CC BY
84
УДК 372.851.4
Веретенникова Ольга Николаевна
Соискатель кафедры математики, теории и методики обучения математике Арзамасского государственного педагогического института им. А. П. Гайдара, vereton@ rambler.ru, Арзамас
ОБУЧЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ КОНСТРУКТИВНЫХ ЗАДАЧ СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМИРОВАНИЯ ОБОБЩЁННОГО ПРИЁМА
Veretennikova Olga Nikolaevna
Applicant chair ofMathematics, theory and methodology of teaching mathematics A. P Gaydar Arzamas State Pedagogical Institute, vereton@rambler.ru, Arzamas
TEACHING SCHOOLCHILDREN SOLVING CONSTRUCTIVE PROBLEMS OF SPHERICAL GEOMETRY THROUGH FORMING GENERALIZED RECEPTION
Сферическая геометрия согласно стандартам школьного математического образования не входит в содержание базового образования, но на профильном уровне может осуществляться изучение ее элементов. Физико-математический профиль предусматривает более глубокое изучение геометрии, включение в содержание некоторых новых тем, имеющих важное значение для математического образования учащихся старших классов, предполагающих связать свою дальнейшую профессиональную деятельность с математикой.
В качестве материала, предназначенного для профильного уровня обучения геометрии и дополняющего традиционное содержание курса в соответствии с новыми стандартами, выбрана сферическая геометрия - раздел математики, в котором изучаются фигуры, расположенные на сфере. Такой выбор обусловлен наглядностью сферической геометрии, доступностью многих ее понятий и фактов и широтой практического применения (астрономия, мореплавание, география, геодезия, подземное строительство и др.)
При изучении элементов сферической геометрии старшеклассникам вполне доступно перенесение на сферу некоторых понятий и методов евклидовой геометрии, в частности, понятия геометрического места точек и соответствующего метода.
Сферической прямой называют линию пересечения со сферой плоскости, проходящей через центр сферы, а сферической окружностью - линию пересечения со сферой плоскости, удаленной от центра сферы на расстояние О < И < И., где Я - радиус сферы [1].
Многие понятия сферической геометрии аналогичны соответствующим понятиям на плоскости, поэтому определять их здесь не будем. Подоб-
но тому, как прямые и окружности на евклидовой плоскости часто удобно представлять как множества точек, удовлетворяющих некоторому условию, сферические прямые и сферические окружности также можно представить как геометрические места точек сферы, обладающих некоторым свойством.
Геометрическим местом точек (ГМТ) сферы, обладающих указанным свойством, называется фигура, состоящая из всех тех и только тех точек сферы, которые обладают этим свойством.
Перечислим геометрические места точек сферы, наиболее часто используемые в конструктивных задачах сферической геометрии. Каждое множество точек есть сферический аналог соответствующего множества на плоскости.
1. ГМТ сферы, расположенных на данном расстоянии г от данной точки А сферы, есть сферическая окружность с центром в точке А и сферическим радиусом г, если г< —Л, и сферическая прямая с полюсом А и сферическим радиусом г, если г = ^я.
2. ГМТ сферы, равноудаленных от двух точек А и В этой сферы, есть сферическая прямая, перпендикулярная к сферическому отрезку АВ и проходящая через его середину.
3. ГМТ сферы, удаленных от данной сферической прямой на расстояние есть две сферические окружности с центрами в полюсах данной сферической прямой и сферическими радиусами, равными если
И < , и полюсы данной сферической прямой, если и = -/?.
4. ГМТ сферы, равноудаленных от двух данных сферических окружностей с общим центром А, есть сферическая окружность с центром А и сферическим радиусом, равным —где г1 и г2 - радиусы данных сферических окружностей, или сферическая прямая с полюсом А.
5. ГМТ сферы, равноудаленных от двух сферических прямых шип, есть пара взаимно перпендикулярных сферических прямых, делящих пополам углы двуугольников, образованных сферическими прямыми т и п.
Для выполнения геометрических построений на сфере (на модели сферы) существуют специальные инструменты - сферическая линейка и сферический циркуль. Сферический циркуль представляет собой циркуль с кривыми ножками ограниченного сферического радиуса, меньшего сферическая линейка - такой же циркуль, но с неизменным расстоянием между концами ножек, равным —я. Сферическая линейка позволяет построить сферическую прямую, один из полюсов которой построен, а также отрезок сферической прямой, если построен ее полюс и концы этого отрезка. Сферический циркуль позволяет выполнить построение сферической окружности с центром в построенной точке и сферическим радиусом, равным построенному сферическому отрезку, а также любую из двух дополнительных дуг сферической окружности, если построены ее центр и концы этих дуг [1].
На бумаге возможно изобразить только приближённый результат построения - чертёж-набросок.
Решение задач на построение сферических фигур методом геометрических мест точек сводится к построению некоторой точки сферы, удовлетво-
ряющей двум независимым условиям, вытекающим из требований задачи. Отбросив второе условие, строят геометрическое место точек сферы, удовлетворяющих первому условию; затем, отбросив первое условие, строят геометрическое место точек сферы, удовлетворяющих второму условию. Искомая точка принадлежит пересечению этих геометрических мест точек.
