CC BY
31
УДК 539.3
В. А. БАЖЕНОВ, I. I. СОЛОДЕЙ, М. О. ВАБ1ЩЕВИЧ (КНУБА, Ки1в)
ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТР1В МЕХАН1КИ РУЙНУВАННЯ ДЛЯ Т1Л ОБЕРТАННЯ В НЕСТАЦ1ОНАРНИХ ЗАДАЧАХ ДИНАМ1КИ
На 0CH0Bi напiваналiтичного методу скшчених елементiв проведено дослщження вiрогiдностi та ефекти-вносп визначення параметрiв механiки руйнування для тш обертання в нестацiонарних задачах динашки. Представлено новi методики обчислення J-iнтеграла та апроксимаци трiщини при ди динамiчних наванта-жень.
Ключовi слова: скшчений елемент, вiрогiднiсть, сшнчено-елементна модель, динамiчнi навантаження
В рамках полуаналитического метода конечных элементов проведены исследования достоверности и эффективности определения параметров механики разрушения для тел вращения в нестационарных задачах динамики. Представлены новые методики вычисления J-интеграла и аппроксимации трещины при действии динамических нагрузок.
Ключевые слова: конечний элемент, вероятность, конечно-элементная модель, динамические нагрузки
On the basis of semi-analytical final elements method data validity research and research of effective determination of fracture mechanics parameters for bodies of revolution in non-stationary dynamics problems were conducted. New method of J-integral calculation and crack approximation under dynamic impact are presented. Keywords: finite element, probability, finite-element model, dynamic loadings
Вступ
Багато вузлiв та деталей, що ниш викорис-товуються в машинобудуванш, енергетищ та шших галузях техшки представляють собою просторовi тша обертання складно! форми та структури поперечного перерiзу. До них вщно-сяться елементи трубопроводiв, посудини тис-ку, зразки для визначення динамiчних парамет-рiв мехашки руйнування i ш. Нерщко вони пе-ребувають пiд дieю довiльно розподшених у просторi i часi нестащонарних динамiчних на-вантажень рiзноi тривалосп. Прагнення до зб> льшення термiну !х експлуатацii призводить до використання таких елеменпв i деталей при наявносп в них трiщин. Найбшьш поширений i унiверсальний чисельний метод для дослщжен-ня означеного класу об'екпв е нашваналггич-ний метод скшчених елементiв (НМСЕ).
При визначенш трiщиностiйкостi об'ектiв, як правило, використовують два параметри -J-iнтеграл Черепанова-Райса та коефщент ш-тенсивностi напружень (К1Н). Питанням обчислення параметрiв руйнування в просторових задачах статики присвячена значна кiлькiсть робiт. В той же час, основними об'ектами мехашки руйнування при динамiчному наванта-женш залишаються двовимiрнi тша. Питання механiки руйнування при динамiчному наван-таженнi на основi нашванаттичного методу скiнчених елементiв взагалi не шдшмались.
Метою роботи е дослщження вiрогiдностi та ефективностi визначення параметрiв механiки
руйнування для тiл обертання в нестащонарних задачах динамши на основi напiваналiтичного методу скiнчених елеменпв.
НМСЕ в задачах динам1ки просторових тш обертання
Для дискретизацii тш обертання при дина-мiчному навантаженш застосовуеться кшьце-вий скiнчений елемент (СЕ) [7] (рис. 1).
точки ¡нтегрування р''(х3), f ;'(х3), о13(х3)
Рис. 1. Кшьцевий замкнений скшчений елемент
Р= Р«- = 0. ^ = djWLa = 0' ^ ^х«^' (1)
де р - щшьнють матер1алу, d'lkl - компоненти тензора пружних постшних, g - визначник метричного тензора.
Зовшшне навантаження i напруження дов1-
льно змшюються вздовж ос х3 i обчислюють-ся в необхщнш кшькосп точок штегрування.
