Онтологическая модель представления знаний о предметной области в системе дистанционного обучения Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ОНТОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЗНАНИЙ О ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ В СИСТЕМЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

К.В. БЕЛЯЕВ, н. с. лаборатории ТВП

sirconst@yandex.ru

В настоящее время в сфере автоматизации непрерывного профессионального образования основным направлением развития программных средств автоматизации обучения (систем дистанционного обучения, СДО) являются индивидуализация и повышение адаптивности процесса обучения в соответствии с потребностями конкретного обучающегося.

Наиболее эффективным методом решения этой проблемы является создание и внедрение интеллектуальных систем дистанционного обучения (ИСДО), обеспечивающих гибкое управление познавательной деятельностью обучающегося на основе моделей и методов искусственного интеллекта. В настоящей работе предложена онтологическая модель представления знаний о предметной области, предназначенная для построения на ее основе интеллектуальных алгоритмов управления процессом обучения. Разработка таких алгоритмов является особенно актуальной для системы непрерывного профессионального образования, где обучение в большинстве случаев осуществляется без отрыва от профессиональной деятельности и преподаватель-эксперт не может оперативно реагировать на изменение потребностей обучающихся.

В соответствии с большинством принятых в настоящее время определений, онтологией предметной области называют ее логическую модель, включающую множество рассматриваемых объектов, заданный набор отношений между объектами и фиксированный набор ограничений целостности (в частности правил вывода), накладываемых на экземпляры этих отношений и позволяющий полностью или частично восстанавливать недостающие экземпляры [3]. Онтологические модели предназначены для формального комплексного представления пространственных, временных, логических

и др. взаимоотношений объектов предметной области [5].

Вследствие этого одним из наиболее перспективных направлений применения онтологических моделей является представление знаний о предметной области в интеллектуальных системах дистанционного обучения. Основное свойство онтологических моделей - комплексность и полнота описания основных знаний о фрагменте предметной области - обеспечивает возможность построения на их основе интеллектуальных алгоритмов, ориентированных на управление познавательным процессом и контроль усвоения полученных знаний. В настоящее время разработаны программные средства, основанные на таких моделях и алгоритмах и позволяющие индивидуализировать процесс обучения за счет построения и модификации персональной динамической модели знаний обучающегося [5].

В настоящей работе приведено описание специализированной модели предметной области, направленной в первую очередь на формальное представление учебных материалов в виде совокупности утверждений (суждений, высказываний) о некоторой предметной области. В частности, приведены базовые определения и ограничения, на основе которых построено формальное описание математической модели представления знаний о предметной области на основе согласованных онтологий. Рассмотрены простейшие свойства согласованных онтологий и их элементов и показано, что информацию о состояниях предметной области возможно представлять в виде булевой алгебры некоторой согласованной онтологии.

В последующих работах предполагается рассмотреть ряд утверждений о свойствах предложенной онтологической модели и описать методы индивидуализации обучения, основанные на ее использовании.

ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 1/2010

147

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1. Согласованные онтологии предметной области

В настоящем разделе приведены основные определения и утверждения, необходимые для формального обоснования рассматриваемой далее модели представления и обработки информации о предметной области.

Определение 1.1

Предметной областью будем называть упорядоченную пару (0, R*), где 0 - множество объектов предметной области, а R* = = {R. | R. е 0к‘, к. е К, к. > 1, i = 1,N } - множество отношений предметной области, N - число отношений. Будем называть предметную область (0, R*) нетривиальной, если 0 * 0 и 3 i = 1, N: R * 0.

Зафиксируем некоторую нетривиальную предметную область (0, R*).

Определение 1.2

Словарем предметной области (0, R*) будем называть упорядоченную пару (Q, Т), где Q - непустое множество понятий словаря, Т : Q ^ (20 \ 0) - сюръективное отображение интерпретации понятий (здесь 20 - множество всех подмножеств 0). Будем называть словарь (Q, Т) нетривиальным, если 3w w2 е Q : T(w,) * T(w2), т.е. его понятия содержательны и позволяют различать, по меньшей мере, два класса объектов предметной области.

Таким образом, каждое noHaTA с.тк-варя интерпретируется как некоторый класс объектов предметной области. В свою очередь объект предметной области может характеризоваться несколькими понятиями словаря в зависимости от контекста.

