CC BY
35
УДК 531.1:629.78
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 4
В. С. Новоселов
ОПТИМАЛЬНЫЕ ОДНОИМПУЛЬСНЫЕ ТРАЕКТОРИИ КАСАТЕЛЬНОГО ПРОЛЕТА*
1. При решении навигационных и технологических задач в околоземном космическом пространстве важное значение имеет выбор оптимальных траекторий в гравитационном поле [1]. Даже в рамках задачи двух тел не удается дать полное аналитическое построение теории оптимизации космических траекторий. Для качественного и аналитического исследования влияния отдельных факторов на выбор оптимальных траекторий приходится решать задачи в ограниченной постановке. Для этого разработаны аналитические вариационные методы [2-10] и построены специальные вычислительные алгоритмы [1, 9, 11-13].
Расширение технологических задач, решаемых с помощью космических аппаратов, приводит к постановке новых математических задач по оптимизации траекторий в гравитационном поле. Для инспекции (обслуживания) [14] целесообразно применять маневр касательного пролета или перехвата, который позволяет инспектору некоторое время перемещаться коллинеарно вместе с инспектируемым объектом.
В настоящей работе решается задача аналитической оптимизации одноимпульсных траекторий компланарного касательного пролета. Рассмотрение проводится на основе схемы вариационного подхода [7, 10], поскольку получаемые при этом необходимые условия экстремума более доступны аналитическому исследованию и позволяют выполнить переход к соответствующей задаче с учетом ограниченности тяги [7].
2. Характеристики эллиптической орбиты инспектируемого объекта обозначаем буквой «к», характеристики начальной эллиптической орбиты инспектора — буквой «н». Предполагаем его фазу движения произвольной. Переход осуществляется с помощью одного импульса. Введем обозначения для кеплеровых элементов переходной эллиптической орбиты: эксцентриситет е, фокальный параметр p, долгота перицентра ш от некоторого неподвижного направления, принимаемого за начало отсчета полярного угла у. В качестве фазовых переменных принимаем радиальную и трансверсальную скорости, а также полярный радиус и полярный угол
Х1 = Vr, Х2 = vv, X3 = r, X4 = у, которые на баллистическом движении представляются в виде [1, 7, 10] vr = эзер~ 2 sin /, vv = щГ 2 (1 + е cos/),
r = p(1 + e cos f)-1, у = f + ш. (1)
Здесь ж — квадратный корень из произведения универсальной гравитационной постоянной и массы планеты, f — истинная аномалия.
Индексами « —» и «+» отмечаем характеристики переходной орбиты в начальной и конечной точках. Запишем условия равенства полярных радиусов в указанных точках:
Рн(1 + e cos f-) = p(1 + ен cos Д), f- = Ун — ш, f = Ун — шн,
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №02-01-01039 и №05-01-00660).
© В. С. Новоселов, 2005
Рк (1 + cos f +) = p(1 + eK cos /к), f + = ^к - W, /к = ^к - wk. (2)
Условие касания переходной орбиты и орбиты инспектируемого объекта равносильны равенству отношений их радиальных и трансверсальных скоростей
v+(v+)-1 = v?(v%)-1 = eK(1 + eK cos fK)-1 sin fK, (3)
которому можно на основании (1) и (2) придать вид
ерк sin f + = екР sin fK. (4)
Условия импульсного приращения скорости будут
_ i _ _ i seep 2 sin / — эзвнРн 2 sin f¡¡ = V cos ф,
asp 2 (1 +ecos / ) — sepH 2 (1 + eH cos fH) = V sin ф, (5)
где V — характеристическая скорость, ф — угол наклона импульса к радиусу-вектору. Имеем пять уравнений (2), (4), (5) относительно семи неизвестных: е,р, ш, pH, <pK, V,, ф.
3. Для минимизации характеристической скорости V за счет оптимального выбора управления ф и граничных значений фазовых переменных запишем уравнения трансверсальности. Будем исходить из общего условия трансверсальности [7, 10]
4
ÍK
^AíAXÍ - HAt =0,
Vi 1 ' Íh
где Ai — решение уравнений Эйлера—Лангража в граничных точках дуги переходного эллипса, H — стационарный интеграл уравнений движения и уравнений Эйлера— Лагранжа. Вариации Axi и At вычисляются на граничных многообразиях. Соотношение между истинной аномалией f и фазой движения по граничной орбите tp можно получить с помощью интеграла площадей
f
r2f = эзpi, / (1 + ecos f)~2df = eep~i(t -tp).
Здесь tp — момент времени прохождения через перицентр. В случае круговой орбиты при е = 0 за tp принимаем момент прохождения полярной оси, а за f — полярный угол. Отсюда
(1 + ecos)~2Д/ = sep~§(At - Atp).
