Один из нестандартных методов решения трансцендентных неравенств Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОДИН ИЗ НЕСТАНДАРТНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ НЕРАВЕНСТВ Шумай Т.А.1, Васильева С.Е.2

'Шумай Татьяна Анатольевна — доцент; 2Васильева Светлана Егоровна — старший преподаватель, кафедра математики, инженерный факультет, Иркутский государственный аграрный университет, г. Иркутск

Аннотация: для получения высокого балла при сдаче Единого государственного экзамена необходимо решить задачи повышенной сложности, к которым относится задание под номером 15, включающее показательное или логарифмическое неравенство. В статье рассматривается один из методов решения - метод рационализации.

Ключевые слова: неравенства, традиционный метод решения, нестандартный метод решения, метод рационализации, трансцендентные неравенства.

УДК 512

В элементарной математике выделяют два вида неравенств: алгебраические и трансцендентные (показательные, логарифмические, тригонометрические).

Разработчиками КИМов последних трех лет были предложены задания 15, в которых необходимо было решить сложные неравенства, содержащие показательную или логарифмическую функцию.

В отчете ФИПИ за 2017 год отмечается, что в КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня были изменены подходы к разработке заданий 15 (неравенство) с целью исключения искусственных выражений с логарифмами по переменному основанию. Задание 15 относится к алгебраическим заданиям повышенного уровня с развернутым ответом и проверяет умение решать неравенства. Ненулевые баллы за выполнение этого задания получило около 15% участников экзамена, максимальный балл - 11%.

Указаны типичные ошибки:

• невнимательное чтение математической записи неравенства;

• непонимание алгоритма решения логарифмических неравенств;

• небрежность при изображении множеств на координатной прямой.

Очень много ошибок допущено при решении дробно-рационального неравенства (забыт знаменатель).

В школьной практике сложные неравенства из банка ЕГЭ решаются классическими алгебраическими методами, что вызывает у учащихся ряд трудностей. Не всякое неравенство в результате преобразований или с помощью «удачной» замены переменной может быть сведено к неравенству стандартного вида, для которого существует определенная схема решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие (нестандартные) методы решения. Условно, нестандартные методы - это методы, которые не нашли отражения в школьных учебниках и школьной практике, однако во многих случаях являются эффективными и существенно упрощают решение задачи [1].

Одним из самых доступных «нестандартных» методов решения неравенств повышенной сложности, содержащих логарифмическую, показательную функции или их комбинации, является метод рационализации.

Термин «рационализация» произошел от латинского слова ratio - разум. Следовательно, под рационализацией следует понимать усовершенствование деятельности для улучшения механизмов и способов ее выполнения.

Рационализация сложных неравенств заключается во введении более целесообразных действий для упрощения алгоритма решения.

Цель настоящей работы - применение метода рационализации для решения трансцендентных неравенств и изложение основных методических рекомендаций в овладении этим методом. Этому методу около 50 лет. Впервые термин «рационализация неравенств» появился в 1969 году в журнале «Математика» № 3 в статье Дорофеева Г.В. «Обобщенный метод интервалов». В книге Моденова В.П. «Пособие по математике» за 1972 год будет назван методом декомпозиции.

Терминология «метод замены множителей» относится к 90-м годам, который опубликовали Голубев В.И. и Тарасов В.А. в работе «Эффективные пути решения неравенств» (Львов. Квантор, 1992).

В последнее время метод рационализации становится все более популярным, т.к. позволяет упростить и сократить время решения сложных показательных и логарифмических неравенств.

Метод рационализации базируется на концепции равносильности математических высказываний и реализуется в виде алгоритмов рационализации, т.е. осуществляется с помощью равносильных преобразований по знаку в области определения сложного выражения

F (х) на более простое выражение G( X) (в конечном счете, рациональное), при котором

неравенство G(x) > 0 (G(x) < 0) равносильно неравенству F(х) > 0 (F(х) < 0 ). В

этом случае говорят, что выражение G( х) является рационализацией для выражения F (х)

[1, 3]. Метод рационализации используют при решении неравенств вида F(х) v 0 (символ

v означает один из знаков неравенств >, < ), в которых выражение F(х) удается

рационализировать.

