CC BY
157
свою. Это явление называют стратегией ассимиляции. «Перебежчики», кстати, не всегда комфортно чувствуют себя в обретенной «чужой» культуре, у них нет «почвы под ногами», они в смысле этничности подвержены процессу все-снижения и всесмежения, как утверждал известный философ И. А. Ильин.
В литературе [4, с. 382] различают четыре стратегии аккультуризации для недоминирующих групп по отношению к доминирующей культуре (мейнстриму). Стратегия ассимиляции для индивида состоит в том, что он не желает (или не может) поддерживать свою культурную идентичность и стремится к повседневному взаимодействию с другой культурой. Если человек стремится сохранить свою культуру и избегает взаимодействия с другими культурами, то это стратегия сепарации. Процесс, состоящий в стремлении сохранения первоначальной культуры при одновременном приобщении к другой культуре, называется стратегией интеграции. Когда же люди не хотят быть представителями своей культуры и не стремятся перейти в другую культуру, это стратегия маргинализации.
Мы на занятиях по математике реализуем стратегию интеграции. Результаты этих занятий имеют жизненно важное значение для учеников, обретающих этнокультурную идентичность, для этнической (бурятской) группы, обретающей полноценных членов, для всего общества, обретающего будущих активных граждан.
Реализация стратегии интеграции в контек-
сте обучения детей математике на бурятском языке затруднены в связи с отсутствием учебных пособий, с неподготовленностью учителей к обучению на бурятском языке, с отсутствием методики обучения математике детей, не владеющих бурятским языком. По результатам экспериментального обучения мы разработали систему обучения, лишенную тех противоречий, которые существуют в действующей системе школьного образования в Бурятии. Нами создаются учебные пособия, методические разработки, словари.
Созданный учебно-методический комплекс рассчитан на внедрение современных концептуальных подходов в образовании (личностно ориентированный, компетентностный, контекстный подходы), современных образовательных технологий (модульные обучения, проблемный метод, информационные технологии, метод П. Я. Гальперина и т. д.).
Литература
1. Шадриков В. Д. Ментальное развитие человека. -М. : Аспект Пресс, 2007.
2. Шеманов А. Ю. Самоидентификация человека и культура: монография. - М. : Академический Проект, 2007.
3. Набок И. Л. Педагогика межнационального общения. - М. : Академия, 2010.
4. Новые ценности образования: тезаурус для учителей и школьных психологов. - М., 1995.
5. Кросс-культурная психология. Исследования и применение: пер. с англ. - Харьков: Гуманитарный центр, 2007.
Заятуев Батор Владимирович, кандидат физико-математических наук, преподаватель кафедры геометрии и МП Бурятского государственного университета, e-mail: zayatuyev@yandex.ru
Zayatuyev Bator Vladimirovich, candidate of physical and mathematical sciences, senior lecturer, department of geometry and MT, Buryat State University, e-mail: zayatuyev@yandex.ru
УДК 372.8:514
© В. В. Кибирев
Обучение методам решения геометрических задач
В статье идет речь о поисках относительных простых решений, отвечающих поставленной задаче. В ходе обучения решению задач обращается внимание на анализ условия задачи, на необходимость выбора в каждом отдельном случае наиболее подходящих способов решения.
Ключевые слова: методы решения задач, построение чертежа, геометрическое преобразование фигуры.
V. V. Kibirev
Teaching the methods of geometric problems solution
In the article the search of relative simple solutions is described, which are suitable for proposed objective. During teaching the problem solution the attention is paid to analysis of the problem statement, to the necessity of the proper choice in every case of the most suitable ways of solution.
Keywords: methods of problem solution, drawing design, geometric transformation of figures.
Наряду с изучением программного теоретического материала учащиеся знакомятся с основными методами решения задач. Если данному ознакомлению не уделяется должного внимания, то нередко учащиеся пытаются решать все задачи однообразно, причем делают это часто нерационально, или приступают к решению немедленно после того, как прочли или услышали условие, без всякого изучения условия, что приводит к бесполезной трате времени.
Чтобы выработать у учащихся определенные навыки решения геометрических задач, нельзя ограничиваться эпизодической демонстрацией решения отдельных задач (хотя такие демонстрации также нужны). Необходимо систематически разъяснять как общий подход к решению задач, так и отдельные частные приемы.
Особое внимание следует уделять анализу условия задачи. В процессе изучения условия должен быть намечен путь решения, т. е. определена последовательность рассуждений, построений и вычислений, приводящая к цели.
Иногда геометрические задачи решают алгебраически: вводят обозначения, составляют уравнения, решают эти уравнения и затем устанавливают пригодность или непригодность найденных корней. Например, требуется найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, зная, что она больше его измерений соответственно на а, Ь, с.
