Ограниченность решений анизотропных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 2 (2014). С. 67-77.

УДК 517.956.25

ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ

Аннотация. В работе рассматривается некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений второго порядка, представителем которого является модельное уравнение вида

n П

^(lux„ IPa-2Uxa )xa = ^ (фа(х))ха , Pn > ... > pi > 1. a=l a=l

Установлена ограниченность решений однородной задачи Дирихле в неограниченных областях, расположенных вдоль одной из осей координат. Кроме того, получена оценка решений рассматриваемых уравнений с финитной правой частью, гарантирующая их степенное убывание при удалении аргумента на бесконечность.

Ключевые слова: задача Дирихле, анизотропное эллиптическое уравнение, неограниченная область, ограниченность решения, убывание решения.

Mathematics Subject Classification: 35J62

1. Введение

Пусть П — произвольная неограниченная область пространства Rn = {x = (xi, x2,..., xn)}, П С Rn, n > 2. Для анизотропного квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка рассматривается задача Дирихле

E(aa(x Vu))xa = ^ (фа(х))ха , x е П;

а=1 а=1

U

= 0.

дП

Предполагается, что функции аа(х,£), а = 1,п, измеримы по х Е П для £ Е Кп и непрерывны по £ Е Кп для почти всех х Е П. Пусть р = (р\,р2, ...,Рп), будем считать, что 1 < Р\ ^ р2 ^ ... ^ рп и существуют положительные числа а, а такие, что для любых £, п Е Кп при почти всех х Е П выполняются условия:

n

(аа(х,0 - аа(х,П)) (Са - Па) > а^а - Па Г“; (3)

а=1 а=1

\Ра-2

|йа(х,С) - «а(х,п)| ^ «|Са - Па | (|£а| + ЫГ“ , « = 1 2, . . . , П; (4)

аа (х, 0) = 0, а = 1, 2,...,n. (5)

L.M. Kozhevnikova, A.A. Khadzhi, Boundedness of solutions to anisotropic second order elliptic equations in unbounded domains.

© Кожевникова Л.М., Хаджи А.А. 2014.

Работа поддержана РФФИ (грант 13-01-00081-a).

Поступила 5 ноября 2013 г.

И.М. Колодий [1] установил ограниченность решений некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений в ограниченных областях. При этом требование ограниченности области является существенным условием в его доказательстве. Основной результат этой статьи — доказательство ограниченности обобщенных решений задачи (1), (2) в неограниченных областях П.

В статье предполагается, что функции Фа(х) Е РРа/(Ра-1)(П), а = 1, 2,... ,п. Обобщенное

решение задачи (1), (2) понимается в "узком" смысле, т.е. из соответствующего анизотропО

ного пространства Соболева Н р(П), которое определяется как пополнение пространства

С°(П) по норме |Н| о = ^ Ьха IIьРа(П) (определение приведено в п.2).

НР(П) а=1 ___

В работе рассматриваются области, расположенные вдоль выделенной оси 0х3, в = 1, п (область П лежит в полупространстве х3 > 0 и сечение 'Уг = {х Е П | х3 = г} не пусто при любом г > 0).

где С — положительная константа, зависящая от ра, п, а, а, ||Фа||Ра/(Ра_1)-

Пример 1. Пустьра = р, а =1, 2,... ,п. В шаре В1 радиуса 1 с центром в начале координат рассмотрим функцию и(х) = 1п г, г = |х|. Она является неограниченным решением уравнения (1) с функциями Фа(х) = |иХа |р-2иХа Е Ьр/(р-1), р < п. Таким образом, даже в изотропном случае для ограниченности решения не достаточно принадлежности функций Фа(х) Е Ьр/(р-1), а = 1, 2,... ,п.

В следующей теореме доказана ограниченность решения задачи (1), (2) (П неограниченная) в ПЙ1 для произвольного К1 > 0 в предположении повышенной локальной суммируемости функций Фа(х) (в частности могут быть ограниченными).

