Определение передаточных функций линейных динамических систем путем анализа их свободных колебаний Текст научной статьи по специальности «Математика»

Светло-серым цветом на диаграмме (рис. 4) показана удельная экономия условного энергоносителя, а темно-серым - удельная экономия электроэнергии при использовании солнечных водонагревателей вместо электротенов. Показатели верны для СВН (солнечный водонагреватель), по направлению на юг и под наклоном 30° к горизонту плоскости солнечного колектора [5].

Рис. 4. Удельная экономия энергоносителя и электроэнергии

Таким образом, использование солнечных коллекторов является актуальным аспектом при решении вопросов энергосбережения зданий в северных широтах.

Анализ использования солнечных коллекторов без вспомогательного оборудования в Украине и в северных странах показывает, что это очень хороший способ нагрева воды на ГВС, но пока что недостаточный для полного отопления дома в зимний период [4]. Поэтому, устанавливая такие системы, заказчики должны сообщать проектировщику, для каких целей им эти системы нужны, а проектировщик, в свою очередь, будет принимать соответствующие меры, проводя определенные исследования в этой области или ссылаясь на подобные проекты.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Имбаби М. С., Муссет А. Гибридный проект солнечного отопления и вентиляции в Монмунске // Построение и окружающая среда. - 1995. - Вып. 30. - С. 91 - 98.

2. Имбаби М. С., Гордон Р. Турбулентная модель потока воздуха в помещении гибридной солнечной системы отопления и вентиляции, в европейской конференции о сохранении энергии и внутреннего климата помещений // Строительство и окружающая среда - 1994. -Вып. 24. - С. 131 - 135.

3. Сабади П. Р. Солнечный дом / Пер. с англ. Н. Б. Гладковой. - М. : Стройиздат, 1981.113 с.

4. Дан П. Д., Рей Д. А. Тепловые трубы: Пер. с англ. - М. : Энергия, 1979. - 272 с.

5. Лабейш В. Г. Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии. - СПб. : СТЗУ, 2003. - 179 с.

УДК 624.21

ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕДАТНИХ ФУНКЦ1Й Л1Н1ЙНИХ ДИНАМ1ЧНИХ СИСТЕМ ШЛЯХОМ АНЛ1ЗУ IX В1ЛЬНИХ КОЛИВАНЬ

В. П. Редченко, к. т. н.

Ключовi слова: динам1чт випробування, втьт коливання, передатна функщя Вступ. Металевi конструкци, яю застосовуються в переважнш бшьшосп промислових, громадських та транспортних споруд, у звичайних варiантах !х конструктивного виконання та

типових розмiрiв можна вважати лшшними динамiчними системами. Термш служби бiльшостi таких споруд в Укра!ш вичерпано, тому дуже важливим е науково-експериментальне обгрунтування його продовження, в тому числi i шляхом проведення !х динамiчних випробувань [1]. В експериментальнш практицi методи динамiчних випробувань будiвельних конструкцiй подшяють на активнi, коли застосовуеться певне динамiчне навантаження, та пасивнi, коли використовуеться випадкове збудження коливань. Найбшьш вiдпрацьованими з методолопчно! точки зору е методи активно! вiбродiагностики (особливо методи з використанням вiбращйно! машини) [2]. 1снуе усталена думка, що методи пасивно! вiбродiагностики не можуть дати тих результат, якi дають методи активно! вiбродiагностики [3; 4]. В той же час методи активно! вiбродiагностики не розповсюджеш в практищ дослiдження мостiв в Укра!ш, вони потребують набагато бiльших затрат кош^в та часу, тому розвиток альтернативних методiв динамiчних випробувань мостових конструкцш е актуальною проблемою.

Аналiз публжацш. Вiдомо, що повнiстю iдентифiкувати лшшну систему можна, визначивши !! iмпульсну перехiдну функцiю [2], а застосувавши операцiйне числення, лiнiйну стацiонарну систему можна з необхщною точнiстю представити за допомогою матрицi передатних функцш, яка встановлюе зв'язок мiж вхщною силою збудження та реакцiею системи. Передатна функщя е перетворенням Фур'е вщ реакцi! системи на навантаження у виглядi iдеального одиничного iмпульсу. Реакцiя системи на такий iмпульс називаеться ¡мпулъсною перех1дною функщею (¡мпулъсною характеристикою) або ж функщею Грта. Найчастше !! позначають як Н(г). Якщо комплексну передатну функцiю позначити як К(ю), то реакцiя лшшно! системи описуеться як

^^вих (щ) = ^ (щ)К (щ) (1)

де: 8вх(ю) та 8вих(ю) - вщповщно спектральнi функцi! навантаження на входi та реакцi! на виходi системи.

