Один случай предельного поведения степеней вершин в условных конфигурационных графах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Карельского научного центра РАН

№8. 2017. С. 66-75 DOI: 10.17076/mat613

УДК 519.175.4

ОДИН СЛУЧАЙ ПРЕДЕЛЬНОГО ПОВЕДЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ ВЕРШИН В УСЛОВНЫХ КОНФИГУРАЦИОННЫХ ГРАФАХ

Ю. Л. Павлов

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН, Петрозаводск

Рассматриваются конфигурационные графы с N вершинами. Степени вершин являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, имеющими дискретное степенное распределение с параметром т. Они равны числу занумерованных в произвольном порядке полуребер. Граф строится путем попарного равновероятного соединения полуребер для образования ребер. Такие модели используются для описания различных сетей коммуникаций и топологии сети Интернет. Мы изучаем подмножество случайных графов при условии, что сумма степеней известна и равна п. Свойства графа зависят от поведения параметра т. Пусть т является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке [a,b], 0 < а < b < ж. Пусть n(N) и /r равны максимальной степени вершины и числу вершин заданной степени r. Предельные распределения этих случайных величин при N, п ^ ж так, что n/N ^ ж ранее были известны, только если а ^ 1. В статье доказаны предельные теоремы для n(N) и /r в случае а > 1.

Ключевые слова: случайный конфигурационный граф; степень вершины; предельные теоремы.

Yu. L. Pavlov. A CASE OF LIMIT BEHAVIOUR OF VERTEX DEGREES IN CONDITIONAL CONFIGURATION GRAPHS

We consider configuration graphs with N vertices. The degrees of the vertices are independent identically distributed random variables according to power-law distribution with positive parameter т. They are equal to the number of vertex's semiedges that are numbered in an arbitrary order. The graph is constructed by joining all of the semiedges pairwise equiprobably to form edges. Such models can be used for describing different communication networks and Internet topology. We study the subset of random graphs under the condition that the sum of vertex degrees is known and it is equal to п. The properties of the graph depend on the behaviour of the parameter т. We assume that т is a random variable following uniform distribution on the interval [a, b], 0 < а < b < ж. Let n(N) and /r be the maximum vertex degree and the number of vertices with a given degree r. Limit distributions of these random variables as N, n ^ ж in such a way that n/N ^ ж were known only if а ^ 1. In the paper we proved limit theorems for n(N) and /r in the case а > 1 .

Keywords: configuration random graph; vertex degree; limit theorems.

Посвящается памяти Валентина Федоровича Колчина

Введение

В статье [5] рассматривались условные случайные конфигурационные графы при условии, что число ребер графа известно. Граф содержит N вершин, а сумма степеней вершин равна п. Степени всех вершин являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, имеющими следующее дискретное степенное распределение:

pk = P{n = k} = k-T - (k + 1)-

(1)

где п - случайная величина, равная степени любой вершины, к = 1, 2,..., т - положительный параметр распределения. Степень каждой вершины определяет число так называемых полуребер, т. е. инцидентных этой вершине различимых ребер, для которых смежные вершины еще не определены. Граф строится путем попарного равновероятного соединения полуребер друг с другом для образования ребер. Понятно, что сумма степеней вершин любого графа должна быть четной, поэтому в случае нечетной суммы в граф добавляется фиктивная вершина единичной степени. В работе [8] отмечалось, что появление этой вспомогательной вершины не влияет на асимптотическое поведение графа при стремлении к бесконечности числа вершин. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать степени только основных N вершин. Такие условные случайные графы впервые предложено изучать в [7] в качестве моделей сетей коммуникаций, имеющих естественные ограничения на общее число связей. В [5] рассматривались конфигурационные графы со случайным распределением степеней вершин. Предполагалось, что степени вершин имеют распределение (1), но параметр т является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке [а, Ь], 0 < а < Ь < те. В этом случае, как легко проверить, степень каждой вершины имеет такое распределение:

Pi = 1 -

Pk

1

(b - a) ln2 \2

1

1 2b

1

1

1

- a) ln k k

1

kb

(2)

(3)

1

(b - a) ln(k + 1) V (k + 1)" (k + 1)b где k = 2, 3,...

Обозначим ni,..., Vn степени вершин 1,..., N соответственно. Мы будем рассматривать графы при условии, что Vi +... + Vn = n. В этом случае случайные величины Vi,..., Vn уже не являются независимыми. Обозначим V(n) максимальную степень вершины такого условного графа, следовательно,

V(n) = max Vi.

