Определение рациональной последовательности инвестирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

Ю. С. БАРАШ, А. А. БОСОВ (ДИИТ), Г. Н. КИРПА (Министерство транспорта и связи Украины)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИНВЕСТИРОВАНИЯ

Запропоноваш математична модель i метод оптимшцд, що дозволяють встановлювати рацюнальну по-слiдовнiсть iнвестування при введенш високошвидшсного руху по1здв в Украш.

Предложены математическая модель и метод оптимизации, позволяющие устанавливать рациональную последовательность инвестирования при введении высокоскоростного движения поездов в Украине.

A mathematical model and optimization method, allowing to establish rational sequence of investment at introduction of high-speed train services in Ukraine, have been proposed.

В методике, разработанной ООН по промышленному развитию (ЮНИДО) [1], предлагается несколько показателей, с помощью которых выполняется оценка и порядок проведения технико-экономического обоснования того или иного проекта.

Среди показателей остановимся на чистой текущей стоимости NPV (Net Present Value of Discounted Cash Flow). В некоторых источниках этот показатель называют «интегральный экономический эффект».

Пусть для реализации некоторого проекта необходимо проинвестировать мероприятия

(объекты) Q = {юг-;i = 1,n}, относительно которых допускаем, что их реализация может быть выполнена в любой последовательности. Наша задача: найти такую последовательность п = )}, на которой чистая текущая стоимость за любой отрезок времени будет максимальной. Если ui (t) - интенсивность инвестирования объекта &i на отрезке времени [0; Ti ], а si (t) интенсивность чистой прибыли после момента Ti, то с учетом дисконтирования показатель NPV на момент времени Т будет равен

NPV (T, п) = - U (T, п) + S (T, п),

где

n ti +Ti

U(T,п) = £ J U (t)e

<=1 t,

n T

S (T, п) = £ J S (t)

(1)

-at,

„-at,

(2)

Соотношения формулы (2) выписаны для

П = {®г(l),®г(2),...,a,(n)} и T >Е1

i=1

тель дисконта. Относительно функций ы1 ^) и si ^) предполагаем, что они определены для любого t > 0 и вычисляются по формулам:

'0 t < ^ Ф (t - ^ ) ^ <t < ^ +хг 0

U (t) =

(t ) = •

t > ti + T

t < ti + T

y (t-Ti) t >t1 +■

В этих формулах принято, что объект ai начинает финансироваться с момента времени ti и финансирование прекращается после момента ti + тг- Относительно чистой прибыли от объекта предполагаем, что она начинает поступать только по завершении его реализации. С учетом этих предположений соотношениям (2) можно придать следующий вид:

U(T,п) = Еe~ati }Фг (x i=1 0

S (T, n) = Xe"at-r J' y (x)

xdx;

где

i=1 t

i=1

i-1

t1 =ETv,

v=1

t = 0.

0

Пусть данная последовательность п доставляет показателю ЫРУ(Т, п) максимальное значение. Тогда, если в последовательности п поменять местами любые два элемента, ЫРУ уменьшится. Данный факт будем использовать для получения оптимальной последовательности.

Выпишем, какой вклад в ЫРУ вносят два соседних элемента ю,- и ю,+1

т

д(юг-,юг+1) = -е_а | Фг- (х)е~ахёх -0

V!

| фг+1 (х) е'^йх + М + 0

Т-Г,-ъ

+е~ш'+1 | щ (хУ^йх + 0

Т-^+1-т+1

+еМ(+т,+1) | Уг+1 (х~)е~айх. 0

Если поменять их местами, то получим

д(®г+1,®г ) = -е~Щ | Фг+1 (х)~аХ<1х -0

-е~а(+тг+1 ф, (х)е~ахёх + 0

Т -тг+1

+е~а(+тг+1) | уг+1 (х )е~ахёх + 0

Т -г+1 -Т-тг+1

+е~а(+т+х-1) | щ (х),

при этом должно выполняться неравенство

д(®г,®г+1 )д(Юг+1, ®г ). (3)

Рассмотрим случай, когда интенсивность инвестирования и прибыли постоянны, но зависят от ю,-. Соотношение (3) при Т » Ет,- переходит в следующее:

-ащ-7-Фг * -аЩ+-т -Фг+1. (4)

е г -1 е м -1

Неравенство (4) необходимо рассматривать как правило (критерий) упорядочения инвестиций при создании объектов из перечня О.

