CC BY
90
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2
Полученные в данной работе приближенные системы уравнений могут быть использованы при исследовании длинноволновых колебаний и процессов распространения нестационарных волн в многослойных оболочках. В последнем случае они применимы вдали от фронтов волн.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11 -01-00545-а).
Библиографический список
1. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of thin walled elastic bodies. San Diego : Academic Press, 1998. 226 p.
2. Коссович Л. Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1986. 176 с.
3. Коссович Л. Ю., Каплунов Ю. Д. Асимптотический анализ нестационарных упругих волн в тонких оболочках вращения при ударных торцевых воздействиях // Изв. Сарат. ун-та. 2001. Т. 1, вып. 2. С. 111-131.
4. Каплунов Ю. Д., Кириллова И. В., Коссович Л. Ю.
Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // ПММ. 1993. Т. 57, вып. 1. С. 83-91.
5. Коссович Л. Ю., Шевцова Ю. В. Асимптотические приближения трехмерных динамических уравнений теории упругости в случае двухслойных пластин // Проблемы прочности и пластичности : межвуз. сб. Н. Новгород : Изд-во Нижегород. ун-та, 2005. Вып. 76. С. 102-111.
6. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М. : Наука, 1971. 446 с.
УДК 539.3
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ГИБКИХ ТРУБКАХ
Ю. П. Гуляев
Саратовский государственный университет E-mail: gulvis@yandex.ru
В статье описан новый вариант осреднения уравнений Навье-Стокса для осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости при минимальном числе упрощающих гипотез. Приведена полная система пространственно одномерных дифференциальных уравнений, описывающая динамику кровотока в системе крупных артериальных сосудов.
Ключевые слова: линеаризация, одномерные уравнения, осесимметричные колебания, закон Пуазейля.
One-Dimensional Equations of Motion of a Viscous Incompressible Fluid in Flexible Tubes
Yu. P. Gulyaev
This paper describes a new variant of the averaging of the Navier-Stokes equations for axisymmetric flow of a viscous incompressible fluid with a minimum number of simplifying hypotheses. The complete system is spatially one-dimensional differential equations describing the dynamics of blood flow in the large arteries.
Key words: linearized, one-dimensional equation, axisymmetric oscillations, Poiseuille law.
Одномерные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости [1] применяются для моделирования динамики кровотока в крупных артериях. Эти уравнения положены в основу создания быстродействующих многопараметрических моделей артериальных систем, которые достаточно быстро и точно могут численно описывать динамику кровотока в соответствующей части артериальной системы применительно к конкретному индивидууму. Используемый в настоящее время вариант уравнений, полученный с помощью осреднения уравнений Навье-Стокса для осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости и некоторых упрощающих предположениях [2], на наш взгляд, не полностью отражает характер течения жидкости в случае осевой симметрии потока и когда осевая скорость существенно больше радиальной скорости течения.
В данной работе предлагается новый, более строгий математический подход к выводу одномерных уравнений осесимметричных движений вязкой жидкости. При этом существенно сокращается число дополнительных гипотез. В частности, непосредственно закон Пуазейля, справедливый только для установившихся течений в тонких жестких трубках, здесь не используется.
Предположим, что происходит осесимметричное нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в предварительно натянутой гибкой цилиндрической трубке. В цилиндрической системе
© Гуляев Ю. П., 2012
Ю. П. Гуляев. Одномерные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в трубках
координат, где ось г направлена по оси потока, уравнения Навье-Стокса имеют вид [3]:
дуг + дуг + дуг) др + ! 1 д ( дуг ^ + д2 у ^
р(~аГ + "г~д7 + Уі~дІ) - -Ш + р [ГэГ ^ дг
(д"г д"г дуг\ др ( д (д"г Р\— + у — + "*—) _ - - + р (- -д?
