Общее решение для четырехэлементных, линейных, вязкоупругих 3-D моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 624.048:625.7/.8

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ЧETЫPEXЭЛEMEHTHЫX, ЛИНЕЙНЫ^ BЯЗKOУHPУГИX 3-D МОДЕЛЕЙ

B.A. Богомолов, профессор, д.т.н., B.K. Жданюк, профессор, д.т.н.,

C.B. Богомолов, инженер, XHAДУ

Аннотация. Предложены общие решения для 3-D вязкоупругих четырехэлементных моделей, которые могут быть использованы как при численном анализе напряженно-деформированного состояния дорожных одежд, так и при экспериментальных исследованиях.

Ключевые слова: вязкоупругая модель, тензор, девиатор, шаровой тензор, деформации, напряжения.

ЗAГAЛЬHE PMEHM ДЛЯ 4QT^^.^EMEHTH^,

ЛІНІЙНИЙ BCЯЗKOHPУЖHИX 3-D МОДЕЛЕЙ

B.O. Богомолов, професор, д.т.н., B.K. Жданюк, професор, д.т.н.,

C.B. Богомолов, інженер, XHAДУ

Анотація. Запропоновано загальні рішення для 3-D вїіїзкопружних чотириелементних моделей, що можуть бути використані як при числовому аналізі напружено-деформованого стану дорожнього одягу, так і при експериментальних дослідженнях.

Ключові слова: вїкзкопружна модель, тензор, девіатор, шаровий тензор, деформації, напруги.

GENERAL SOLUTION FOR FOUR -ELEMENT LINEAR VISCOELASTIC 3-D MODELS

V. Bogomolov, Professor, Doctor of Technical Science, V. Zhdaniuk, Professor, Doctor of Technical Science, S. Bogomolov, engineer, KhNAHU

Abstract. General solution for 3-D viscoelastic four □ element models that can be used at both numerical analysis of stressedly □ deformed condition of road coatings and experimental investigations are offered.

Key words: viscoelastic model, tensor, deviator, spherical tensor, deformation, stress.

Введение

Известно, что четырехэлементные реологические модели в достаточно полной мере способны описывать вязкоупругое поведение различных материалов [1], и, в частности, асфальтобетона [2, 3, 4].

Уже в работе [1] отмечается, что увеличение количества элементов свыше четырех СЕ не дает качественного изменения механического поведения модели»]

Поэтому в дальнейших исследованиях целесообразно ограничиться именно такими конструкциями.

Анализ публикаций

В работе [5] показано, что линейную вязко упругую модель любой сложности можно привести к обобщенной модели Максвелла. На рис. 1 показаны два возможных типа таких четырехэлементных моделей. В работе [6] дано общее решение для дифференциальных уравнений, описывающих схемы (рис. 1).

Цель и постановка задачи

Вместе с этим практика использования рассматриваемых моделей показывает, что очень часто бывает удобным модель (рис. 1, а)

представлять в виде схем рис. 2, а, б, в [7, 8]; а модель рис. 1, б, по схеме рис. 2, г [7].

1

Оі Пі Ф

О2 1=1 ^2

Оз

1

=1 :1 % ;

I '

Рис. 1. Два типа четырехэлементных линейных вязкоупругих моделей: а □ с мгновенной упругостью и остаточной деформацией; б □ без них; С1...С4, п1. .П4 -коэффициенты, характеризующие жест-костные и вязкостные свойства материала

О5

^5 I

П7 її]

Об

О8

% ш

О7

т

б

О9, Ка

О10. К10 ^0,^0 Ш

Оіі

Оі

Ш Ліі

Рис. 2. Разновидности четырехэлементных моделей: а, б, в □ с мгновенной упругостью и остаточной деформацией; г □ без них

Например, модель рис. 2, а очень удобна для использования в экспериментальных исследованиях, а рис. 2, б для создания нелинейной вязкоупругой модели и т.д.

Таким образом, необходимо построить общее решение для схем рис. 2.

Девиаторы напряжений и деформаций

В работе [5] получены дифференциальные зависимости, связывающие девиаторы напряжений и деформаций.

Для схемы рис. 1, а

П1П2 Ьн +(^1^2 + ^2^1 ) Ьн + ^1^2 Ьн = (1) = 2П1^2(С1 + С2) Ьа + 2^1^2(П1 +П2) Ьс1 .

Для схемы рис. 2, а

П5П6Ьн +(^5% + С5Пв + СвП5)Ья -

+О5ОвОН = 2О5П5Пв+ 2О5ОвП°<1 .