(N) i^i^N

Обозначим также ßr число вершин графа, имеющих степень r. В статье [5] найдены предельные распределения V(n) и ßr в различных зонах стремления N и n к бесконечности. Доказательства этих результатов основаны на использовании обобщенной схемы размещения частиц по ячейкам, введенной и подробно изученной В. Ф. Колчиным (см., например, [2]). Эта схема позволяет сводить задачи о зависимых случайных величинах к исследованию поведения вспомогательных независимых случайных величин. В [5] доказаны предельные теоремы для V(n) и ßr в случае N, n ^ ж так, что n/N ^ C < ж, а также и при n/N ^ ж, но только если a ^ 1. Все эти случаи объединяет то, что при указанных условиях справедливы локальные предельные теоремы о сходимости распределений сумм вспомогательных независимых случайных величин к нормальному закону. Однако при n/N ^ ж и a> 1 такие суммы попадают в зону действия больших уклонений, при этом значения сумм могут быть сколь угодно далеки от их математических ожиданий. Поэтому в [5] получить соответствующие результаты не удалось. В [3, 4, 6] разрабатывались подходы к доказательству локальных предельных теорем для подобных сумм в случае больших уклонений. С их помощью в настоящей статье доказаны предельные теоремы для V(n) и ßr в не рассматривавшемся ранее случае n/N ^ ж, a > 1.

В следующем разделе формулируются полученные результаты в виде теоремы 1 для V(n) и теоремы 2 для ßr. Далее приводятся вспомогательные утверждения (леммы 1-6), с помощью которых в последнем разделе доказываются теоремы 1 и 2.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Из (1)-(3) следует, что если a > 1, то H(a) - H(b)

m = En = 1 +

где

ba

< C < ж, (4)

H(x) = ^(kx ln k)-i.

(5)

k=2

В (4) и везде далее буквой С будем обозначать некоторые положительные постоянные.

а

1

а

Понятно, что в разных формулах и неравенствах эти постоянные могут быть разными, но, поскольку они встречаются часто, мы, для краткости, не нумеруем их и используем общий символ C.

Далее обозначим да(ж) плотность распределения устойчивого закона, характеристическая функция которого имеет вид:

^(í) =

exp{-^H(а)Г(1 - а) cos ^|í|°x х - i |t| tan ^ }, если 1 < а < 2;

exp{—t2/(b — а)}, если а = 2; exp{—12/2}, если а > 2,

(6)

где Г(ж) - значение гамма-функции в точке ж. Нам понадобятся также следующие нормирующие величины:

(N/ ln N )1/a, если 1 < a < 2; Bn = ^ VN ln ln N, если a = 2;

если a > 2,

(7)

где

a

Dn

= 1 +

b — a

E

k=2

2k - 1 ln k

1

k"

- kb l-m

= k} =

1+ o(1)

V2nNpr (1 - pr)

e-ur/2.

Вспомогательные утверждения

Введем вспомогательные независимые случайные величины Съ — .,См, распределения которых совпадают с распределениями

Пъ ...,Пм (см. (1)-(3)), т. е. для г = 1,..., N и к = 1,2,...

Р{С = к} = Рк. (9)

Поскольку в рассматриваемом множестве графов сумма степеней вершин г = 1,..., N равна п, из (2), (3) и (9) получаем следующий результат.

Лемма 1. Справедливо равенство:

Р{П1 = к1,... ,пм = км} = = Р{6 = кь..., См = км|6 + ... + См = п}.

(г) (г)

Обозначим С1 ,..., СМ независимые случайные величины такие, что

:(т)

= k} = P{{i = < r},

(10)

где i = 1,..., N. Обозначим также Zn = Ci +

...+Cn, zNr) = c(r) +...+cNr),

Pr = P{Cl > r}.

(11)

Лемма 1 показывает, что два множества случайных величин п1,..., Пм и Съ..., См удовлетворяют условиям обобщенной схемы размещения частиц по ячейкам [2]. Известно, что в этом случае из леммы 1 следует такое утверждение.

Лемма 2. Справедливо равенство:

Справедливы следующие результаты.

Теорема 1. Пусть a > 1,N, n ^ те и существуют положительные постоянные 5 и A такие, что n/N^ те и n = O(NA). Тогда для любого фиксированного z

P{n - Nm - ))/Bn ^ z} У I ga(x)dx.