Теорема 2. Пусть и(х) — обобщенное решение задачи (1), (2) с функциями Фа(х) такими, что для любого г > 0

П

Введем обозначение: Пъа = {х Е П а < х3 < Ь}, значения а = 0, Ь = то

могут быть опущены. Положим Р

Теорема 1. Пусть и(х) — обобщенное решение задачи (1), (2) с

вирр Фа С Пд°, Я0 > 0, а = 1, 2,...,п, и выполнены условия (3)—(5), а также

(6)

Тогда при любом К > 2К0/є, є Е (0,1), справедливо неравенство

Фа(х) Е Ька (Пг), ка

Раї

а = 1, 2,... ,п,

(ра — 1)(ї — 1)

І <^pi < І+,шпі а. . (11)

и выполнены условия (3)—(5) с показателями pa такими, что

П 1 ( 1 £ 1 . . (п 1

а=1

Тогда при любом R1 > 0 справедлива оценка

vraimax |u(x)| ^ C, (12)

ПД1

где C — положительная константа, зависящая отpa, п,1,а, a, R1, mes Q2Rl, ||Фа|ка,^2д1.

n

Пример 2. Пусть p1 < pn < p1 1/pa. В шаре B1 рассмотрим функцию u(x) = r-A,

a=1

r = |x|, A = —nn--------1 > 0. Она является неограниченным решением уравнения (1)

Р1 Е 1/Ра

а = 1

с функциями Ф8(х) = |uXs |Ps-2 uXs, s = 1, 2,...,п. Нетрудно определить, что функции Ф8(х) суммируемы в шаре B1 со степенью rs, которая меньше (а+1)(р -1), а показате-

n

П Р1 Е 1/Ра

ли суммируемости ks в теореме 2 больше рр-1 1/pa. Поскольку rs < —(p=-1)— ^ ks,

а=1

s = 1, 2,... ,п, то можно утверждать, что нижняя граница показателей суммируемости ks функций Ф.5 близка к предельно возможной.

Ранее авторами в [2] для анизотропных эллиптических уравнений были получены оценки убывания решения на бесконечности в зависимости от геометрии неограниченной области П расположенной вдоль выделенной оси в предположении ограниченности решения, однако ограниченность оставалась недоказанной. Основной целью настоящей работы является установление глобальной ограниченности обобщенного решения задачи (1), (2). Несомненно, что для изотропных уравнений можно снять ограничение на класс рассматриваемых областей, но в случае анизотропных уравнений это приведет к существенным техническим трудностям в доказательстве оценки (8). Оценка вида (12) может быть получена для произвольных неограниченных областей с некомпактными границами. Однако здесь приведено ее доказательство для областей расположенных вдоль выделенной оси для удобства согласования с оценкой (8). Следствием теорем 1, 2 является

Теорема 3. Пусть выполнены условия (3)—(5), (11). Тогда для обобщенного решения задачи (1), (2) u(x) с функциями Фа(х), а = 1,п, удовлетворяющими требованиям (6), (9), справедлива оценка

sup |u| ^ C,

п

C — константа, зависящая от pa, п, а, а, ||Фа||ка, R0, mes H4R°, l.

2. Вспомогательные сведения

Положим: || • ||р — норма в пространстве Ьр(0,). Приведем теорему вложения анизотроп-

◦ является нормой.

Яр(П)

Лемма 1. Пусть и(х) Є Ир(П) и

П

^1/Ра > 1, (13)

а=1

ного пространства Соболева, из которой следует, что

1

n :1

тогда и(х) € ЬР (П), где Р = п ( — 1 + Е 1/ра I , причем

V а—1 )

п

||и||р ^ А1 ^ ] \\иха ||ра , (14)

а—1

здесь А1 — константа, зависящая от ра, п (см. [3], [4]).

Определение 1. Обобщенным решением задачи (1), (2) с Фа(х) € ЬРа/(Ра-1)(П),

О

а = 1, 2,... ,п, назовем функцию и(х) € Н р(П), удовлетворяющую интегральному тождеству

/ Ь(u,v)dx = ^(аа(х, У и) — Фа) уХа вх = 0 (15)

^ ^ а— 1

П П а—1

О

для любой функции v(x) €Нр(П).

Теорема 4. Пусть выполнены условия (3) - (5), тогда существует единственное обобщенное решение и(х) задачи (1), (2) с функциями Фа(х) € ЬРа/(Ра-1)(П),

а =1, 2,... ,п, и справедлива оценка

пп

Е к- »Р:«А Е И’МРалР:-1!- (16)

а—1 а—1

где А2 — константа, зависящая от а, Та, ра.

Доказательство существования проводится методом галеркинских приближений.