Проиллюстрируем применение метода геометрических мест точек сферы к решению задач.
Пример 1. Постройте центр сферической окружности (о, касающейся двух данных сферических прямых тип, удаленный от одной из точек их пересечения на сферическое расстояние с1.
Решение. Анализ. Предположим, что задача решена и искомая точка С построена (рис. 1а). Пусть т[\п={А, А }. Задача сводится к построению точки С. Точка С удовлетворяет двум условиям: 1) точка равноудалена от сферических прямых т и п (ГМТ 5); 2) удалена от точки А на расстояние (ГМТ 1). Искомая точка С найдется на пересечении этих геометрических мест точек.
Построение. 1. Строим две взаимно перпендикулярные сферические прямые к и р, делящие пополам углы двуугольников, образованных сферическими прямыми т и п (ГМТ 5) (рис. 16); 2. Строим сферическую окружность У с центром в точке А и радиусом с1 (ГМТ 1); 3. {к, р}={С, Сг Су С?}.
Доказательство. Так как точка С принадлежит ГМТ 5, то она равноудалена от сферических прямых т и п, значит, сферическая окружность со касается сферических прямых т и п. Так как точка С принадлежит ГМТ 1, то она удалена от точки А на сферическое расстояние с1.
Исследование. Сферическая окружность ^ пересекает каждую из сферических прямых к и р в двух точках, поэтому задача имеет четыре решения (рис. 16).
Рисунок 1
Пример 2. Даны две сферические окружности а\ и со2 с общим центром М. Постройте равнобедренный сферический треугольник АВС, если основание ВС, длина которого равна а, лежит на одной из сферических окружностей, а вершина А равноудалена от них.
Решение. Анализ. Пусть искомый ААВС построен (рис. 2а). Основание ВС=а дано. Задача сводится к построению вершины А. Точка А удовлетворяет двум условиям: 1) Точка А равноудалена от точек В и С (так как ААВС -равнобедренный). (ГМТ 2); 2) Точка А равноудалена от двух данных сферических окружностей со{ и со2 с общим центром (ГМТ 4). Искомая вершина А найдется на пересечении этих геометрических мест точек.
Построение. 1. Строим сферический отрезок ВС=а (рис. 26); 2. Строим серединный перпендикуляр т к сферическому отрезку ВС (ГМТ 2); 3. Строим сферическую окружность со=(М, где г 1 и г, - радиусы сфериче-
ских окружностей сох и со2 (ГМТ 4); 4. й)Пт={А, Ау}; 5. Строим сферические отрезки [АВ] и [АС].
Доказательство. ВС=а по построению. Так как точка А принадлежит ГМТ 2, то АС-АВ. Так как точка А принадлежит ГМТ 4, то она равноудалена от сферических окружностей ох и со2. Следовательно, ААВС - искомый равнобедренный сферический треугольник.
Исследование, тП со={А, А{}. Задача всегда имеет четыре решения (на рис. 26 - два из них).
а) б)
Рисунок 2
Из примеров видно, что решение задач на построение методом геометрических мест точек сопряжено с выделением последовательности действий, выполнение которых приводит к решению задачи. Совокупность этих действий образует умственный приём, что вскрывает перспективу совершенствования методики обучения учащихся решению таких задач.
Приёмом называется способ деятельности, выраженный в виде последовательности действий (Д. Н. Богоявленский, Е. Н. Кабанова-Меллер, И. С. Якиманская и др.). Правильный приём допускает обобщение, специализацию и конкретизацию; приём обладает свойством переносимости на другую задачу; приём можно перестроить и создать на его основе новый приём. Обобщённый приём понимается названными авторами как приём, полученный на основе анализа частных приёмов путём выделения общего содержания деятельности по решению конкретных (частных) задач [2; 3].
Формирование обобщённых приёмов является в современной теории и методике обучения математике одним из способов обучения школьников решению задач. Кроме того, их формирование у учащихся профильных физико-математических классов соответствует развивающей парадигме современного образования школьников, способствует реализации деятельностного подхода в обучении, повышает качество усвоения метода решения таких задач, способствует формированию у учащихся навыков самостоятельной и научно-исследовательской деятельности.
Обобщённый приём решения конструктивных сферических задач методом геометрических мест точек можно представить шестью действиями в следующей последовательности:
Определить, какие геометрические фигуры заданы условием задачи и какую фигуру требуется построить; с помощью чертежа-наброска установить отношения, свойственные им.
Установить, расположение какой точки необходимо знать для того, чтобы построить искомую фигуру, и сформулировать условия, определяющие его.
Назвать геометрические места точек (или фигуры), удовлетворяющие каждому из этих условий; построить их.
Найти общие точки названных (построенных) фигур; построить искомую фигуру.
Доказать, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи.