Зафиксируем некоторое «-местное отношение R е R* предметной области (0, R*). Рассмотрим на множестве понятий Q нетривиального словаря (Q, Т) этой предметной области некоторое связанное с R семейство п-арных предикатов {рКК К : Q” ^ {0, 1}, (К,, К2, ..., К«) е {Н, П}«}. 2 "

Пусть для (К,, К2, ..., К«) е {Н, П}« здесь и во всех дальнейших рассуждениях ПЛ-К, (w,. W2 w«) = {(о„ 02„..,Г) | T =

= Y(w), если К = П, и О е Y(w), Т * 0, если

К. = Н} - множество всевозможных комбинаций образов понятий w w,...,w е Q при их интерпретации с помощью отображения Т, с ограничениями, определяемыми значениями параметров К,, К2, ..., К,. Заметим, что при таком определении VT = (О,, 0 ...,0п) е

о

-L Т

(т)

(w,, w2,...,w,), Vi = 1,N, 0 * 0. Утверждение 1.1

Пусть (К,, К, ..., К,), (L,, Ь2, ..., Ь)е е {Н, П}п и Vi = 1, N или К = L ,, или К = П, а L = Н. Тогда для любых w., w. ,...,w е Q

ОК1К)2...К„ (wV w2,...,w”) е К w2,...,w”).

доказательство

Пусть k = 1,п, 1 < 7, < .2 < ... < .k < ”.

такие, что К = П, Lt = Н, i = 1, к и К = L, i * 1, 2,..., к. Рассмотрим произвольное

о = (о-, О2,..., о,,..., 02,..., оч,..., Оп) е

е 0КК!^К1...Ki2...Kiк ...К, (wi, V- V- ^ ..... ^ ).

По определению

0К1К}2...Кп (wl, w2,...,w,) °J =T(wtj ), J = 1, к .

Заметим теперь, что, по определению

°-2..1п (wH w2,...,wn),

(о , о , ..., о , c , о , ..., о , c , , ..., о

а^1.- 5 J t- + 1 5 • • • 5 ^ t2 a— 2 5

0 +l,..., 0 „aL A , 0 0” ) е

е °-!!)-1п (wH w2,...,w,)

при всех

A , A ,..., A таких, что

A eT(wt-)A2 cT(w,2)..,Ак eT(wJ.

___В частности, при A = T(w7 ) = 0 ,

J =1, к получаем 0 е ^iJ .L” 4- w2,.. ,wn)T Так

как 0 выбиралось произвольно, то 0^ К

(wl, w2,...,w,) е (wl, w2,...,wn), что тре-

бовалось показать. ■

Будем говорить, что 0 = (0 0 ,0) е

е 0КК?., (w- , w2,...,w«) удовлетворяет условиям (I) для некоторого отношения R е R*, если Vi = 1,п Vx. = Т 3 х,е Т,, ..., х. ,е Т ,, х.+1е еТ ,,..., х е Т такие, что (х, X, ., х )еR.

t+— 5 п п 5 4 Р 2 5 пу

определение 1.3

Зафиксируем набор (К,, К2, ..., Кп) е {Н, П}п. Предикат p^j^ К (w,, w2,...,wп) на множестве понятий Q словаря (Q, Т) предметной области (0, R*) будем называть согласованным с

148

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2010

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

отношением R е R* при интерпретации Т, если

PKRK k, (W1, w2,-,wn) = 1 ^ 3T = (TP T2,-,T„)e е 7^K(SK) к (w1, w2,...,w„) такое, что Tудовлетво-

ряет условиям (I) для отношения R.

Иными словами, предикат pKRl2 к (w1, w„,...,w ) является согласованным с отношением R предметной области (0, R*), если он принимает истинное значение только на тех понятиях словаря, для которых при интерпретации Т существуют соответствующие наборы объектов, входящих в отношение R. Наборы объектов при этом выбираются только среди элементов множества TKK) к (w1, w2,...,wn), определяемого значениями параметров K1, к2, ..., Kn.

