 3, Y1 + є4+ 1G 3.46 4.39, 4.4G

77 1, 2, 3, Y1 + 4 3.46 4.48

5 1 7, 8,9,1G,Y1 + 11 4.2 5.1

2 1, а4 + 7,1G, 64 + 11, Yl + 4 4.3 5.2

3 5, б,а4 + 7,64 + 11, Yl + 4 4.4 5.4

4 2, 3,а4 + 7,64 + 11,Yl + 4 4.6 5.6

5 1, 4,10, 7 + а11,Уі + 11 4.7 5.2

6 2, 3,10, 7 + а11, Уі + 11 4.8, 4.9 5.3

7 2, 3,є1 + 7,10, Уі + 1 4.9, 4.10 5.8

8 2, 3, а1 + 7, 4 + 10, Уі + 1 4.11 5.9

9 1, 4,10,11, У + 7 4.12 5.2

10 2, 3,10, а5 + 11, У1 + 65 + с6,62 + с2 = 1 4.13, 4.14 5.10

11 2, 3,10,11, Уі + 7 4.14 5.3

12 4, 5,6, 7 + а11,Уі + 11, а = 0 4.15 5.4

13 4, 5,6, 7, Уі + а1 + 611, а2 + 62 = 1 4.16 5.4, 5.18

14 а1 + 4, 3 + 5, 2 - 6,61 + 7, Уі + 1 4.17 5.25

15 а1 + 4, 5,6, 61 + 7, Уі + 1, а2 + 62 = 1 4.18 5.18

16 1, 5,6, 64+7+а11,Уі+с4+^11, с2+^2 = 1 1, 3 + 5, 2 - 6, а4 + 7, Уі + 4 4.19 5.5, 5.18