Модуль комплексно! передатно! функцi! називають амплiтудно-частотним спектром (АЧХ), аргумент - фазочастотним спектром (ФЧХ).

Метод функцш Грiна. Нехай е система з п ступенями свободи, яка описуеться лшшним диференцшним рiвнянням другого ступеня. Якщо в к точках системи прикладеш силовi збудження F(k), то реакщю системи в точщ г - уг(г) можна представити таким виразом [2]

У, (г) = 2(фк (г ,т)йт (2)

к=10

Матрицю, складену з функцiй кгк(г,г) - iмпульсних перехiдних функцiй мiж точками г - к, називають матрицею Гр!на.

Метод розкладання за власним формами. В системi нормальних узагальнених координат реакщя у(г) може бути представлена як сума п ортогональних реакцш за власними (модальними) формами коливань [2; 5]:

п

Уг (г) = 2 УУ (г) (3)

7=1

Для практичних цiлей найчастiше достатньо розглянути декiлька перших власних форм (мод) коливань.

Результати проведених дослщжень. Об'еднуючи вирази (2) та (3) для лшшних стацiонарних систем, реакцiю системи зау-ю власною формою можна представити як

у 7 (г) =2} ±Fk (т )Нгку (г ,т)йт (4)

к=10 7=1

де Игку- (г,т) - функщя Грша для пари точок г - к заю власною формою.

Фактично кожну функщю Грiна тут представлено як суму ортогональних функцш, яю назвемо модалъними тмпулъсними перех1дними функцгями (модалъними функцгями Грта):

К (г,т) = £\' (г,т) . (5)

7=1

Вiдповiдно до залежностей мiж iмпульсною характеристикою та комплексною передатною функщею, останню також можна представити як суму модальних передатних функцш:

К1к (а) =Е к^ (а).

]=1

Отже, вшьш коливання лшшно! стащонарно! системи розглядаемо як суму ортогональних реакцш за власними формами, ваговий вплив яких визначаеться модальними функцiями Грша або ж модальними передатними функщями та початковими умовами, якi передували вшьним коливанням: швидкiсть (/мпульсна складова) та змщення (юнематична складова).

Враховуючи ортогональнiсть модальних функцiй Грша, кожну модальну передатну функцiю (перетворення Фур'е вiд модально! функци Грша) можна визначити (розрахована) як для лшшного осцилятора, вшьш коливання якого описуються наступною функцiею [5]:

'у (0) + у(0)а sin(wDt) + у(0) )

уО) = e

-а

WT

D

(7)

де у(0) та у (0) - початковi умови (змщення та швидюсть вiдповiдно), а - коефщент демпфiрування, WD - циклiчна частота коливань власно! форми системи з врахуванням демпфiрування.

1мпульсне збудження. Якщо прийняти, що початкове змщення у(0) = 0 i система збуджуеться iмпульсомр, а отже, у'(0)=р/т (т - маса системи), тодк

-а Г р

у(г) = е

mWr

-sin(WDt)

(8)

Використавши вiдомi залежностi, що: ~ Ж = к/т = 1/тА1, де W - частота власно! форми, к - жорстюсть, А1 - реакшя вiд одинично! статично! сили; маемо:

-а

у (г) = е а [рА1 Ж sin(W г)]

(9)

На рисунку наведено графш iмпульсно! перехiдно! функцi! за виразом (9) при Ж = 2, рА1 = 5, а = 0,159 (декремент коливань 5 = 0,5).

Отже, модальна функщя Грша мае форму синуса з циклiчною частотою Ж, а !! початкова ампл^уда пропорцшна величинi iмпульсу р, циклiчнiй частотi та статичному коефщенту впливу А1.

10

■ 10

А

I1 л А

/ \ А / \ /X 1

о 1 Д/ Мз 0 26 667 33 333

V

Рис. 1. Граф1к ¡мпульсног перех1дног функци лттного осцилятора

Модальна передатна функшя е перетворенням Фур'е вш виразу (8) та з урахуванням властивостей вказаного перетворення може бути визначена як сума двох комплексних функцш:

и -'.......................... (10)

к (а) =1 (е~]Ж'2 ■ У (а - Ж) + е]Ж'2 ■ У (а + Ж))

де

рЖА1

У(а) =

а + ]а

Доданки у виразi (10) е котями перетворення Фур'е вш експоненцiйно! функцi!, якi змiщенi вш нуля в область вiд'емних та додатних частот. 1х фазовi складовi повернутi на (-л/2) та на л/2 вшповшно, завдяки чому при ю = 0 !х фази збшаються та рiвнi 0, модулi доданкiв складаються, тому, знехтувавши а порiвнянно з Ж, маемо наступний вираз для модуля комплексного коефщента на нульовiй частотi:

А Ш

К(0) = Р . 2Ш 2 - РА (11)

Уа2 +Ш2

Фазове положення на нульовш частотi, залежно вiд знаку при коефщешг впливу А1, може бути 0 або ж п.

