Один пример символьного решения системы дифференциальных уравнений в частных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

ОДИН ПРИМЕР СИМВОЛЬНОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ © Н.А. Малашонок

Ключевые слова: символьный алгоритм; системы уравнений в частных производных; преобразование Лапласа.

Приводится алгоритм символьного решения систем дифференциальных уравнений с частными производными на основе преобразования Лапласа-Карсона. Алгоритм демонстрируется на примере.

1. Введение

Применение преобразования Лапласа и Лапласа-Карсона для решения дифференциальных уравнений, в т. ч. и в частных производных, и их систем полезны и хорошо известны (например, [1-3]). Значение этих методов в настоящее время сильно возрастает в связи с необходимостью написания символьных алгоритмов решения такого рода задач. Они позволяют решать символьно уравнения и системы уравнений достаточно широкого класса произвольного размера и типа. В настоящей работе описывается и демонстрируется на примере алгоритм символьного решения, основанного на преобразовании Лапласа-Карсона.

2. Постановка задачи

Обозначим т = ) . Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в

частных производных

к м

£ ЕЕат к

дт

к= і т=0

дт1 х1... дтп х,

~ик(х) = / *(х)

(1)

где і = 1,..., К, ик (х) , к = 1,..., К, - неизвестные функции переменной х = (х1,..., хп) Є /і Є Б, ат к - действительные числа, т - порядок производной. Здесь и в дальнейшем производится суммирование по таким т = (т1,..., тп) , что т1 + ... + тп = т . Функции /^ (х) имеют вид:

где 0 = х1 < х2 < .. < х* 1" = то ,

/і (х) = /(х), х* < х < х*+1, І = 1, . . . , Т*, ІІ +1

з з

/(х) = Е І = 1,. . . ,Ті, і = ^ . . .,к

8=1

(2)

и Р*8(х) = ^=0 с^х1 - полиномы степени Ь*3.

1761

Обозначим через А класс функций, представимых в виде (2).

3. Преобразование Лапласа-Карсона

Рассмотрим пространство 5 функций /(ж) , ж = (ж1,...,жп) € И,™ , И,™ =

{ж : хг > 0, г = 1,..., п} , для которых М > 0, а = (а1,..., ап) € Ип , аг > 0 , г = 1,..., п ,

П

существует такие, что для ж € И+ имеет место оценка: |/(ж)| < Меах , ах = ^ агхг.

г=1

На пространстве Б определим преобразование Лапласа-Карсона (ЬС):

Г

ЬС : /(ж) ^ ^(р) = рМ е-рх/(х)^х,

./о

р = (Р1,.. . ,р„), р1 = Р1 ...р„, п

рх = ^ргхг, ^х = ^х1... ^хп.

г=1

В классе А ЬС выполняется символьно.

Мы решаем задачу с начальными условиями по каждой переменной, задавая значения неизвестных и их производных в нулях соответствующих переменных. Введем обозначения для начальных условий. Обозначим через Г^ , 1 < V < п, множество векторов 7 = (71,..., 7п) таких, что 7г = 0 , при г < V , 7^ = 1, 7» € {0,1} , при г > V . Общее число векторов в множестве Г^ равно 2п-^ .

Обозначим через в = (въ..., вп), вг = 0,..., шг, множество индексов таких, что производная функции (ж) порядка вг попеременной г, г = 1, ..п, равна (х(т)) в точке

ж = ж(т) = ((1 — 71)х1, (1 — 72)х2,..., (1 — 7п)жп) . Функции и|7(ж(т)) должны принадлежать классу А .

Пусть ЬС : ^ ий, «в 7(х(т)) ^ и| 7(р(т)),/ ^ , обозначение р(т) соответствует

обозначению ж(т) . Обозначим через Ц7Ц количество единиц в 7 , рт = р^-1 ■ ■ .р^

Тогда

д т

: ^(х) ^

ртП

п

дт1 х1... дтп хп

п

рти*(р) + ^ ^ ^Т(—1)УтУрт1-в1-^1 ...рт--вп-^пи|)7(р(^).

