CC BY
115
УДК 621.313.17-587.5-585.3 ББК 3261.3-042
А.А. АФАНАСЬЕВ
ОДНОСТУПЕНЧАТЫЙ МАГНИТНЫЙ РЕДУКТОР С ТРЕХФАЗНОЙ ОБМОТКОЙ СТАТОРА И ВНУТРЕННИМ РОТОРОМ С КОРОТКОЗАМКНУТОЙ ОБМОТКОЙ
Ключевые слова: внешний ротор с ферромагнитной «беличьей клеткой» (модулятором), внутренний ротор с короткозамкнутой обмоткой, статический преобразователь частоты.
Наличие обмотки на статоре, получающей питание от статического преобразователя частоты, позволяет создать магнитный редуктор (МР) с непрерывно регулируемым коэффициентом редукции. Показано, что основные функциональные свойства МР могут быть достигнуты при использовании внутреннего ротора с корот-козамкнутой обмоткой. Такое исполнение ротора существенно упрощает конструкцию и стоимость МР. Получены выражения для электромагнитных моментов скоростного и тихоходного роторов МР и их критических скольжений. Намагничивающий ток обмотки статора состоит из двух слагаемых, соответствующих двум воздушным зазорам. Показано, что в рабочем режиме МР не потребляет от преобразователя частоты активного тока. Двигательный и генераторный режимы роторов обусловлены активными токами обмотки статора, которые равны по величине и направлены встречно. Намагничивающий (практически реактивный) ток необходим для создания магнитных потоков в воздушных зазорах, благодаря которым реализуются функциональные свойства МР.
A. AFANASYEV
SINGLE STAGE MAGNETIC GEAR WITH THREE-PHASE STATOR WINDING AND INNER ROTOR WITH SHORT-CIRCUITED WINDING
Key words: external rotor with ferromagnetic squirrel-cage (modulator), inner rotor with short-circuited winding, static frequency converter.
The presence of the stator winding, powered by static frequency converter, allows creating a magnetic gear (MG) with continuously adjusted reduction ratio. It is shown that the main MG functional properties can be achieved using toothed inner rotor with short-circuited winding. This model of the rotor greatly simplifies the structure and the cost of MG. Expressions are received for electromagnetic moments of speed and low-speed rotors MG and their critical slides. The Magnetizing current of stator winding consists of two components corresponding to two air gaps. It is shown that in operating mode MG does not consume active current from frequency converter. Motor and generator modes of rotors are conditioned with active currents of stator windings, which are equal in value and are directed towards each other. Magnetizing (nearly reactive) current is required for generating magnetic flow in air gaps that allows to realize functional characteristic of MG.
Магнитный редуктор может выполняться в виде электрической машины с несколькими концентрическими роторами. Применение трехфазной обмотки на статоре позволяет создать трансмиссионное бесступенчатое устройство с регулируемым коэффициентом редукции [4, 5].
Его составные части представлены статором с многополюсной зубчатой трехфазной обмоткой (рис. 1), наружным ротором в виде ферромагнитной «беличьей» клетки с числом призматических стержней, близким к числу пар полюсов обмотки статора, и внутренним ротором с короткозамкнутой обмоткой.
Магнитное поле статора с числом пар полюсов p, поступающее на одну сторону магнитной клетки, имеющей z ферромагнитных стержней, изолированных гальванически и магнитно, на выходе с другой стороны клетки будет иметь основную гармонику с небольшим числом пар полюсов, равным разно-
сти (2 -р). Это малополюсное магнитное поле взаимодействует с коротко-замкнутой обмоткой внутренного ротора.
Трехфазная обмотка статора, в общем случае, может подключаться к сети переменного тока через статический преобразователь регулируемой частоты ю. В результате магнитное поле статора может перемещаться в пространстве с угловой скоростью О = ±— (знак минус реализуется преобразователем
Р
при смене следования фаз).
Электромагнитный момент редуктора формируется как в классической асинхронной машине, и, следовательно, момент, развиваемый ступенью, имеет некоторый ограничительный максимум.
