CC BY
27
УДК 539.3
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1070-1073
ОПИСАНИЕ УПРОЧНЕНИЯ ПРИ НЕУПРУГОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ МОНОКРИСТАЛЛОВ С УЧЕТОМ БАРЬЕРОВ ЛОМЕРА-КОТТРЕЛЛА
© Н.В. Котельникова1*, П.С. Волегов2)
1) Пермский национальный исследовательский политехнический университет,
г. Пермь, Российская Федерация, e-mail: kotelnickova@gmail.com
2) Пермский национальный исследовательский политехнический университет,
г. Пермь, Российская Федерация, e-mail: crocinc@mail.ru
В работе описана математическая упруговязкопластическая модель неупругого деформирования монокристалла с учетом упрочнения. Акцент сделан на физические причины эволюции микроструктуры материала, отраженные в законах упрочнения. Рассмотрено взаимодействие дислокаций, которое может привести, в том числе, к образованию барьеров Ломера-Коттрелла. Предложен закон упрочнения, учитывающий как взаимодействие одиночных дислокаций, так и дополнительное упрочнение, создаваемое дислокационными барьерами. Разработан алгоритм численной реализации модели монокристалла, в результате моделирования получены значения напряжений, критических напряжений сдвига по системам скольжения и другие характеристики, позволяющие описывать и анализировать процесс неупругого деформирования монокристалла.
Ключевые слова: физические теории пластичности; неупругое деформирование; монокристалл; упрочнение; барьеры Ломера-Коттрелла.
Эволюция дефектной структуры материала влечет за собой значительные изменения его свойств на макроуровне [1]. Следовательно, актуальной задачей является построение математических моделей, учитывающих эволюцию физико-механических свойств моно- и поликристаллов в процессах неупругих деформаций. Это позволит моделировать реальные технологические процессы обработки материалов и предугадывать их свойства после окончания воздействия [2].
Центральным моментом в работе является описание упрочнения, основанное на методологии физических теорий пластичности [3]. Под упрочнением (на уровне материала) понимают увеличение критических сдвиговых напряжений движения дислокаций, основной причиной которого на уровне кристаллической решетки является формирование барьеров, препятствующих движению дислокаций внутри зерен.
Для описания напряженно-деформированного состояния монокристалла был принят ряд гипотез. Исследуемый монокристалл полагается идеальным (без субзерен и границ). В качестве внутренних переменных, характеризующих состояние внутренней структуры материала «здесь и сейчас», рассматриваются сдвиги дислокаций, скорости сдвигов по системам скольжения и критические напряжения. Напряжения определяются законом Гука в скоростной форме. Принимается гипотеза об аддитивности упругой и пластической составляющих тензора скорости деформации.
Таким образом, в модели деформирования монокристалла используется следующая система соотношений [1]:
а = п: de = п: (d - din), d'n = ULiY^b^n«,
r(fc)=y„
Ufc)=/(y4y0)),fcJ = i.....К,
(1)
где а - тензор напряжений Коши; п - тензор упругих свойств кристаллита; d, de, din - тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющие;
ПО (к) 00 .. ..
у1- 1 ,1С - накопленный сдвиг, действующее и критическое напряжения сдвига по к-й системе скольжения соответственно; - единичные векторы в направлении вектора Бюргерса и нормали к плоскости скольжения; Н - функция Хэвисайда; у0 - характерная скорость сдвигов.
Последнее соотношение в системе (1) называется законом упрочнения, оно описывает скорость изменения критических сдвиговых напряжений на системах скольжения. В теориях пластичности (основанных на макрофеноменологическом либо физическом подходе к построению определяющих соотношений) законы упрочнения описывают изменение микроструктуры материала в процессе деформирования в зависимости от некоторой комбинации механизмов, приводящих к упрочнению [4]. В качестве параметров этих механизмов могут выступать сдвиги, склонность материала к образованию расщепленных дислокаций, учет влияния границ внутри кристалла [5-6] и т. д. Закон упрочнения рассматривается как совокупность нескольких слагае-
мых, каждое из которых будет описывать конкретный механизм, влияющий на упрочнение. Такое разделение возможно, если сделать предположение об аддитивности скоростей критических напряжений на системах скольжения:
т® =/«+/«,/с = 1.....К,
(2)
Лк)
где Тс" - скорость критических напряжений по к-й системе скольжения; к - номер системы скольжения. В соотношении (2) слагаемое должно описывать
«чистое» скольжение полных дислокаций и их взаимодействие с препятствиями, включая пересечения дислокаций других систем скольжения. Таким образом, слагаемое должно учитывать накопленные сдвиги по системам скольжения и записывается в виде следующего соотношения:
(т^ШФ
к,) = 1.....К,Ч>,8 > 0,у® > 0,
+00 _ _№) 1е — 1с0
(3)
где у и 5 - параметры модели, первый из которых отвечает за чувствительность скорости критических напряжений к накопленному сдвигу, а второй - за чувст-
(к)
вительность к скорости сдвига; а} - модули упрочнения. Выражение (3) дает упрочнение при любых ненулевых сдвигах (по любым системам скольжения).