^=1 =0 7€Г^

Обозначим

п

фт* = Еа^^^ Е(—1)"^мрт,-в1-,‘ ■. .р,т--в"-7-и^(Л

т V=1 =0 7€Г^

В результате преобразования Лапласа-Карсона системы (1) в соответствии с начальными условиями мы получим алгебраическую систему линейных уравнений относительно ик :

км км

Е ЕЕаП*рти*(р) = ^-£ Е = 1,...,К. (3)

й=1 т=0 т й=1 т=0

1762

4. Решение алгебраической системы и условия согласованности начальных условий. Обратное преобразование Лапласа-Карсона

Для решения систем линейных уравнений существуют эффективные методы (например, [4-7]), выбирать которые можно в соответствие с размером и плотностью систем.

На этом этапе встает вопрос определения условий согласованности начальных условий. С их учетом получаем решение системы (1).

Обозначим через О определитель системы (3), миноры максимального порядка расширенной матрицы системы (3). Наиболее интересным представляется случай, когда существует множество Q нулей О с бесконечно удаленной точкой в пространстве Иер^ > 0, к = 1,...,п. Мы получаем решения ик системы (1) в виде дробей с О в знаменателе. Обратное преобразование Лапласа-Карсона возможно, если существуют такие а&, к = 1,...,п, что эти решения голоморфны в области Иер^ > а&. Поэтому предъявляем требование: Ог должен иметь нули на Q кратности, не меньшей, чем такие же нули О. Это условие накладывает требование к ЬС образам начальных условий, а следовательно, и к начальным условиям исходной системы. Мы получаем т. н. условия согласованности.

Заметим, что на данный момент мы можем выполнять обратное преобразование Лапласа-Карсона символьно при выполнении следующих условий на форму решения алгебраической системы:

- решения представлены в виде сумы простых дробей с экспонентами в роли коэффициентов,

- знаменатели этих дробей разложены на линейные множители над С.

5. Пример

Чтобы продемонстрировать описанный алгоритм, рассмотрим подробно пример: решение следующей системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями /(ж, у, г), д(х,у,г), Л(х,у,г) на И+ :

дХ/ + дХд + дуЛ = ж

дХ/ + дХд + ду Л = у (4)

ду / + дхд + дХ Л г

Рассматриваем задачу с начальными условиями - значениями неизвестных функций в нулях. Так как мы имеем производные третьего порядка по каждой переменной, нам требуется девять функций для начальных условий - по три для каждой неизвестной функции в (0, у, г) , (ж, 0, г) , (ж, у, 0) , соответственно порядку производных. Естественное требование - совпадение значений соответствующих функций на пересечении этих плоскостей.

Обозначим:

/ (0, у, г) = /х, д(0, у, г) = дх, Л(0, у, г) = Лх,

/(ж, 0, г) = /у, д(ж, 0, г) = ду, Л(х, 0, г) = ,

/ (ж, у, 0) = /Х, д(ж, у, 0) = дХ, Л(х,у, 0) = .

Обозначим ЬС образы функций /, д, Л, соответственно как и, V, и>. Для наглядности расположим в таблицу ЬС образы начальный условий, обозначенные буквами а, в, 7, ^, ^,е, С, т, :

1763

Таблица 1

(д, г) (р, г) (р,д)

/ а п

е С в

Л т 7 а

В табл. 1 первая колонка указывает функции, ЬС образы начальных условий по которым рассматриваются. Первая строка указывает переменные, от которых зависят эти образы. После ЬС преобразования получаем алгебраическую систему:

ри + ги + дш — ра — гв — д7 = ^,

ги + р^ + дш — г£ — ре — 57 = 1, (5)

ди + р^ + гш — дп — ре — га = 1.