О

Лемма 2. Для функции и(х) €Нр(П), при 0 ^ а < Ь справедливо неравенство

^ II ^ Р— и р ПЬ ^ ----

Ь а р3 — 1

(см. [5, неравенство (73)]).

О

Лемма 3. Пусть и(х) €Нр(Д) и

|u|Ps,Qa ^ |uXs lips (l7)

lp^x < то, qa > о, pa > 1, а = 1, 2,...,и.

0—1

n

Е |u|q“ 1 uXa Г“ dx

o—1 D

Если выполняется условие (із), то u(x) Є Lq(D) при Q = E (1+q0/p0) ( — 1+ E 1 /pa )

0—1 ^ ' 0—1 ’

D

:1

pa :1

0—1 ' ' 0—1

и имеет место оценка

K/Q

u

Q

D ^ A3 ( Е / |u|q“ |uXa |P“ dx ) , (l8)

0—1 D

n n :1

где K = ^2 1/p0( — 1 + E 1/p0 ) , A3 — константа, зависящая от и, qa, pa (см. [3], [б],

0—1 ' 0—1 '

[7]).

Замечание. В статье [8] B.C. Климовым показано, что неравенство (l8) справедливо также для функций, "обращающихся в нуль на достаточно массивном подмножестве

__ О

О ". В частности, оно имеет место при D = Or, r > 0, для функций u(x) Є^(О).

3. Доказательство теорем 1, 2

Доказательства теорем 1 и 2 проводятся итеративным методом, который был предложен Ю. Мозером [9] и широко использовался в работах С.Н. Кружкова [10], [4], Д. Серрина [11], И.М. Колодия [1].

Полагаем и(х) = |и(х)| + х, X > 0, при этом |иХа | = |иХа |. Для фиксированных чисел д > 1 и ^ > х определим функции:

т7(—\ ) ид, если х ^ и ^ ^,

' д^я-1и — (д — 1)^д, если ^ <и,

С(и) = (Е(и)Е'(и)Рд 1 — хдР° Рз+1дРз 1}signu, —то < и < то.

Почти всюду на множестве (х : и = ^} имеем

0 « С(и)= ( ^ ’ если и <

\ Е'(и)Рд, если ^ < и.

При этом справедливы неравенства

р*Е'(й)Рд > С'(и) > Е'(и)Рд, |С(и)| ^ Е(й)Е'(й)Рд-1, (19)

Е(и) ^ йч, Е'(и) ^ дйГ1. (20)

Доказательство теоремы 1. Пусть п(х«) — неотрицательная Липшицева функция с

носителем в [р — о,р' + )] С [еЯ/2, 2Я], £ € (0,1) такая, что

1, х3 € [р,р],

Г}(хз)={ 0, х3 € (р — 0,9 + )),

линейная, х3 € [р — о, р) и (), ) + )].

О

Полагаем v(x) = г/РзС(и) €Нр(П), х = 0. Почти всюду на множестве (х : |и| = ^} имеем

Vxa = ПРз С'(и)иха + РвПРз-1С(и)пха, а =1, 2,...,п.

Используя (19), (6), находим

п

Ь(и, V) = ^2(аа(х, У и) — Фа)(РзПР" 1 С(и)пха + ПР"&(и)иха) >

а—1

п

> пРаЕ'(|и|)Рд Е аа(х, Уи)иха — РзгТ*-1^ ^(|и|)Е'(|и|)Рд-1К(х, Уи)|.

а—1

Пользуясь условиями (3)—(5), выводим

п

Ь(и, V) > ЩРдЕ'ииу* Е Ыха ^ —

а—1

—ар5пРз-1Е (|и|)Е '(Н)^-1!^ ||их, |Рд-1. Проинтегрировав (21) по х € П и учитывая определение (15), получаем

'Е'(|и|)Р*^ |их„|Р“вх < С1 Е(|и|)Е'(|и|)Р* у- 1|пх,||их,|Р* ‘вх.

П а—1 П

Применяя неравенство Юнга, выводим

I пРд Е'(|и|)Рз Е \иха г вх ^ р'циу* \ихв Г вх + С*1 Еаиг ^ |Рд вх.

п а—1 П П

Учитывая (20), получаем

дРд / ПРд 1)рд Е |иха |Равх ^ / пРдЕ'(|и|)Рд Е |иха |Равх ^

{х€П:|м|^и} а—1 П а—1 (22)

^ Сэ/ |Пхд |Рдвх.