Обозначив диагональ через х, обнаруживаем, что измерения выражаются в виде: х - а х - Ь, х - с. Следовательно, можно составить уравнение: х2 = (х - а)2 + (х - Ь)2 + (х - с)2. В результате решения уравнения получаются два положительных корня, один из которых не отвечает условию задачи (слишком мал).
При таком подходе к решению задачи геометрическая сторона играет вспомогательную роль (на первый план выступает решение уравнения). Поэтому такие задачи рекомендуется решать главным образом в курсе алгебры. Но даже и в этом случае составлению уравнения предшествует анализ чертежа, определение соотношений между элементами рассматриваемой фигуры и т. д.
Поэтому учащимся следует почти во всех случаях начинать решение задачи с построения чертежа. Если речь идет о задаче на вычисление или на доказательство, чертеж может быть сделан без точного соблюдения масштаба (но все же верным принципиально, достаточно наглядным). При решении задач на построение требо-
вания к чертежу повышаются.
Во многих случаях решение задачи на вычисление идет в виде постепенного вычисления элементов фигуры. Если, например, требуется найти объем правильной треугольной усеченной пирамиды по сторонам оснований и боковому ребру, то учащиеся находят радиусы окружностей, описанных около оснований, разность этих радиусов, высоту усеченной пирамиды, площади оснований и, наконец, искомый объем.
Следует, однако, разъяснить учащимся, что при этом иногда выполняется лишняя работа. Некоторые величины, которые были найдены в процессе решения задачи, не входят в конечный результат (формулу). Например, требуется определить объем пирамиды, у которой основание - треугольник со сторонами 15 см, 16 см и 17 см, а все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°.
Напрашивается естественный путь: найти площадь основания пирамиды (по формуле Ге-рона), определить радиус окружности, описанной около основания (так как вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности); поскольку этот радиус равен высоте пирамиды, то искомый объем находится вычислением по известной формуле.
Однако если решить задачу в общем виде:
V_QH=QR=Q abc=abc=15-16-17_340(м),
3 3 3 ' 4Q 12 12 У '
то выясняется, что для определения объема вычисление площади основания и высоты пирамиды оказывается бесполезным.
Аналогичное «выпадение» промежуточных величин (введенных по ходу решения задачи) особенно часто имеет место при определении площадей поверхности или объемов тел вращения.
При решении геометрических задач с применением тригонометрии от учащихся требуют обязательно прежде решить задачу в общем виде. В других случаях такое категорическое требование не выдвигается, но время от времени решение задачи с буквенными параметрами должно иметь место.
При составлении плана решения во многих случаях используется восходящий анализ. Например, требуется найти объем усеченного конуса по образующей, углу между образующей и плоскостью основания и площади среднего сечения.
Вычисление производится по известной формуле: нужно знать радиусы оснований усеченного конуса и высоту. Высота может быть
найдена из треугольника, у которого известны гипотенуза (она является образующей усеченного конуса) и острый угол (между образующей и плоскостью основания). По условию известна полусумма радиусов оснований. Разность этих радиусов можно определить, так как она является вторым катетом треугольника, с помощью которого находили высоту усеченного конуса. Зная сумму и разность радиусов, можно найти каждый из них в отдельности.
Такой анализ существенно облегчается продуманным чертежом. Важно, чтобы учащиеся, начертив фигуру, о которой идет речь в условии задачи, проводили некоторые линии не произвольно, а так, как это целесообразно для решения задачи. Например, в данном случае высоту усеченного конуса можно показать по-разному, в том числе и отрезком, соединяющим центры оснований. А для решения задачи нужно, чтобы высота проходила через конец образующей.
В некоторых случаях дополнительные линии не затрудняют учащихся, в других - нагромождение линий (в том числе ненужных, проведенных поспешно) мешает найти правильный путь решения. Поэтому учителю следует обратить внимание школьников на роль хорошего чертежа при отыскании плана решения задачи.
Нередко данные в условии задачи и искомые величины разъединены. Иногда их удается связать при помощи известных соотношений между элементами фигуры, но в тех случаях, когда соотношения не известны, заслуживает внимание попытка сближения разъединенных элементов фигуры. Наиболее приемлемым оказывается геометрическое преобразование фигуры (чаще всего - параллельный перенос, вращение или осевая симметрия).
Рассмотрим примеры.
Пусть требуется доказать, что разность между наибольшей и наименьшей диагоналями правильного девятиугольника равна его стороне.
Выберем для сравнения две диагонали девя-тиугольника ABCDE... так, чтобы они были параллельны между собой. Если это диагонали BD и АЕ, то сблизим их путем параллельного переноса BD, считая вектором смещения ВА. Тогда BD перейдет в положение ЛЫ. Отрезок ME окажется равным разности диагоналей, его удобно сравнить со стороной DE девятиугольника.