J —<x>

Теорема 2. Пусть a > 1,N, n ^ те и существуют положительные постоянные 5 и A такие, что n/N1+г ^ те и n = O(NA). Тогда для любого фиксированного натурального r и для целых неотрицательных к равномерно относительно ur = (к — Npr(A))/y^Npr(1 — pr)) в любом фиксированном конечном интервале

P{n(N) < Г} = (1 - Pr)

N

P{zNr) = n}

P{ZN = n} •

ГГ ¿(0 ¿(0

Пусть С1 , ...,См означают независимые случайные величины, имеющие распределение:

Р{С(Г) = к} = Р{С = к|Сг = г}, (12)

где г = 1,..., N; к = 1, 2,... Из леммы 1 легко выводится следующая лемма.

Лемма 3. Справедливо равенство:

P{^r = k} =

N

pk (А)(1 - Pr (A))N-k x

Р{<£-к = п - кг} Х Р{См = п} ,

где I(г) = С(г) + + С(г)

где Цм-к = С1 + ... + См-к.

Леммы 2 и 3 будут использованы для доказательства теорем 1 и 2. Для этого изучим

предельное поведение ("м, См^, См^к, бинома (1 — Рг)м и биномиальных вероятностей, присутствующих в утверждении леммы 3.

68

1

1

k

Лемма 4. Пусть a > 1,N, n ^ те и существуют положительные постоянные 5 и A такие, что n/N^ те и n = O(NA). Тогда

P{Zn = n}

aN

(b — a)na+1 ln n'

Доказательство. Введем обозначение:

Y = (N/n)£, (13)

где положительная постоянная е будет выбрана позднее. Легко видеть, что

P{Zn = n} = Pn 1 + NPn 2 + Pn 3, (14)

где

Pn 1 = P{Zn = n; & < Yn, i = 1,..., N};

N-1

Pn2 = P{Zn = n; p| (& < Yn), > Yn};

i=1

Pn3 = P{Zn = n; J(& ^ Yn,&j ^ Yn)}.

i=j

Оценим Pn 1. Обозначим

R(w) = ^ exp{wk}P{&1 = k}.

fc^Y«,

Из (3) следует, что при k ^ те

(b — a)ka+1 ln k'

(15)

(16)

Отсюда и из (9):

Y P{&1 = k} <C

k>i

_ с

' xa+1 = la'

= f. (17)

7a V /

Учитывая, что при 0 ^ у ^ 1 справедливо равенство

еу = 1 + д(у), (18)

где д(у) ^ 2у, из (4), (15)-(17) находим, что

Я(1/(7п)) = 1 + 0(1/(7п)).

Отсюда и из (13) получаем, что при е < 1

(Yn)-1 = o(1/N)

(19)

R(1/(Yn)) = 1 + o(1/N).

(20)

Введем независимые одинаково распределенные случайные величины {1(7),...,{м(7), имеющие следующее распределение:

РШ7) = к} =ехр {А} ^, (21)

где к ^ 7«. Обозначим (7) = ^1(7) + ... + {^(7). Легко видеть, что

1 = (1/(7п))е-1^ Р(См (7) = «}. (22)

Докажем, что при достаточно больших п

Р(С^(7) = п} < С/£м, (23)

где величины определены в (7). Обозначим и (¿) характеристические функции случайных величин {1 и {1(7) соответственно. По формуле обращения

Р(С^ (7 )= п} =

(24)

ГПВ^

2пВ

N J-пВл

exp

itn

BN

К7

B

N

N

Рассмотрим выражение

К (¿)Г =

R(1/(Yn) + it)

R(1/(Yn))

N

dt.

(25)

В силу (9), (15) и (18)

|R(1/(Yn)+ it)| = = | Y exp{1/(Yn) + it)k}pk| <

(26)

fc^Y«,

< I Е ейЧI + 2(7п)-1 Е Рк.

Отсюда и из (4), (17), (19) и (20) получаем, что

|Я(1/(7п)+ ¿¿)| < |^)| + о(1^). (27)

Из (20), (25) и (27) следует, что при любом фиксированном Ь

К (¿Г < С ^(¿Г. (28)

Применяя (2), (3) и (9), находим, что

= ей х

(29)

х 1 +

ett — 1

(b — a)e2it

V

' ka ln k ' kb ln k Lk=2 k=2

Рассмотрим случай 1 < а < 2. Обозначим V случайную величину такую, что

P{v = k} = (H (a)ka ln k)

1

где к = 2,3,..., а Н(ж) определена в (5). Характеристическая функция случайной величины V равна

f (t) =

1 eitk

£

H(a) ^ ka ln k' V 7 k=2

(30)

1

t

a

и

Обозначим (ж) функцию распределения V. Очевидно, что

(ж) =

о, 1

ж < 0;

V _

Н(а) ка 1пк'

к>ж

1

ж > 0.