Теоретической основой этого метода являются понятие равносильности неравенств и свойства монотонной функции. Если неравенства А и В равносильны, то это обозначают

A ^ B. Равносильные преобразования используют для того, чтобы в неравенстве освободиться от степеней и знаков логарифма, и привести данное неравенство к более простому рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Отметим, что функции f (х) = log qX и g(x) = aX являются монотонными во всей своей области определения, причем при a >1 они являются возрастающими, а при

0 < a <1 - убывающими.

Приведем некоторые методические рекомендации по алгоритму решения показательных и логарифмических неравенств методом рационализации.

1.Если правая часть исходного неравенства не является нулем, то приводим заданное

неравенство к виду F(х) v 0 .

2.Привести неравенство F(х) v 0 к каноническому виду

f (х)■ f (X) •.... f (X)

* 2-П-V 0, (1)

g (х).g (х)■....g (х)

12 k

где множители f (х ) и g (х ) ( i = 1, П; j = 1, k ) представляют собой i j

рациональн^1е, показательн^1е и логарифмические функции. Каждый из множителей f (х ) и

i

g (х ) должен быть линейным. j

3.Если любой из множителей можно рационализировать, то следует заменить его на совпадающий с ним по знаку по соответствующим формулам.

Представим некоторые выражения, для которых можно использовать метод

рационализации, в виде таблицы. Во втором столбце - функция F(х) , которую

рационализируют. В третьем столбце - функция G( х) - знакосовподающая с функцией

F (х) на области её (допустимых значений) определения. В четвертом столбце указывается область определения функций.

№ Выражение F Выражение G ОДЗ

f (X) > 0.

1 log А(х) f (X) - log А(х) g (h(X) - lXf (X) - g(X)) g (x) > 0, h(X) > 0, h(x) Ф1

2 log f (X) -1 h( x) (h(X) - lXf (X) - h(X)) f (x) > 0. h(x) > 0, h(x) ^ 1

3 log f ( X) h( x) (h(X) - lXf (X) -1) f (x) > 0. h(x) > 0, h(x) ^ 1

4 log h(x) - log f ( X) g ( X) f (X) - l)(g(X) - l)(h(X) - l)(g(X) - f (x) > 0. h(x) > 0, f ( x) * 1, g (X) > 0, g ( x) * 1

5 h(X)f (X) - h(X)g(X) (h(X) - lXf (X) - g(X)) h(x) > 0

6 h(X)f (X) -1 (h(X) - l)f (X) h(x) > 0

7 f (X)h(X) - g(X)h(X) (f (X) - g(X))h(X) f (x) > 0. g(x) > 0

Н(X) > 0 - функция или число.

4.Исходное неравенство преобразуется в систему: рационализированное неравенство и ОДЗ исходного неравенства. При решении системы неравенств с одной переменной обычно решают каждое неравенство, затем находят пересечение полученных множеств решений.

Рассмотрим примеры решения неравенств традиционным методом и сравним его с методом рационализации.

■>2х2+6х—4 /г\ г\2 х2+2х—1

1. Решить неравенство

22

— (0,5)2

5х — 1

< 0 ■

Традиционный метод

Метод рационализации

Так как левая часть неравенства является дробью, то решение исходного неравенства сводится к решению двух систем

22х2 +6х—4 _ 2—2х2—2х+1 ^ 0

5х — 1 < 0

2 х2 + 6 х — 4 >—2 х2 — 2 х х < 0

|4х2 + 8х — 5 >0 ^ I х < 0

Запишем неравенство в виде

>2х2+6х—4

—2 х2 —2 х+1

< 0

4

х —1 2

(х + 2,5) > 0

х < 0

^ х е

(—да, —2,5]

^2х +6х—4 2Х —2Х+1 < 0 \

5х — 1 > 0 14х2 + 8х — 5 < 0

х > 0

4|х — 1|(х + 2,5)< 0

х > 0

Г„ 1

х е

Ответ:

V °'2

хе(-оо,-2,5]и

м

5х — 1

рационализируем его по формулам

к( х)/ (х) — к( х)е (х) =( И( х) —1)( / (х) — g

к{ х) /(х) — 1 = (к( х) — 1)/ (х) (2 —1)( 2 х2 + 6х — 4 + 2 х2 + 2х — 1) , ^ ( 5 — 1) х "

( 4 х2 + 8х — 5)

V-¿< 0

4х

4 (х — 0,5)( х + 2,5)

4 х

< 0

Решаем методом интервалов

г

Ответ:

хе (-оо,-2,5] У

1

В рассмотренном примере метод рационализации является более эффективным.

и

<

2

Традиционный метод

Метод рационализации

ОДЗ:

2x - 4x + б > 0

X2 + X > 0 X > 0

1

X Ф — 2

:2 - 2x + 3 > 0 x(x +1) > 0 X > 0 X ф 0,5

X > 0 X <-1 1

X Ф-

2

Рассмотрим на ОДЗ два случая:

а) основание логарифма

2 X > 1

2x2 - 4X + б < X2 + X ^^ 1

X > — 2

X2 - 5x + б < 0 X > 0,5

( X - 2)( X - 3)< 0 1

X > — 2

x е[2,3]

б) основание логарифма

2 X < 1

2x2 - 4x + б > X2 + X

X < 0,5 X2 - 5x + б > 0 X < 0,5

Xе| 0,1

Ответ: [ „ 1 .. . г„ „п. хе 0- Ю [2,3]

Чтобы применить метод рационализации, в правой части необходим нуль. Переносим 1о§2 (X2 + X) влево:

1ов2я (2x2 - 4x + б) - 1ов2X (X2 + X) < 0.

Это неравенство преобразуется в систему: (см. таблицу формула

1)

(2X -1)(2X2 - 4X + б - X2 - X)< 0

2x2 - 4X + б > 0 X2 + X > 0 X > 0 1

X Ф — 2

(2X-1)(X2 -5x + б)<0 X2 - 2X + 3 > 0

X (X +1) > 0 X > 0 1

X Ф — 2

X -1)(X - 2 )(X - 3)< 0

X2 - 2x + 3 > 0 X > 0 1

X Ф-2

для любых х решаем эту систему методом интервалов

0 + 0,5 Ответ: X е [

2 +3

<4 и[2,3]-

В данном случае метод рационализации избавляет от необходимости рассматривать два случая (основание логарифма больше/меньше 1).

х

Чем сложнее неравенство, тем более ощутимыми становятся преимущества метода рационализации.

( х — I)9

3. решить неравенство: (х2 + х — 2) < 10 + 1о§7 (-— ■

х + 2

Традиционный метод

Метод рационализации

Значения х, при которых определены обе части неравенства задаются условиями:

х2 + х — 2 > 0

Перепишем исходное неравенство в виде

(Х -1)

9log7 (х2 + х - 2) - log7 710 - log7 (-J-

\ / v _L ^

<

> 0

(X -1)9

X + 2 (х + 2)(х -1)> 0

( х -1)9

\9 / -,\9

log7 (х + 2)9 (х -1)9 - log7 710 - log

х + 2

(х -1)

X + 2

х + 2

>0

r х <-2 х > 1

tog.

ОДЗ данного неравенства - есть множество

(-00, -2) U (1, +00) ■ Для

таких значений х исходное неравенство приводится к виду:

9log7 (х + 2)( х -1)< 10 +

log7 |х + 2|9 + log7 |х -1|9 < 10 + log7 |х -1|9 - log |х + 2|

log7 \х + 2|9 + log7 \х + 2| <

10log7 |х + 2 < 10 « log7 |х + 2| < 1 « |х + 2| < 7 «

-9 < х < 5.

С учетом ОДЗ, множеством решений неравенства является объединение

интервалов

Ответ: X '

[-9,2)«(1,5]. [-9,2) U (1,5].