Пример 1. Воспользуемся данными, приведенными в табл. 1.

Таблица 1 Исходные данные для числового примера

ю/ ю1 ю2 ю3 ю4 ю5

Ф,.

млн у. е./год 2 5 7 3 8

Щ,.

млн у. е./год 20 15 17 21 30

т,, годы 7 5 4 9 2

Я 8,766 8,429 13,678 4,349 77,749

порядок 3 4 2 5 1

Показатель Я, вычисляется по формуле

Я, = -

еат -1

Ф,

где показатель дисконта принят равным а = 0,15.

Последняя строка табл. 1 представляет собой порядок реализации инвестиций, который равен л = [ю5, Ю3, ®4 ]. Таким образом, первым

инвестироваться должен объект ю5, а время начала инвестирования ^ = 0. так как время его создания равно т5 = 2, то следующим будет инвестироваться объект Ю3 с временем начала инвестирования ^ = ¿1 + Т5 =2. Для объекта получим ¿з = ¿2 +Т = 6, продолжая эту процедуру далее, получим ¿4 = ¿3 +Т1 = 13; ¿5 = ¿4 +т2 =18.

Пусть 0 < Т < + тн, тогда в предположении, что Ф, и щ постоянны, получим

п{Т Н / ( и

— х(( +т))

1 п(Т )-1 , и (Т, п) = 1 X Ф (е~а - е_а|

г=1

+Фп(Т е п(Т )-1

п(Т)- е~аТ ); (5)

5 (Т, п) = 1 X Щ (е"а((+Т'}-е ~аТ ), (6)

где

,=1

п (Т ) = тах {к}.

и <Т

Значение показателя NPV при данном Т и порядке п будет равно

NPV (T, п) = -U (T, п) + S (T, п).

Заметим, что в приведенных формулах (5) и (6) нумерация объектов соответствует оптимальному порядку.

Как следует из рис. 1 и 2, отклонение от оптимального порядка приводит к существенным изменениям зависимости ЫРУ (Т) . При оптимальном порядке и а = 0,15 срок окупаемости равен Тор1: « 2,5 года, а при отклонении от оптимального порядка срок окупаемости составит Т0 = 6,7 лет.

Рис. 2. ЫРУ (Т) при а = 0,15 . В оптимальном порядке следования инвестиций (рис. 1) первые два объекта поменялись местами

Следующим фактом при отклонении от оптимального порядка является более глубокий минимум. В примере при оптимальном порядке максимальная необходимая сумма составит 12,8 млн у. е., а при отклонении от него необходима сумма 20,1 млн у. е., что, с точки зрения финансовой политики, весьма неблагоприятно.

Пример 2. В работе [2] рассмотрена задача формирования рационального перечня объектов инвестирования. Однако в этой работе предусматривалось, что инвестирование любого объекта включает две составляющие:

- мгновенное инвестирование в объеме а, Ъ ;

- постепенное (непрерывное) инвестирование интенсивности фг (7) при t е [0, тг ], где тг —

длительность непрерывного инвестирования.

Что касается прибыли от инвестирования в объект , то она может наступать и раньше, чем окончание создания этого объекта.

В данном примере выполним отмеченные обобщения и рассмотрим задачу определения рациональной последовательности инвестирования объектов из перечня О = {юг : 1 = 1,п}.

Оговоренные предположения относительно мгновенного инвестирования означают, что время начальных и заключительных операций значительно меньше времени непрерывного инвестирования.

На рис. 3 дана геометрическая интерпретация сделанных допущений.

Относительно величины допускаем, что она неотрицательна. Если = тг, то получим первоначальную модель, а в случае 0 < ^ < тг имеем вариант, когда отдача от вложений в объект «г начинается до его полного создания. Заметим, что вариант > тг в данной модели не исключается и может быть интерпретирован как вариант с запаздыванием отдачи от инвестирования на величину ^ - тг.