© Баженов В. А., Солодей I. I., Вабщевич М. О., 2011
За HeB^OMi при розв'язанш задачi прийма-ються компоненти пeрeмiщeнь, швидкостей та прискорень вузлiв СЕ (u: u: u)k, в базиснш сис-
TeMi координат z , де к' - напрямок в базиснш OTCTeMi координат.
Розподш нeвiдомих в напрямку х3 опису-еться 2п - перюдичними функцiями на основi тригонометричних рядiв Фур'е. При умовi на-явност хоча б одше! площини симетри:
L 1
(u: u: u)(=Z (u: u: u)(vk - (2)
1=0
Для замкненого тiла обертання в цилiндричнiй систeмi координат:
У1 - = у2 ' = cos IX, ' = sin IX, I0 = 0,
0 < x3 < 2n (3)
В площинi перетину елемента прийнято 6i-лiнiйний розподiл перемщень, швидкостей i прискорень:
(u: u: u)k, = Х1ПfS(n)x(n) + 2)(: u: й),^} (4)
S1 S2 n=1 V /
Для подання дeформацiй використовуеться моменту схема сюнченого елемента (МССЕ) [5], застосування яко! дозволяе iстотно шдви-щити eфeктивнiсть чисельного дослiджeння просторових конструкцш на основi методу сю-нчених eлeмeнтiв [3, 6].
Слiд зазначити, що компоненти тeнзорiв на-пружень i дeформацiй приймають вигляд по-вних рядiв Фур'е:
8 f = Zё fУ' +8 f, a'f = Z°fУ ' fv3 ' (5)
1=I0 1 =I0
Динамiчнi процеси в неоднорщному iзотро-пному тiлi, об'емом V, обмеженого поверхнею S описуються рiвнянням:
8W + 8T -8A = 0 (6)
де: 8 W = Jaf8sfdV; 8T = Jpu''8u.dV ;
V V
8A = J f' ' 8ut dV + J p'' 8u. dS (7)
V Sp
Пщставляючи апроксимаци (2) до (7), можна представити варiацil потенцшно!, кшетично! eнeргiй та роботи зовшшшх як суму !х амплi-тудних складових:
8Ж = £Щ , 8Т — £8Т1 , 8Л — ]Г8Лг (8)
I—10 I—10 I —10
Для однорiдних вздовж направляючо! просторових тiл система рiвнянь (6) розпадаеться на ряд незалежних амплiтудних пiдсистем для ко-жно1 з гармонiк [3]:
8Щ +8Т -8А1 —0 (9)
Дискретна форма рiвняння (9) мае вигляд [4]:
М] {^Г+И. РГ—Ш (Ю)
Спещальш скiнченi елементи з трiщиною для задачi динам1ки
Складнощi апроксимаци трщини, що вини-кають при розв'язанш нестащонарних задач механiки руйнування для об'екпв iз складною формою та конфпуращею поперечного перер> зу, можуть бути подоланi на основi викорис-тання спецiальних скiнчених елементiв, матер> ал яких не сприймае дда нормальних та дотич-них до траектори трiщини напружень.
Розглянемо кшьцевий замкнений скiнчений елемент з поперечним перерiзом у виглядi чо-тирикутника довiльного обрису, що перетина-еться трiщиною (рис. 2).