Решение этой системы:

2 2 3

—рд2 + рог + дг2 — г3

и = —

дг(р — г)(д — г)(р + д + г)

(—р2д2г + р2дг2)а + (— рд2г2 + рдг3)в + (рд2г2 — д2г3)7 дг(р — г)(д — г)(р + д + г)

(рд2г2 — дг4)£ + (рд2г2 — рдг3)е + (—рд3г + д3г2)п + (—рд2г2 + д2г3)а

дг(р — г) (д — г)(р + д + г)

2 2 3 2 2 3

—р2д2 + д3г + р2г2 — дг3

V = —

рдг(р — г)(д — г)(р + д + г)

(р2д3г — р2дг3)а + (рд3г2 — рдг4)в + (р2д2 г2 — рд2г3)7 рдг(р — г)(д — г)(р + д + г)

(—рд3 г2 + р2дг3 )£ — (р3д2г + р2 д3г — р3дг2 )е

-+

+

рдг(р — г)(д — г)(р + д + г)

(—р2д3 г + рд3г2)п + (—р2д2 г2 + рд2г3)а

рдг(р — г)(д — г)(р + д + г) ’

2 2 2 2 —р2д + д2г + р2г — дг2

ш =--------------------------------+

дг(р — г) (д — г)(р + д + г)

(р2д2 г — р2дг2)а + (рд2 г2 — рдг3)в + (р2д2г + рд3г — рд2г2 — д3г2)7 дг(р — г) (д — г)(р + д + г)

+ (—д2г3 + р2дг2)^ — (рд2 г2 — рдг3)е + (—р2д2 г + д2г3)п + (—р2дг2 + дг4)а

дг(р — г) (д — г)(р + д + г)

Определитель этой системы:

О = —(р — г)(д — г)(р + д + г).

Множитель (р + д + г) не важен, его нули не принадлежат Q .

1764

Таблица 2

р г г &

^ "’5 ,3 » 3, й й „й -3 <3 (-о Ь Ф -иу ^ Ь а(д, г) е(д, г) т(д, г) 01(г, г) 6 (г, г) 71 (г, г) *1 (г, д) в1(г, д) ^1(г, д) ,г) )г, ,г) г) )г г) ,г) ),г ,г) -2 ч!, Й Й Й § £ Р ^ ^ £

Рассмотрим множества р = г, д = г. Потребуем, чтобы числители функций и, V , и> обращались в ноль на этих множествах. Получаемые новые функции обозначаем следующим образом (см. табл. 2): если мы получаем новую функцию, полагая р = г, берем ее с индексом 1, если полагая д = г, берем функцию с индексом 2.

Подставляя р = г и д = г в числители и , V , и>, мы получаем 6 уравнений относительно функций а, в, 7, *, *, • • •, *2 .

—гд2 + 2дг2 — г3 — (г3д2 — дг4)а + (—д2 г3 + дг4)в1 +(д2г3 — дг4)^ + (д2г3 — дг4)е д3г — д2г2 — дг3 + г4 + (д3г3 — дг5)а + (д3 г3 — дг5)в1

—(д3г3 — дг5)^ — (д3г3 — дг5)е —д2г + 2дг2 — г3 + (—д2г3 + дг4)а + (—д2 г3 + дг4)в1 +(д2г3 — дг4)^ + (д2г3 — дг4)е (рг4 — г5)7 + (рг4 — г5)£2 + (—рг4 + г5)п + (—рг4 + г5)а2 (р2г4 — рг5)7 + (р2г4 — рг5)й2 + (—р2г4 + рг5)п + (—р2г4 + рг5)а2 (—р2г3 + г5)7 + (—р2г3 + г5)*2 + (р2г3 — г5)п + (р2г3 — г5)а2

Решая, получаем два условия на них:

+

+

0

0

0

0

0

0

а

= — —- — в1 + <*1 + е,

7 = —*2 + П + °2 •

(6)

Мы можем взять произвольно все образы начальных условий, кроме а и 7, и получить а и 7 в соответствии с условием (3).

Например, можем взять такие функции.