Для схемы рис. 2, б

П7П8 ОН +[О7П8 + О8(п7 + П8)] ОН +

+О7О8Он = 2(О7 + О8 )п7П8+ 2О7О8П70^ ■

(2)

(3)

В соответствии с методикой, предложенной в [5] для рис. 2, в получаем

П9П10 ЬН +[^1оСП9 +П10) + ^9^10)] ЬН + (4)

+^9^10Ьн = 2^9П9Г110Ьd + 2^9^10(П9 + П10)Ьй ■

Как видно из (1)-(4), полученные дифференциальные уравнения для решения относительно Ьн можно представить в виде

а0ОН + аіОН + а2ОН = Ї() .

(5)

Поэтому, решение такого уравнения можно построить по общеизвестной схеме [9]

ОН = ОН 0 + °Нек ,

(в)

где Ьн 0 □ решение однородного уравнения; ЬНек □ частное решение неоднородного уравнения (5).

Характеристическое уравнение для (5)

а0к2 + а1к + а2 = 0 . (7)

Откуда

а ±У01

^і,2 =

-а ±Л/а -4а0а2

2а„

(8)

4

а

а

в дальнейшем будем рассматривать случай, когда а12 - 4а0а2 > 0 .

Для однородного уравнения

“Н 0 = СіЄ + С2Є ,

(9)

откуда из начальных условий могут быть определены с1 и с2.

Так, например, если при ^ = 0; Ьн = Ь и

—Н = Dн, т0

—0 - к о0

с2 = Н-7-^ ; Сі = ОН -с2. (і0)

к2 кі

Если частное решение искать в виде

Ьнсн = сА0ек1‘ + с2(Г)вк2 , (11)

то, после соответствующих преобразований, можно получить

—Нск =

}—і—г.

: а (к -к Л г

0 а0 (к2 кі ) х/(№ (а

кі(і-%) ];

(і2)

где /(^) □ правая часть уравнения (5).

Таким образом, окончательно для девиатора напряжений можно записать

1 1

Ьн = аек1‘ + с2 ек2 + Г------- х

0 (к2 - к1)а0 (13)

х[ек2(<- ек1(*]/(^^

Для решения относительно девиатора деформаций, (1)С(4) необходимо представить в виде

а0—а + аі——а = / ({).

(і4)

Тогда из решения характеристического уравнения (8)

кі - 0; к2 - —-, ап

(і5)

и общее решение

Ґ і

— - Сі + е2ек2 +|- х Гі - ек2 (‘-« ] /£)0%, (і6) 0 аі

где постоянные с1 и с2 так же, как и в предыдущем случае, определяются из начальных условий. Например, если при ^ = 0; Ьй = Ь(°

и —й - —^, то, по аналогии с (і0),

—0

с2 = -0- ; Сі = —0 - с2. (і7)

2

Для схем рис. і, б, 2, г.

Модель рис. і, б

п3 —Н + О3 —Н = 2П3П4—й +

+2 [Оз (тіз + п4 ) + О4Пз ] —0 + 2ОзО4 —0 .

Модель рис. 2, г

(і8)

(п11 +П12)Ьн + (^11 + ^12)Ьн =

= 2Ц11П12Ьй + 2(^11^12 + ^12^11)Ь^ + (19)

+2^11^12Ь.

Таким образом, при решении относительно Ьн уравнения (18, 19) приводятся к виду

а0 Ьн + а^н = / ^). (20)

Характеристическое уравнение для (20)

а1к + а1 = 0 , (21)

откуда

к --Оі к0 ~ ,

а0

(22)

и общее решение

^ 1

Ьн = сек0 +Г — ек°(1-)/(^ , (23)

0 а0

где с находим из начальных условий, например, если при I = 0, Ьн = Ьн , то

С - —Н.

(24)

При решении относительно — 0 имеем

а0 —0 + аі — + а2 —0 = У^) , (25)

и тогда характеристическое уравнение имеет вид (7), его корни (8), а общее решение

Dd = Cleklt + c2ek2 +J

l

г

x e

k2(t-Q .

0 (k2 kl )aG

ekl(t-« ] f {Qd

(2е)

При этом cl и c2, при t = 0, Dd = Dd и Dd = І°, будут иметь вид

Dd - klDd k2 — kl

' ; C1 = Dd C2 .