п

Предположим, что правая часть (22) конечна. Устремим ^ к то в левой части (22) и применим лемму Фату:

/П С Р

ПРд |и|Р^-1) ^ Ка |Равх ^ С- у |иГ |Пхд |Рдвх. (23)

П а—1 П

Далее, получаем цепочку неравенств:

, Ра(«-1)

Е I (|и|пРд/Р1)Рд(? 1)|(ипРд/Р1 )ха|Равх+

а — 8 п

+ У (НП^1)Рд(?-1)|(ипРд/Р1 )х3 |Рдвх = п

Е |и|Р8(9-1) |иха |Р“ Г]РВ /Р1[Рд(?-1)+Р“]вх+

п

+ / пр2(9-1)/р1 |и|Рд(9-1)|их3пРд/Р1 + —ипРд/Р1-1Пх3 |Рдвх ^

У Р1

п

< Е/ |иГ(9-1) |иха |Р“ пРд/Р1[Рд(9-1)+Р“] вх+

а—8 П

+С4 У пр2?/р1 |и|Рд(9-1)|их3 |Рдвх + С^ пРд[9Рд/Р1-11|Пх3 |Рд |и|Рд9вх ^ п п

^ С5 Е |и|рд(9-1) |иха |рапрд[рд(9-1)+Р“1/р1 вх+

5 2^ |иг^ 7|и:

а—1 П

+С4 У |и|Рд9прд[?рд-р11/р1 |Пх3 |Рдвх. п

Воспользовавшись тем, что 0 ^ п(х8) ^ 1, применяя (23), выводим

|ипрд/р1 |рд(?-1)|(ипрд/р1 )ха |р“вх ^

а—1 П

« а Е/ |и|Рд(9-1)|иха |РаПРдвх + С^ |иГ |Пхд |Рдвх ^ (24)

а—1 П П

^ Сб У |иГ |пхд |Рдвх. п

Из леммы 3 для да = р8(д — 1), а =1, 2,... ,п, имеем

(п \ / п \ — 1

п + Р8(д — 1) Е ^Ра ) ( Е 1/Ра — 1 ) = Р + Р8(д — 1)K,

а—1 / \а—1 /

тогда, применяя (18), из (24) выводим

1/К

|ПР//Р1 и|р+Р/(*—1)Квх I ^ С7 |иГд |пх3 |Р/вх.

(25)

Пусть к = р8(д — 1) + 9, т = Р — К9 = р8 — 9, где 9 = (Р — р8)/(К — 1). Тогда т + Кк = Р + Кр8(д — 1), т + к = р8д. Ввиду (13), К > 1, из условия (7) следует, что 9 > 0.

Положим р + о = ) = (1 + 2—и)К, р = ргУ+1 = (1 + 2—^—1)Д, р — О = ри = (1 — 2—и—1)£К, р = +1 = (1 — 2—1'—2)£К, о = К2—и—1, о = £К2—1,—2.

Из (25) выводим

\ 1/(КЛ) ( \ 1/Л

С71/^

(

|и|т+КЛ в:

х

\П§

(тт(о, )))Р//Л

/

|и|т+Лв:

х

\ПР?+^3

/

Положим к = 9К^, V = 0,1, 2,..., тогда

(

1/(бК^+1)

| и|

т+бК^+1

вх

р^+1

1/(бК)

Введя обозначение

С81/(^ )2Рд(^+1)/(К-б)

(£Я)Р//(Кб)

(

| и|

т+бК1

вх

\Пр:

1/(бК *)

0ь

| и|

т+бК

вх

\П£

получаем неравенство

С81/(К" 0)2Рд(^+1)/(К " б)

^ ^ (£Д)Рд/(К"б)

Для V = 0 имеем к = 9, д =1 и

0*, V = 0,1, 2,

далее,

С 1/б 2Рд/б

01 ^ (£Я)р«/* 0O,

оо оо

1/б £ 1/К- р//б £ (^+1)/К-

С8 -=о 2 ^=о

0

, „.Р//б £ 1/К" (£Д) -=0

0.

