CC BY
205
Геодезия и маркшейдерия
УДК 528; 550.3; 551
ОДНОМЕРНОЕ СФЕРИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ГЛОБАЛЬНОЙ МОДЕЛИ КВАЗИГЕОИДА В НУЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ТЕОРИИ МОЛОДЕНСКОГО
Денис Николаевич Голдобин
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, инженер кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: kaf.astronomy@ssga.ru
Елена Михайловна Мазурова
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: kaf.astronomy@ssga.ru
Вадим Федорович Канушин
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: kaf.astronomy@ssga.ru
Ирина Геннадьевна Ганагина
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: gam0209@yandex.ru
Николай Сергеевич Косарев
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, Плахотного 10, аспирант кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: kosarevnsk@yandex.ru
Александра Михайловна Косарева
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, магистрант кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: kosareva-am@yandex.ru
Для вычисления трансформант гравитационного поля Земли широко используются алгоритмы дискретных линейных преобразований, такие как быстрое преобразование Фурье, быстрое преобразование Хартли, вейвлет-преобразование. Данные алгоритмы, как правило, применяются для вычисления трансформант гравитационного поля Земли в плоской аппроксимации. Особенно данные алгоритмы эффективны, если исходная информация, например, аномалии силы тяжести, известны в узлах регулярной сетки.
В работе представлены алгоритм и результаты вычисления высот общеземного квазигеоида на основе одномерного сферического преобразования Фурье. Ввиду большого количества исходных данных, этот метод требует большего количества компьютерного времени, чем алгоритм двумерного сферического преобразования Фурье, но это намного быстрее, чем численное интегрирование. Кроме того, этот метод позволяет выполнять вычисления с замещением, что значительно экономит машинную память.
Ключевые слова: быстрое преобразование Фурье, глобальный квазигеоид, модель глобального квазигеоида в нулевом приближении.
45
Вестник СГУГиТ, вып. 3 (31), 2015
ONE-DIMENSIONAL SPHERICAL FOURIER TRANSFORMATION AND ITS IMPLEMENTATION FOR THE CALCULATION OF THE GLOBAL MODEL QUASIGEOID WITH ACCURACY OF THE ZERO APPROACH OF MOLODENSKY’S THEORY
Denis N. Goldobin
Siberian State University of Geosystems and Technology, 630108, Russia, Novosibirsk,
10 Plakhotnogo St., engineer of physical geodesy and remote sensing department, e-mail: kaf.astronomy@ssga.ru
Elena M. Mazurova
Siberian State University of Geosystems and Technology, 630108, Russia, Novosibirsk,
10 Plakhotnogo St., Ph. D., professor of physical geodesy and remote sensing department, e-mail: kaf.astronomy@ssga.ru
Vadim F. Kanushin
Siberian State University of Geosystems and Technology, 630108, Russia, Novosibirsk,
10 Plakhotnogo St., Ph. D., docent of physical geodesy and remote sensing department, e-mail: kaf.astronomy@ssga.ru
Irina G. Ganagina
Siberian State University of Geosystems and Technology, 630108, Russia, Novosibirsk,
10 Plakhotnogo St., Ph. D., the head of physical geodesy and remote sensing department, e-mail: kaf.astronomy@ssga.ru
Nikolay S. Kosarev
Siberian State University of Geosystems and Technology, 630108, Russia, Novosibirsk,
10 Plakhotnogo St., post-graduate student, department of physical geodesy and remote sensing, e-mail: kosarevnsk@yandex.ru
Alexandra M. Kosareva,
Siberian State University of Geosystems and Technology, 630108, Russia, Novosibirsk,
10 Plakhotnogo St., graduate student of physical geodesy and remote sensing department, e-mail: kaf.astronomy@ssga.ru
At present the method of discrete linear transformations, based on two-dimensional fast algorithms like Fast Fourier Transform (FFT), Fast Hartley Transform (FHT), Fast Wavelet Transform (FWT), and others, is widely used to determine the transformants of the Earth’s gravitational field in flat approximation. These algorithms are especially effective if the original information (such as gravity anomaly) is known at the grid points.