Содержательно согласованные предикаты позволяют переходить от рассмотрения отношений между объектами к рассмотрению высказываний о классах объектов, характеризуемых понятиями словаря. При этом параметр K высказывания показывает, относится оно ко всему классу объектов, обозначаемому понятием w при интерпретации Т, или только к его некоторому подклассу. Будем в дальнейшем считать, что высказывание p(KRK;2 K (w1, w2,...,wn) относится ко всему классу объектов T(w z), если K. = П, и к его некоторому подклассу T c T(w.), если K = Н, i = 1, 2, ..., n. ' '

Утверждение 1.2

Пусть (0, R*) - любая нетривиальная предметная область, (Q, Т) - ее произвольный нетривиальный словарь. Тогда для любого отношения R е R и любого фиксированного набора (K1, K2, ..., Kn) е {Н, П}п, где n - размерность отношения R, на Q существует единственный согласованный с R предикат

pKRK2...k„ : ^ ^ {0, 1}.

Доказательство

Пусть (K1, K2, ..., Kn) е {Н, П}п, R е R*. Покажем, что на Q существует согласованный с отношением R предикат.

Пусть w1, w2, ..., wn е Q. Определим множества S следующим образом: S . = { х . £f(wi.)}, причем для всякого х . е S .

3х1 еТ(^ Х.- х-1 е Т (W-1), Х+1 е Т (w+1 ),...xn еТ(^ )

такие, что (х1, х2, ..., xn) е R. Положим pKRl2 к (w1, w2,...,wn) = 1, если S.=T(w.) для всех i = 1,n

таких, что K. = П, и S.flT(w. )АШ для всех i = 1, n таких, что K = Н. Во всех остальных случаях будем полагать

PKRK2...K„ (W1, w2,...,wn) = °.

Покажем, что построенный предикат рККк2 к является согласованным с отношением R. Предположим, что для v1, v2, ...,

v„ е Q PKRkK2...K„ (vv v2,...,vn) = 1. Пусть Vi = 1, n

T = T(v)nS.. Множества T непустые, так как иначе или Т(у.)АШ (что противоречит нетривиальности словаря), или S.n^(v)^Ш (чего не может быть по построению). Тогда

T=(T1,T2, ..., Tn)е 1KKI.kJPV W2,...Wn), так как

T = T(v.) для всех i = 1, n таких, что K. = П, и T c^(v.), ТфШ для всех i = 1, n таких, что K = Н и по построению T удовлетворяет условиям (I) для R.

Обратно, пусть некоторое T=(T T ...,

Tn)е tKK2.. k„ (wl, w2, . wn) удовлетворяет условиям (I) для R. Тогда, по построению множеств S ., T= Sдля всех i = 1,n таких, что K = П, и TcS для всех i = 1, n таких, что K. = Н. Так как Vi = 1, n Т^Ш по определению множества TR) и из нетривиальности словаря, то pKK2...k„ (w1, w2,...,wn) = 1 по построению.

Покажем единственность согласованного с отношением R предиката. Допустим, что для некоторого (K1, K2, ..., Kn) е {Н, П}п на Q существуют два различных согласованных с R предиката р^ K и qKR'^ K . Рассмотрим некоторый набор w1, w2, ..., wn е е Q. Пусть, для определенности, pKRК2...к„ (Wl, w2,...,wn) = 1. Тогда по определению согласованности ..., Tn)е tK1'K)2...k„ (wl, w2,...

w„) такое, что T удовлетворяет условиям (I) для отношения R. Следовательно, по определению согласованности q(RKi K (w1, w2,...,wn) = 1. Аналогично, если pKRK2...k„ К, w2,...,wn) = =0,то q^..^ (w1, w2,...,w ) = 0. Следовательно,

n — ЛЮ

PKL.Kn (W1, w2,...,wn) = qKK2...K„ (wl, w2,...,wn).

■

Определение 1.4

Семейство предикатов {p^'K K (w1, w2,...,wn):(K1, K2, ..., Kn) е {Н, П}п} на множестве понятий Q словаря (Q, Т) будем называть согласованным с отношением R предметной области (0, R*) при интерпретации Т, если для всякого

(кl, ^ ..., к„) е {Н, п}„ предикат pKRK2...k„ (wl,

w„,...,w ) е P(R'> является согласованным с отно-

2n

шением R при интерпретации Т.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2010

149

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Утверждение 1.3

Пусть (0, R*) - любая нетривиальная предметная область, (О, Т) - ее произвольный нетривиальный словарь. Тогда для любого отношения R е R* существует единственное согласованное с ним семейство предикатов P(R)

= { О, к: О" ^ {0, 1|, К кг ..., К) е {Н,

П}”} на О, где , - размерность отношения R.