Пусть ж ^ те. Легко видеть, что 1 _ 1 + о(1) Г~ ^у

Е

к>ж

ка 1п к

жа 1 У1 уа1п жу

(31)

(32)

Последний интеграл представим в виде сум-

мы:

¿у

¿У

уа 1п жу

+

¿У

уа 1п жу 7 уа 1п жу

¿у

<

1

уа 1п жу " (1 + е) 1п ж у уа \1п ж

Отсюда и из (32), (33) следует, что

1+ 0(1)

= •

' ка 1п к (а — 1)жа-11п ж

к>ж 4 7

Из (31) и (34) выводим, что при ж ^ те

(34)

^ (ж) = 1 —

1+ 0(1)

Н (а)(а — 1)жа-11п ж'

(35)

/ (*) = 1 +

|а-ъ

(1п(1/|^|))-1Г(1 — а) х

Отсюда и из (30) получаем, что „йк

У"- =

^ ка 1п к к=2

= Н(а> + ^^ — а> х

Х (8'п (Т) +г Ж008 (Т^ (1 + 0(1))-

Заменим в этом соотношении а на Ь. Тогда

Е

к=2

= Н (Ь) + 0(|^-1 / 1п(1/|£|))

кь 1п к

(33) поэтому из (36) следует, что

Здесь, конечно, положительная постоянная е не обязательно совпадает с е из (13), но, поскольку во всех случаях нам потребуется выбор достаточно малого е, мы полагаем возможным здесь и далее считать, что это одна и та же сколь угодно малая положительная константа.

Ясно, что если 1 ^ у ^ ж£, то выражение 1 / 1п(жу) можно сделать сколь угодно близким к 1/ 1п ж выбором достаточно большого ж и достаточно малого е. Легко видеть также, что при ж ^ те

й Е

Е

ка 1п к ' кь 1п к /

к=2 к=2

= г£(Н (а) — Н (Ь)) — Н (а)Г(1 — а) еов(па/2) х |£|а Л па\

Х¡пш!1 — гщ*ап т) (1 +0(1)).

Отсюда и из (4), (29) вытекает, что в окрестности нуля

= 1 + ¿¿т — —Н (а)Г(1 — а) ео^

1п(1/|<|)

х (1 — г— 1ап — 1 (1 + о(1)).

(37)

Из (37) следует, что при 1 < а < 2 и любом фиксированном £

(¿(1п N/N)1/а) ~ 1 + + гímN 1-1/а(1п N )1/а — Н (а)Г(1 — а)

. а (па) / £ па

х|£Г--ео^ — 1 — г—г 1ап —

|| Ь — а V 2 / V |£| 2

(38)

Поскольку функция (Н(а)(а — 1) 1пж)-1 является медленно меняющейся в смысле Карама-та, из (31) и (35) видим, что ^(ж) удовлетворяет условиям теоремы 2.6.1 книги [1], а это значит, что она принадлежит области притяжения устойчивого закона с показателем а — 1 и параметрами С1 = 0, С2 = 1. В лемме 2.6.2 [1] показано, что при £ ^ 0

Пусть а = 2 и £ ^ 0. В ходе доказательства теоремы 2.6.5 [1] показано, что

1п= ¿т£ — |^щ) (1 + 0(1)), (39)

где

1/М

С(1/|£|) = £ к2рк. к=1

Используя (1)-(3), получаем, что

х{ ^ ( Т) + г Ж ео8 ( ? ^ (1 + 0(1)). ^^ —

^ 2к + 1

^ (Ь — 2) 1п к \к2 кь

к=2 —

11

70

£

а

X

1/|t| y

b — 2 ^ k ln k' k=2

откуда

Gl i

2

1

, . ~-ln ln—.

|t|; b — ^2|t| У ln(y/|t|) b — 2 |t|

Из этого соотношения и (39) следует, что

ln <^(t) = imt —

t2(1+ 0(1)) lnlni. (40)

b — a |t| v 7

Это значит, что при любом фиксированном t

N

К

< im

t

VN ln ln N

(41)

expjimtV l^nN — bb

Поскольку при а > 2 распределение (1)-(3) имеет конечную дисперсию (8), очевидно, что

¿2Е{2

= 1 + --+ о(1) (42)

2

и при фиксированных t

К

N

t

VN

itmN t2 1 +-==--. (43)

Оценим вероятность Рм2. Согласно (14)

Рм2 = Е = п - к} х

N—7га

(47)

хР(См—1 = к; & < 7п,г < N - 1}. Используя (10), (11), получаем, что

Р(См—1 = к;{ < 7п,г < N - 1} =

= (1 - Р7„)м —1РКМ—! = к}.