Максимальш значення функци е при ш = ±Ш , тут один iз доданкiв е набагато меншим за iнший, а його фаза повернута на п/2, тому, нехтуючи одним iз доданюв та використавши залежнiсть а = ЗШ/2п, маемо вираз для модуля комплексного коефщента на власнiй частой системи Ш:

АШ п

К(Ш) - 0,5р = РА\— (12)

л1а2 о

Вщношення К(Ш)/К(0) = ж/6, як це i мае бути для резонансно! криво! (ще одна назва АЧХ) лшшного осцилятора.

Шнематичне збудження. Якщо прийняти, що початкове змiщення у(0)=А, швидюсть у'(0) = 0,а система збуджуеться вiдпусканням, то, використавши залежност а = 5W/2п та Шп ~ Ш, вираз (7) записуемо, як:

У(0 = Ае Ш

о

— sin(Шt) + 2п

(13)

Нехтуючи першим доданком у дужках (для будiвельних конструкцш 5/2п < 0,1) та виразивши початкове вiдхилення через силу вщтяжки А = РАЬ маемо:

у(/) = РАхе~Ш cos(W0 (14)

Перетворення Фур'е вiд виразу (14) мае такий вигляд:

С (а) = 1 (У (а- Ш) + У (а + Ш)), (15)

де

У(а) = -РА

а + ]а

Доданки у виразi (15) е копiями перетворення Фур'е вщ експоненцiйно! функцi!, яю змiщенi вiд нуля в область вщ'емних та додатних частот. При ш = 0 !х фази протилежш, отже, модуль суми рiвний нулю С(0) = 0. Максимальш значення функци е при ш = ±Ш, тому подiбно до виразу (12), маемо:

С(Ш) - 0,5 ^рА= = - (16)

а ш о у '

Можна показати, що при рiвностi затрачено! енергi! при iмпульсному та кiнематичному збудженнях ампл^удш коефiцiенти у виразах (12) та (16) е рiвними, тобто рА1 = РА1/Ш. Близькими е i амплiтуднi спектри реакцiй на iмпульсне та кiнематичне збудження, найбiльш подiбнi вони в зонах бiля ш = ±Ш, а найбiльше в^^зняються при наближеннi до ш = 0.

З урахуванням першого доданка у виразi (13) та за умови рiвностi енергiй в обох випадках збудження маемо таке сшввщношення:

РА О О

С (0) = = К (0)- (17)

Ш 2п 2п

Якщо розглянути iмпульсну характеристику (9), змiщену на чверть перюду (фазове положення - п/2), то при обумовлених вище спрощеннях вона буде подiбною реакци на кiнематичне збудження. Подiбнiсть буде тим бшьшою чим меншим е декремент коливань, вщповщно подiбними будуть i !х амплiтуднi спектри (рис. 2).

\ 34.358 t

■л И U

\t

\t Я

\v /У /у

-4 -3 -2 -1 Oui 2 3 4

Рис. 2. Амплтудт спектри реакцИ': на ктематичне збудження 3i змщенням на чверть nepiody - суцыьною лiнieю; на iмпульсне збудження - пунктиром

Якщо ж урахувати зменшення ампл^уди за чверть перюду у виглядi коефщента подiбностi к1, оберненого до згасання:

kl = esl4 (18)

то графши ампл^удних спекав за обома варiантами повнiстю зб^аються. Якщо не виконуеться умова про рiвнiсть енергiï, то слiд також урахувати коефщент приведення до одиничного iмпульсу к2 = W/Р, який випливае з виразу pAj = PA/W.

Таким чином, передатну функщю осцилятора можна визначити як спектральну функцiю реакцiï на його збудження як iмпульсом, так i вщтяжкою силою Р. В останньому випадку перетворення Фур'е розраховуеться починаючи з часу, рiвного чвертi перiоду власних коливань, а значення амплiтудного спектра коригуються (множаться) на коефiцiенти к1 та к2.

Для теоретичних дослщжень та вiдпрацювання практичних методик запропоновано модель, яку можна описати таким виразом:

N

Kk (о) =XK,k„ (о) 09)

n=1

де: K(o)ik - передатна функщя мiж точками i та k; K(o)ikn - передатна функщя мiж точками i та k за n-ю власною формою (модальна передатна функщя).

