CC BY
31
УДК 517.977.5, 517.929.7, 519.62
ОДИН МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
© Т. В. Жуковская, Е. С. Жуковский, Е. А. Молоканова
Ключевые слова: оптимальное управление; линейное функционально-дифференциальное уравнение; общее решение; функция Коши; приближенное решение. Предлагается метод приближенного решения задачи оптимального управления для линейного функционально-дифференциального уравнения, основанный на представлении общего решения с помощью функции Коши. Аппроксимация функции Коши позволяет свести задачу оптимального управления к задаче линейного программирования.
Обозначим En — единичную n х n -матрицу, Rn — вещественное n -мерное пространство с нормой | • |; Ln = L([a,b], Rn) — пространство измеримых суммируемых функций x : [a,b] — Rn с нормой \\x\\Ln = J^ |x(t)| dt; L^ = L^([a,b], Rn) — пространство измеримых существенно ограниченных функций x : [a,b] — Rn с нормой \\x\lj^ = vrai supte[afe] lx(t)l; ACn = AC([a,b], Rn) — пространство абсолютно непрерывных функций x : [a,b] — Rn, имеющих производную x € Ln, с нормой \\x\\^cn = lx(a)l + \\x\\l" ■
Пусть Um — некоторое банахово пространство измеримых функций u : [a, b] — Rm. Пусть заданы: функции U*,U* € Um, удовлетворяющие неравенству U*(t) < U*(t) почти всюду на [a,b], линейный ограниченный оператор H : Um — Ln, линейный ограниченный вольтерров оператор G : ACn — Ln линейные ограниченные функционалы l : ACn — Rp, ф : ACn — R и векторы a € Rn, в € Rp■ Рассмотрим следующую задачу оптимального управления
При естественных предположениях на оператор С : АСп ^ Ьп для функционально-дифференциального уравнения
(1)
фx — min ■
(2)
x — Gx = y
при любом y € Ln однозначно разрешима задача Коши с условием
(3)
x(a) = a,
и ее решение представимо в виде (см. [1, с. 83, 84])
(4)
t
а
где С(-, ■) — функция (матрица) Коши; X — фундаментальная матрица решений соответствующего однородного уравнения, т.е. матрица, столбцы которой Xг € АСп удовлетворяют соотношению Xг — ОХг = 0, г = 1,и, и выполнено X(а) = Еп. Важно, что фундаментальную систему решений можно определить по функции Коши, т. к. справедливо соотношение
t
X(t) = en(t) + JC(t, s)(Gen)(s) ds,
где функция-константа en(t) = En, t € [a,b].
Определим оператор C : Lp — ACp равенством
(Cy)(t) = X(t)a + I C(t, s)y(s) ds t € [a,b].
Ja
Таким образом, согласно (5), решением задачи Коши для уравнения (3) является x = Cy. Соотношение (5) позволяет записать задачу оптимального управления (1),(2) в виде экстремальной задачи
Г U*(t) < u(t) < U*(t), t € [a,b],
\ ICHu = ß, (6)
i^CHu — min, (7)
относительно неизвестного управления u € Um.
Для приближенного решения полученной задачи (6),(7) можно воспользоваться аппроксимацией функции u € Um функцией РПи € Um, где отображения П : Um — Rk, P : Rk — Um являются линейными, ограниченными, монотонными и их композиция ПР : Rk — Rk является тождественным оператором. Например, если Um С Lm, то можно положить
a+jA
1 f b a
u € Um — nu = (ul, ...,uk) € Rk, где uj = А u(t) dt, А = ——, j = 1,k;
a+(j-l)A
u = (ui,...,uk) € Rk — Pu € Um, (Pu)(t) = uj, t € [a + (j - 1)А, a + jА), j = 1^k. Аппроксимация решения u € Um задачи (6),(7) функцией Pu сводит эту задачу к задаче
{ nU* < u < nU*, \ ich Pu = ß,
фСНPu — min .
относительно неизвестного u € Rk. Здесь nU*, nU * € Rk, ICHP : Rk — Rp, pCHP : Rk — R. Полученная задача линейного программирования решается известными методами (см., например, книгу [2]).
Таким образом, нахождение приближенного решения задачи оптимального управления для функционально-дифференциального уравнения сводится к решению классической задачи линейного программирования.
Для применения описанной схемы необходимы методы нахождения функции Коши функционально-дифференциального уравнения (3). Однако приближенному построению функции Коши конкретных типов функционально-дифференциальных уравнений посвящено небольшое число работ. Н.В. Азбелев отмечал важность создания таких методов для исследования реакций систем на многочисленные различные входные сигналы, начальные условия и
управляющие воздействия. Подобные задачи требуют многократного решения уравнений, отличающихся лишь начальными условиями и правыми частями. В этом случае удобнее найти функцию Коши и затем в общее решение (5) подставлять различные функции y и векторы а. Таким образом, вместо решения при каждых y, а уравнения (3) остается просто вычислить интеграл в (5). Эта идея позволяет решить актуальную техническую задачу управления летательными аппаратами, которая требуют для сложных систем уравнений "быстрых" алгоритмов. Вычисленная заранее функция Коши позволяет производить расчеты в необходимые для эффективного управления малые промежутки времени. Поэтому функцию Коши Н.В. Азбелев образно называл "оператором в чемодане". Эту же идею мы применили выше для упрощения задачи оптимального управления.
В предлагаемом методе решения задачи (1),(2) для приближенного нахождения функции Коши скалярного функционально-дифференциального уравнения будем использовать алгоритм, разработанный в [3].