дЬ
дт
дг
дт
+
дг2 )
д2уг
дг2
(1)
д(т"г) + д(туг) _ о
дт
дг
Для потоков жидкости с существенным преобладанием осевой скорости уравнения (1) легко линеаризуются и принимают более простой вид:
(д"г д"г
ЧаГ + 2"0 НІ
(д"г д"г
Ч~5ї+2"0 иг
др (1 д ( дуг\ д2уг
дг + ^ \ т дт \ дт / + дг2
д 2 уг
др ( д (дуг дт + ^ у дг\дт) + дг2 д(туг) + д(туг) _ о
(2)
дт
дг
Здесь у0 — средняя скорость преобладающего осевого течения. Из этих уравнений вытекает уравнение для давления р:
1 _д (гдр\ + &р г дг V дг ) дг2
(3)
Осредняя уравнение (3) по площади поперечного сечения круглой трубки номинального радиуса К и вводя среднее по сечению давление в потоке жидкости по формуле
Рс _
2
Я2
трйт,
получим следующее соотношение:
др
дт
г=В
Я д2рс 2 дг2 '
(4)
Осреднение первого уравнения системы (1) по радиусу трубки приводит к известному одномерному уравнению движения для объёмного расхода жидкости Q [2]:
д® + 2®о дЯ Р ^ дЬ пЯ2 дг
_ - пЯ2 5Рс + 2пЯ^ “г
дг
дуг
дт
г=В
д 2Я
дг2 ’
в
Я — 2п ! туг йт. 0
(5)
Здесь Qo — средний за период пульсации объёмный расход в направлении оси трубки.
Таким образом, в рамках линейной теории в данном случае учитывается конвективная часть ускорения частиц жидкости.
Аналогично преобразуется уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости
уг I г —В _ -
1 д® 2пЯ дг
(6)
Запишем второе уравнение системы (2) с учетом равенства (4) на границе контакта жидкости и стенки трубки:
Р
дуг
~дЬ
г=В
дуг
+ 2у0
дг
г—В ,
Я д2 рс І д Ґ дуг
2 дг2 + Р \ дг\дт
г=В
+
д 2уг
дг2
(7)
г —В ,
Легко показать, что уравнение (7) будет выполнено, если будет выполнено уравнение (4). Для этого нужно из уравнения (7) исключить с помощью уравнения неразрывности (6) радиальную скорость стенки трубы.
В
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2
Найдем давление на контактной поверхности. Для этого второе уравнение системы (2) умножим на г2 и проинтегрируем по частям в пределах от 0 до Я. После применения к соответствующим интегралам теоремы о среднем значении окончательно получим:
. Я ( дУт
р\т=Я = ре — р 2 I ^
т=Я
дуг
+ 2у0 —-
дг
т=Я
8п \дідг
дг2 )
дУг 2 Я д2 Ут 1 д3 Я]
дг + т; Ут\т=Я + т=Я Я 2 т2 я + т=я 8п дг3 _
Из уравнения неразрывности вытекает следующее равенство:
дуг
дг
т=Я
_ 1 і дуг
Я Уг 1т=Я дг
(8)
(9)
т=Я
Запишем уравнения осесимметричных колебаний круглой цилиндрической оболочки с учетом предварительного натяжения её стенок в продольном и поперечном направлениях [3]. Материал стенок предполагаем линейно упругим и изотропным. Деформации оболочки считаются малыми.
д2и де 50 — Т0 ди>
Рст п,2 = т;—I---------^----------+ т,
ді2
дг ' Я ЕН
в =
1 — V2
дг ди ю д~г + "Я
д2ю Т То д2 ю
Рст о,2 =-------^ + тргю + во „ 2 +
ді2 Я
ЕН
Т0 =
1 — V2
Я2 ю ди Я + "д~г
д 2
(10)
где Е — модуль Юнга материала, Н — толщина оболочки, V — коэффициент Пуассона, эо, Т0 — соответственно мембранные силы предварительного продольного и поперечного натяжений оболочки.
Для уравнений гидроупругости необходимо написать кинематические и статические контактные условия на поверхности контакта стенки оболочки с жидкостью.
1. Условие безотрывного обтекания и условия прилипания частиц [1] жидкости к внутренней стенке оболочки:
ди дт
(11)
ди дю
= Уг\т = Я , = Уг\т = 1
дЬ 2|г=л’ дЬ г|г=л'
2. Статические контактные условия, выражающие условие непрерывности нормальных и касательных напряжений на поверхности контакта:
4 = Р\т=я —
дУт ( дУт N
дг т=Я т = ЧаГ т=Я дг
т=1
(12)
Определенная трудность возникает при нахождении скорости деформации сдвига на стенке трубы
дУг/дг\г=я.