По предположению фаза движния на начальной орбите инспектора произвольна, поэтому AtH и или AfH и At^ будут независимыми. Получаем H = 0, а также с помощью варьирования соотношений (1) условие трансверсальности в точке старта для независимой вариации AfH
эзенРн 2 (аг COS /н - AjT sin /н + зз~1р£ (1 + ен cos /н)~2 sin /нАд j + AJ = 0. (6)
Фазовые переменные x+ в конечной точке должны принадлежать могообразию, определяемому равенствами r+ = rK, = и соотношением касания (3). Поэтому в
конечной точке будут две независимые вариации, например, Av+ и AfK. По формулам (1) и (3) выразим зависимые вариации через независимые
Ar+ = Агк = екРк (1 + ек cos f )-2 sin fKAfK, Ау+ = Аук = AfK,
Av+ = ек(1 + ек cos /к) sin ^Aví +
v
+ е^+(1 + ек cos /к)-1 (cos fK + ек(1 + ек cos /к)-1 sin2 Д) AfK.
4
Исходя из соотношения Л+5x+ = 0, получим два уравнения трансверсальности в
1=1
конечной точке
ек(1 + ек cos/Jsin/KЛ+ + Л+ = 0, (7)
ек(1 + ек cos /к) 1 еер2рк 1(ек + cos /К)А^ +рк(1 + ек cos /к) 1sin/KAg" + А+ =0. (8)
Еще два уравнения можно получить на основании условий Вейерштрасса—Эрдмана непрерывности лагранжевых множителей в точке старта [7,10]
А- = cos ф, А- = sin ф. (9)
Входящие в вышенаписанные уравнения лагражевы множители определяются решением уравнений Эйлера—Лагранжа на переходной орбите
А1 = A cos f + Ве sin f, А2 = (1 + еcos f )-1 (—Asin f (2 + еcos f ) + B(1 + еcos f )2 + D) ,
(10)
A3 = щ>-*{1 + ecos/) {-Asin/ + B(1 + ecos f) + D), A4 = —sep^^Ae.
Здесь A, В, D — произвольные постоянные, четвертая постоянная C оказывается равной нулю при H = 0.
Имеем систему 10 уравнений (2), (4)-(9) относительно 10 неизвестных: е, p, ш, ун, ук, V, ф, A, В, D.
4. Для получения явного аналитического решения предполагаем граничные орбиты околокруговыми:
ен £eн, ек £ек
где £ — безразмерный положительный малый параметр, еН и ек порядка единицы. Неизвестные величины будем отыскивать в виде отрезков рядов по степеням £ и ограничимся первыми тремя членами разложения. Члены нулевого приближения отмечаем индексом «0», а коэффициенты при £ и £2 —штрихом и двумя штрихами соответственно.
Положим £ = 0 и проведем исследование перечисленных выше 10 уравнений в нулевом приближении. Два условия (2) для величины полярного радиуса дают
po = ph (1 + ео cos f0-) = pк (1 + ео cos f 0+) , (11)
Условие касания (4) —
м- о _р0+ о
J = Ун — /+ = Ук — ш 0.
eopo sin f 0+ =0. (12)
Импульсное приращение скорости (5) имеет вид
aseólo 3 sin = V0 cos ф0, (13)
sep0 2 (1 + e0 cos /°~) - эзрн 2 = V0 sin V>o- (14)
Условия трансверсальности (6) и (8) с учетом (10) равносильны соотношению
А° = эзр0 М0е0 = 0 (15)
Уравнение трансверсальности (7) в силу(15) примет вид
А0+ = (1 + ео cos f0+У1 (Bo(1 + ео cos f0+)2 + D0) =0. (16)
Два условия (9) непрерывности первых двух лагранжевых множителей в точке старта после учета формулы (15) запишем так:
A?- = Bo ео sin f0- = cos фо, (17)
АО- = B0(1 + е0 cos f0-) + D0(1 + е0 cos f0-)-1 = sin Ф0. (18)
Из уравнения (15) следует A0 = 0. Для определения оставшихся 9 неизвестных е0,Р0, Ш0, УН, vK, V0, Ф0, B0, D0, ввиду эквивалентности в нулевом приближении уравнений трансверсальности (6) и (8), получили только 8 уравнений (11)—(14), (16)—(18). Поэтому одна неизвестная величина в нулевом приближении не может быть определена.
На основании уравнения (12) sin f 0+ = 0. Для определенности полагаем pK > рн и поэтому принимаем f 0+ = п. Из уравнения (16) получаем
D0 = -B0(1 - е0)2.
Уравнение (18) приведем к виду
B0(1 + е0 cos f0-)-1 [(1 + еcos f0-)2 - (1 - е0)2] = sinФ0. (19)
Из уравнений (13) и (17) находим
(аер0 è - V0B0) sin f- = 0.