Отсюда и из (11), (17), (19) следует, что

Р7„ = o(1/N), (48)

поэтому из (47) вытекает, что

РМ2 = (1 + 0(1)) X

(49)

X Е Р{{м = п - к}Р(сМ—1 = к}.

N—7га

Это равенство позволяет нам представить вероятность Рм2 в виде суммы:

где

PN 2 = S1 + S2,

S = (1 + o(1)) х

Y p{&n = n — k}p{cN7-i = k},

(50)

(51)

Ki

Из (7), (38), (41) и (43) следует, что при |t| < eBN и достаточно малом е

|^N(t/BN)| < exp{—с|t|e}, (44)

где ß = a при 1 <a< 2 и ß = 2, если a ^ 2. Если eBN ^ |t| ^ nBN, то, как хорошо известно,

|KN(t/BN)| < e-CN. (45)

Разобьем интеграл, стоящий в правой части (24), на сумму двух интегралов, области интегрирования которых определяются как |t| < eBN и eBN < |t| < enBN. Тогда из (24), (44), (45):

P{Zn(Y) = n} < £ " e-C|t|edt + e-CN) ,

откуда и получаем оценку (23). Из (13), (20), (22), (23) и условий n/N1+г ^ ю,п = O(NA) следует, что

Pn 1 < CB-1 e-1/Y = o(N/(na+1 ln n)). (46)

г = 1,2; К1 = {к : N - 1 < к < 7п}, К2 = {к : 7п < к < п(1 - 7)}.

Применяя (13) и (16) к оценке вероятности Р{{м = п - к}, видим, что в области суммирования К при достаточно больших N п

S1

(b — a)na+1 ln n

(52)

xP{N — 1 < cN7ni < Yn}.

Обозначим 7n) (t) характеристическую

функцию &17n). Очевидно, что

(К(7 n)(t/BN ))

N1

(53)

|V(t/BN) — E fc>7„ eitk/BN pfc'

N1

1 - P

7га

Соотношения (38), (41), (43) означают, что распределения случайных величин -

)/Вм слабо сходятся к устойчивым законам с указанными в правых частях этих соотношений характеристическими функциями.

2

1

1

r^j

X

a

X

Из (48) и (53) следует, что к этим же законам сходятся и распределения случайных величин

(CN7n) — mN)/Bn. Тогда из (52) получаем, учитывая (13) и условие n/N^ те, что при достаточно малом е

Sl = .. a(1+°<!» х

хР

(b — a)na+1 ln n

Cn-1 — mN ^ . —те <--- < те > ~

BN

a

(54)

(b — a)na+1 ln n

Покажем теперь, что

S2 = o((na+1 ln n)-1).

(55)

Если 7п < к < п(1 - 7), то из (13) и (16) следует, что

Р{{м = п - к} <С((7п)а+11пп)—1). (56) Отсюда и из (51) получаем, что

5 < С((7п)а+11пп)—1Р{(М—)1 > 7п}. (57) Из (10) и (16) вытекает, что

7«,

Б{17п) < С Е к2Р{{1 = к} < С(7п)2-(58)

Отсюда и из (57):

5*2 < CN((7п)2а+11пп)—1, (59)

что и доказывает (55). Из (50), (54) и (55) получаем, что

Pn 2 =

a(1 + o(1))

(b — a)na+1 ln n Оценим Pn3. Легко заметить, что

(60)

Pn3 = (N(N — 1)/2) E P{Zn-2 = k}x

k^ 7га

xP{&n-1 + &N = n — k,&N-1 > Yn, &N > Yn}. Отсюда следует, что 2

Pn3 < CN2 E P{Zn-2 = k} x

k^Y n

x Y P{&n-1 = s}P{&n = n — k — s},

Z

(61)

где Z = {s : Yn < s < n(1 — y)}. В силу (16) P{&n-1 = s} <C/(Yn)a+1,

поэтому, используя (17), получаем, что Е Р{{М —1 = «}Р{{м = п-к-5} < С/(7п)2а+1

Отсюда и из (13), (61) находим, что при достаточно малых е

Pn 3 < C

N

2

(Yn)2a+1

= o

N

na+1lnn

(62)

Из (14), (46), (62) следует, наконец, утверждение леммы 4.

Рассмотрим теперь предельное поведение

вероятности P{CnT) = n}.