Такой редуктор, отличающийся высоким удельным моментом, регулируемым бесступенчато коэффициентом редукции, простотой и удобством эксплуатации, может найти применение в различных транспортных системах и ветроэнергетике в качестве мультипликатора. Ветроколеса в рабочем режиме имеют относительно небольшую скорость вращения. Для снижения массы электрогенераторов, приводимых во вращение ветроколёсами, необходим мультипликатор, который позволит использовать сравнительно легкие быстроходные электрогенераторы.
Физические основы работы редуктора. На рис. 1 показана упрощенная конструктивная схема устройства. Редуктор имеет два коаксиально расположенных ротора.
Первый (наружный) ротор 2 жёстко связан с тихоходным валом. Он имеет угловую скорость вращения О1 и представляет собой шихтованную ферромагнитную беличью клетку с числом призматических стальных зубцов 2\. Эта клетка пропускает через себя магнитное поле, создаваемое обмоткой статора, имеющей число пар полюсов р1.
Второй (внутренний) ротор 1 с ко-роткозамкнутой обмоткой вращается с угловой скоростью О2(1 - я), где s -скольжение этого ротора.
Полагая, в первом приближении, магнитную систему устройства линейной, будем находить методом удельной магнитной проводимости магнитные индукции в воздушных зазорах, создаваемые обмотками статора и внутреннего ротора.
Магнитная система содержит два воздушных зазора. Их размеры обозначим 8у, у = 1, 2 (численное значение индекса у растет при смещении от статора к внутреннему ротору).
Магнитным насыщением в стали ярем сердечников и зубцах беличьих клеток пренебрегаем.
Удельная магнитная проводимость воздушных зазоров с ферромагнитными беличьими клетками. Для увеличения глубины модуляции магнитного поля ферромагнитными беличьими клетками высоту их шихтован-
ПЧ
Рис. 1. Поперечный разрез
магнитного редуктора:
1 - короткозамкнутый внутренний
(быстроходный) ротор;
2 - наружный (тихоходный) ротор с ферромагнитными стержнями;
3 - статор с трёхфазной обмоткой
ных призм прямоугольного сечения выбираем больше половины ширины пазов. В этом случае силовые линии поля, попадая из воздушного зазора в паз, не выходят из него, проникая в стенки паза. Поэтому расчёт магнитного поля в немагнитных зазорах мультипликатора будет мало отличаться от аналогичного расчёта классических электрических машин.
Минимальная удельная магнитная проводимость первого немагнитного
зазора напротив середины паза беличьей клетки равна [1]
х - 1
'Чшт —
ги V
+(51)2
где Ьп - ширина раскрытия паза беличьей клетки.
Ей соответствует максимальное магнитное сопротивление зазора
1
= 1% I + (5i)2-
rimax ' VIT
^imin IV 2
За минимальное сопротивление зазора примем величину
rimin = öi.
Полное магнитное сопротивление первого зазора будет равно
r ' = r0 + r'm 1 cos Zi9i,
где Го =öi ^Ai - постоянная составляющая полного сопротивления;
k ti kA = --—
ti -YiOi
- коэффициент немагнитного зазора (коэффициент Картера);
4
Yi =-п
bп . bn
-arctg--In, i +
25i 25i V
" Ьп ' 2 1
_ 25i _ /
rimax rir
f i + (öi)2 -8i
Гт1 " _ _
2 2
- амплитуда переменного сопротивления первого зазора; ф1 - угловая координата точки наблюдения на ферромагнитной беличьей клетке (рис. 2).
Магнитное сопротивление второго воздушного зазора Г" между ферромагнитной беличьей клеткой и внутренним ротором с коротко-замкнутой обмоткой будем считать постоянным
г""- Го""- ¿Д252.