The paper presents the results of calculation of the Stokes’ integral using 1D spherical FFT technique. In the method presented, the one-dimensional Fourier transform is applied to the kernel of the integral specified and application in the east-west direction, combined with the summation over the parallels. Stokes’ kernel presents singularities at the origin. In order to deal with this problem, a value of zero is forced at the origin when we are using FFT, and after the computations are done, the value for the origin has to be restored. For arrays of large-size data, this method requires more computer time than two-dimensional spherical FFT, but it is much faster than point wise integration. Besides, this method allows substitution calculations to be done, which saves considerably the computer memory.
Key words: Fast Fourier Transform (FFT), global quasigeoid, model global quasigeoid of the zero approach.
46
Геодезия и маркшейдерия
Введение
Глобальные модели гравитационного поля Земли играют важную роль при построении теорий движения искусственных спутников Земли, при моделировании геодинамических процессов и внутренней структуры Земли, при исследовании природных ресурсов, в океанографии, в морской и авиационной навигации и при решении оборонных задач, а также для высокоточного определения фигуры Земли, необходимой для установления общеземной системы координат [1-11]. В настоящее время наиболее эффективный метод вычисления высот квазигеоида основан на быстром преобразовании Фурье [12-14]. Такой подход позволяет практически решать задачу по строгим формулам теории Молоден-ского с точностью не только нулевого, но и первого и последующих приближений. Нахождение спектральных составляющих дискретного комплексного сигнала непосредственно по формуле дифференциального преобразования Фурье требует комплексных умножений и комплексных сложений. Так как количество вычислений, а, следовательно, и время вычислений приблизительно пропорциональны, то при больших массивах данных количество арифметических операций весьма велико. Поэтому нахождение спектра в реальном времени даже для современной вычислительной техники является сложной задачей. По этой причине представляют значительный интерес вычислительные процедуры, уменьшающие количество умножений и сложений. В настоящее время известны вычислительные методы и алгоритмы, позволяющие существенно повысить быстродействие вычислений за счет эффективного использования свойства равномерности расчетных точек по меридианам и параллелям. При определенных условиях наиболее производительным является алгоритм, базирующийся на использовании быстрого преобразования Фурье [12-14]. При этом затраты машинного времени существенно сокращаются, а результаты вычислений получаются в узлах регулярной сетки, что существенно облегчает их дальнейшее использование.
В данной работе представлена реализация алгоритма сферического одномерного преобразования Фурье (1D FFT) для расчета высот модели глобального квазигеоида. Блок-схема программного продукта представляет последовательность выполнения вычислений аномалии высоты по аномалиям силы тяжести, заданным в узлах регулярной сетки с шагом Дф х ДД.
Оценена эффективность данного алгоритма (по времени выполнения) с численным интегрированием.
Алгоритм одномерного преобразования Фурье для расчета аномалии высоты на основании одномерной дискретного преобразования
Предлагаемый способ вычисления высоты квазигеоида базируется на использовании дискретной формы интеграла Стокса при известных аномалиях силы тяжести в свободном воздухе [15, 16]
47
Вестник СГУГиТ, вып. 3 (31), 2015
RЛфЛA 4пу р
ФИ
Ё c0sФq • Ё Sф{ЛApq )ЛЧ (А( )
<Vq =ф1 A q =A1
(1)
где ^фР(АР) - высота геоида во всех точках Ар е [А1, Am ] на параллели фр;
ур - значение нормально силы тяжести на широте точек P;
R - средний радиус Земли;
Ag - значение смешанной аномалии силы тяжести в узлах регулярной сет-
ки;
^ф(ЛАpq )
функция Стокса (в такой форме записи подчеркивается, что
она зависит только от AA и значений фр и ф^.