Помимо накопленных сдвигов, в модели учтено взаимодействие дислокаций систем скольжения между собой, в результате которого могут образоваться барьеры Ломера-Коттрелла, которые являются серьезным препятствием для движения дислокаций и значительно упрочняют материал. Эти барьеры возникают в результате взаимодействия головных частей расщепленных дислокаций и образования т. н. сидячих дислокаций. К образованию таких барьеров склонны материалы с низкой энергией дефекта упаковки (ЭДУ). Если взаимодействие расщепленных дислокаций разных систем скольжения может привести к образованию барьеров Ломера-Коттрелла, то такие системы скольжения называются сопряженными.
В слагаемое необходимо включить скорость сдвига (для учета количества расщепленных дислокаций, способных образовывать барьеры в данной системе скольжения); необходимо также учитывать накопленный сдвиг в сопряженных системах (для учета числа расщепленных дислокаций, с которыми могут вступить в реакцию дислокации данной системы скольжения):
АО ( л(0 у(П\ =
ЛЛК у ЭДУ' " ' < )
V У ЭДУ' \ У эду'
(4)
где у
ЭДУ
критическая ЭДУ; Ы* - число систем
скольжения, сопряженных к данной; ^ - материальная константа; - малый параметр, отвечающий за начальную плотность барьеров.
В ходе исследования проведен численный эксперимент по чистому сдвигу монокристалла с ГЦК решет-
кой, параметры модельного материала соответствуют технически чистой меди. Проведены расчеты с использованием законов упрочнения, включающих только первое слагаемое в (2), а также совокупность базового слагаемого (3) и слагаемого, описывающего дополнительное упрочнение за счет образования барьеров Ломера-Коттрелла (4). Результаты расчетов приведены на рис. 1 в виде зависимости интенсивности напряжений от интенсивности деформации.
Из приведенных графиков видно, что при равной величине интенсивности деформации интенсивность напряжений при законе упрочнения, учитывающем образование барьеров Ломера-Коттрелла, оказывается более высокой.
На рис. 2 приведены графики скоростей сдвигов, из анализа которых следует, что ненулевая скорость сдвигов поддерживается лишь на 7 системах скольжения (на некоторых системах значения совпадают), что соответствует результатам, полученным ранее в [1].
Рис. 1. Зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформации (сплошная линия - упрочнение с учетом барьеров Ломера-Коттрелла, пунктирная линия - без учета взаимодействия расщепленных дислокаций)
Рис. 2. Скорости сдвигов дислокаций по системам скольжения
Рис. 3. Скорости изменений критических напряжений на системах скольжения
При анализе графиков критических напряжений видно, что скорости их изменения (рис. 3) становятся постоянными. «Ступеньки» на графиках обусловлены дезактивацией некоторых активных систем скольжения.
Таким образом, в работе рассмотрена классификация упрочнения, основанная на разделении законов упрочнения на слагаемые, связанные с различными механизмами. В результате получены кривые деформирования, значения скоростей критических напряжений, скоростей сдвигов и другие параметры, позволяющие анализировать процесс неупругого деформирования монокристаллов. Установлено, что образование барьеров Ломера-Коттрелла приводит к возникновению дополнительного упрочнения. Разработанная модель позволяет решать целый класс задач деформирования монокристалла (с разным типом нагружения и другими различающимися исходными данными).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности. Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2013. 244 с.
2. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 3: теории упрочнения, градиентные теории // Вестник ПНИПУ. Механика. 2011. № 3. С. 146-197.