Для удельной магнитной проводимости этого зазора будет справедливо
Цо
Рис. 2. Угловые координаты точек наблюдения: на статоре фс; наружном роторе ф1; внутреннем роторе ф2
Л '' = -
kA ?5
A 2"2
Удельная магнитная проводимость обоих зазоров
л Ц 0 Ц 0 Л л /1\
Л = —-- = —-----= Л0-Alm cosZi9i. (1)
Г + Г Го + Го + Гmi COS ^ф Поскольку rm i < r0' + r0 , то
A _ Ц0 _ Ц0 A _ Ц0 rmi
Л 0 =—:----2-- ■'Mm =
j
j=i
0 r0 + r0' S S , ' lm" (r0 + г")2
Магнитная индукция во втором воздушном зазоре 52, вызванная 2pi -полюсной обмоткой статора:
Bs 2 = Fi Л , (2)
где
Fi = Fim sin(a t + Pi9c) (3)
- первая гармоника МДС вращающегося магнитного поля трехфазной обмотки статора;
Fim = ^ ^ (4)
% Pi
- амплитуда этой гармоники; a - угловая частота тока статора; фс - угловая координата точки наблюдения на статоре (рис. 2).
После подстановки в формулу (2) для магнитной индукции выражений (3) и удельной магнитной проводимости (i) получим
Bs2 = Fim (Л0 -Л^ COS z^i)sin(at + Р!фс ) .
Эта зависимость показывает, что во втором воздушном зазоре присутствуют три вида гармоник магнитной индукции:
B's2 =--2FimЛш sin(at + Р!фс - z^i), (5)
Bs2 =- -2 F^im sin(at + рф + z^).
BS2 = Fim Л 0 sin( a t + Р1Фс) . Покажем, что только первая гармоника, представленная формулой (5), является рабочей. Из рис. 2 следует формула связи угловых координат точки наблюдения P
Ф1 =фс -Si =фс -Si0 -Qit, (6)
где - угловая координата di первой беличьей клетки относительно неподвижной магнитной оси фазы А статора; Si0 - начальное значение этой координаты при t = 0; Qi - угловая скорость вращения первой беличьей клетки (наружного ротора).
Подставим формулу (6) в выражение (5) и зафиксируем в последнем аргумент синусоидальной функции, т.е. привяжем точку наблюдения к волне индукции (5):
(zi - pi) фс - zi Qi t - a t = const.
После дифференцирования этого выражения по времени получим скорость перемещения рабочей волны индукции (5) во втором воздушном зазоре относительно неподвижного статора
^ = П2 . (7)
д - р1 гх - р1
Проанализировав полученную зависимость, отметим следующее:
1. Волна магнитной индукции В§2 имеет число пар полюсов (р2 = -рх), которое при близости значений ирх будет сравнительно небольшим.
2. Внутренний ротор будет увлекаться волной индукции В§2, вращаясь со скоростью 02(1-
3. Скорость вращения выходного вала 02 будет пропорциональна скорости вращения входного вала и угловой частоте напряжения статора.
Электромагнитный момент. Определим электромагнитный момент выходного вала по формуле метода натяжений [2]
П х 2
М = ]впИхдх, (8)
2 -X 2
где р2 = - рх - число пар полюсов выходного (внутреннего) ротора; 1, д, х2 -активная длина, наружный диаметр и полюсное деление этого ротора; Вп = В§2, Их - нормальная и тангенциальная составляющие, соответственно, магнитной индукции и напряженности магнитного поля во втором воздушном зазоре.
Рис. 3. B§2m, Bg2m , Bfóm - комплексные амплитуды магнитных индукций во втором воздушном зазоре, созданные, соответственно, обмоткой статора, обмоткой ротора и обеими этими обмотками; E2 , I2 - действующие значения ЭДС и тока короткозамкнутой обмотки внутреннего ротора
Нормальную составляющую магнитной индукции на поверхности выходного ротора запишем в таком виде (рис. 3):
Bn = B2 = B§2m cos — Я + Bg2m COsI — Я-р ] = B|2m COsI — Я-ф ) , (9)
T2 ) )
вр2m sin р , Bs где ф = arctg-—--- - угловой сдвиг гармоник индукции B§2 и B§2;
B52m + Bg2m COs P
P - угловой сдвиг гармоник индукции B5 2 и B<f2; B5 2 m - амплитудное значение индукции, создаваемой обмоткой статора, которое, согласно формуле (5), равно
В52т — "2^1тД1т (10)
Щ2т - амплитудное значение индукции, создаваемой короткозамкнутой обмоткой внутреннего ротора, которое равно
_ _ Цо
-иЪ2т
где
BP2m _ ^0тF2m , dD
«Д202
F2m = /—2 С h', (12)
P2
- амплитуда МДС короткозамкнутой обмотки, —2, I2 - число и ток её стержней, kc коэффициент скоса стержней короткозамкнутой обмотки ротора,
sx2
а = arctg-, r2, x2 - активное и индуктивное сопротивления обмотки ротора,
Г2
I = E2 = 1 Щ2т^2 Р2s П 2 , (J3)
2 Л/(Г2 )2 +(SX2 )2 )2 +(SX2 )2 '
B¡2m = ^(«52m )2 + ((/2т )2 + 2B2mB^m COS P
- амплитуда результирующей магнитной индукции во втором воздушном зазоре.