Рис. 2. Спещальний к1льцевий замкнений ск1нчений елемент з трщиною
Для спецiальних скшчених елементiв з трь щиною (ССЕТ) введемо ортогональну систему координат у' (див. рис. 2) таким чином, щоб у2 проходила по дотичнш до траектори тр> щини, а у1 - по нормалi i утворювала з додат-нiм напрямком ос г1 кут ф. Вважаеться, що на берегах трщини нормальш та дотичнi напру-ження повинш дорiвнювати нулю:
С1 ' — 0, с1 "2 ' — 0, с1 "3 ' — 0 (11)
Необхщшсть виконання умов рiвностi нулю напружень на поверхнi трiщини призводить до корекци тензора пружних констант:
1 тт1 'р
1 тт1
2ч
(12)
Складники корегуючих членiв тензора пружних констант обчислюються через коефщен-ти Ляме та тензори перетворень, яю визнача-ють зв'язок мiж базисною системою координат та системою координат трщини:
р
2ц,
1+А
2ц
^тп
(13)
тп
де л =■
2ц'
*тп + ст сП
1 тт1 пя т1 . тя Ы . ,,пг „тя . тг т\
ас = Ц(Г1" Г2" + Г1" Г2" + Г1" Г2" + Г1" Г2" )
¿тгий /пи т1 . „те Ы . Ы тя . ,,тК,пя\
т _ „т к' тя _ т я
С1" = Ск'Сг" , Г" = С(г")С(г")
ст = дхт/згк'
ск"= 008Р , в - (^к - У")
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
К (Г ) = 1 \К Я) + К ^ )
(19)
а ^ < р'Ч+с ;7>3' иК1
и
н^(г, е)
к (20)
н[(г,е)
Важливою перевагою запропонованого шд-ходу, заснованого на змш вiдповiдним способом мехашчних характеристик матерiалу, е те, що деформоване тiло з трщиною апроксиму-еться за допомогою повнiстю сумiсних типiв скiнчених елеменпв. При цьому, обчислення коефiцiентiв ефективно! матрицi жорсткостi спецiального скiнченого елемента виконуеться по тим самим формулам, що i для звичайних СЕ, обмежуючись корекцiею елементiв мат-риць пружних сталих.
Алгоритми визначення параметрiв механiки руйнування в задачах динамики
Визнаними основними параметрами мехаш-ки руйнування е коефщент iнтенсивностi напружень та J-iнтеграл Черепанова-Райса, яю обчислюються на основi, так званих, прямих та енергетичних методiв i мають однозначний зв'язок в межах лшшно! механiки руйнування.
В данш роботi пропонуеться комбiнацiя ССЕТ, як моделi iз прямою корекцiею тензора напружень звичайного СЕ, та алгоритму усере-днення отриманих розв'язкiв по ефективнш привершиннiй пiдобластi [1, 8, 9], що дозволяе зберегти регулярну структуру дискретно! моде-лi i значно зменшити чисельнi витрати:
де Н ^ (г,е), Н\(г, е) - вiдомi функцп асимп-
тотичних формул компонент тензора напружень i перемiщень в обласп вершини трiщини.
Координатнi величини динамiчних К1Н ви-значаються за формулою:
КЛ() = Т К (О, £=I, II, III (21)
I=10
та використанням усереднення значень як за напруженнями, так i за перемiщеннями по при-вершиннш областi 6^6 елементiв.
Визначенню величини J-iнтеграла на основi методу сюнчених елементiв присвячена численна кшьюсть робiт. Ефективнiсть запропоно-ваних методик великою мiрою залежить вiд мiрностi задачi, певних обмежень на форму i розмiри областi iнтегрування. При цьому по-стають питання задоволення фундаментальним властивостям J-iнтеграла: його iнварiантностi вiдносно областi iнтегрування та рiвностi нулю при iнтегруваннi по замкнутому контуру. Кла-сична формула J-iнтеграла мае вигляд:
■ =
Аг
л •!
(Ж + т)пк
дх
й¥ (22)
К =■?, кП = ■ПЕ , кш = V2Ц■ ш (23)
В роботах [1, 2] показано високу ефектив-шсть застосування ново! методики (метод реа-кцiй) обчислення J-iнтеграла в задачах статики на основi величин, що безпосередньо входять до рiвнянь методу скiнчених елементiв - вузло-вих реакцiй та перемщень скiнчено елементно! моделi. Крiм того, запропонований пiдхiд задо-вольняе фундаментальним властивостям J-iнтеграла. Для лiнiйних задач динамши [9]:
2
1
Ш*}г, -
■к = I ' , .