Таблица 3

(д,г) (р, г) (р,д)

/ 9 Н —-2 + г —г* -г2 —г х рг 1 р2г л 1_ + X рг2 р2г рг 1 РЦ— р— 1 р—2

Соответствующие начальные условия будут такими:

Г = 2 (—г2 + 2у^ , дх = ^, Нх = уг,

/у = жг, ду = ^2“, Ну = 1 (2жг — ж2г + жг2) ,

1765

2 2 x2y z z xy2

fz = ~^-, 9 = ХУ, hz = ~^- • (7)

Подставляя а, в, Y, • • • из табл. 3 в u, v, w после обратного LC преобразования получаем решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (4):

f = 1/6(3x2y — 6xyz + 6yz2 — 2z3 — 3(x — z)2 H (—x + y)H (—x + z) +

+2(—x + z)3H (—x + y)H (—x + z) + 6y(y — z)H (—y + z)+

+6x(—y + z)H (—y + z) + 2(—y + z)3H (—y + z) + 6x(y — z)H (—x + y)H (—y + z)+

+2(y — z)3H(—x + y)H(—y + z) + 6y( y + z)H(—x + y)H(—y + z));

g = 1/6(6xy + 6xz — 12xyz + 3z2 + 3yz2 — 2z3 — 3(x — z)2H (—x + y)H (—x + z) +

+2(—x + z)3H (—x + y)H (—x + z) + 6y(y — z)H (—y + z) + 6x(—y + z)H (—y + z)+

+2(—y + z)3H (—y + z) + 6x(y — z)H (—x + y)H (—y + z)+

+2(y — z)3H(—x + y)H(—y + z) + 6y( y + z)H(—x + y)H(—y + z));

h = 1/6(3xy2 — 3x2z — 6yz + 3xz2 + 6yz2 — 2z3 — 3(x — z)2H (—x + y)H (—x + z) +

+2(—x + z)3H (—x + y)H (—x + z) + 6y(y — z)H (—y + z) + 6x(—y + z)H (—y + z)+

+2(—y + z)3H (—y + z) + 6x(y — z)H (—x + y)H (—y + z)+

+2(y — z)3H(—x + y)H(—y + z) + 6y( y + z)H(—x + y)H(—y + z)).

здесь H(x) — функции Хевисайда.

ЛИТЕРАТУРА

1. Dahiya R.S., Jabar Saberi-Nadjafi Theorems on n-dimensional Laplace transforms and their applications // 15th Annual Conf. of Applied Math., Univ. of Central Oklahoma, Electr. Journ. of Differential Equations, Conf.02, 1999. P. 61-74.

2. Dimovski I., Spiridonova M. Computational approach to nonlocal boundary value problems by multivariate operational calculus // Mathem. Sciences Research Journal, Dec. 2005. V. 9. № 12. P. 315-329.

3. Malaschonok N. Parallel Laplace Method with Assured Accuracy for Solutions of Differential Equations by symbolic computations // Computer Algebra and Scientific Computing, CASC 2006, LNCS 4196. Berlin, 2006. P. 251-261.

4.Malaschonok G.I. Effective Matrix Methods in Commutative Domains / Formal Power Series and Algebraic Combinatorics. Berlin, 2000. P. 506-517.

5. Malaschonok G.I. On computation of kernel of operator acting in a module // Tambov University Reports. Series Natural and Technical Sciences. Tambov, 2008. V. 13. Issue 1. (Russian).

6. Malaschonok G.I. Fast matrix decomposition in parallel computer algebra // Tambov University Reports. Series Natural and Technical Sciences. Tambov, 2010. V. 15. Issue 4. P. 1372-1385.

7. Watt S.M. Pivot-Free Block Matrix Inversion // Proc 8th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms in Symbolic Computation (SYNASC), IEEE Computer Society, 2006. P. 151-155. URL: http://www.csd.uwo.ca/ watt/pub/reprints/2006-synasc-bminv.pdf.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 2.1.1/1853); темплана 1.12.09.

Поступила в редакцию 25 августа 2010 г.

Malaschonok N. A. An example for symbolic solving systems of partial differential equations.

An algorithm for symbolic solving systems of partial differential equations by means of multivariate Laplace-Carson transform is described and demonstrated by an example.

Key words: symbolic algorithm; systems of partial differential equations.

1766