(27)

Шаровой тензор напряжений и деформаций

Как известно [8, 10], для того, чтобы определить шаровой тензор, необходимо знать значение средних параметров

a,r = Clekl + C2ek2‘

tl

- f---

J ґи h

0 (k2 kl ) ad x[ek2(t-« - ekl(t-y] f (%)d

где kl, k2 находим по аналогии с (10);

(30)

a,r,0 kla,r

k2 - kl

; cl = a ,g -c2; (3l)

/ Ф □ правая часть уравнения (29); схг0, с6Т 0 □ начальные условия.

При решении относительно в6Т исходное дифференциальное уравнение получаем в виде (14), и решение

= с + с2ек2 +Г- [1 -ек2(^]/(£,№, (32)

а„ =

а х +ау +аz

єх +єу +єz

є~~ =------------; a,r =є,г

З

2G(1 + ц) (1 - 2 ц)

, (2S)

где k2 находим по аналогии с (1З);

(ЗЗ)

где сх...вг □ компоненты тензоров напряжений и деформаций по соответствующим координатным осям; ц □ коэффициент Пуассона.

В работе [5] предложена методика составления дифференциальных уравнений для рассматриваемых величин.

Так, например, для схемы рис. 2, в получаем

% 9^v 10 a,r +

+ [K9nv 10 + Kl0(n v 9 + % 1G)] +K9 Klda,r = 3K9nv 9nv 10є,г + +3K9Kio (nv9 + nv 10 )є sr ,

(29)

где цу9, цуі0 □ коэффициенты объемного вязкого сопротивления; К9, Кі0 □ объемные модули упругости (см. рис. 2, в).

Таким образом, для схем на рис. і, а, 2, аСЬ дифференциальные уравнения имеют вид (5), откуда общее решение для схг получим в виде

f (^) □ левая часть уравнения (29); є,г 0, є,г 0 начальные условия.

□

В случае, если nv9 =nv 10 =да, те. єср = 0 [10], уравнение (29) выражается [З] в:

є = 3K^ .

sr ,r •

Выводы

Полученные решения могут быть использованы в численных решениях 3-D моделей, а также в процессе анализа экспериментальных данных.

Литература

1. Гольберг И.И. Механическое поведение

полимерных материалов (математическое описание) / И.И. Гольберг. □ М. : Химия, 1970. П192 с.

2. Рейнер М. Деформация и течение / М.

Рейнер ; пер. со втор. англ. изд. Л.В. Никитина, А.М. Кочеткова, В.Н. Ку-куджанова. □ М. : Гос. научн.-техн. изд-во нефтян. и горно-топливной лит-ры, 1963. □ 381 с.

X

X

C2 =

3

2 ~

k

2

3. Золотарев В.А. Исследование свойств ас-

фальтобетонов различной макроструктуры: дисП канд. техн. наук: 05.23.05 /

B.А. Золотарев. □ Харьков, 1967. □207 с.

4. Богомолов В.О. Реолопчна модель роботи

асфальтобетону при стисканш / В.О. Богомолов, В.К. Жданюк, В.М. Ряпухш, С .В. Богомолов // Автошляховик Украши.

□ 2010. □ № 3. □ С. 34СВ7.

5. Богомолов В.А. Общий метод получения

дифференциальных зависимостей деформаций от напряжений для линейных реологических 3-Б моделей / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Вестник ХНАДУ: сб. научн. тр. □ 2011.

□ № 52. □ С. 54С59.

6. Богомолов В.А. Общее решение для ли-

нейной, трехмерной, вязкоупругой модели Максвелла // Вестник ХНАДУ : сб. научн. тр. / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк,

C.В. Богомолов. □ 2011. □ № 53. □ С. 70^ 72.

7. Богомолов В.А. Универсальный метод со-

ставления линейных вязкоупругих

структурных моделей / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Автомобильный транспорт : сб. научн. тр. □ 2011 □ №28. □ С. 125Q31.

8. Дж. Мейз Теория и задачи механики

сплошных сред / Дж. Мейз; пер. с англ. Е.И. Свешниковой. □ М. : Мир, 1974. □ 318 с.

9. Корн Г. Справочник по математике для

научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы / Г. Корн, Т. Корн ; пер. со 2-го американск. пере-раб. изд. Н.Г. Арамановича, А.М. Бе-резмана и др. □ М. : Наука. Главн. ред. физ.-мат. лит-ры, 1984. □ 831 с.

10. Безухов Н.И. Основы теории упругости

пластичности и ползучести / Н.И. Безухов. □ М. : Высшая школа, 1968. □ 512 с.

Рецензент: В.В. Филиппов, профессор, д.т.н. ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 1 сентября 2011 г.