Переходя к пределу при V ^ то, получим

Со

вир |и(х>| « (£д)р/К/(»(К —1))

\

1/б

|и(х)|Р/ вх

^£Й/2

/

(26)

Согласно следствию 1, применяя (16), имеем

^ C1cRPs/0 \ |uxs |Psdx I ^ CnRPs/e. (27)

|uxs lps'

/ \1/e / xV*

J |u|Psdx

^2R/2 у

Соединяя (26), (27), в итоге, получим

s И / C Rps/e _ C12 _ C12 (28)

sup |u| ^ C12 (£r)PsK/(e(K-1)) Rps/(0(K-1))epsK/(0(K-1)) (R£K)M , (28)

откуда следует оценка (8).

Следствие 1. Для обобщенного решения u(x) задачи (1), (2) с функциями Фа,

а _ 0,1, 2,...,n, удовлетворяющими требованию (6), в условиях теоремы 1 справедлива

оценка

sup |u| ^ C, (29)

Q2Ro

где C — константа, зависящая от pa, п, а, а, |^«||Pa/(Pa-1), R0-

Доказательство. В (28) положим £ _ 1/2, R _ rk _ 2fc+1R0, k _ 1,2,.., получим неравенства

sup |u| ^ C132(K-k)M ^ C, k _ 1, 2,..,

Qrk

Wrfc/2

из которых следует (29).

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1, однако имеются отличия в построении срезающей функции и оценках, связанных с Фа, а _ 1,п, поэтому приводится полностью.

Пусть n(xs) — неотрицательная Липшицева функция с носителем в (-то,р + а), р + а ^ 2R1, такая, что

1, xs е (-то,р],

rj(xs) _ { 0, Xs е [р + а, +то),

линейная, xs е (р, р + а).

о

Положим v(x) _ r/PsG(u) eHp(^), х _ 1. Используя (19), находим

П

L(u,v) _ E(a«(x, Vu) + Фа)^^-1^)^ + nPsG'(u)uXa) >

a=1

> nPsF'(u)p^ aa(x, Vu)uxa - PsnPsF'(u)Ps J] |Фа||йЛа |-

a=1 a=1

-PsnPs-1|nxs |F(u)F'(u)Ps-1 |as(x, Vu)| - psn^-1^ |F(u)F'(u)Ps-1^| Пользуясь условиями (3)—(5), выводим

L(u, v) > arfB F'(u)Ps Yh Wxa |Pa -

a=1

-CpsnPs-1 F (u)F' (u)Ps-1 |nxs ||uxs |Ps -1- (30)

n

-PsVPsF'(u)Ps E |Ф«||йха| - PsnPs-1F(u)F'(u)Ps-1|nxs ||Фв|-

a=1

Проинтегрируем (30) по х Е П и, учитывая (15), получаем

/п

Е'(и)р £ |иха Г(1х ^

П “=1

^ С^ Е(й^й)^-1^-1^|(|й*в|р*-1 + |Ф*|)^х+

п

/п

ПР* Е '(й)Р Е !Ф«!|йха ^х.

П а=1

Применяя неравенство Юнга, выводим

п л П *

ПР*Р'(и)Р* £ |иха Г Лх ^ Р'(и)Р* |й*а Гdx+

+ С2 Р(й)Р* |Пх* ГЛх + пР*Р'(и)р* |Фа|Р“/(Р“-1)Лх.

п

Учитывая (20), получаем

I

а=1 ;

п

Е / ПР* Р' (и)Р* |йха |Р“ Лх ^

а=1 П

п

^ Сз /иР*ІПх*|Р*Лх + Сз Е / |Ф«|р“/(р“-V*йР*(9-1)Лх.

П а=1 П

(31)

Предположим, что правая часть (31) конечна. Устремим ^ к то в левой части (31) и применим лемму Фату:

йР*(9-1) Е |й*а |Ра Лх ^

ПР а=1

^ С / и^Р8Лх + Е У |Ф«|Р“/(Р“-1)йР*(9-1)Лх

\ ПР+СТ а=1ПР+ст

. - а

^Р* I /тР*

Далее, применяя неравенство Гельдера, воспользовавшись (9), выводим неравенства

( ( \ 1/1

пС £ иР-(«-1)|йх„ |РаЛ ^

“=1ПР 9

+ Е (/

а=1 \пР+.