Установить условия разрешимости задачи и определить число решений: а) установить выполнимость каждого отдельного шага построения; б) установить, при каких условиях задача имеет решение и количество решений.
Для того, чтобы формирование указанного приёма проходило успешно необходима активная деятельность учащихся по решению задач. В работах известных отечественных педагогов-математиков (Я. И. Груденов, Г. В. Дорофеев, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, П. М. Эрдниев и др.) убедительно показана целесообразность использования в обучении математике различных задачных конструкций вместо большого количества разрозненных задач. Поэтому конструктивные сферические задачи представим в виде четырех блоков взаимосвязанных задач, обеспечивающих формирование рассматриваемого обобщённого приёма.
Первый блок задач (подготовительный) призван обеспечить мотивацию изучения обобщённого приёма решения задач на построение методом геометрических мест точек и актуализацию необходимых для этого знаний.
Задачи второго блока предназначены для раскрытия состава обобщённого приёма и конструирования его на основе анализа и сравнения частных приёмов (блок может быть опущен, если приём даётся в готовом виде). С помощью третьего блока предполагается усвоение обобщённого приёма посредством задач, при решении которых используются все действия из его состава. Четвертый блок включает в себя задачи, решение которых методом геометрических мест точек предполагает то или иное изменение обобщённого приёма, что превращает его в гибкий инструмент формирования способа умственной деятельности.
В качестве иллюстраций задач основных блоков приведём следующие примеры.
Блок 1: 1) Найдите все точки сферы, находящиеся от данной точки О на расстоянии, меньшем (равном, большем), чем г, г<— /г, где Я - радиус сферы; 2) Какое геометрическое место точек сферы задают следующие условия: вершина сферического треугольника а) находилась бы на данном расстоянии от данной точки, б) находилась бы на равном расстоянии от концов данного сферического отрезка, в) находилась бы на данном расстоянии от данной сферической прямой? 3) В скольких точках сферическая прямая пересекает сферическую окружность, другую сферическую прямую? 4) Точки А и В принадлежат сферической окружности с центром в точке О. Что можно сказать об сферических отрезках ОА и ОВ1 Выполняется ли это соотношение для любых точек окружности? 5) Каково возможное взаимное расположение на сфере двух прямых; двух окружностей; прямой и окружности; двух окружностей с общим центром и прямой? В каждом из возможных случаев определите количество их общих точек; 6) Отчего зависит, пересекутся ли на сфере две окружности, окружность и прямая?
Блок 2: 1) На данной сферической прямой найти точку, равноудаленную от двух данных точек; 2) Даны две сферические окружности о\ и со2 с общим центром М. Постройте равнобедренный сферический треугольник АВС, если основание ВС, длина которого равна а, лежит на одной из сферических окружностей, а вершина А равноудалена от них.
Блок 3: 1) Постройте сферическую окружность, касающуюся двух данных сферических окружностей, имеющих общий центр А, и проходящую через данную точку Р. \ 2) Построить точку, равноудаленную от двух данных сферических прямых и отстоящую от данной точки на данное сферическое расстояние.
Блок 4: 1) Даны две сферические прямые и точка А на одной из них. Построить равнобедренный сферический треугольник АВС так, чтобы вершина В лежала на другой прямой, а вершина С была бы равноудалена от данных сферических прямых и отстояла от данной точки А на расстоянии, равном а.
Необходимость и объём каждого блока задач зависят от уровня знаний конкретных учеников конкретного класса, поэтому они могут быть дополнены аналогичными заданиями либо сокращены.
Проверка эффективности предлагаемого подхода в обучении школьников решению конструктивных сферических задач методом геометрических мест точек и разработанного методического обеспечения осуществлялась экспериментально в 11-х классах МОУ «Физико-математический лицей» г. Глазова в рамках элективного курса путем сравнения результатов диагностических срезов в контрольных и экспериментальных классах.
Для определения статистической значимости экспериментально установленных различий в умении одиннадцатиклассников решать сферические конструктивные задачи методом геометрических мест точек использовали критерий х2- Статистическая обработка данных этих срезов ( х1мп = 6,73 ) показала, что в контрольных и экспериментальных классах различия в уровнях умения решать сферические конструктивные задачи методом геометрических мест точек являются существенными, что обусловлено применением разработанной методики (формирования рассматриваемого обобщённого приёма с помощью специально составленных блоков задач).
Библиографический список
1. Адамар, Ж. Элементарная геометрия. Ч. 2: Стереометрия [Текст] / Ж. Ада-мар. - М.: Учпедгиз, 1951. - 760 с.
2. Епишева, О. Б. Общая методика обучения математике в средней школе: курс лекций: учеб. пособие для студентов физ. -мат. спец. пед. ин-тов [Текст] / О. Б. Епишева. - изд. 2-е, доп. и перераб. - Тобольск: ТГПИ, 2008. - 203с.
3. Кабанова-Меллер, Е. Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственного развития учащихся [Текст] / Е. Н. Кабанова-Меллер. - М.: Просвещение, 1968. - 288 с.