Лемма 5. Пусть a > 1,N, n ^ те и существуют положительные постоянные 5 и A такие, что n/N1+г ^ те, n = O(NA). Тогда если r = n — mN — zBn , где z - фиксированное число, то

Р . (r) = = aN(1 + o(1)) P{Zn '} (b — a)na+1 ln n

ga (x) dx,

где да(ж) - плотность распределения устойчивого закона, характеристическая функция которого определена в (6).

Доказательство. Как и при доказательстве леммы 4, запишем равенство:

Р{(№ = п} = РМГ1 + NPNr2 + РМ), (63)

где вероятности Рдт*],= 1, 2, 3, определяются аналогично Рм? (см. (14)) с заменой ("м на ("М

и { на {(г),г = 1,...,N. По аналогии с (20) легко показать, что

Я(г)(1/(7п)) = 1 + 0(1^), (64)

где Я(г)(-ш) отличается от (15) только замени

ной { на {г . Введем также независимые одинаково распределенные случайные величины

{(г)(7),... ,{!^)(7) такие, что (см. (21))

Р{{(Г) ™ = Ч = е'^ (65)

}(r)

(r)

>(r)

где k ^ Yn и пусть Zn)(y) = ^(y) + ... + &Nr)(Y). Как и в (24),

(r)

P{ZNr)(Y)= n} =

2nBN

(66)

гпВд

xj-l ex^ — Щ}(-7ГЧ dt,

N

00

1

X

где характеристическая функция ^^(t) слу-

имеет вид:

^r)(t)

чайной величины £(r)(Y) в силу (18), (64), (65)

(r) = y(r)(t) + O(1/(7n)) 7 (t) R(r)(1/(7n)) :

(67)

а ^>(r)(t) - характеристическая функция случайной величины £1 :

V(t) — Б k>r Pk

<^(r)(t) =

1 - Pr

(68)

Учитывая соотношение (48) и выбор г, из (64)-(68) получаем, что

^) = ^)(1 + o(1/N))

и

(^%))м - (£). (69)

Из этого соотношения, (44), (45), как и при доказательстве (46), вытекает, что

PNI = o(N/(na+1 ln n))

a+1

(70)

Продолжая следовать схеме доказательства леммы 4 и учитывая, что

((1 — P7„)/(1 — Pr))

N-1

1,

(r)

N2 в виде суммы

p(r) = S (r) + S = S1 + S

(rK c(r)

где

N2

(71)

S(r) = (1+o(1)) v p{£Nr) = n—k}p{cN7:i = к},

(r)

Ki

i = 1,2; K(r) = {k : n — r < к < 7n},

K2r) = {k : 7n < к < n(1 — 7)}. Применяя

(10), (13) и (16), получаем, что при к е K(r) равномерно относительно к

„ г Jr) a + o(1)

p{eNr) = n — к} = ()

(b — a)na+1 ln n

следовательно,

(r) aP{n — r < Cn— < Yn}

S1 ' ~

(72)

(73)

(Ь — а)па+11п п В ходе доказательства леммы 4 было показано (см. комментарий к соотношению (53)), что распределения случайных величин (£м — т^)/Вм слабо сходятся к устойчивым законам с плотностями да(ж) и характеристическими функциями, определенными в (6). Из (69) следует, что это же утверждение верно и для

.(г)

Покажем, что при выполнении условий леммы

4г) = 0((па+11п п)-1). (75)

С помощью (10), (16), (17), (19) нетрудно обнаружить, что если к € К2г), то, как и в (56),

(57), , ч ,

Р{С(Г) = п — к} <С((7п)а+11пп)-1)

и

^2г) < С((7п)а+11пп)-1Р{См7-1 >7п}. Поскольку 7п = 0(г), из (13), (58) легко следует оценка, аналогичная (59), что и доказывает (75). Из (71), (74) и (75) находим, что

P(r) ^

PN 2 ~

(b — a)n*+1 lnn Jz g«(x)dx (76)

Оценка pN3 аналогична (62), поэтому из (63), (70) и (76) следует лемма 5.

Теперь мы рассмотрим асимптотическое 7(r)

поведение суммы вида ZN , присутствующей в утверждении леммы 3.

Лемма 6. Пусть a > 1,N, n ^ те и существуют положительные постоянные 5 и A такие, что n/N1+г ^ те, n = O(NA). Тогда при T = N(1 — pr)(1 + o(1))

P{(Tr) = n} =

aT (1 + o(1))

(b — a)(1 — pr )na+1 ln n

Доказательство. Будем следовать идее доказательства лемм 4 и 5. Поэтому

Р{4Г) = п} = Ж + ТрГ) + Р^, (77) где вероятности Р(Г), ^ = 1, 2, 3, определяются аналогично Рм^ в (14) с заменой N на Т, ("м

на С,Тг) и Сг на С|г).