Доказательство

Заметим, что, согласно утверждению 1, для всякого отношения R е R* и для всякого набора (К,, К2, ..., К,) е {Н, П}" существует единственный согласованный с R предикат рККк2 к : О" ^ {0, 1}. Для обоснования утверждения достаточно рассмотреть все возможные наборы индексов (К,, К2, ..., К,) е {Н, П},i = 1,, и соответствующие им предикаты рКК^ к и учесть уникальность этих наборов. ■

Определение 1.5

Согласованной онтологией предметной области (0, R*) на базе словаря (О, Т) будем называть упорядоченную тройку S = ((0, R*), (О, Т), P(R*, Т)), где P(R*, Т) = ^ P(R). Здесь P(R) есть согласованное семейство предикатов для отношения R е R*.

Следствие 1

Для любого предиката р е P(R*, Т) существует отношение R е R* такое, что р является согласованным предикатом для R.

Следствие 2

Для любой предметной области и ее произвольного словаря существует единственная согласованная онтология.

2. Булевы алгебры согласованной онтологии

Зафиксируем согласованную онтологию S = ((0, R*), (О, Т), P(R*, Т)) некоторой предметной области (0, R*).

Будем интерпретировать семейство согласованных предикатов P(R) = {р^'К к : О" ^ {0, 1}, (К,, К2, ..., К,) е {Н, П}"} онтологии S следующим образом: каждому аргументу w некоторого "-арного предиката p(R)

(понятию словаря) приписывается одно из значений К. е {Н, П}, показывающее, относится выражаемый предикатом факт ко всему классу объектов предметной области, описываемому понятием wi, или лишь к некоторому его подклассу.

Отметим, что в некоторых случаях семейство предикатов P(R) удобно рассматривать как некоторый единый двухосновный предикат

p(R) : О" х {Н,П}" ^ {0,1}, задаваемый на множестве понятий О словаря (О, Т) и двухэлементном алфавите {Н, П}.

Рассмотренные предикаты на классах объектов являются базовыми элементами модели представления и обработки знаний о предметной области, применяемой для решения задачи исследования. Возможность использования в качестве аргументов предикатов, хранящихся в базе знаний о предметной области, не конкретных объектов, а абстрактных классов этих объектов предоставляет гибкий механизм описания явлений предметной области с учетом возможностей используемого словаря (т.е. фактически, возможностей используемого понятийного аппарата).

В дальнейшем будут приведены усовершенствования предложенной модели, расширяющие ее возможности по представлению и обработке знаний о предметной области. Первым из таких усовершенствований является построение на согласованной онтологии произвольных алгебр высказываний.

Определим операции n, и и — на отношениях между объектами предметной области.

определение 2.1

Пусть R, Q - произвольные отношения из R*. Тогда:

w2,...,w", V2,...,VJ:

:(wl, W2,...,W")еR и (V1, V2,...,Vm)еQ} RVQ={(w1, w2,...,w„^ vl, V2,...,Vm):

^CWj, W2,...,W")е-^ и (v1, и R ={(wp w2,...,w"):(w1, W2,...,W")^R}. Определим теперь операции v, ли — на множестве согласованных предикатов P(R*, Т) онтологии S.

150

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2010

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Определение 2.2

Для произвольных R, Q е R*, (К1, К2,

..., KMLV L2, ..., У vl,

v2,...,vmefi (здесь n и m - размерность отношений R и Q соответственно):

КК,..К„ (У W2,...,W„) Л PLL2...LM (V1, V-O =

= 1^ЗГе ГКК2...К, (wv w2,...,wn)

и T удовлетворяет условиям (I) для отношения R и, кроме того, 3Sg TL^..Lm (vp v2,...,v„) и S удовлетворяет условиям (I) для отношения Q;

PKK2...K, (W1, W2,...3^J V PQ2...Lm (vi, v2,...,vm) =

= 1«3Te TKK2...Kn (W1, W2,...,Wn) и T удовлетворяет условиям (I) для отношения R или 3Se T^ Lm (V1, v2, . ,vm) и S удовлетворяет условиям (I) для отношения Q;

- PTRK,..Kn (wv W2,...,Wn) = 10> для любого Те TKKU (Wi, W2,...,Wn) не выполняются условия (I) для отношения R.