17 4.20 5.25

18 2, 3,4, 7 + а11,Уі + 11, а = 0 4.21 5.6

19 2, 3,4, 7,Уі + 61 + с11,62 + с2 = 1 4.21 5.6, 5.24

20 2, 3,4,1 + 7,Уі + 1 4.22 5.24

21 1, 2, 3,64+7+а11,Уі+с4+Л1,с2+^2 = = 1, а = 0 4.23 5.7, 5.23

22 1, 2, 3,а4 + 7,Уі + 64 + с11,62 + с2 = 1 4.24 5.7, 5.24

23 1, 2, 3, а4 + 7, Уі + 64 + с10, 62 + с2 = 1 4.24 5.8, 5.9, 5.24

24 1, 2, 3, а4 + 7+10, Уі + 64 + с10,62 + с2 = 1 4.25 5.8, 5.9, 5.28

25 4, 5,6,11, У + 7 4.26 5.4

26 1, а4 + 5,6,64 + 11, Уі + 4, а = 0 4.27 5.29

27 1, 5,6, а4 + 11, Уі + 64 + с7,62 + с2 = 1 4.28 5.5, 5.29

28 1, 4,6, а5 + 11, Уі + 5 4.29 5.29

29 2, 3, а4 + 6,64 + с5 +11, Уі + ^4 + е5,^2 + е2 = 1 4.30 5.30, 5.31 5.32

30 2, 3,4,а5 + 11, Уі + 65 + с6,62 + с2 = 1, а = 0 4.31 5.32

31 2, 3,4,11, У + 7 4.32 5.6

32 2, 3,4,11, Уі + 5 4.32 5.32

33 1, 2, 3, а4 + 11, Уі + 64 + 7 4.33, 4.34 5.7

34 1, 2, 3, а4 + 11, Уі + 64 + с5, 62 + с2 = 1, а = 0 4.33 5.33

35 1, 2, 3,11, У + 4 4.34 5.34

36 2, 3,а1 + 5, 4 + 66 + 10, Уі + с1 + ^6, с2 + ^2 = 1 4.35 5.13, 5.15, 5.17

37 2, 3,а1+5, 6 + 10, У + 61+с6,62+с2 = 1 4.36 5.14, 5.16, 5.17

38 2, 3,1 + 5,10, Уі + а1 + 66, а2 + 62 = 1 4.37 5.12, 5.14, 5.16

39 2, 3,5,10, У + а6 + 11 4.38 5.10

40 2, 3,5,10, У + а1 + 66, а2 + 62 = 1 4.38 5.12, 5.14, 5.16

41 1, 2, 3, 4+ 10, У + а4 + 7 4.39 5.9

42 1, 2, 3, 4 + 10, У + а4 + 65, а2 + 62 = 1 4.39 5.17

43 1, 2, 3,10, У1 + а4 + 7 + 611 4.40 5.8

44 1, 2, 3,10, У1 + а4 + 611, а2 + 62 = 1 4.40 5.11, 5.12

45 1, а2+63+4, с3+5, ^2+6, У1+3, а2+62+ +(с + а)2 = 1 4.41 5.36

46 1, 4, 3 + 5, 2 - 6,У1 + 7 4.42 5.25

47 1, 4, 3 + 5, 2 - 6,У1 + а2 + 63, а2 + 62 = 1 4.42 5.36

48 1, 4,5, 6,У + 7 + а11 4.43 5.18

49 1, 4,5, 6, У + 11 4.43 5.29

50 1, 4,5, 6, У + 2 4.43 5.35

51 2,1 + а3, 3 + 5,6, У + 63 + с4,62 + с2 = 1 4.44 5.36, 5.37

52 2, 3,1 + 5, 6,У1 + а4 + 10 4.45 5.13, 5.14

53 2, 3,1 + 5, 6,У1 + 4 4.45 5.36

54 2, 3,1 + 5, 6,У1 + 1 4.45 5.37

55 2, 3,5, 6,У1 + а4 + 67+11 4.46 5.191, 5.31

56 2, 3,5, 6,У1 + а4 + 67+10 4.46 5.15, 5.16, 5.26, 5.27

57 2, 3,5, 6, У + 4 + а7 4.46 5.20, 5.35

58 2, 3,5, 6, У + а1 + 67, а2 + 62 = 1 4.46 5.21, 5.22, 5.37

59 1 + а3, 2,5, 6,У1 + 64+11 4.47 5.30, 5.32

60 1 + а3, 2,5, 6, У1 + 63 + с4, 62 + с2 = 1 4.47 5.35, 5.36, 5.37

61 1, 2, 3, 4, У1 + 7 + а11, а = 0 4.48 5.23

62 1, 2, 3, 4,У1 + 7 + а10 4.48 5.24, 5.28

63 1, 2, 3, 4, У1 + а5 + 610, а2 + 62 = 1 4.48 5.12, 5.17, 5.37

64 1, 2, 3, 4, У1 + а5 + 11 4.48 5.33, 5.34

6 1 1, 5,6,а4 + 7,64+ 11, У + 4 5.5 6.4

2 1, 2, 3, а4 + 7, 64 + 11, У1 + 4 5.7 6.5

1в работе [4], Приложение. Оптимальная система подалгебр основной алгебры, в подалгебре 5.19 опечатка, см. книгу [1], Приложение, Табл. 2, подалгебру 5.10.

3 1, 2, 3,10,64 + 7+а11,У + с4 + Л1, с2 + а2 = 1 5.8 6.3, 6.11

4 1, 2, 3, а4 + 7, 4+ 10, У + 4 5.9 6.11

5 2, 3,5,10, а6 + 11, У1 + 6 5.10 6.12

6 1, 2, 3,10,11,У + а4 + 7 5.11 6.3

7 1, 2, 3,10,11, У + 4 5.11 6.14

8 1, 2, 3,10, 4 + а11, У1 + 64 + 7 5.12 6.3, 6.11

9 1, 2, 3,10, 4+а11, У1+64+с5, 62+с2 = 1 5.12 6.13, 6.14, 6.21

10 2, 3, а1 + 5, 6, 4+10,У + 1,а = 0 5.13 6.22

11 2, 3,1 + 5, 6,10, У + 1 5.14 6.21

12 2, 3,5, 6,є4+10,У + а1 + 67, а2 + 62 = 1 5.15, 5.16 6.8, 6.9, 6.10, 6.21, 6.22