( х + 2)9 ( х -1)9 ( х + 2)

"log7 710 < 0

log (X + 2)10 - log 710 < 0.

Используем метод рационализации (см. таблицу формула 1)

6((X + 2)10 - 710 )< 0

X2 + X - 2 > 0

(X -1)9

X + 2

> 0

|х + 2 < 7 ^ (х + 2)(х-1)> 0

( X -1)9

х + 2

>0

-9 < х < 5 (х + 2)( х -1)> 0

(х -1)9

^-> 0

х + 2

Ответ: X '

[-9,2) U (1,5]

<

7

При решении логарифмических неравенств, содержащих выражения

lüg Гf(—)g(—)) и lüg —) традиционным методом, необходимо знать, что

а& (—)

равносильный переход от одного выражения к другому выглядит так

lüga (f (—)g(—)) = lü8a\f (—)| + lüga\g(—)| (2)

и lüg af(—l = lügjf (—)| - lüg a |g (—)|. (3) g(—)

Большинство учащихся об этом забывают, что приводит к потере решений неравенства. В этом случае метод рационализации облегчает решение неравенства.

Вывод. Использование метода рационализации расширяет аппарат для решения трансцендентных неравенств. В этом заключается его практическая значимость. Метод рационализации позволяет не только упростить и сократить время решения сложных неравенств, но и уменьшить количество ошибок и увеличить число учащихся, приступающих и решивших задание № 15 ЕГЭ профильного уровня.

Список литературы

1. Коропец З.Л. Математика. Нестандартные методы решения неравенств и их систем. Учебное пособие. / З.Л. Коропец, А.А. Коропец, Т.А. Алексеева. Орел: ОрелГТУ, 2012. 124 с.

2. Корянов А.Г.. Прокопьев А.А. Методы решения логарифмических неравенств. // «Математика для школьников». М.: «Школьная пресса», 2012. № 6. С. 3-11. № 7. С. 3-11.

3. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы. Учебно-методическое пособие / С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. М.: Дрофа, 2001.

4. [Электронный ресурс]. Режим доступа: www.alexlarin.narod.ru - сайт по оказанию информационной поддержки студентам при изучении различных разделов высшей математики и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ/ (дата обращения: 10.10.2017).

5. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http:///eek.diary.ru/ - сайт по оказанию помощи абитуриентам, студентам, учителям по математике/ (дата обращения: 10.10.2017).

МАТЕРИЯ: СТРОЕНИЕ ЯДРА АТОМА И ПРОЦЕСС АННИГИЛЯЦИИ

Бондаренко Е.А.

Евгений Алексеевич Бондаренко — инженер, Служба пути Санкт-Петербургского метрополитена, г. Санкт-Петербург

Аннотация: в статье рассмотрен вопрос о взаимодействии фотонов внутри ядра атома, проведен расчёт массы покоя протона и нейтрона, а также рассчитан радиус протона, электрона и атома водорода.

Ключевые слова: часть материальной действительности, взаимодействие, фотон, ядро атома, атом, переход волны в частицу и частицы в волну, дуализм свойств элементарных частиц, протон, нейтрон, электрон, нейтрино и реакции аннигиляции.

В соответствии с основным положением физики строения элементарных частиц, с которым вы, уважаемый читатель, имели возможность ознакомиться в одном из номеров журнала «Проблемы науки» [1], существование элементарных частиц, а также их прямых антиподов взаимосвязано с теми процессами, в которых они принимают самое непосредственное участие: так, например, существование фотонов невозможно объяснить, не прибегая к помощи реакций аннигиляции, как, впрочем, существование частиц и античастиц невозможно объяснить без существования фотонов. Разумеется, фотоны могут образовываться и при протекании иных процессов; при переходах электронов с одного энергетического уровня внутри атома на другой, при нагревании металлов, и т.д. Именно поэтому физику элементарных частиц следовало бы назвать физикой фотонов, но никак не физикой высоких энергий, поскольку взаимодействуют между собой фотоны, энергия которых меняется в широком диапазоне значений, но это не