После подстановки формул (12), (13) в равенство (11) получим
Вр _ ^0kc —2B82mlx2sn2 (14)
52m _ - 9, ; I 2 . (14)
2^2кд 25^ (Г2 )2 + (SX2 )2
Магнитное напряжение в воздушном зазоре ротора от волны индукции с амплитудой B/2m определится по формуле
' kl252BÍ2m f X
U25 =-—COSI -Л-P I .
Цо Vx2 )
Тогда для тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля в зазоре с учётом (14) будет справедливо
Hт = = ■—1 k'BlmlSn2 sin {Х-Я - р] . (15)
^ 2Ч(Г2 )2 + (Х )2 После подстановки формул для магнитной индукции (9) и магнитной напряженности (15) в выражение (8) для электромагнитного момента и взятия интеграла в нем получим
—2P2X212D kc (BgZ2m ) s П = —2P2X212D Г2К (BgZ2m ) S П
М2 ' 008а - . (16)
Ш^нХ7 (г2 )2+Сх )2
Для комплексных амплитуд магнитных индукций во втором воздушном зазоре в соответствии с формулой (9) справедливо равенство
В52т + В52т — В52т • (17)
Выражая магнитные индукции через МДС и удельные магнитные проводимости в соответствии с формулами (4), (10), (11), (12), можем равенство (17) представить в таком виде:
3 ^ д , + Цс ^с , — з .
-Т=-д Чт11 +--7=-----12 —-7=-д Чт102 , (18)
КЫ2 рх 2 лД2о2р2 2 рх
м2тах=± ^г2:2, ' ; . (21)
где 102 - намагничивающий ток обмотки статора для второго воздушного зазора.
Равенство (18) теперь можно записать в таком традиционном виде:
11 + кг 212 = 102, (19)
где к, 2 = —--Р1--коэффициент приведения тока ротора к обмот-
3 кд262Р2 Л^К
ке статора для второго воздушного зазора.
С учётом формулы (18) для выражения электромагнитного момента (16) будем иметь
Ы = 9^2Р2Х2/2-0 Г2кс{^км,К1т1о2 )2 5 ^2 (20)
2 8л3 р2 (Г2 )2 +(5X2 )2 " 1 '
Полагая в первом приближении намагничивающий ток независящим от скольжения (при скольжении 5 меньшем критического), найдем максимум
дЫ
электромагнитного момента (20). Из выражения -= 0 следует 5к =±г2/х2.
д5
Тогда для максимального момента будем иметь
9£2р2Г2/20 ксМ^1М.102)2 ^2 16л3 р12 Х2
Знаки плюс и минус в формулах для критического скольжения и максимального момента (21) относятся, соответственно, к двигательному и генераторному режимам внутреннего ротора.
С помощью аналогичных процедур можем рассчитать электромагнитный момент на входном валу Ы\. Его значение можно, в первом приближении, оценить из энергетического равенства, учитывающего формулу (7):
ММ = Ы202(1 - 5) = Ы2(1 - 5)1 — ^ +— I .
I Р2 Р2 )
Расчёт тока обмотки статора. В первом воздушном зазоре рабочие гармоники магнитной индукции имеют число пар полюсов Р1
^см1 + ВЬт\ = Щт\ .