13 1, 2, 3, 6, 4+10,Уі + а4 + 65, а2 + 62 = 1 5.17 6.21, 6.22

14 1, 4,5, 6, 7 + а11, У + 11 5.18 6.4

15 2, 3,5, 6, 7+а11, У1 +64+с11,62+с2 = 1 5.19, 5.22 6.6, 6.15, 6.17

16 2, 3,5, 6, а4 + 7, У + 64 + 11, а = 0 5.20 6.6

17 2, 3,5, 6, а4 + 7, У + 61 + с4, 62 + с2 = 1, а = 0 5.20 6.16, 6.17, 6.19

18 2, 3,5, 6,1 + 7, У + а4 + 10 5.21 6.9, 6.10

19 2, 3,5, 6,1 + 7, У + 4 5.21 6.16

20 2, 3,5, 6,1 + 7, У + 1 5.21 6.19

21 2, 3,5, 6, 7, У + 4 + 610 5.22 6.10, 6.17

22 2, 3,5, 6, 7, У + 10 5.22 6.8

23 2, 3,5, 6, 7, У + 1 5.22 6.19

24 1, 2, 3, 4, 7 + а11, У + 11 5.23, 5.24 6.5

25 1, 2, 3, 4, 7, У + 10 5.24 6.11

26 2, 3,5, 6, а4 + 7 + а10, У + 61 + с4 + с10, 62+ +с2 = 1, а = 0 5.26 6.10, 6.20

27 2, 3,5, 6, 7+10,У + а1+ 610, а2 + 62 = 1 5.27 6.8, 6.9, 6.20

28 1, 2, 3, 4, 7+ 10, У + 10 5.28 6.11

29 1, 4,5, 6,11, У + 7 5.29 6.4

30 2, 3,5, 6,64+ 11, У + 7 5.30 6.6

31 2, 3, а4 + 5, 6,64+ 11, У + 4 5.30, 5.31 6.23

32 2, 3,5, 6,64+ 11, У + с4 + 7 5.30, 5.31 6.6

33 2, 3,4, 6, а5 + 11, У + 5 5.32 6.23

34 1, 2, 3, 4,11, У + 7 5.33, 5.34 6.5

35 1, 2, 3, 4,a5 + 11,Yl + 65 + сб,62 + с2 = 1 5.33, 5.34 6.24

36 2, 3,4, 5, б, Yl + a7+ 11 5.35 6.15, 6.23

37 2, 3,4, 5, б, Yl + al + 67, a2 + 62 = 1 5.35 б.1б, 6.17, б.25

38 2, 3,4, 5,1 + 6, Y1 + 1 5.36 6.25

39 1, 2, 3, 5, 6, Y1 + a4 + 67+11 5.37 6.18, 6.24

40 1, 2, 3, 5, 6, Yl + a4 + 67 + dG, a2 + 62 + с2 = 1 5.37 б.19, 6.2G, 6.21, 6.22, б.25