1=1 2 (Аха)
N ,
-I 77А—Ш*),, -
1=1 2 (Аха)
м (( пк . пк \( „ к „к
-I
1=1
( + , )(и* - и*' )
2Аха
л
м2
-I
1=1
(
((+-
2Аг(
^ ^ 1 (((+-
1=1
N4
-I
1=1
2Аха
'((+о -о
2Аха
4+А = 14
г
(24)
(25)
г=г„
Вузловi реакцн в задачах динамки iз стацю-нарною трщиною при використаннi прямого метода штегрування рiвнянь руху будуть обчи-слюватись на основi виразу:
{*};={Ц+Аг-{Я}г (26)
де
№(! [ т {-в};+^II [ а^Ь}
[р=1 12 а=1 }
I= «о [М] {и}
р}I =[М] {«о {иГ + «2 {и}- + «3 {и/}^}
У випадку, коли динамiчний розв'язок зада-чi базуеться на розкладi розшукуваного ршен-ня по формам власних коливань конструкций
{Я};=Я}М*р}т (27)
де Я}НК]т {и}; {Я}МлНМI{и}т
Вiрогiднiсть та ефективнiсть запропонованих алгорш^в в з задачах динамики
Вiрогiднiсть обчислення параметрiв мехаш-ки руйнування при апроксимаци трiщини спе-цiальними СЕ для рiзних швидкостей наванта-ження об'екту продемонстровано на прикладi пластини з центральною трщиною, що знахо-диться пiд дiею змiнного у часi рiвнорозподiле-ного розтягуючого iмпульсу тиску [10].
Розглянуто два випадки iмпульсного наван-таження: миттево прикладений iмпульс тиску, який збертаеться на всьому часовому iнтервалi дослiдження (рис. 4), та у вигщщ функци, що мае профшь трикутника (рис. 5).
0 2 4 С в 10 12 14
Рис. 4. Миттево прикладений 1мпульс тиску
2.5
7.5
10
125
15
Рис. 5. Навантаження у вигляд1 функци, що мае профшь трикутника
Графши отримаш в [10] показано кружками, за допомогою представлено! методики -суцшьною лiнiею, прямим методом - штрих пунктирною.Вщмшшсть результат, отрима-них при використанш енергетичного методу (I-iнтеграла) не перевищуе 1,5...2 % у порiвняннi з [10], а величини ДК1Н, визначенi прямим методом, не перевищують 1 % в област максима-льних значень та 3 % в областях розвантажен-ня.
Аналiз впливу апроксимаци трiщини спеща-льними скiнченими елементами на точнють обчислення параметрiв механiки руйнування проведено на прикладi розтягу квадратно! пластини з центральною трщиною [8].
Виконаш дослщження точностi обчислення параметрiв руйнування iз застосуванням як ССЕТ, так i СЕ, жорсткiсть яких дорiвнюе нулю. Отриманi результати (рис. 6) вказують на перевагу використання ССЕТ (точнiсть обчис-лень приблизно в два с половиною рази вища) на всьому дiапазонi змши розмiрiв сiтково! область
Для обгрунтування достовiрностi результата, отриманих при розрахунку тiл обертання з кiльцевими трiщинами, що перебувають шд дiею динамiчного несиметричного навантажен-
ня, вир1шена задача про динам1чнии згин тон-костшного цил1ндра з кшьцевою трщиною.
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 О
к/ III Н/2 Н/2
В|СЬ ОбЕ ртання И'»;
г ) м *
/ /
1 7»'
л
* >
>
1 о НМСЕ --[232]
*
0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75
б 0.875
обертання з трщинами. В процес дослщжень застосовувалися нов1 типи спещальних скшче-них елеменпв, що апроксимують трщину, та нова методика (метод реакцш) визначення .Ынтеграла з урахуванням шерцшних сил. В1-ропдшсть отриманих результат { ефектив-шсть шдходу шдтверджеш розв'язанням конт-рольних приклад1в.
Рис. 6. Дослвдження збшносп ДКИ за розм1рами СЕ
На першому еташ запропоновано результа-ти статичного розрахунку модел1, що характе-ризують залежшсть максимальних по окружнш координат К1Н вщ вщносно! довжини трщини 5 = 2^/(О -й) (рис. 7).