Возможны два варианта: sin / = eos фо = 0 и BqVo = sep 2.
Покажем, что второй вариант приводит к противоречию. Поскольку в этом случае В о 0, в уравнении (14) полагаем Vo = В0 sep0 2. Принимая во внимание вытекающее из (11) соотношение
p¡pHè = (1 + ео eos/0")1/2,
приходим к уравнению
В0 (l + e0cos- (1 +e0cos/0")^ = sinV>o- (20)
Приравнивая левые части равенств (19) и (20), получаем
1 + eo cos f0- = (1 - eg)4/3.
Из формулы (11) также следует
1 + eo cos fo- = pKp-1(1 - eo).
Получаем ркрн 1 = (1 — eo)2 <0, что противоречит условию рк > рн.
Поэтому возможен только первый вариант, для которого /° =0, фо = Щ. Прихо-
дим к следующему оптимальному решению нулевого приближения:
eo = (Рк - Рн)(Рк + Рн)-1, Р0 = 2ркРн(Рк + Рн)-1 ^0 = ¥>н,
tÁ = 'n + <fil, Уо = ю(р-Ц1 + ео)-р^), = (21)
А0 = 0, Во = ^ео1(1 + ео), =-^(1 + е0)(1 - е0)2.
Угловое положение точки старта ^Н в нулевом приближении остается произвольным. Отличие от нулевого приближения двухимпульсного перелета [7, 10] заключается в изменении значений Bo и Do.
5. Получим поправки первого порядка в уравнениях (2), (4)—(9). Приравняем в левых и правых частях уравнений (2) члены первой степени е. В результате получим
e' = ^(Рк + Рн)-1(еК cos foo - еН cos fH°),
Р = ^(Рк + Рн)-1(Рнек cos fo + Рке'н cos fo). (22)
Из условия касания (4) следует
f'+ = ^к - и' = —eКe-1РoР-1 sin f^, £ = эт + ^ - ^ (23)
Получим условия импульсного приращения скорости:
ззеоРоУ'- ~ аее^н * sin /н° = -У°ф\ (24)
«Рн1
1 —¿ ii
-р0 2р'+(р§ — pi )е'н cos /н
V'. (25)
Уравнение трансверсальности (6) и (8), преобразованные с помощью формул (9), (10) и (15), примут вид
эзе^н - шн) = Л4, Л4 = -юр0 2 е0А',
же'кЯк - ^к) = К, (26)
где
-1/1 1 \ 1-1 1 Я»=Рн2 ( 1--(1 + ео)2(3-ео)) >0, =-рк2 (1 - е0)Н1 + е0) > 0. (27)
Из уравнений (26) получаем
А' = -е'пе-1р~2 <2„8т(у>° - = -е^е^о^'Зквт- (28)
а также определяем нулевое приближение углового положения точки старта:
tg vH = (Яне'н sin Шн - Qk^k sin ш^^не'н cos Шн - Q^K cos Шк)-1. (29)
Если оси граничных эллипсов выровнены (шн = шк), то старт производится в перицентре начальной орбиты. Если шн = -шк, то
tg vi = (QнeH + QкeK)^не'н - Q^K)-1 tg Шн. При QHe'n = Qв этом случае = ±j. Имеем аналог симметричного перелета
[4, 15].
Выражение для поправки первого порядка характеристической скорости (25) с помощью (22) и (27) можно преобразовать к виду
V' = -aQен cos f0 + QKeK cos fK). (30)
Запишем соотношение (9) для A1 в первом приближении:
A' + B0e0f' = ф'. (31)
Из условия трансверсальности (7) и выражения для A2 (9) с помощью (21) следует
B' = -±e'eo2, i?, = ieV(l-eo)(l + eo + 2e2). (32)
На основании соотношений (24), (28) и (31) находим
/_ e' (sepH 2 — e0 p ?QnV0) 0
/ =--Цй-^н),
е0(эзр0 2 - V0B0)
Ф' = -B0e0f ~ + eg1e'Hp0 2 QH sin(^° - wH). (33)
6. На основании формулы (5) можно получить поправку второго порядка характеристической скорости:
V" = \щ>оЪ н1 (р" - \p-oV +е'У cos/H°) +1/° Qv'2 - ен/н sin /н^ • (34) Поправка второго порядка фокального параметра находится по формулам (2):
р" = (рк +рн)-1|^ео№ [(/+)2 - (/'-)2' -
-р'(рке'н cosf0 + РнеК cosf0) +Рo(РнeKfKsin f0 + РкeHfH sinf0)}. (35)
Можно записать соотношения
fH = vH = f- + w', fK = vK = f'+ + w'.