Слагаемые этого равенства выразим через МДС и удельные магнитные проводимости
6 ц о 11 + 22кс Л1м 12 = 6 ц о 1 (22)
л42 р1 кд181 242л р2 л л/2 р1 кд181 ' где 101 - намагничивающий ток обмотки статора для первого воздушного зазора.
Из формулы (22) следует равенство
11 + кл12 = 101, (23)
где кп = кд1^2Р1б1Л1м - коэффициент приведения тока ротора к обмотке 12цо Р2^1 кК
статора для первого воздушного зазора.
Из совместного рассмотрения равенств (23), (19) для намагничивающих токов 101 и 102 можем получить традиционную формулу для первичных и вторичных токов электрической машины с короткозамкнутым ротором
Ii+k,I2 = /0,
где k = (kii + k2^2; /0 = (in + I02V2 .
Потокосцепление обмотки статора от результирующего рабочего магнитного потока в первом воздушном зазоре будет равно Щ = 2 h fr wk = 12Ц hi(wkw )2 f
Tmi = — l1\BSm\w\kw\ = 2 r-—---f 0i .
% %2v2 kAi6i pi
Для ЭДС первичной обмотки, наведенной результирующим магнитным потоком, будем иметь
E = у a щ = /fhi(wkw)2 f
Ei = - j~rz ^mi = - j--;---f0i .
-n/2 % kAiOi pi
Равновесие напряжения обмотки статора будет выражаться равенством
Ui - fizi =-Ei,
где zi = ri + jxi; ri, xi - активное и индуктивное сопротивления рассеяния обмотки статора, соответственно.
Выводы. i. Магнитный редуктор обладает предельным (опрокидывающим) моментом, соответствующим критическому скольжению ротора с ко-роткозамкнутой обмоткой.
2. Намагничивающий ток обмотки статора состоит из двух составляющих, соответствующих двум воздушным зазорам редуктора.
Литература
1. Иванов-Смоленский А.В., Абрамкин Ю.В. Применение конформного преобразования в электромагнитных расчётах электрических машин. Аналитические методы. М.: Изд-во МЭИ, i980. 85 с.
2. Иванов-Смоленский А.В. Электромагнитные силы и преобразование энергии в электрических машинах. М.: Высш. шк., i989. 3i2 с.
3. Шуйский В.П. Расчёт электрических машин: пер. с нем. М.: Энергия, i968. 732 с.
4. Jiabin Wang, Atallah K., Carvley S.D. A Magnetic Continuously Variable Transmission Device. IEEE Transactions on magnetic, 20ii, vol. 47, no. i0, pp. 28i5-28i8.
5. Jian Linni, Chau K.T., Yu Gong a.o. Comparison of Coaxial Magnetic Gears With Different Topologies. IEEE Transactions on magnetic, 2009, vol. 45, № i0, pp. 4526-4529.
References
1. Ivanov-Smolenskiy A.V., Abramkin Yu.V. Primenenie konformnogo preobrazovaniya v elektromagnitnykh raschetakh elektricheskikh mashin. Analiticheskie metody [Using conformal transformations in electromagnetic calculation of the electric machines. The Analytical methods]. Moscow, MEI Publ., i980, 85 p.
2. Ivanov-Smolenskiy A.V. Elektromagnitnye sily i preobrazovanie energii v elektricheskikh mashinakh [Electromagnetic power and transformation to energy in electric machine]. Moscow, Vys-shaya shkola Publ., i989, 3i2 p.
3. Shuyskiy V.P. Raschet elektricheskikh mashin [The Calculation of the electric machines]. Moscow, Energy, i968, 732 p.
4. Jiabin Wang, Atallah K., Carvley S.D. A Magnetic Continuously Variable Transmission Device. IEEE Transactions on magnetic, 20ii, vol. 47, no. i0, pp. 28i5-28i8.
5. Jian Linni, Chau K.T., Yu Gong a.o. Comparison of Coaxial Magnetic Gears With Different Topologies. IEEE Transactions on magnetic, 2009, vol. 45, № i0, pp. 4526-4529.
АФАНАСЬЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры автоматики и управления в технических системах, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (afan39@mail.ru).
AFANASYEV ALEXANDER - doctor of technical sciences, professor of Technical Systems Automatics and Control Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