Как правило, функция Стокса задается в виде S(y) и рассчитывается по формуле [17]
S (Ш) =
- 4 - 6sin(¥ / 2) + 10sin2(¥ / 2) х
х
sin (Ш/2)
{з - 6 sin2 (Ш / 2) J • ln |sin(¥ /2) + sin2(^ / 2) J,
(2)
1
где ф - расстояние по дуге большого круга между точкой вычисления и текущей точкой, которое вычисляем по координатам, используя формулу
• 2
sin
Хш \
pq
V
sin
Фq -Ф,
2
+ sin
ХА
V
• cos ф р
• cos Ф(
(3)
Выражение (1) можно вычислить по алгоритму [18]
RЛфЛA р-1
4щр 1
Фи
< Ё р1 (ЛАpq ) |^^^9(A)cos Ф^> ,
tyq =Ф1
(4)
где фч - фиксированная широта.
Формула (4) положена в основу алгоритма вычисления высоты квазигеоида. Блок-схема сферического одномерного преобразования Фурье приведена на рис. 1. В результате реализации алгоритма одномерного преобразования Фурье построена модель общеземного квазигеоида.
Исходными данными для вычисления высот геоида являются аномалии силы тяжести в свободном воздухе Ag, вычисленные по модели геопотенциала EGM2008 в узлах регулярной сетки с шагом 5' х 5' [19, 20]. Массив данных содержит 2 160 х 4 320 дискретных точек. Вычисления выполняются с востока на запад.
48
Геодезия и маркшейдерия
Рис. 1. Блок-схема алгоритма одномерного преобразования Фурье
49
Вестник СГУГиТ, вып. 3 (31), 2015
Функция Стокса в точке P равна нулю, в результате значения высоты геоида в точках получаются приближенными. Поэтому необходимо ввести поправку [15]
S
S^P)*-0-Ag(P). (5)
В формуле (5) S0 - радиус зоны, которая вырезается вокруг точки вычисления, с целью избегания сингулярности. Такой подход применяется при вычислении высоты геоида методами численного интегрирования и с использованием специальной палетки.
Поскольку исходные данные расположены в узлах регулярной сетки, то вокруг точек P вместо круга с радиусом S0 (5) вырезаем область (Ax, Ay), а поправку вычисляем по формуле [18]
§фр, Ур )
^/ЛхАу
у4п
Ag (хр,Ур )
(6)
где Ax = RAy и Ay = RAXcos(9P).
В результате реализации алгоритма сферического одномерного преобразования Фурье построена модель общеземного геоида (рис. 2).
Рис. 2. Модель общеземного квазигеоида
50
Геодезия и маркшейдерия
Анализ сравнения вычислительных характеристик данного алгоритма с численным интегрированием при одинаковых машинных ресурсах показал следующее: выигрыш во времени составил около 70 %, а использование объема оперативной памяти снизилось на величину порядка 50 %.
На основании выполненных в данной работе исследований можно сделать основные выводы:
- высоты геоида вычисляются одновременно во всех точках, расположенных на одной широте, что дает существенную экономию времени вычислений;
- используется меньший объем оперативной памяти вычислений.
Метод одномерного сферического преобразования Фурье с учетом его технических преимуществ имеет перспективы использования для получения моделей высот геоида на равнинных территориях без значительных аномалий силы тяжести с приемлемой точностью.
Работа выполнена при поддержке гранта 14-27-00068 Российского научного фонда.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Исследование спектральных характеристик глобальных моделей гравитационного поля Земли, полученных по космическим миссиям CHAMP, GRACE и GOCE / А. П. Карпик,
B. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина, Д. Н. Голдобин, Е. М. Мазурова // Гироскопия и навигация. -2014. - № 4 (87). - С. 34-44.
2. Сравнение спутниковых моделей проекта GOCE с различными наборами независимых наземных гравиметрических данных / В. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина, Д. Н. Голдобин, Е. М. Мазурова, А. М. Косарева, Н. С. Косарев // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 3 (27). -
C. 21-35.
3. Оценка разрешающей способности и точности ультравысокостепенной глобальной гравитационной модели EGM-2008 / А. П. Карпик, В. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина, Д. Н. Голдобин, А. М. Косарева, Н. С. Косарев // Сборник материалов. - М.: Изд-во «Проспект», 2014. - С. 23-28.