Рис. 3. Возможные варианты инвестирования

Выпишем составляющие ИРУ (Т) : В приведенных соотношениях, как и в (5),

(6), допускается, что естественный порядок п(7)-1Г 7максимизирует ИРУ (Т). В дальнейшем по-

и(7)= X +| и(хУ^йх + лагаем

Аи («1,«1+1) = Аи («1 ) + Аи («1+1)

+Ъ,е~

+х;))

п(7) +

п(7 )

| ип({)(х)е ахйх; где

где

п(Т )-1 '

5 (7)= X I (хУас

1=1

п (7) = тах {к}.

Ч ^

Аи ) = аг«г+1 + | иг (х]е~айх + Ъ1е~а(г'

или

Аи («1 ) = е"

1

аг +| фг (х)е_ахйх + Ъге~

Ли (ю,-+1) = е"^1 а,+1 +| Фг+1 (хуах.х +

).

Необходимое условие оптимальности естественного порядка представляет собой

-Ли (ю,,Юг+1) + А; (ю,, ю,+1) > -Аи (+1, Юг ) +

+Л; (Юi+l, Юг ). (7)

Изменив порядок следования, т. е. выполнив вначале юг+1, а затем юг, получим

Ли (Юг+1,Юг ) = Ли (Юг+1 ) + Ли (Юг ),

Положим

Фг =

а, + | фг (х)е_ахо?х + Ь,е~

или

4+1

Л'и (ю.+1 ,Юг ) = аг+1 + | ф,-+1 (х^"".х +

+Ьг+1е-аТг+1);

Ли (ю, ) = в~а( +Тг+1) аг ф (хУахёх + Ьге~ахг

Выпишем соответствующие величины для прибыли

Л; (Юг, Юг+1) = Л; (Юг ) + Л; (Юг+1)

или

Л; (юг )= | ;г (х)е ахйх , Ч

t

Л; (Юг+1 )= | ;г +1 (хК'"«'-*

или

где

Л; (юг ) = е"а(ч ) | V, (х]е~ахёх , 0

Л, (ю,+1 ) = е~а(м+Тг+1) | V,+1 (хУах'х.

0

Поменяв порядок, получим

Л; (Юг+1,Юг ) = Л (Юг+1 ) + Л (Юг ) Л; (Юг+1 ) = е"а(+^) ^ у+1 (х)е-ах'х;

Ч-Ч-тг+1

л; (юг ) = е"а(+Т-+1 ) Г V ЛЛ^.

| V, (х У

V, (г) = | V, (х)е_ах'х. 0

Необходимому условию (7) придадим форму

-(е"аЧФг- + е"а(Ч+Т)фрг+1) + е"а(+У V, ( - ^ ) +

+е"а(Чг + +1 ^ г+1 (Ч - и-т, -^г+1 )>-( е"а ф,+1 + +е"а( +т-+1 >фг ) + е"а( ^г +1 (Ч - и +1) +

+е"а(Чг+т^ (Ч - Ч, -Тг+1 ) .(8)

Неравенство (8) можно упростить, если умножить на положительную величину еаЧ-и устремить Ч ^<х> и предположить, что существуют интегралы

V, =| V, (х)е ахйх . 0

При таких допущениях имеем -(ф + е"ат- ф г+1) + е"< V + е"а(> > -(фг+1 + е_ат,+1 фг) + е"а^ V,+1 + е"а(т-+1

V г

или

Vг + е_аТг+1 ф.. - е"а( ) >

-фг- + е ^ V, + е .+1 ррг- - е

>-Фг+1 + е_ат- Фг+1 + е"а^ Уйг-+1 - е"а( ,.+1.

Окончательно имеем

к, > к,

(9)

где

к =

е~аТ- V, - Фг 1 - е_ат-

Пример 3. В данном примере рассмотрим ситуацию, когда интенсивность инвестирова-

Ч

ния постоянна, а интенсивность прибыли монотонно возрастает и стремится к некоторой постоянной.

В качестве модели для инвестирования прибыли возьмем

(t) =

0,

t ^; A(1 -e"^)), t

В этом случае

V,(t ) = A,j(1 - e"M' "WW = i(+-;

' а(а + Рг-)

Ф, (t ) = a. +^a(l - e"ax') + bte-aT, а показатель R будет равным

e_2a^' Л,в, - ^a, + ^a(l - e"ax') + b,e~aT j

R =

1 - e"

. (10)

R = -

-1

Ф,.