Здесь можно предложить следующий приближенный метод. Введем в рассмотрение среднее по сечению трубки скорость деформации частиц жидкости:
дУг
дг
ср
2
Я2
дУг
дг
2
Я
Уг \т=Я —
я
пЯ2
1 (ди
Я\~дЬ
_я_
пЯ2
(13)
В случае установившегося течения вязкой жидкости в круглых трубках с жесткими стенками (течение Пуазейля) отношение скорости деформации сдвига на стенке трубки к средней по сечению трубки скорости деформации сдвига близко к двум. Предположим, что такое же отношение справедливо и для гибких трубок в общем случае осесимметричного неустановившегося течения. Тогда будем иметь:
дУг
дг
т=Я
=< І
ср
4 / ди Я Я\~дЬ — пЯ2
(14)
Из формулы (14), как частный случай, следует известное выражение скорости деформации сдвига на жесткой стенке при установившемся течение (ди/дЬ = 0).
Я
66
Научный отдел
Ю. П. Гуляев. Одномерные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в трубках
Кроме того, можно получить простую формулу, связывающую скорость продольного перемещения стенки сосуда с объёмным расходом жидкости и осевой скоростью потока. Для этого определим среднюю скорость деформации сдвига частиц жидкости по-другому:
дуг
я
1 Ї дуг 1 . . , „ 1 (ди
'йт = ~Б ( Уг\т=Я - Ух(0)) = о "яГ — Уг 1г=(
дг Усо Д./ дт~' Иу гг=я <'х^" я\дь иг,г=0
ср
(15)
Вычитая почленно из формулы (13) формулу (15), окончательно получим
2Я
ди
д
пК2
— уг \
г\т=0
(16)
Измеряя методом допплерографии объёмный расход крови Р и максимальную осевую скорость потока, по формуле (16) можно найти скорость продольного перемещения стенки сосуда. Эта скорость в качестве дополнительной продольной составляющей может включать в себя скорость продольного реактивного сокращения мышц стенки сосуда при работе вторичного распределенного сердца.
Теперь запишем систему одномерных уравнений гидроупругости, которая может быть использована при моделировании пульсирующего кровотока в системе крупных артерий:
дЯ и2 дРс . 0 „ дуг
р—- = —пК —---------+ 2пКр ——
дЬ
дг
дт
г=Я
д2 Я
дг2 '
я
Я = 2п J туг йт,
0
дш
~дЬ
1
2пК дг ' д2ш
д2и де 50 — Т0 дш (д2ш дуг
Рст^ГТ = тг- + „ ^ + М 1
дЬ2
дг ' К д 2 ш
дг
\дгдЬ
дт
г=Я
дуг
Т Т0
Рст = — к + иш +80 ж? + р|г=я — 2р ~зт
г=Я
ЕН (ди ш 8 =1—ТП д~г + "И
1 (д2Я п
Р\г=я = Рс + Р— \ ^ТГТ + 2у0
Т=
ЕН
8п \дідг
д2 Я дг2
д2и 1 +
+
дуг
дт
дУг
дт
г=Я
1 дш
г=Я К Ж
4 1 Ґди Я
И 1 ,ді пК2
д2
дгдЬ 2пИ2 дг
!_ д3Я
дгдЬ ' пИ2 дг ' 4п дг3 1 дЯ д2 и
ди
д
дгдЬ
1 ( 2Я \
^\пИ2 Уг |г=0
(17)
Ух\
Система замкнута, так как для определения десяти искомых функций Я, и, ш, 8, Т, рс, р\г=я, дуг
имеем десять уравнений.
г=Я
х \г=0
дт
дУг
г=я дт
В классе периодических функций времени эта система решается точно, и её общее решение можно представить комплексными рядами Фурье.
Библиографический список
1. Педли Т. Гидродинамика к] судов. М. : Мир, 1983. 400 с.
1. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных со- студ. мех.-мат. фак. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та,
2001. 49 с.
3. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретиче-
2. Гуляев Ю П., К°ссовт ,Л. Ю. Математические мо- ^ая гидромеханика : в 2 ч. М. : Физматгиз, 1963. Ч. 2.
дели биомеханики в медицине / учеб. пособие для 728 с.