Нетрудно видеть, что, как и в (20),

Я(г)(1/(7п)) = 1 + 0(1/Т), (78)

S(r)

(rh 6(r)

где

R(r)(w) = Y^ exp^^Pfö0 = к}.

fc^Y«,

Понятно также, что

PK^Y )= n}-

1

2пВт

(79)

/пБт

exp

-пБт

itn Bt

— ^W^f dt,

t

Bt

T

случайных величин — mN)/Bn. Посколь- Ur)(7), i = 1,..., T имеют распределение:

где zTr) (Y) = £ir) (Y) + ... + £т) (Y), а слагаемые (r).

ку r = n — mN — zBN, из (73) получаем, что

:(r)

(b — a)na+1 ln n

/■те

/ ga(x)dx. (74)

z

P{Cir)(Y) = к} = ek/(7n) P{^(r) = к} , (80) {1 KU } R(r)(1/(Yn)) V 7

OO

X

a

1

k ^ Yn; и характеристическую функцию

Отсюда, как и в (54),

w = R(r)(1/(Yn) + it)

K(r)(t)

(81)

( ) R(r)(1/(Yn)) <;(r) (t) характеристическую

(r)

Обозначим функцию случайной величины Тогда K(t) — pr eitr

K(r)(t) =

- (82)

1 - Рг

Применяя (7) и повторяя рассуждения, подобные выводу (26)-(28), из (78), (80)-(82) находим, что

)|Т < С|^)|Т,

поэтому, используя (37), (40), (42), как и в (44), (45), видим, что при |£| ^ аВу

^(¿/Ву)|Т < ехр{-С|;|в},

а при еВТ < |£| ^ пВТ

Кг)(№)|Т < е—СТ.

Из этих оценок и (79), как и в (46), получаем, что

РУ7 = о(Т (па+11п п)—1). (83)

Как и при доказательстве (49), нетрудно

вывести, что

Pg = (1 + 0(1)) x

S(r) =

a + o(1)

(b — a)(1 — pr )na+1 ln n

(85)

Если k G K2r), то, как следует из (3), (12) и (16),

Р{1гг) = n — k} < с((nY)a+1 lnn)-1)

a+1

1

Тогда

S^ < C((nY)a+1 lnn)-1)P{^1,7 ^ Yn}

и, как и в (55)

S^ = o((na+1 ln n)-1).

a+1

1

Отсюда и из (84), (85)

P

(r)

a + o(1)

T 2

(b — a)(1 — pr )na+1 ln n'

(86)

Оценка РТз проводится аналогично доказательству (62), что приводит к соотношению

Pyg = o(T/(na+1 ln n)).

a+1

(87)

Утверждение леммы 6 следует из (77), (83), (86) и (87).

х Е РЙ0 = п - к}Р{^1,7 = к},

Т— 1<к:<га—7«.

где ~(г) = {(г) + + {(г) я ~(г) {(г) где Цу —1,7 = {1,7 + . . . + {Т —1,7, а {1,7, . . . , {Т —1,7

- независимые, одинаково распределенные случайные величины, для которых

Р{{~^ = к} = Р{{1 = к|{1 < 7п,{1 = г}. Тогда

Доказательства теорем

Пусть выполнены условия теоремы 1 и r = n — mN — zBN, где z - фиксированное число. Тогда из (11), (17), (19) и условия n/N 1+г —> те следует, что

(1 — Pr)N ^ 1.

(8

Из лемм 4 и 5 находим, что Р{(№ = п}/Р{См = п} ^ [ (89)

■) X

Согласно лемме 2, из (88) и (89) вытекает, что ются в виде К(г) = {к : Т - 1 < к < 7п}, Р{(п - mN - п(м))/Вм < = Р{п(м) > г} ^

p(r) = ;(r) + s

P T") — Si + S<

(r)

(r)

(84)

где области суммирования в S(r) и Sir) зада-

(r) 1 2

К2г) = {к : 7п < к < п(1 - 7)}.

Используя (12), (16) и (72), нетрудно уви-

~ (г) ~(г) деть, что при к € К~1 сумма 51 сколь угодно

мало отличается от

„ . Т - 1 - т(г)Т) Р<!---) ^

Ву

(b — a)(1 — pr )na+1 ln n

■ ' — те

Теорема 1 доказана.

Если г фиксировано, то Npr ^ те при N ^ те и, используя нормальное приближение биномиальных вероятностей, получаем, что

где

CT-1,7 — m(r)T < Yn — m(r)T)

BT

(A)(1 — pr (A))

N-k

BT

(90)

~(r) utlr) m — rPr

m (r) = E& i =-.