Рассмотрим скалярное функционально-дифференциальное уравнение (3) (т. е. n = 1) в предположении вольтерровости оператора G : AC — L. Вследствие изоморфизма пространств AC, L х R, определяемого соотношением
(•)
x £ AC — (x, x(a)) £ L х R, (y, а) £ L х R — x(-) = а + J y(s) ds £ AC,
a
уравнение (3) записывается в виде
x — Wx — Ax(a) = y, (8)
где W : L — L, Wy = G^f^ y(s) ds^J; A £ L, A = G(l) (символом 1 обозначена постоянная функция 1(t) = 1, t £ [a,b] ).
Из вольтерровости оператора G : AC — L следует, что оператор W : L — L также является вольтерровым. Если спектральный радиус оператора W меньше 1, то задача Коши для уравнения (8) (соответственно, равносильного уравнения (3)) однозначно разрешима и ее решение определяется равенством (5).
Опишем метод приближенного построения функции Коши уравнения (3). Выберем некоторое натуральное N и действительные числа tj, j = 1,N, удовлетворяющие неравенствам a < tl < t2 < ... < tN = b. Пусть заданы функции Hj £ L, j = 1, N, такие что Hj(t) = 0 при п.в. t £ [a,tj-i]. Определим N х N матрицы т, g с элементами
ti ti Tij = j Hj(t) dt, gtj = j (WHj)(s) ds,
ti-l ti-1
Заметим, что при j > i выполнено Tj = gij = 0.
Если предположить, что тц = 0 при любом i, то матрица т обратима, обозначим п = т-1. Для элементов этой матрицы при j > i выполнено nij = 0- Определим а = дп■ Определим отображение P : L — L, ставящее в соответствие каждому y £ L элемент
N
p y = Е j Hj
j=i
такой, что справедливо соотношение
ti ti
j,M ds = ¡(vШ ds, i = 1N.
Исходя из последнего условия, найдем коэффициенты , j = 1,N. Положим xi = fa y(s) ds. Тогда
ti N ti-1 N
& Hj(s) ds - & Hj(s) ds = & th = xi— xi-i
a j=1 а j=1 j=1
Следовательно, = Щ(Xj — xj-\) и j=i
N i
P y = nij (xj— xj-i)Hi-i=i j=i
Метод состоит в замене исходного уравнения (3) "приближенным"
х — ШРх — Ах (а) = у, функция Коши которого определяется следующими рекуррентными соотношениями
, , \ --1- при 8 € [М1],
С (¿1,8) = < 1 — ^11^11
[ 0 при 8 € [а, (1 + С(¿у,в)(о- — 0^+1)) при в € [а, Ц,
С (к, 8) = { 1 — пггдгг^ 1 — г = 2,М.
0 при 8 € [а, и],
и и \ 0, если Ь € [а,Ьу-1],
Если положить Ну (Ь) = < 1 ес ь € [Ь- Ь] то из приведенного здесь метода получим
разработанный ранее в [4] метод построения функции Коши.
Условия сходимости описанного приближенного метода приведены в [3]. В заключение отметим, что для редукции задачи оптимального управления (1),(2) к экстремальной задаче можно использовать вместо задачи Коши (3), (4) краевую задачу
х — Ох = у, 1х = в-
Если эта задача при любой правой части у € Ьп однозначно разрешима, то ее решение пред-ставимо в виде (см. [1, с. 83, 84])
b
x(t)= X(t)ß + J G(t, s)y(s) ds,
где G(■, ■) — функция (матрица) Грина. Полученное представление решения аналогично соотношению (5) позволяет заменить задачу оптимального управления (1),(2) равносильной экстремальной задачей. Для применения этой идеи требуются методы приближенного нахождения функции Грина G(t,s).
ЛИТЕРАТУРА
1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.
2. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование: Теория, методы и приложения. Изд. 2. М.: URSS, 2012.
3. Жуковская Т.В. Интерполяция функции Коши // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2002. Т. 7. Вып. 1. С. 110-111.
4. Жуковская Т.В. Вольтерровость операторов и численное решение функционально-дифференциальных уравнений: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Пермь, 1990.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00877).
Поступила в редакцию 20 января 2015 г.
Zhukovskaia T.V., Zhukovskiy E.S., Molokanova E.A. A METHOD FOR APPROXIMATE SOLVING OF AN OPTIMAL CONTROL PROBLEM FOR A LINEAR FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATION
It is proposed a method for approximate solving of an optimal control problem for a linear functional-differential equation based on a representation of a general solution using a Cauchy function. An approximation of a Cauchy function allows to reduce the initial optimal control problem to a linear programming problem.
Key words: optimal control; linear functional-differential equation; general solution; Cauchy function; approximate solution.
Жуковская Татьяна Владимировна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, е-mail: Lzhukovskaia@mail.ru
Zhukovskaia Tatyana Vladimirovna, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of High Mathematics Department, e-mail: t_ zhukovskaia@mail.ru
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор института математики, физики и информатики, е-mail: zukovskys@mail.ru
Zhukovskiy Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Institute of Mathematics, Physics and Informatics, е-mail: zukovskys@mail.ru
Молоканова Елена Анатольевна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры высшей математики, email: mlknv@rambler.ru
Molokanova Elena Anatol'evna, Tambov State Technical University, Tambov, Russian Federation, Candidate of Pedagogy, Head teacher of High Mathematics Department, e-mail: mlknv@rambler.ru