7 1 4, 5,6, 7, 8, 9, Yl + 11 6.1 7.2

2 1, 2, 3, 7, 8, 9, Yl + 11 6.2 7.1

3 1, 2, 3, 7, 8, 9, Y1 + 1G 6.2 7.3

4 1, 2, 3, a4 + 7,1G, 64 + 11, Y1 + 4 6.3 7.5

5 2, 3,5, 6, a4 + 7, 64 + 11, Y1 + 4 6.6 7.8

6 2, 3,5, 6, 7 + all, 1G,Y1 + 11 6.7, 6.8 7.4

7 2, 3,5, 6, el+ 7,1G,Y1 + 1 6.8, 6.9 7.6

8 2, 3,5, 6, al + 7, 4 + 1G, Y1 + 1 6.1G 7.7

9 1, 2, 3, 4, 7 + all, 1G,Y1 + 11 6.11 7.5

10 2, 3,5, 6,1G, 11, Yl + 7 6.12 7.4

11 1, 2, 3, 4,1G, a5+11, Y1+65+сб, 62+с2 = 1, a = = G 6.13 7.1G

12 1, 2, 3, 4,1G, 11, Yl + 7 6.14 7.5

13 1, 2, 3, 4,1G, 11, Yl + 5 6.14 7.1G

14 2, 3,4, 5, 6, 7 + all, Yl + 11 6.15, 6.17 7.8

15 2, 3,4, 5, 6,1 + 7,Y1 + 1 6.16 7.12

16 2, 3,4, 5, 6, 7, Yl + 1 6.17 7.12

17 1, 2, 3, 5, 6, 64+7+all, Yl+с4+Л1, с2 + d2 = = 1, a = G 6.18 7.9, 7.11

18 1, 2, 3, 5, 6, a4 + 7, Y1 + 64 + 11 6.19 7.9

19 1, 2, 3, 5, 6, a4+7+e1G, Y1+64+dG, 62 + с2 = 1 б.19, 6.2G 7.6, 7.7, 7.12, 7.13

20 1, 2, 3, 5, б, 1G, Yl + a4 + 67 + с11, a2 + 62 + с2 = 1 6.21 7.6, 7.1G, 7.14

21 1, 2, 3, 5, б, 4+1G, Yl+a4+67, a2+62 = 1 6.22 7.7, 7.14

22 2, 3,4, 5, 6,11, Yl + 7 6.23 7.8

23 1, 2, 3, 5, 6,a4+11,Yl + 64 + с7,62 + с2 = 1 1, 2, 3, 4, 5, б, Yl + a7+ 11 6.24 7.9, 7.15

24 6.25 7.11, 7.15

25 1, 2, 3, 4, 5, б, Y1 + a7 + 61G,a2 + 62 = 1 б.25 7.12, 7.13, 7.14

8 1 1, 2, 3, 7, 8, 9,1G,Y1 + 11 7.3 8.1

2 1, 2, 3, 5, б, 1G, 64 + 7 + all, Y1 + с4 + 7.6 8.2, 8.3

dll, с2+ +d2 = 1

3 1, 2, 3, 5, б, a4 + 7,4 + 1G,Yl + 1G 7.7 8.3

4 1, 2, 3, 5, 6,a4 + 7,64 + 11,Yl + 4 7.9 8.4

5 1, 2, 3, 5, 6,1G, a4 + 11, Y1 + 64 + с7, 62 + 7.1G 8.2, 8.5

с2 = 1

6 1, 2, 3, 4, 5, б, 7 + all, Y1 + 11 7.11, 8.4

7.12

7 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 + e1G,Yl + 1G 7.12, 8.3

7.13

8 1, 2, 3, 4, 5, 6,1G,Y1 + a7 + 611, a2 + 62 = 1 7.14 8.3, 8.5

9 1, 2, 3, 4, 5, 6,11, Y1 + 7 7.15 8.4

9 1 1, 2, 3, 5, 6, a4 + 7,1G, 64 + 11, Y1 + 4 8.2 9.1

2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 + all, 1G,Yl + 11 8.3 9.1

3 1, 2, 3, 4, 5, 6,1G, 11, Y1 + 7 8.5 9.1

10 1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Y1 + 1G 9.2 1G.2

2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,Yl + 11 9.2 1G.1

11 1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,1G,Y1 + 11 1G.2 11.1

Замечание. Если вычеркнуть Y1 из последнего оператора базиса из L12, то получится подалгебра из L11? номер которой указан в последней колонке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. 336 с.

2. Чиркунов Ю.А., Хабиров С.В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды: монография. Новосибирск: Издательство НГТУ, 2012. 659 с.

3. Хабиров С.В. Неизоморфные алгебры Ли, допускаемые моделями газодинамического типа // УМЖ. 2011. Т. 3, № 2. C. 87-90.

4. Хабиров С.В. Аналитические методы в газовой динамике. Уфа. Гилем. 2003. 192 с.

Дилара Тахировна Сираева,

УГАТУ, НИЛ ГАММЕТТ, ул. Карла Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия E-mail: sirdilara@gmail.com