1 — Pr

1+ 0(1))

л/2-nNpr (1 — pr)

e-«r/2

z

равномерно относительно целых неотрицательных к таких, что иг = (к — )/ рГ) лежит в любом фикси-

рованном конечном интервале. Рассматривая такие к и учитывая, что в условиях теоремы 2 к = 0(п), а в лемме 6 Т = N(1 — рг)(1 + 0(1)), из лемм 4 и 6 выводим, что

Р{<м-к = п — кг}/Р{См = п} ^ 1. (91)

Теперь утверждение теоремы 2 очевидным образом следует из леммы 3, (90) и (91).

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 16-01-00005.

Литература

1. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.

2. Колчин В. Ф. Случайные графы. М.: Физмат-лит, 2000. 256 с.

3. Павлов Ю. Л. Один случай предельного распределения максимального объема дерева в слу-

чайном лесе // Математические заметки. 1979. Т. 25, вып. 5. С. 751-760.

4. Павлов Ю. Л. Об условных интернет-графах, степени вершин которых не имеют математического ожидания // Дискретная математика. 2010. Т. 22, вып. 3. С. 20-33. doi: 10.4213/dm1104

5. Павлов Ю. Л. Об условных конфигурационных графах со случайным распределением степеней вершин // Труды КарНЦ РАН. 2016. № 8. С. 62-72. doi: 10.17076/mat313

6. Павлов Ю. Л., Дертишникова Е. Н. О предельном распределении максимальной степени вершины в случайном графе интернет-типа // Труды КарНЦ РАН. 2010. № 3. С. 59-65.

7. Павлов Ю. Л., Чеплюкова И. А. Случайные графы интернет-типа и обобщенная схема размещения // Дискретная математика. 2008. Т. 20, вып. 3. С. 3-18. doi: 10.4213/dm1008

8. Reittu H., Norros I. On the power-law random graph model of massive data networks // Performance Evaluation. 2004. Vol. 55, no. 4. P. 3-23. doi: 10.1016/S0166-53/6(3)00097-x

Поступила в редакцию 14.03.2017

References

1. Ibragimov I. A., Linnik Yu. V. Independent and stationary sequences of random variables. Groningen: Wolters Neordhoff Publ., 1971. 438 p.

2. Kolchin V. F. Random graphs. Cambridge: Univ. Press, 1999. 252 p.

3. Pavlov Yu. L. A case of limit distribution of the maximal volume on a tree in a random forest. Mathematical Notes. 1979. Vol. 25, iss. 5. P. 387392. doi: 10.1515/dma.2007.034

4. Pavlov Yu. L. On conditional Internet graphs whose vertex degrees have no mathematical expectation. Discrete Mathematics and Applications. 2010. Vol. 20, iss. 5-6. P. 509-524. doi: 10.1515/dma.2010.031

5. Pavlov Yu. L. Ob uslovnykh konfiguratsionnykh graphakh so sluchainym raspredeleniem stepenei vershin [On conditional configuration graphs with random distribution of vertex degrees]. Trudy

KarNTs RAN [Trans. KarRC RAS]. 2016. No. 8. P. 62-72.

6. Pavlov Yu. L., Dertishnikova E. N. O predel'nom raspredelenii maksimal'noi stepeni vershiny v sluchainom grafe internet-tipa [On the limited distribution of the maximum vertex degree in a random internet-type graph]. Trudy KarNTs RAN [Trans. KarRC RAS]. 2010. No. 3, iss. 1. P. 59-65. doi: 10.17076/mat313

7. Pavlov Yu. L., Cheplyukova I. A. Random Internet-type graphs and the generalized allocation scheme. Discrete Mathematics and Applications. 2008. Vol. 18, iss. 5. P. 447-464. doi: 10.1515/DMA.2008.033

8. Reittu H., Norros I. On the power-law random graph model of massive data networks. Performance Evaluation. 2004. Vol. 55, no. 4. P. 3-23. doi: 10.1016/S0166-53/6(3)00097-x

Received March 14, 2017

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

Павлов Юрий Леонидович

главный научный сотрудник, д. ф.-м. н., проф. Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: pavlov@krc.karelia.ru тел.: (8142) 781218

CONTRIBUTOR:

Pavlov, Yury

Institute of Applied Mathematical Research,

Karelian Research Centre,

Russian Academy of Sciences

11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk,

Karelia, Russia

e-mail: pavlov@krc.karelia.ru

tel.: (8142) 781218