Утверждение 2.1

Пусть S - онтология нетривиальной предметной области (0, R*) на базе словаря (Q, Y), R* замкнуто относительно операций n, и и -. Тогда

^^...Lm (W1, W2,...,W„’-1’

= K(R) (ЛА, ЛА, \ Л AQ)

-rnQn

1’ 2’

,(Q)

-.(R)

К,к2

,W )=

, v2, .., vm)=

(v1, V2,...,Vm),

v 2 .., vm)=

(v1, v2,-.,vm) и

n (W1 , W2,-.,Wn)

при любых значениях аргументов и параметров (рассматриваются только согласованные с соответствующими отношениями предикаты).

Пусть

Р<КыкЬ1...Ьт К W2,...,Wn VP v2,...,vm)=1. Вследствие согласованности семейства предикатов р(RnQ) это возможно тогда и только тогда, когда

3V=(T T„ ..., Т, A, А, ..., S ) е

е TK1K)2...K,L1L2...Lm (W1, W2,...,Wn, V2,...,Vm),

удовлетворяющее условиям (I) для отношения RnQ. В свою очередь, выполнение условий (I) означает, что, во-первых, V/ = 1, n, Vx; е Т найдутся X1eT1,...,X/1e х.+1е Т/+1,...,Хпе Тп

и У^р У 2 еS2,..., У,е Sm такие, что (хl, ■У.-Ап Y1, y2,...ym) еRnQ, и, во-вторых, Vy = 1,m Vyy е Ау также существуют x1eT1, х2е Т2,..., х е Т и у. еА, ,...y. .е У ., х .е У. ...у е А

п п А 1 1’ ’ V у_1 y_p y+1 y+1, Vm m

такие, что

(У X2,..., Хп У7 ^ У2,..., Ум )е R П Q .

По определению отношения R n Q из (х

x2,...,xn, у1, у2,...ут) еRnQ это выполняется в том и только в том случае, когда (х х2,...,хп)еR и (у1, y2,...,ym)еQ, что означает выполнение условий (I) на (тl, T2, ..., Г)е TKJ)2...Kn (wl,

W2,...,Wn) и (Sp S2, ..., Sm) е TUl.Lm ( v2,-.,vm)

для отношений R и Q соответственно. По определению согласованности семейства пре-

-,(R)

дикатов это равносильно условию ркК к

(W1, W2,...,Wn) = 1 и PLLL.Lm (V1, v2,...,vm) = 1 2

Аналогично несложно показать справедливость равенств

P^)K(L1L2...Lm (W1, W2,...,Wn, VP v2,-.,vm)=

= n(R) (лА, ЛА, ЛА,\.,ГЛ (Q)

. Lm

= рЦ...Кп (W1, W2,...,Wn) V Р^..., (V1, v2,...,vm) и

РКА-К (WV W2,...,Wn)= - PKiK2...Kn (W1, W2,...,Wn).

Лемма 2.1

k

L

m

Доказательство

Зафиксируем произвольные R, QеR* размерности n и m соответственно,

W1, У-У У.^0, (K1, K2, -., K) е

е {Н, П}п, (L1, L2, ..., Lm) е {Н, П}т и покажем, что для выбранных отношений, их параметров и аргументов

(W1, У-У V1, v2,-.,vm)=

= PkLk,, (У W2,...,Wn) л PlrL2...Lm (V1, v2,...,vm).

Для этого достаточно показать, что

PKSlK^Lm (W1, W2,...,Wn, VP v2,-.,vm)=1 тогда и только тогда, когда

pKKkn (W1, W2,...,Wn) =

= 1 и P^l;...Lm (vv v2,-.,vm) = 1.

Пусть (0, R*) - некоторая нетривиальная предметная область, (Q, Y) - ее нетривиальный словарь. В этом случае R* замкнуто относительно операций n, и и — тогда и только тогда, когда множество предикатов P(R*, Y) онтологии S = ((0, R*), (Q, Y), P(R*, Y)) замкнуто относительно операций л, V и —.

доказательство

Пусть R* замкнуто относительно операций n, и и -, т.е. для любых R,QеR* RnQ, RuQ, R еR*. Предположим, что при этих условиях P(R*, Т) не замкнуто относительно операций л, V и —.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2010

151

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Рассмотрим произвольные предикаты

РЦ..*, К Wv-Wnl PZLim (V1, V",VJ G

P(R*, Y) и покажем, что

PgU (^ W2,-,Wn)A

A PQ...Lm (vp V-O G P(RX Y) Рассмотрим согласованный с отношением RnQ предикат

Pk^.K^Lm (wv w2,•••,wn, VP V2,-,Vm)-

По построению множества

P(R\ Y) Р^К^Л^ V1, V-O G

g P(R\ Y),

и, кроме того, в соответствии с утверждением 2.1

РКК?,^ (W1, W2,...,Wn, VP V-O

РКК2..К (W1, W2,...,Wn) л PQ2...Im (V1, V2,...,Vm).