моделироваться случайной величиной, закон распределения вероятностей для которой определяем по формуле

Ц (х) = р < х} = Ц /у (х1) /ф (х2 )/х1йх2,

в(х)

где область интегрирования Q представляет собой

Q (х) = {(х1' х2 ): х1 у1] , х1 е[ф1, фг] ; К,< х} ,

где /у (х1), /ф(х2 ) - плотности распределения для и фг соответственно.

Установим пределы изменения Яг

R =-^-Ф,; R =

eaXj -1 eaXi -1

Ф,

Используя показатель (10) и правило (9), получаем возможность построения такого порядка инвестирования, при котором показатель NPV будет максимальным.

Заметим, что правило (9) позволяет реализовать минимальное время окупаемости PBP (Pay-Back Period) и минимизировать максимальный денежный отток (Cash Outflow). Очевидно, что Cash Outflow позволяет определить необходимые размеры финансирования.

Пример 4. Остановимся на ситуации, когда интенсивности инвестирования и прибыли постоянны, но имеют неопределенный характер, т. е. можно указать только оценки снизу и сверху.

В качестве математической модели для данной ситуации будут использованы случайные величины, распределенные по равномерному закону. Показатель, с помощью которого будем упорядочивать объекты в данном примере, будет равным

тогда порядок инвестирования определяется из условия, что вероятность

у = P{R1 >R2 >...>Rnmax.

Данную вероятность, используя F, (x) , вычисляем по формуле

Y = j _ -j dF1 (x1 )dF2 (x2 )•• dFn (xn ).

R * x£R 1=1, n

x > x2 >•••> xn

Приведенные формулы выписаны для естественного порядка, чтобы не загромождать идею постановки задачи. В общем случае порядок п можно задать в виде

п = № 2 )n )}

где ,(j) - номер места, которое занимает ю ,

в данном порядке, тогда

у(п)= j --jn dF

R (j)* x R (J)

j=1, n

j=1

(J)

tJ).

dF2 (x2 )

Неопределенные величины уг и фг моделируем случайными величинами, распределенными по равномерному закону, т. е.

У ге[уг, у1]; ф1е[ф1, ф1].

Считаем, что и фг - независимые случайные величины. Показатель Яг тоже будет

и необходимо найти такой порядок п , чтобы у(п* ) > у(п)

где п - любой другой порядок.

*

Вопрос о существовании п не вызывает сомнения, так как всех порядков конечное число (п!).

Далее рассмотрим две ситуации, которые позволяют построить оценки ЫРУ (ч) снизу и сверху.

Взяв в качестве ф, = ф,; V, = V,; - = 1,п и построив соответствующий порядок п, получим следующее отношение:

антов в соответствии с заданными процентами вариации. В двух последних строчках даны последовательности п и п . Для этих последовательностей вычислены ЫРУ (ч, п) и ЫРУ (Ч, п) , которые и представлены на рис. 4.

Таблица 2

ЫРУ (Ч, п)< ^У (Ч, п), ю1 ю2 ю3 Ю4 ю5

справедливое для любого другого порядка п, ф,-,

отличного от п . млн у. е./год 2,000 5,000 7,000 3,000 8,000

Положив ф, = ф,; V, ^; - = 1, п и найдя V,-, млн у. е./год

порядок, получим 20,000 15,000 17,000 21,000 30,000

ЫРУ (Ч, п) < ШУ (Ч, п) < ЫРУ (ч, п) , тi, годы 7,000 5,000 4,000 9,000 2,000

что позволяет иметь оптимистическую и пес- ±Л % 10,000 5,000 20,000 15,000 30,000

симистическую оценки для ЫРУ в условиях неопределенности. Для численного расчета возь- Яг 7,490 7,507 8,143 2,797 49,624

мем исходные данные из табл. 1, а значения Я 10,043 9,350 19,214 5,907 105,874

фг- и V, проварьируем согласно табл. 2. В табл. 2 приведены значения Я. и Я, для п 4,000 3,000 2,000 5,000 1,000

пессимистического и оптимистического вари- п 3,000 4,000 2,000 5,000 1,000

Рис. 4. Графики прогнозов:

1 - оптимистический прогноз; 2 - ожидаемый прогноз; 3 - пессимистический прогноз

Приведенные значения ЫРУ выполнены при а = 0,15 или Е«16,2 % годовых. Если ожидаемое время оборота в данном примере равно 2,8 года, то с вероятностью единица реальное значение принадлежит интервалу [2,4;4,3] года, а последовательности инвестирования

п = [ю5, Ю3, Ю1, Ю2, Ю4 ];

п = [ю5, Ю3, Ю2, Ю1, Ю4 ].