Величины / + и / определяются формулами (23) и (33). Отсюда следует /К = / + / + — / -. Однако поправку первого порядка угла положения точки старта ^^ = /Н при
анализе членов первого приближения получить не удалось. Эта величина определяется во втором приближении при исключении Л4 из условий трансверсальности (6) и (8):
f'n(QHe'H cos/H° + QkCkCos/°) = see'HpH 1 (А' + B0e0f ~ - Л2~ sin/°)- e^Hsin/H°(2A°-e;cos/H0 - Л^) + ase'^l р'1 (А> + B0e0f'+)+
+ e'KpK sin /к°(2Л0+еК cos f° - \+) - (f'+ - f '-)cos f°. (36)
С помощью формул (10),(21) и (32) вычисляются входящие в выражение (36) вспомогательные величины
= ^eepjp-2(3 - е0), Л°+ = 1аер^-2(1 + е0), Л^ = ^1 е'^ Vh (1 + е0)2, Л;- = -^гер-^р-1 [3р'р-\3 - е0) + 2е'(5 - Зе0)] ,
Л;+ = -laepo ^к 1 [Зр'рк 41 + ео) + 2е'(1 + Зе0)] .
По формуле (34) с учетом (35) и (36) расход второго приближения полностью определяется. Он оказывается явно зависящим от величин, имеющих индексы «нуль» и «штрих».
7. Полученные выше поправки первого порядка к эксцентриситету, фокальному параметру и характеристической скорости, как показывают формулы (22) и (30), не зависят от выбора управления первого порядка ф'. Хотя выражение (33) для этого управления получено при анализе членов первого порядка, указанное управление определяет по формуле (34) поправку характеристической скорости второго порядка. При этом расход второго порядка не зависит от величины управления второго порядка ф''. Тем самым подтверждается общий вывод работ [7, 10] о том, что уравнения необходимых условий экстремума в задачах оптимизации можно решать с меньшей на порядок точностью, чем точность решения уравнений движения и удовлетворения граничных условий.
Неожиданным оказалось существенное отличие углового положения точки старта (29) от соответствующего значения задачи оптимального двухимпульсного перелета между компланарными околокруговыми орбитами [5, 7, 10].
Последующие приближения будут вычисляться в явном аналитическом виде в результате решения линейных уравнений. Однако уже второе приближение в виде формул (34)—(36) показывает, что выражения получаются довольно сложными.
Summary
V. S. Novoselov. Optimal single — impulse trajectories of the tangential spacing.
The variation method of the optimization coplanar single — impulse trajectories of the tangential spacing is proposed. An analytical construction of three degree of approximation in problem of transfers between coplanar orbits with small eccentricities is given.
Литература
1. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М., 1990.
2. Лоуден Д. Ф. Межпланетные траектории ракет // Космические траектории. М., 1963. С. 177-242.
3. Lawden D.F. Analytical Techniques for the Optimization of Rocket Trajectories // The Aeronautical Quarterly. 1963. Vol. 14. P. 105-124.
4. Лоуден Д. Ф. Импульсный переход между эллиптическими орбитами // Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. М., 1965. С. 387-415.
5. Лоуден Д. Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М., 1966.
6. Кузмак Г. Е. Об учете протяженности активных участков при исследовании оптимальных перелетов между близкими околокруговыми некомпланарными орбитами // Докл. АН СССР. 1968. Т. 181. №1. С. 42-45.
7. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л., 1972.
8. Ивашкин В. В. Оптимизация космических маневров при ограничениях на расстояния до планет. М., 1975.
9. Ильин В. А., Кузьмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов с двигателями большой тяги. М., 1976.
10. Новоселов В. С., Королев В. С. Аналитическая динамика управляемой системы. СПб., 2002.
11. Кирпичников С. Н. О числе импульсов при энергетически оптимальном полете между компланарными кеплеровыми близкими орбитами // Вестн. Ленингр. ун-та. 1980. Сер. 1. №19. С. 50-53.
12. Агапонов С. В. Глобально оптимальная жесткая встреча без ограничения на время // Вестн. Ленингр. ун-та. 1985. Сер. 1. №15. С. 83-85.
13. Кирпичников С.Н., Кулешова Л. А., Воробьев А. Ю. Минимальные по времени импульсные маневры между круговыми компланарными орбитами // Управляемые системы в гравитационном поле. СПб., 2000. С. 53-103.
14. Баринов К.Н., Бурдаев М.Н., Мамон П. А. Динамика и принципы построения орбитальных систем космических аппаратов. М., 1975.
15. Новоселов В. С. О симметричном двухимпульсном оптимальном перелете // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1999. Вып. 2 (№8). С. 80-85.
Статья поступила в редакцию 15 марта 2005 г.