Пусть требуется построить неравнобедренную трапецию по ее боковым сторонам, основанию и разности углов при этом основании. Пусть даны боковые стороны АВ и CD, дано
основание AD.
Чтобы сблизить боковые стороны, проведем перпендикуляр к AD через середину О этой стороны трапеции. Тогда отрезок, симметричный АВ относительно указанного перпендикуляра, имеет одним концом вершину D, а другим -точку К на прямой ВС. Полученный треугольник KCD можно построить, так как в нем известны две стороны (CD - по условию, DK = АВ) и угол между ними (он равен разности углов А и D). После этого легко провести основание AD (оно параллельно КС) и найти положение вершины В.
Когда такого рода преобразование невозможно или явно нецелесообразно, прибегают к введению вспомогательных величин. Обычно полагают известным некоторый отрезок или угол. После этого решают задачу до конца и затем находят связь между введенной величиной и известными параметрами. Этот путь особенно часто применяется, если геометрическая задача решается с применением тригонометрии.
Задачи разных тем курса геометрии требуют различных приемов решения. Поэтому наряду с изложением геометрического материала темы нужно подчеркнуть и особенности решения задач, в частности на доказательство.
Геометрические задачи на доказательство представляют собой теоремы, знание которых не предусматривается программой. Однако для решения этих задач достаточно тех знаний, которые обеспечиваются усвоением программного материала. С одной стороны геометрические задачи на доказательство помогают расширению кругозора учащихся. В ходе решения таких задач школьники узнают, что фигуры имеют не только те свойства, которые описаны в стабильном учебнике. Этим подчеркивается, что основной курс геометрии создает лишь базу для дальнейшей работы, для более глубокого изучения фигур и их свойств.
Хотя от учащихся не требуется запоминать результаты решенных задач, некоторые из рассмотренных свойств удерживаются в памяти. Именно поэтому в качестве материала для задач на доказательство отбирают в первую очередь существенные свойства (если их доказательство осуществимо, доступно учащимся и не требует слишком много времени).
С другой стороны, в процессе решения задач на доказательство развивается логическое мышление учащихся. Они приучаются к последовательности рассуждения, узнают приемы геомет-
рических доказательств, упражняются в записи условия теоремы и ходе рассуждения с помощью принятой символики.
В ходе решения задач на доказательство учащиеся анализируют условие и намечают порядок рассуждений, который приводит к доказательству данного утверждения. Этот процесс поисков решения играет особенно важную обучающую роль.
В некоторых случаях процесс доказательства допускает известную алгебраизацию. Удается установить вычислением, что данная точка действительно принадлежит указанной прямой или плоскости, что две точки совпадают, что между элементами фигуры действительно существует определенное соотношение и т. д. Объясним это на примерах.
а) Через вершину А и центр грани ВСС1В1 параллелепипеда ЛВСВЛ1В1С1В1 проведена прямая. Доказать, что точка встречи этой прямой с плоскостью Л1В1С1Б1 лежит в плоскости грани СВВ£1.
Вычисления основываются на том, что точка А ровно вдвое дальше от грани СВВ1С1, чем центр грани ВСС1В1.
б) Основание полушара лежит в плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, поверхность полушара касается всех боковых граней. Доказать, что точки касания суть ортоцентры боковых граней.
Точка касания лежит на апофеме. Вычисляют расстояние от этой точки до стороны основания и показывают, что оно равно расстоянию от ортоцентра до этой стороны.
Там, где по условию требуется установить некоторые метрические соотношения, применение алгебры более очевидно.
Однако не следует переоценивать доказательства геометрических предложений применением аппарата алгебры. В ряде случаев алгебраические вычисления достаточно громоздки. Кроме того, в процессе выкладок может потеряться геометрический смысл работы.
Объясним это на примере.
Пусть в треугольную пирамиду вписан куб так, что четыре вершины его находятся на основании пирамиды, а четыре на боковых гранях. Доказать, что ребро куба а и радиус вписанного в пирамиду шара г связаны неравенствами:
—г>/з < а < 2г . 3
«Прямой» алгебраический путь состоит в том, чтобы вычислить ребро куба и радиус впи-
санного в пирамиду шара, одни и те же линейные и угловые элементы пирамиды. После этого приступают к доказательству соотношений между найденными выражениями. Легко убедиться, что даже в случае правильной треугольной пирамиды выкладки окажутся слишком сложными. Если же производить вычисления для произвольной треугольной пирамиды, то трудности окажутся непреодолимыми для школьников.
Между тем, если сочетать алгебраический метод с геометрическими соображениями, задача оказывается довольно простой. Кроме двух названных в условии фигур - куба и вписанного шара, рассмотрим еще шары, непосредственно связанные с кубом.
