Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984.54.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ СТЕПЕНИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА РАВНОБЕДРЕННОМ ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

© 2008 Г.А. Закирова1 А.И.Седов2

В работе приведены достаточные условия, налагаемые на последовательность комплексных чисел, для которых существует возмущенный оператор Лапласа, порожденный задачей Дирихле на равнобедренном прямоугольном треугольнике.

Введение

В работе рассматривается следующая обратная задача спектрального анализа: дана последовательность комплексных чисел мало отличающаяся от спек-

тра о(Т) оператора Т. Требуется доказать существование оператора Р такого, что спектр а(Т + Р) "совпадает" с последовательностью

Обратная задача в данной постановке рассматривалась многими авторами. Однако для оператров с частными производными имеется не так много результатов. Так, в работе [1] был рассмотрен оператор Лапласа Т с простым спектром и предложен резольвентный метод, которым было доказано существование и единственность оператора Т+Р. В дальнейшем метод применялся для различных операторов с простым спектром [2-5].

В представленной работе мы применили резольвентный метод для решения обратной задачи для случая оператора Т с кратным спектром.

1. Постановка задачи

( п п)

Пусть К = {(х,у) : 0 < х < у < л;}, £> = В про-

странстве Ьг(К) рассмотрим дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор То, порожденный краевой задачей Дирихле:

-Ду = Ху, у\дК = 0.

13акирова Галия Амрулловна (zakirova81@mail.ru), кафедра математического анализа Магнитогорского государственного университета, 455038, Россия, г.Магнитогорск, пр. Ленина, 114.

2 Седов Андрей Иванович (sedov@masu.ru), кафедра математических методов в экономике Магнитогорского государственного университета, 455038, Россия, г. Магнитогорск, пр. Ленина, 114.

Введем оператор Т = ^ ХвйЕ(Х), где Е(Х) — спектральное разложение единицы, в > 1, Xе > 0 при X > 0.

Известно [6], что собственным числам Хтп = (т2 + п2)в оператора Т соответствует

ют собственные функции утп = Л/ — (ъттх'&тпу - ътпхътту), т > п > 0, образую-

V п

щие ортонормированный базис в ¿2(К). Иногда для удобства упорядоченные по возрастанию собственные числа Хтп и связанные с ними спектральные объекты будем нумеровать одним нижним натуральным индексом и одним верхним, при этом верхний индекс будет отвечать за кратность уг собственного числа Хг, т.е. X, = X* = XI, 5,7 = 1, V,.

Пусть Р — оператор умножения на функцию р е ¿2(К). Обозначим через собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности.

2. Предварительные сведения

Введем следующие обозначения:

1 )rt = \ mmlVi " Ъ; Ъ " Ъ-i}, п = - Xl)f го = mf гг;

^ S= 2j 2j(?2kr^(m+n),2Hm-n) max ||tfoOOIl2 +

m>n>0 k=0 2 ^(m+n),2k(m-n)

1 24

+ ^ггтГ2штЛы„ max НЯоООНг);

22k+1 ^£Y2k+1m.2k+1n '

3) 0 < r < mini—!— ;roJ;

l3 л/ls >

4) Re(X) = (T - XE)-1 — резольвента оператора T;

2

5) фшп = — (cos mx cos иу + cos их cos my), m,n = 0,1,...;

6) yt = {Xe С : |X - X| = re);

7) At = {X € С : |Xt - X| > re), A = n"^;

8) У ■ У2 — норма Гильберта-Шмидта.

Лемма 3.1. Пусть ||P|| < re/2, тогда оператор T + P — дискретен и его собственные числа щ имеют такую же кратность, что и Xt, причем

(i) если Re(X) — оператор Гильберта-Шмидта, то и R(X) — оператор Гильберта-Шмидта,

(ii) если Xt е С \ Ог, то |i;s е С \ Ог, 5 = 1, vt. Доказательство.

Рассмотрим очевидное операторное тождество, справедливое при всех X € О: T + P - XE = [E + PRe(X)](T - XE).