3. Trusov P.V., Volegov P.S. Internai variable constitutive relations and their application to description of hardening in single crystals // Physical Mesomechanics. 2010. Т. 13. № 3-4. С. 152-158.
4. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 3. Ч. 1. С. 983-984.
5. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание внутризеренного и зернограничного упрочнения моно- и поликристаллов // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. 2010. Т. 2. № 98. С. 110-119.
6. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Описание упрочнения систем дислокационного скольжения за счет границ кристаллитов в поликристаллическом агрегате // Вестник ПНИПУ. Механика. 2012. № 3. С. 78-97.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № МК-4917.2015.1, гранта РФФИ № 14-01-96008 р_урал_а.
Поступила в редакцию 10 апреля 2016 г.
UDC 539.3
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1070-1073
DESCRIPTION OF HARDENING DURING INELASTIC DEFORMATION OF SINGLE CRYSTALS TAKING INTO ACCOUNT LOMER-COTTRELL BARRIERS
© N.V. Kotelnikova1), P.S. Volegov2)
^ Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation, e-mail: kotelnickova@gmail.com 2) Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation, e-mail: crocinc@mail.ru
This paper describes the mathematical model of inelastic deformation of a single crystal taking into account hardening. The focus is on physical causes of the evolution of the microstructure of the material, reflected in the hardening laws. The paper considers the interaction of dislocations that may result to the formation of Lomer-Cottrell barriers. The proposed hardening law taking into account both the interaction of single dislocations and additional hardening produced by dislocation barriers. The developed algorithm of numerical realization of the model for single crystal deformation allows to obtain values of stresses, critical shear stresses on slip systems, and other characteristics that help describe and analyze the process of inelastic deformation of a single crystal.
Key words: crystal plasticity; inelastic deformation; single crystal; hardening; Lomer-Cottrell barriers.
REFERENCES
1. Trusov P.V., Volegov P.S., Kondrat'ev N.S. Fizicheskie teorii plastichnosti. Perm, State National Research Polytechnical University of Perm Publ., 2013. 244 p.
2. Trusov P.V., Volegov P.S. Fizicheskie teorii plastichnosti: teorija i prilozhenija k opisaniju neuprugogo deformirovanija materialov. Ch. 3: teorii uprochnenija, gradientnye teorii. Vestnik Permskogo nacional'nogo issledovatel'skogo politehnicheskogo universiteta. Me-hanika - PNRPUMechanics Bulletin, 2011, no. 3, pp. 146-197.
3. Trusov P.V., Volegov P.S. Internal variable constitutive relations and their application to description of hardening in single crystals. Physical Mesomechanics, 2010, vol. 13, no. 3-4, pp. 152-158.
4. Trusov P.V., Volegov P.S. Fizicheskie teorii plastichnosti: prilozhenie k opisaniju uprochnenija v polikristallah. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2010, vol. 15, no. 3, ch. 1, pp. 983-984.
5. Trusov P.V., Volegov P.S., Janc A.Ju. Opisanie vnutrizerennogo i zernogranichnogo uprochnenija mono- i polikristallov. Nauchno-tehnicheskie vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo politehnicheskogo universiteta. Fiziko-matematicheskie nauki - St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Physics and Mathematics, 2010, vol. 2, no. 98, pp. 110-119.
6. Kondrat'ev N.S., Trusov P.V. Opisanie uprochnenija sistem dislokacionnogo skol'zhenija za schet granic kristallitov v polikristalli-cheskom agregate. Vestnik Permskogo nacional'nogo issledovatel'skogo politehnicheskogo universiteta. Mehanika — PNRPUMechanics Bulletin, 2012, no. 3, pp. 78-97.
GRATITUDE: The work is fulfilled under support of grant of Russian Federation President no. MK-4917.2015.1, grant of Russian Fund of Fundamental Research no. 14-01-96008 p_ypan_a.
Received 10 April 2016
Котельникова Наталья Васильевна, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, магистрант, кафедра математического моделирования систем и процессов, e-mail: kotelnickova@gmail.com
Kotelnikova Natalya Vasilevna, Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation, Candidate for Master's Degree, Mathematical Modeling of Systems and Processes Department, e-mail: kotelnickova@gmail.com
Волегов Павел Сергеевич, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического моделирования систем и процессов, e-mail: crocinc@mail.ru
Volegov Pavel Sergeevich, Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Mathematical Modeling of Systems and Processes Department, e-mail: crocinc@mail.ru