Пример 5. Данный пример является обобщением примера 4 в том плане, что сроки инвестирования т,, г = 1, п также четко неопределенны и заданы в виде интервалов [х,-, т,- ], где т. минимально возможный, а Т, - максимально возможный срок инвестирования.

В этом примере также введем пессимистическую ситуацию, когда ф = фг-, V, = V,,

т, = т,, г = 1, п и оптимистическую ф = ф,,

V, =Vi, т, = т, - = 1, п. Каждой из этих ситуаций будут соответствовать свои последовательности инвестирования, которые определяем, используя показатели

V,- _ —

Я =—=--фг-; г = 1, п

еатг -1

и

для формирования рациональных последовательностей соответственно пессимистической и оптимистической.

Для численных расчетов воспользуемся данными табл. 2 и сформируем исходную информацию пессимистического толка (табл. 3).

Для определения оптимистического порядка составим табл. 4 аналогично табл. 3.

Таблица 3

юг ю1 ю2 ю3 ю4 ю5

фг , млн у. е./год 2,000 5,000 7,000 3,000 8,000

V,'

млн у. е./год 18,000 14,250 13,600 16,800 21,000

т,, годы 7,700 5,250 4,800 10,350 2,600

6,080 6,646 4,498 1,062 10,197

Порядок 3,000 2,000 4,000 5,000 1,000

Таблица 4

ю1 ю2 ю3 ю4 ю5

фг ,

млн у. е./год 1,800 4,750 9,600 2,550 5,600

Vi,

млн у. е./год 22,000 15,750 20,400 24,150 39,000

т., годы 6,300 4,750 3,200 7,680 1,400

Яг 12,188 10,408 27,513 8,681 161,296

Порядок 4,000 3,000 2,000 5,000 1,000

Зависимость ЫРУ для пессимистического и оптимистического вариантов представлена на рис. 5.

Если сравнить графики на рис. 4 и 5, то можно отметить, что время окупаемости в последнем случае имеет больший интервал разброса, чем на рис. 4. Этот факт вполне ожидаем, так как неопределенных параметров на рис. 5 больше, чем на рис. 4.

В качестве объектов инвестирования принимаем определенные направления ю,.

Положим:

Ю1: Киев - Полтава - Харьков;

Ю2 : Киев - Полтава - Днепропетровск;

ю3 : Киев - Полтава - Днепропетровск - Донецк;

Ю4 : Киев - Полтава - Днепропетровск - Запорожье;

ю5 : Киев - Полтава - Днепропетровск - Запорожье - Мелитополь - Симферополь;

Юб : Харьков - Полтава - Днепропетровск -Кривой Рог - Николаев - Одесса;

ю7: Киев - Белая Церковь - Николаев -Одесса;

Ю8 : Киев - Белая Церковь - Николаев - Херсон - Симферополь;

Ю9: Киев - Белая Церковь - Винница -Хмельницкий - Тернополь.

Любой из перечисленных объектов (направлений) может быть взят в качестве первого объекта инвестирования, но после его реализации параметры инвестирования будут другими для остальных объектов.

В дальнейшем будем исходить из следующих допущений:

- время создания того или иного ю, пропорционально его длине;

- прибыль от создания ю, пропорциональна пассажиропотоку и длине направления ю,.

80-

3

«г показатель

Я = ^ - ЪГ

Рис. 5. Зависимость ИРУ: 1 - оптимистический вариант; 2 - ожидаемый вариант; 3 - пессимистический вариант

В силу сделанных допущений для каждого скорость строительства (км/год); а,Ъ - коэффициенты пропорциональности; I' - длина пути, которую надо построить с учетом предшествующих реализаций.