В силу единственности согласованного с отношением RnQ предиката

Р(К11..К„ (W1, W2,...,Wn) Л

л pIQU (Vl, V2,...,vm) g p(R*,YX что и требовалось доказать.

Аналогичным образом несложно по-

казать, что

-,(R)

Kn (w 1

G

РК,К,. .Kn К- W2’.**’WH) v Pq. .I. (V1. V2-...Vm)

G P(R*,Y) и p[RK, ..k, (w,, w,,..^) G P(R',Y).

Обратно, пусть P(R*, Y) замкнуто относительно операций л, v и —. Покажем, что в этом случае для любых R,QgR* R^QgR* (доказательство того, что RnQ, R gR* проводится аналогично).

Предположим, что RnQ&R* и рассмотрим согласованные с R и Q семейства предикатов P(R) и P(q). В силу замкнутости P(R*, Y) в нем существует предикат

PKiK2...K„LiL2...L„ (W1, ^...W^ Vr V2,...,Vm)=

= P£L.K„ К W2,...,Wn) Л PI£..I„ (V1, V-O

при любых

(К,, к2, ..., К) G {Н, П}п, (I,, I2, ..., I.) g {Н, П}м, w,, W2, ..., wn, v,, v2, ..., v. g Q.

По построению P(R*, Y) BMgR* такое, что предикат pKiK K L согласован с отношением M. Так как M^RnQ по предположению, то

3 w w w V v v G Q

V 2’"

такие, что

(W1, W2,...,Wn, Vp v2,...,v„)^M(RnQ)

или

(W1, W2,...,Wn, V1, v2,...,v.)G (RnQ)M

.

Тогда

(w., w,...,w , V, v,...,v )X

\ p 2’ 5 n V 25 5

РКК2...К„^2..^„

+ PKkML^L. (wv W2,...,Wn, V1, V^.X где pKRkQ^ ^ L - согласованный с RnQ предикат. Это означает, что для выбранных значений

(К,, К, ..., Kn) G {Н, п}п, (I,, I2, ..., I.) g G {Н, П}м, w1, w2, ..., wn, v1, v2, ..., vM G G Q pK^W.l (W1, V1, V-OX

X PR2...Kn (wv w2,...,wn) Л PS...I™ (V1, V.^mX

чего не может быть согласно утверждению утверждения 2.,. Следовательно, RnQGR*, что и требовалось доказать. ■

В дальнейшем будем во всех рассуждениях предполагать, что R* замкнуто относительно операций n, и и -, и, как следствие, P(R*, Y) замкнуто относительно операций л, v и —. Онтологию S = ((©, R*), (Q, Y), P(R*, Y)) при выполнении указанных условий будем называть замкнутой.

Утверждение 2.2

Пусть P - любое замкнутое относительно операций л, v и — подмножество множества предикатов P(R*, Y) замкнутой онтологии S. Тогда множество P = Pu{0,,} с определенными на нем соответствующим образом операциями л, v и — является булевой алгеброй.

Доказательство

Для обоснования того, что P(R*, Y) является булевой алгеброй, достаточно показать, что для любых р, q, tg P(R*, Y) выполняются соотношения:

,. (р л q) л т = р л (q л т);

2. (р v q) v т = р v (q v т);

3. р л q = q лр;

4. р v q = q vр;

5. р л р = р;

6. р v р = р;

7. р л (р v q) = р;

8. р v (р л q) = р;

9. р л (q v т) = (р л q) v (р л т);

Ш. р v (q л т) = (р v q) л (р v т);

П.р v — р = 0;

,2. р v — р = ,.

Покажем справедливость равенства (р л q) л т = р л (q л т). По условию, множество

!52

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК Н20Ш

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

P(R*, Y) замкнуто относительно операций л, v и —. В соответствии с утверждением леммы 2.1 в этом случае множество R* замкнуто относительно операций п, ^ и —. Пусть R, Q, M - такие отношения из R* размерности п, т, k, что предикаты р, q, r согласованы с R, Q, M соответственно.