£
Если шар вписан в куб, то его радиус равен :. Этот шар весь находится внутри пирамиды и касается лишь одной грани (основания). Следовательно, он меньше вписанного в пирамиду
а
шара, т. е. -< га < 2г.
2
Если шар описан около куба, то его радиус
равен аТ3. Этот шар имеет общие точки со все-
2
ми гранями пирамиды и пересекает по крайней мере две грани (основание и одну боковую грань, на которой находятся две вершины куба). Следовательно, он больше вписанного в пирамиду шара, т. е.
а гт 2г 2 гт
г <— л/3а>—;= а >— г\13 •
2 л/3 3
Такое доказательство доступно учащимся.
В подборе упражнений нужна определенная система. В частности, задачи на доказательство подбираются таким образом, чтобы были охвачены и важные предложения, и важные методы решения задач на доказательство.
Заключение
Таким образом, задачи являются неотъемлемой составной части курса геометрии в средней школе. Действительно, лишенный задач курс элементарной геометрии представлял бы собой лишь группу теорем, размещенных более или менее последовательно. Пользы от изучения такого курса очень мало.
Поэтому весь школьный курс геометрии должен быть насыщен различными упражнениями. Как бы ни менялась программа и количество часов отводимых на изучение геометрии, решение задач остается важнейшей частью курса.
Литература
1. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. спец. / сост. В.И. Мишин. - М. : Просвещение, 1987.
2. Болтянский В. Г., Груденов Я. И. Как учить поиску решения задач // Математика в школе. - 1988. - №1. - С. 8.
3. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа / М. Л. Галицкий [и др.]. - М. : Просвещение, 1990.
4. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: учеб. пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. институтов / Ю. М. Калягин [и др.]. -М. : Просвещение , 1977.
5. Пойа Д. Как решать задачу. - М.: Учпедгиз, 1959.
6. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи. - М. : Просвещение, 1989.
7. Шарыгин И. Ф. Решение задач: учеб. пособие для 10-го класса. - М. : Просвещение, 1994.
Кибирев Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, e-mail: dekanat imi@bsu.ru
Kibirev Vladimir Vasilevich, candidate of physical and mathematical sciences, professor, applied mathematics department, Buryat State University, e-mail: dekanat_imi@bsu.ru
УДК 377.8
© Т. А. Макунина
Образовательная модель развития профессионального самоопределения будущего учителя
В статье описана образовательная модель развития профессионального самоопределения будущего учителя в контексте профессионально ценностной ориентации и развития профессионального самосознания, управление которых осуществляется в личностно ориентированном подходе, в режиме диалогического общения и педагогической поддержки.
Ключевые слова: профессиональное мамоопределение, личностно ориентированный подход, педагогическая поддержка, мотивационное сопровождение.
Т. А. Ыакптпа
Educational model of the development of professional self-determination of the future teacher
The article describes the educational model of the development of professional self-determination of the future teacher in the context of the professional value orientation and development of professional self-consciousness, which control is performed at personality oriented approach, in the mode of dialogic communication and pedagogical support.
Keywords: professional self-determination, personality oriented approach, pedagogical support, motivational support.
Образовательная модель представляет собой описание педагогического процесса, посвященного достижению заданной педагогической цели. Следовательно, в образовательной модели должны быть представлены необходимые и достаточные педагогические условия, обеспечивающие достижения цели. Эти условия разрабатываются по отношению к таким компонентам типа обучения, как содержание обучения и методы обучения. Следует отметить, что в педагогических исследованиях всегда речь идет о дивергентных проблемных ситуациях, допускающих различные способы их разрешения. Разумеется, ищется наиболее оптимальный способ. Оптимизация осуществляется по отношению к цели, что требует тщательного изучения существующих способов разрешения цели, если цель не нова. Модель будет представлять научный интерес, если она нова. Если цель нова, то и модель будет новой. Если же цель не нова, то должен быть новым, более совершенным и совре-
менным способ разрешения.
В нашем исследовании цель состоит в развитии профессионального самоопределения учителя (учителя математики), но она представлена в новой редакции, ранее никем не рассмотренной. Новизна нашей модели состоит в другом толковании понятия «самоопределение учите -ля», состоящего в расширении содержания этого понятия и включения это содержание футуроло-гического компонента: учитель должен овладеть экологической компетенцией по воспитанию в детях экоцентрического мировидения, основанного на признании самоценности природы и соблюдении принципа экологической целесообразности «не нарушать существующее в природе экологическое равновесие». Такой подход к самоопределению учителя продиктован создавшейся на планете экологической ситуацией неустойчивости, чреватой опасностью катастрофы для человечества. Преодоление экологического кризиса возможно только при изменении отно-