При сделанных допущениях и выбранных направлениях исходная информация о параметрах инвестирования представлена в табл. 5. Из этой таблицы следует, что Я максимально, следовательно, в первую очередь должно быть построено где I - длина направления «г (км); Р1 - пасса- направление «1: Киет - Шлтава - Харьков. С жиропоток направления (млн пасс/год); и - учетом этого сф°рмируем та&л. 6.

Таблица 5

где принято фг = Ъ1г

У = ар11; Т1 =

и

«1 «1 «2 «3 «4 «5 «6 «7 «8 «9 «10 «11

¡1 440 440 660 520 871 680 525 705 530 920 691

р 2,561 1,435 2,001 1,767 8,573 1,502 3,977 4,069 2,047 1,900 2,069

Т1 2,2 2,2 3,3 2,6 4,4 3,4 2,6 3,5 2,7 4,6 3,5

Я -7111 -7578 -10853 -8713 -11965 -11360 -7926 -10797 -8755 -15538 -11319

Таблица 6

ю2 ю3 ю4 ю5 ю6 ю7 ю8 ю9 Ю10 Ю11

¡г 440 660 520 871 680 525 705 530 920 691

Ч 130 350 210 561 550 525 705 530 610 561

тг 0,7 1,8 1,1 2,8 2,8 2,6 3,5 2,7 3,1 2,8

Р,- 1,435 2,001 1,767 8,573 1,502 3,977 4,069 2,047 1,900 2,069

Я -3892 -6144 -4334 -5384 -9393 -7926 -10797 -8755 -10237 -9302

Из этой таблицы следует, что следующим должен быть построен элемент Полтава - Днепропетровск и тем самым будет создано направление Ю2 : Киев - Полтава - Днепропетровск.

Продолжая аналогичным образом, получаем следующую последовательность:

Ю4 : Киев - Полтава - Днепропетровск -Запорожье;

ю5 : Киев - Полтава - Днепропетровск -Запорожье - Мелитополь - Симферополь;

ю11 : Харьков - Днепропетровск - Запорожье - Мелитополь - Симферополь.

Ю3 : Киев - Полтава - Днепропетровск -Донецк;

юш : Киев - Полтава - Днепропетровск -Донецк - Луганск - Мариуполь;

ю6 : Харьков - Полтава - Днепропетровск - Кривой Рог - Николаев -Одесса;

ю7 : Киев - Белая Церковь - Николаев -Одесса;

Ю8 : Киев - Белая Церковь - Николаев -Херсон - Симферополь;

Ю9 : Киев - Белая Церковь - Винница -Хмельницкий - Тернополь - Львов.

Таким образом, рациональная последовательность создания сети линий высокоскоростного движения пассажирских поездов в Украине представляет собой

ор1

= [ю1, ю2, ю4, ю5, юп,

ю3'Ю10'Ю6'ю7'ю8'ю9 ] .

При скорости строительства 200 км пути в год на создание сети потребуется 15,23 года, а при а = 0,1 возврат вложений будет через 15 лет (рис. 6). При меньшей скорости строительства экономические показатели существенно ухудшаются (рис. 7, 8).

В математической модели инвестирования зависимых объектов объект юг- представляет собой набор Е1 некоторых элементов ек е й.

Так, например, направление

Ю1: Киев - Полтава - Харьков состоит из двух элементов Е1 ={е1, е2} и т. д. (рис. 6), а направление;

Ю2: Киев - Полтава - Днепропетровск

представляет собой Е2 = {е1, е3} и т. д.

В общем случае будем записывать ю, = Е1 ей . Тогда, если ю, инвестируется раньше, чем ю у, то из ю у должны быть исключены элементы, общие для ю, и юу. Когда приходит очередь инвестирования объекта ю у, то множество

Еу = Еу \

(у- ^

и Ек

V к=1

представляет собой набор элементов, которые необходимо инвестировать и объем инвестирования юу в данном случае представляет собой

= Еи (е).

ееЕу

В нашем случае данное соотношение принимает вид

Заметим, что после создания ю^, автоматически будет создан и Юц . Тогда в последовательности п юп не требует инвестирования.

и

У

= Ь Е I (е )

ееЕу

где I ( е ) - длина элемента е.