Вшьш коливання лiнiйноï стацiонарноï системи розглядаються як сума ортогональних реакцiй за власними формами, ваговий вплив яких визначаеться модальними iмпульсними функцiями (функцiями Грша) або ж модальними передатними функщями та початковими умовами, якi передували вшьним коливанням: швидкiсть (iмпульсна складова) та змщення (ктематична складова). Враховуючи ортогональнiсть модальних функцiй Грша, кожна модальна передатна функщя (перетворення Фур'е вщ модальноï функцiï Грша) може бути визначена як для лшшного осцилятора, а комплексну передатну функщю можна отримати, склавши модальш передатш функцiï (для практичного використання достатньо декшькох перших форм). Для лшшних систем вираз (19), визначений через власш кутовi частоти W, декременти коливань S та ампл^уди власних форм A (ваговi коефщенти), в комплекснiй формi записуеться як:

N WAa

N W A i

Ka (œ) + S„) (20)

n=\ 2

де

Sn =-e—:-, S„ * =-—-.

" SnWn/2П + j(p-Wn) n SnWn/2п + j(rn+Wn)

Практичне застосування. Як один i3 BapiaHTiB практичного застосування передатно! функци покажемо на пpиклaдi. Для балково! прогоново! будови автодорожнього мосту за типовим проектом вип. 122-63 повною довжиною 22,16 м, випробуванням визначеш частоти двох перших форм коливань: 5,0 Гц (без викривлення поперечника) та 5,2 Гц (крутш коливання), декременти коливань мають значення 0,15 та 0,18 вщповщно. Для крайньо! балки при нaвaнтaженнi протилежно! смуги руху в сеpединi прольоту силою 10 тонн вaговi коефщенти становлять 2,15 мм та -1,8 мм. Ампл^удний спектр передатно! функци за виразом (20) та знайденими параметрами показано на рисунку 3.

35.2 26.4 17.6

8.8

- 10 - 8 - 6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

ГЦ

Рис. 3. Графы ампл1тудного спектра комплексно! передатно! функцп

Добуток передатно! функци та спектрально! функци навантаження дае спектральну функщю реакцi!, за якою, виконавши зворотне перетворення Фур'е, отримуемо реакщю конструкцi! в часовiй область Реакщю дано! системи на силу, що рухаеться, показано на

рисунку 4.

¥(1)

о

" 10 0 2 с 4 в

Рис. 4. Графы реакцп балки на д1ю рухомо! сили

Висновок. Виконаш дослщження показують, що шляхом аналiзу вiльних коливань лiнiйних систем можна проводити !х iдентифiкацiю в тому ж обсяз^ як i при використанш активного збудження. За розглянутою моделлю, для визначення передатно! функци необхщно мати такi параметри:

- кутова частота коливань за власною формою (Жп);

- декремент коливань дано! форми (¿п);

- ваговий коефщент впливу (Акп).

Саме визначення цих параметрiв i мае бути метою динамiчних випробувань. Для практичних завдань, як правило, достатньо мати !х значення для декiлькох перших форм. Достатню кiлькiсть форм визначають шляхом аналiзу розрахунково! моделi конструкци.

Основною проблемою на шляху практично! реалiзацi! запропоновано! моделi е вщсутшсть практичних методик, якi б дозволяли визначати з необхщною точнiстю частоти та декременти власних форм коливань, особливо в зонах !х згущення. Саме ця проблема i е темою дослщжень автора на даний момент часу. До реч^ згущення частот викликае значш ускладнення i при активнiй вiбродiагностицi, вимагаючи застосування декшькох вiбромашин, !х вiдповiдно!, часто складно!, синхрошзаци i тощо.

ВИКОРИСТАНА Л1ТЕРАТУРА

1. Кулябко В. В. Динамика конструкций, зданий и сооружений: [учебник для студ. вузов] / Владимир Васильевич Кулябко. - Запорожье : Запорожская госуд. Инженер. акад., 2005. - 232 с.

2. Вибрации в технике: справочник в 6 т. / [сост. В. Н. Челомей и др.]. - М. : Машиностроение, 1978 - 1981.

3. Методические рекомендации по вибродиагностике автодорожных мостов. - Офиц. Изд. -М. : Росавтодор, 2001 - 24 с. - (Нормативный отраслевой документ).

4. Рекомендацн з динамiчних випробувань моспв та шляхопроводiв: РВ.2.3-218-00018112-521:2006. - Офщ. вид. - К. : Укравтодор, 2006. - 34 с. - (Нормативний документ Укравтодора. 1нструкщя).

5. Клаф Р. Динамика сооружений: [пер. с англ.] / Р. Клаф, Дж. Пензиен. - М. : Стройиздат, 1979. - 320 с.

1 -I 4