1 r 11

Так как ||/?oOOII =-> т0 Н-Р^оООН < — • — ^ —• Значит, существует линей-

d(X, a(T)) 2 re 2

ный ограниченный в ¿2 оператор

[E + PRe(X)]-1 = £ (-1)k[PRe(X)]k,

к=0

причем ряд сходится по норме равномерно по X е О и ||(Е + Р^о(Х))-1У ^ 2. Тогда всюду на О существует линейный ограниченный оператор

Я(Х) = (Т + Р - ХЕ)-1 = Я0(Х)[Е + Р^о(Х)]-1.

Отсюда следует, что Я(Х) — оператор Гильберта-Шмидта, и для него справедливо разложение в сходящийся по норме ряд

К(Х) = X(—1)кКо(Х)[РКо(Х)]к, X е о.

, е

к=0

Так как Я(Х) — компактный оператор в Ьг, то оператор Т + Р дискретен. Норма разности проекторов Рисса при любом , е N

г\1ю.) - нц(х)\(1х € -!- г

2ж^ Гг 2^Уг

уг 2Ж Го 2

поэтому все корневые подпространства оператора Т + Р имеют такую же размерность, как и у оператора Т.

Кроме того, если е С \ Ог, то ц® € С \ Ог, = 1, Лемма доказана.

Теорема 3.1. Если (3 > 1, ||Р|| < —, то имеет место спектральное тождество

V, V,

2 ^ = у,Х, + 2(ру1, V) + а,(р),

¡=1 ¡=1

где

а,(р) = ^(к - Х)8р [/г(Х)[РЙ0(Х)]2] йХ.

то 1

Доказательство. Поскольку (3 > 1, то У -— < оо, а значит, Яо(Х) ядерный,

т>п>0 Хтп

X е О. Рассмотрим операторное тождество

Я(Х) = Я0(Х) — К0(Х)РЯ0(Х) + К(Х)[РК0(Х)]2, X е о.

^ г- х, — Х

Возьмем след от обеих частей данного тождества, затем умножим его на -

2т

и проинтегрируем по окружности у,. Получим

Г (X, - Х)8рЩХ)с1Х = Г (Хг - Х)8рК0(Х)с1Х-

-- Г

(X, — Х)Бр[Ко(Х)РКо(Х)№Х+

(Хг — Х)8р[К(Х)[РК0(Х)]2Щ.

2т Х(

Далее воспользуемся теоремой В.Б. Лидского о равенстве матричного и спектрального следов ядерного оператора и ортонормированностью собственных функций операторов Т и Т + Р. Получим при всех X е О

то то 1

БрЯ(Х)= У (ЩХ)итп, итп) = У -(2.1)

т>п>0 т>п>0 тп

то то 1

8рК0(Х) = У (11о(Х>тп,Утп) = У ---. (2.2)

Хтп — Х

т>п>0 т>п>0

то 1 то 1

В силу сходимости рядов У ---, У -- и ограниченности контура

т>п>0 Хтп — Х т>п>0 ^тп — Х

у, ряды в правых частях равенств (2.1), (2.2) сходятся равномерно по X из у,,

при любом t € N. Поэтому

\t — X

JY- m>n>e - X

±fa!-x)spmctx = ±f X =

m>n>0

=т~- £ f

2га ' Jy amn - X ¿—f

m>n>e^ l,rmn s=1

Аналогично находим

1 Г

(kt - \)spr0(k)d), = 0.

2 га J^/

Используя равенство (Но(к)РНо(к)утп,утп) = ^ т"' , справедливое при всех

(Хтп — Х)

X е О, получаем

8р(Яо(Х)РЯо(Х))<й= £ (2.3)

т>П>0 ( тп - Х)2

Так как ^(Х) — ядерный, ряд (2.3) сходится равномерно по Х е О. Поэтому

2га Х(

(Xt - X)Sp(Re(X)PRe(X))dX =

Z1 Г (Xt - X)(Pvmn, vmn) ,, s «ч

.......si о--»» ^'g^

m>n>e

Теорема доказана.

Лемма 3.2. Если ||Pj| < r/2, 0 < r < re, 7 = 1,2, то

3 V2

|Ot0i) - a;(p2)l < -rrt\\pi - p2\\l2(K) max HtfoOOII^ (2-4)

П Xeyr

Доказательство.

Введем обозначение Rj(X) = (T + P7 - XE)-1, j = 1,2. Оценим разность

|at(p1) - at(p2)| =

f (Xt - X)Sp [R1(X)(P1Re(X))2 - R2(X)(P2Re(X))2] dX

J Yt

1

2n

< (2.5)

<

rt maxX€Yt ||R1(X)(P1Re(X))2 - R2(X)(P2Re(X))2||1.