0.5 0.45 0.4 0.35 0.3
Рис. 7. Граф1к змши максимальних значень К1Н
Спостер1гаеться добра узгоджешсть значень К1Н з отриманими в робот [3].
На другому еташ дослщжень розглядалась задача динамши з навантаженням у вигщщ миттево прикладеного 1мпульсу тиску.
Як видно з графшв змши К1Н у час (рис. 8) спостер1гаеться гарна узгоджешсть результат, як отримаш на основ1 прямого та енергетично-го метод1в.
На рис. 9 вщображаеться розподшення ди-нам1чного К1Н вздовж тв1рно! цилшдра для р1з-них вщносних довжин трщини.
Висновки
Таким чином, на основ1 нашванал1тичного методу скшчених елементв розроблена ефек-тивна методика дослщження перехщних проце-с1в динам1чного деформування просторових тш
Рис. 8. Еволющя ДК1Н у час
Рис. 9. Розподшення ДК1Н по тв1рнш
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Нашваналггичний метод ск1нчених елеменпв в задачах руйнування простових тш [Текст]: мо-нограф1я / В. А. Баженов, О. I. Гуляр, С. О. Пискунов, О. С. Сахаров. - К.: КНУБА, 2005. -298 с.
2. Баженов, В. А. Особливосп визначення I-штеграла в дискретних моделях метода сшн-ченних елеменпв [Текст] / В. А. Баженов 1 ш. // Отр матер1ал1в 1 теор1я споруд: наук.-техн. зб. - К.: КНУБА, 2005. - № 76. - С. 86-97.
3. Баженов, В. А., Полуаналитический метод конечных элементов в механике деформируемых тел [Текст] / В. А. Баженов, А. И. Гуляр, А. С. Сахаров, А. Г. Топор. - К.: Випол, 1993 -376 с.
4. Баженов, В. А. Алгоритми розв'язання р1внянь р1вноваги для динам1чних задач нашваналггач-ним методом сшнченних елеменпв [Текст] / за. ред. В. А. Баженова // Отр матер1ал1в 1 тео-
рш споруд: наук.-техн. зб. - К.: КНУБА, 2006. -Вип.79. - С.43-62.
5. Сахаров, А. С. Моментная схема конечных элементов МСКЭ с учетом жестких смещений [Текст] / А. С. Сахаров // Сопротивление материалов и теория сооружений. - 1974. - Вып.24. - С.147-156.
6. Сахаров, А. С. Метод конечных элементов в механике твердых тел [Текст] / А. С. Сахаров и др. - К.: Вища школа, 1982. - 479 с.
7. Солодей, I. I. Ефектившсть сшнченоелементно! бази нашваналггичного метода скшчених еле-менпв для апроксимаци тiл обертання та при-зматичних тiл в задачах динашки [Текст] / I. I. Солодей // Отр матерiалiв i теорiя споруд: наук.-техн. зб. - К.: КНУБА, 2008. - Вип. 82. -С. 154-163.
8. Солодей, I. I., Розв'язання нестацюнарних задач мехашки руйнування на основi апроксимаци трiщини спещальними ск1нченими елементами
[Текст] / I. I. Солодей, М. О. Вабщевич, О. I. Гуляр // Onip матерiалiв i TeopiH споруд: наук.-техн. зб. - К.: КНУБА, 2009. - № 85 -С. 86-97.
9. Солодей, I. I. Обчислення коефщента штенсив-носп напружень в нестацюнарних задачах ди-намши просторових тiл на основi енергетично-го подходу [Текст] / I. I. Солодей i iн. // Ошр ма-теpiалiв i теоpiя споруд: наук.-техн. зб. - К.: КНУБА, 2009. - № 84. - С. 86-97.
10. Yang, Z. J., Transient Dynamic Fracture Analysis Using Scaled Boundary Finite Element Method [Текст]: a Frequency-Domein Approach / Z. J. Yang, A. J. Deeks, H. Hao // Engineering Fracture Mechanics 74, 2007. - Р. 669-687.
Надшшла до редколегп 28.04.11.
Прийнята до друку 12.05.2011.