Заметим, что по утверждению 2.1 при

любых

К К2, ..., К) е {Н, П}п, (Lp Lv ..., LJ е

е {Н, П}т, (Np N2, ..., N) е {Н, n}k

и ^ ^ ..., ^ VP ^ ..., V* UV U2, ..., Um е Q

справедливы равенства (рассматриваются предикаты, согласованные с соответствующими отношениями):

( РЦ...Кп (W1, W2,..., Wn) л Рй2...Ат (V1, V2,..., Vm)) л

Л Р(M) (U U 1! )= r><Rr'Q) X

л PNN2...Nk (ui, u2,..., uk) PKK2...K„LL2...Lm

X(wl, W2,...,Wn, V1 V2,..., Vm) л PnA.N (UV u2,..., U)=

PKlK2...K„LlL2...LmNlN2...Nl (W1, W2,...,Wn, Vl, V2,..., V UV U2,..., Uk)= ГКК2...К, (Wl, W2,..., Wn) л

л P^LNN^ ( Vl, V- V UP U2,..., Uk) =

= PKRK2...K„ (Wl, W2,..., Wn) л ( PQ2...Lm (V1 V- Vm) л

л PM2...Nk (ul, u2,...,

откуда в силу единственности согласованных с отношениями R, Q, M предикатов следует равенство (р л q) л r = р л (q л r).

Справедливость равенств 2-12 из приведенного списка несложно подтвердить аналогичным образом. ■

Отметим, что утверждение 2.2 имеет важное практическое значение. Утверждение будем в дальнейшем интерпретировать следующим образом: произвольное состояние предметной области (т.е. описывающий ее набор отношений между объектами) представляется в замкнутой онтологии этой предметной области некоторой булевой алгеброй. Это позволяет использовать известные свойства булевых алгебр для моделирования как реальных, так и возможных состояний предметной области, а также для обработки данных об этих состояниях. При программной реализации модели это обеспечивает существенное снижение ресурсоемкости и временной сложности применяемых алгоритмов, так как не возникает необходимости хранения и

обработки в модели полного набора высказываний в каждый момент времени.

В рамках настоящей работы, в силу ее ограниченного объема, рассмотрены только основные определения и утверждения, характеризующие модель представления знаний о предметной области на основе согласованных онтологий. Тем не менее, в последующих работах предполагается подробно рассмотреть вопросы, связанные с исследованием алгебраических свойств предложенной модели, обработкой ложных и противоречивых высказываний, использованием правил вывода на базе формул исчисления предикатов и т.д., а также описать методы индивидуализации обучения, основанные на использовании предложенной модели, пригодные для использования в интеллектуальных системах дистанционного обучения.

Библиографический список

1. Беляев, К.В. Программные средства повышения качества обучения в сфере изучения действующей нормативно-правовой базы / К.В. Беляев // Открытое образование. - 2005. - №5 (52).

2. Беляев, К.В. Метод формирования тестовых заданий для системы оценки знаний при изучении нормативных правовых актов / К.В. Беляев // XXXIII Международная конференция «Информационные технологии в науке, образовании, социологии и бизнесе» IT+SE’2005 (осенняя сессия): Тез. докл.

- М., 2005.

3. Искусственный интеллект, в 3-х кн. Кн. 2. Модели и методы: Справочник. под ред. Д.А. Поспелова

- М.: Радио и связь, 1990.

4. Клещев, А.С. Математические модели онтологий предметных областей. Часть 1. Существующие подходы к определению понятия «онтология»; Часть 2. Компоненты модели / А.С. Клещев, И.Л. Артемьева // НТИ, 2001. - Сер. 2 «Информационные процессы и системы». - № 2.

5. Колобашкин, С.М. Оценка знаний обучаемого о предметной области в системе автоматизации профессионального обучения / С.М. Колобашкин, К.В. Беляев // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. - 2006. - № 1.

6. Попов, Э.В. Общение с ЭВМ на естественном языке / Э.В. Попов. - М.: Едиториал УРСС, 2004.

7. Рубашкин, В.Ш. Представление и анализ смысла в интеллектуальных информационных системах / В.Ш. Рубашкин. - М.: Наука, 1989.

8. Jackson P. Introduction to Expert Systems. - Addison-Wesley, 2001.

9. Salton G. Automatic Text Processing: The

Transformation, Analysis, and Retrieval of Information by Computer. - Addison-Wesley, 1989.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2010

153