4. Современные глобальные модели гравитационного поля Земли и их погрешности / В. Н. Конешов, В. Б. Непоклонов, Р. А. Сермягин, Е. А. Лидовская // Гироскопия и навигация. - 2013. - № 1 (80). - С. 107-118.
5. Косарев Н. С., Щербаков А. С. Статистический анализ точности определения положений спутников систем ГЛОНАСС и GPS // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 2 (26). - С. 9-18.
6. Канушин В. Ф., Ганагина И. Г., Голдобин Д. Н. Использование космических технологий для выявления связи гравитационного поля с внутренним строением Земли на акватории арктического бассейна // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2014. Х Междунар. науч. конгр. : Ме-ждунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 8-18 апреля 2014 г.). - Новосибирск: СГГА, 2014. Т. 1. - С. 192-197.
7. Канушин В. Ф., Ганагина И. Г., Голдобин Д. Н. Моделирование аномального гравитационного поля в арктическом бассейне // ГЕО-Сибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск: СГГА, 2011. Т. 1, ч. 1. - С. 178-181.
8. Канушин В. Ф., Ганагина И. Г. Применение дифференциального уравнения параболического типа для решения задач динамической геодезии // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2013. 1Х Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография,
51
Вестник СГУГиТ, вып. 3 (31), 2015
маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.). - Новосибирск: СГГА, 2013. Т. 1. - С. 214-219.
9. Исследование динамики физической поверхности и гравитационного поля Земли, обусловленных производством горных выработок на Малевском месторождении /
B. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина, Д. Н. Голдобин, И. А. Басова // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 3. - С. 14-18.
10. Канушин В. Ф., Ганагина И. Г., Голдобин Д. Н. Анализ изменений гравитационного поля и высот квазигеоида, обусловленных сейсмической активностью // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2013. 1Х Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.). - Новосибирск: СГГА, 2013. Т. 3. - С. 3-8.
11. Карпик А. П., Гиенко Е. Г., Косарев Н. С. Анализ источников погрешностей преобразования координат пунктов спутниковых геодезических сетей // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2014. - № 4/С. - C. 55-62.
12. Мазурова Е. М. О краевой задаче геодезии в плоской аппроксимации с точностью нулевого приближения теории Молоденского на основе преобразования Фурье // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2005. - № 5. - С. 14-22.
13. Мазурова E. M., Багрова A. С. К вопросу о вычислении аномалии высоты на основе вейвлет-преобразования и быстрого преобразования Фурье в плоской аппроксимации // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2008. - № 4. - С. 6-9.
14. Мазурова Е. М., Лапшин А. Ю., Меньшова Е. В. К вопросу о сравнении методов вычисления аномалии высоты // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2012. - № 4. -
C. 40-44.
15. Stokes G. G. On the variation of gravity at the surface of the Earth // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1849. - Vol. 8. - Р. 672-695.
16. Hotine M. Mathematical Geodesy, ESSA Monograph 2, U.S. Department of Commerce, Washington, D.C. - 1969. - 234 p.
17. Haagmans R., E. De Min, M. Van Gelderen Fast evaluation of convolution integrals on the sphere using 1D FFT, and a comparison with existing methods for Stokes’ integral // Manuscripta geodaetica. - 1993. - Vol. 18, № 5. - P. 227-241.
18. Strang van Hees, G. Stokes formula using fast Fourier techniques // Manuscripta geodaetica, 1990. - Vol. 15, № 4. - P. 235-239.
19. Pavlis N. K., Holmes S. A., Kenyon S. C. and Factor J. K. The development and evaluation of the Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008) // J. Geophys, Res., 2012. - Vol. 117, doi:10.1029/2011/BOO8916.
20. Канушин В. Ф., Ганагина И. Г. Современные проблемы физической геодезии: учеб. пособие. - Новосибирск: СГГА, 2013. - 123 с.
Получено 22.07.2015
© Д. Н. Голдобин, Е. М. Мазурова, В. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина, Н. С. Косарев, А. М. Косарева, 2015
52