(У й9Р*г Лх| (ШЄ8П2Д1 )(1 1)/г +

р+СТ

(1-1)/1 / \ 1/г\

|Ф«|к“ Лх I (у йР*(9-1)г Лх

!Р+СТ

1/1

^ С4 ( 1 + ] I / й^х

' 1р+ст

◦

Учитывая замечание применим лемму 3 для О = и функции и ЕН р(П). Таким образом, используя (18), получаем

\ 1/К ( \ 1/

|и|р+р^-1)к^х! ^ СБ( 1 + ^) ( У й9Р^х! . (32)

}р+ст

Ввиду (10), K > l. Далее, пользуясь (32), выводим следующую цепочку неравенств:

J uP+Ps(q-1)Kdx ^ C6J |u|P +Ps(q-1)Kdx + Comes ^ (33)

Qp Qp

/ \ K/l

^ C7 f 1 + I У uqPsldx I + Co У uqPsldx ^

\qp+ct / QP+CT

K ' , K/l ^ C8 ( 1 + —^) I / uqPsldx

Положим р + а = ри = (1 + 2-^)РЬ р = ри+1 = (1 + 2-^-1)Р1, а = Д12-^-1. Пусть Л = /р3(д — 1) + /О, т = Р — КО = /(р5 — 0), где О = (Р — /р3)/(К — /). Тогда т + Лот, = Р + Кр3(д — 1), т = К//, т + Л = /р5д. Из условия (10) следует, что О > 0.

Из (33) выводим

1/(mh) / \ 1/h

|u|T +mhdx I ^ C91/h 1 J |u|T+hdx

p+CT

aPsl/h

Положим h _ l0mv, v _ 0,1, 2,..., тогда

1/(10™-+!)

|u|r+iymV+1 dx I ^

^Pv + 1

1/(10mv)

C1/(l0mV) 2Ps(v+1)/(mv 0)

Rs

^ --------I I |u|T+l0mVdx

Введя обозначение

1 / (l0mv)

©v _ | / |u|T+l0mVdx'

IPv

получаем неравенство

C 1/(l0mV )2Ps(v+1)/(mv 0)

©^+1 ^ др3/(0т^) ©^, ^ = 0, 1, 2,....

Из последнего неравенства следует, что

оо оо

1/(10) Е 1/т^р3/0 Е (^+1)/т

—а ^=0 2 ^=0

©^+1 ^ —-------------------оо--©0, V = 0,1, 2,....

Рз/0 Е 1/тУ

П1 "=°

Переходя к пределу при V ^ то, получим

1/(01)

sup u(x) ^ C10 1 j u(x)Psldx 1 . (34)

QR1

Применяя (10), (14), (16), выводим

J uPsldx ^ J uPdx ^ Cnmes ^2Rl + Сц J |u|Pdx ^ Ci2. (35)

n2Ri H2R1 n

Соединяя (34), (35), в итоге, получаем (12).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Колодий И.М. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений // Вестник МГУ. 1970. № 5. C. 45-52.

2. Кожевникова Л.М., Хаджи А.А. Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Вестник Сам. гос. техн. ун-та. 2013. № 1 (30). С. 90-96.

3. Лу Вень-туан. К теоремам вложения для пространств функций с частными прозводными, суммируемыми с различными степенями // Вестник ЛГУ. 1961. № 7. C. 23-27.

4. Кружков С.Н. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб. 1968. № 77. C. 229-334.

5. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. Оценки решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн. 2011. T 3, № 4. C. 64-85.

6. L. Nirenberg On elliptic partial differential equations // Ann. Scuola norm. super. Pisa. 1959. № 13. P. 115-162.

7. Дубинский Ю.А. Некоторые интегральные неравенства и разрешимость вырождающихся квазилинейных эллиптических систем, дифференциальных уравнений // Матем. сб. 1964. № 3. C. 458-480.

8. Климов В.С. К теоремам вложения анизотропных классов функций // Матем. сб. 1985. № 127(169):2(6). C. 198-208.

9. J. Moser A new proof of de Giorgi’s theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations // Communs Pure and Appl. Math. 1960. № 3. P. 457-468.

10. Кружков С.Н. О некоторых свойствах решений эллиптических уравнений // ДАН СССР. 1963. № 3. C. 470-473.

11. J. Serrin Local behavior of solutions of quasilinear equatons // Acta math. 1964. № 3-4. P. 247-302. Лариса Михайловна Кожевникова,

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, пр. Ленина, 37,

453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: kosul@mail.ru

Анна Александровна Хаджи,

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, пр. Ленина, 37,

453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: anna_5955@mail.ru