(11)

Рис. 6. ИРУ (7) при скорости строительства У = 200 км/год:

1 - а = 0,07; 2 - а = 0,05; 3 - а = 0,1

Рис. 7. ИРУ (7) при скорости строительства У = 150 км/год:

1 - а = 0,07; 2 - а = 0,05; 3 - а = 0,1

Рис. 8. ИРУ (7) при скорости строительства У = 100 км/год:

1 - а = 0,07; 2 - а = 0,05; 3 - а = 0,1

Естественно, изменится и время инвестирования направления «^ и оно будет определяться по формуле

Тз = X т(е).

(12)

ееЕ.

Тогда показатель Я^ будет рассчитываться следующим образом:

Яз =

аРз1з

-1

ф

где

¡з =Х I (е ).

Е

И если естественный порядок инвестирования оптимальный, то должно выполняться соотношение

Яз > Як, к =]■

1, п,

где Як рассчитаны с учетом реализованных направлений от 1 до у -1.

Алгоритм определения рациональной последовательности инвестирования имеет следующие основные элементы:

1. Формируем объекты инвестирования «г = Е1, 1 = 1, т из элементов множества

е = {е, 1 = 1, п}.

2. Полагаем 1н =[1,2,..., т]; I = 0; Е' = 0.

3. Если 1н \ I = 0, то переходим к п. 7.

4. Пересчитываем т1 и ф;, 1 е 1н \ I.

5. Определяем такой номер 1*, что Я1 > Я1, 1 е 1н \ I.

6. Номер 1* посылаем в I и переходим к п. 3.

7. Выдача списка I как оптимальной последовательности инвестирования.

Остановимся более детально на п. 4, в котором время инвестирования т1 и интенсивность инвестирования зависят от объектов, предшествующих объекту «1.

Обозначим через

т =т («1, «2,..., «1);

ф/ =ф/ («1, «2«1 )

зависимости т1 и фi от предшествующих объектов в оптимальной последовательности.

В явном виде данные зависимости применительно к рассматриваемой сети линий железных дорог высокоскоростного движения пассажирских поездов описываются соотношениями (11) и (12). Однако в общем случае эти зависимости могут быть и другими, что требует определенного программного обеспечения для расчета т1 и ф1.

Если этот пункт пополнить пересчетом интен-сивностей прибыли у1, то данный алгоритм будет обладать определенной общностью и применим к широкому кругу инвестиционных задач.

Отметим только, что показатель Я1 должен рассчитываться по формуле

R =

e V i -Фi

1 - e

(13)

где ф1, у 1, - параметры объекта «1, зависящие от предшествующих объектов. Экономический смысл данных параметров: ф1 - суммарный дисконтированный объем инвестирования «1, у - суммарная дисконтированная прибыль от «1, ^ - время, через которое начнет поступать прибыль от «1, отсчитываемое от начала его инвестирования.

Выводы

Предложена методика определения рациональной последовательности инвестирования с учетом дисконтирования.

Методика апробирована на тестовом примере и выполнен расчет рациональной последовательности создания сети линий железных дорог высокоскоростного движения пассажирских поездов в Украине.

При кредитных ставках 5... 10 % годовых и росте пассажиропотока в четыре раза по сравнению с 2002 годом, при затратах 3 млн евро на строительство одного километра пути при цене перевозки 0,0625 евро/пасс-км и эксплуатационных расходах 0,03 евро/пасс-км, при скорости строительства пути 200 км/год срок окупаемости будет находиться в интервале 12.15 лет.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. UNIDO Manual for the Preparation of Industrial Feasibility Studies. Vienna, UNIDO, ID/206, 1986.

2. Босов А. А. Математическая постановка задачи о рациональном инветировании / А. А. Босов, А. А. Сидоренко // Математичне модулювання в шженерних та економiчних задачах транспорту: Зб. наук. пр. - Д.: Оч, 1999. - С. 5-13.

3. Босов А. А. Формирование вариантов рациональной сети линий высокоскоростного движения поездов в Украине / А. А. Босов, Г. Н. Кирпа. - Д. Изд-во Днепропетр. нац. ун-та ж.-д. трансп., 2004. - 144 с.

Поступила в редколлегию 27.07.2004.