При Х е уг имеем

^1(Х)[Р1^0(Х)]2 - ^2(Х)[Р2^0(Х)]2 = №(Х) - ^2(Х)][Р1^0(Х)]2 +

+^2(Х) [Р1^0(Х)(Р1 - Р2)^0(Х) + (Р1 - Р2)Я0(Х)Р2^(Х)] .

Используя тождество Гильберта, получим

^(Х) - Я2(Х) = «1(Х)(Р2 - Р1)«2(Х) =

= Й1(Х)(Р2 - Р1ШХ) + Й1(Х)(Р1 - Р2)^2(Х)Р2^0(Х). Учитывая неравенства ||Я/Х)|| < 2|^0(Х)|, ] = 1,2 и ||АВ||1 < ||А|Ы|£||2, а также

У2

очевидное равенство ||Р|| =-\\р\\ь2(К), получим

шахХсу, ||ад[Р 1^о(Х)]2 - ад^оМ]2^ <

< шах,еу1(\\Я1(\)\\ • \\(Р1 - Р2)Яо(Ш\Р1Ко(Щ • \\Р1 ЯЬМ\\2+

+ \ШЩ • \\(Р2 - Р1ШШ\Р2аду • \\Р1Яо(Щ • \\Р1Яо(Х)\\2 + + \\^2(^)\\ • \\Р1ЯЬМ\Ы\(Р1 - Р2)ад||2 +

+ \ШЩ • \\(Р1 - Р2)ад\Ы\Р2ЯоСМЬ) <

л/2 (г2 г3 2 г\______||Л 2

п \ 2г2 2г3 т, хеъ

^-\-1 + -1 + -)тях Ц^оМУгИР! - Рг\\ <

3 л/2)

т

<-тах\\К0(Щ\\р1 -Р2\\ык).

ПТ, Хеу,

т

Так как — < 1, то, подставляя полученное в (2.5), имеем (2.4). т,

Лемма доказана. Очевидно, что ряд

то 1

X ~кГ11(т+п),2Чт-п) НИХ ||Яо(?0||2 +

т>П>о к=о 2 У2к(т+п).2к(т-п)

1 2\ + ^ггтг2штлшп тах НЯоООНг)

2 **<2к+1т.2к+1п '

сходится. Обозначим его сумму через 5.

3. Основной результат

Теорема 4.1. Пусть (3 > 2, г е (0,тт<го,—^п- Если для комплексной по-

\ I 3 Л^Ы/

следовательности |^тп) выполняется неравенство:

4 1

~ ^ | ^ ~^2к^,2к(т+п),2к(т-п) ~ ^2к(т+п),2к(т-п))~

т>п>о к=о

1 I Г

~27Ш^1+1т,2к+1п ~ ^2*+1т,2*+1п)| < ^ ~ 3

то существует функция р € Ьто(К) такая, что для любого , € N

^ I ([^тгс — — I (^тгс — ~^^>т+п,т-п | > (3-1)

т2+п2 =Х, ' т2 +п2='К,

где о(Г + Р) = [Ртп)-Доказательство.

В пространстве Ьто(П) рассмотрим уравнение

р = ао - а(р), (3.2)

где

Р = ^ (P, ф2m,2n)ф2m,2n;

m>n>0

(Xo - 3t ^ | ^ ~j2k \^2к(т+п),2к(т-п) ~ Х2к(т+п),2к(т-п)~

22k

m>n>0 k=0

i м 1

«00 = Я

~2 (^2i+1m,2i+1n _ X2i+1m,2i+1n) j

' Ф2m,2n;

1 \ I Ф2m,2n

а2к(т+п),2к(т-п) ~ ^ a2t+1m,2t+1n |

92k 1 ^(m+n),^(m-n) ~ * _ _____

m>n>0 U=0 * 'J Vm

Введем оператор A : ¿м(О) ^ ¿M(D), определяемый равенством

Ap = a0 - a(p).

Так как при условиях теоремы выполняется неравенство

||Ap|| < Mcxoll + l|a(p)|| < T-{\ - 3 V2sr) + 3 <

то оператор А отображает замкнутый шар U(0,j) в себя. Покажем, что оператор A сжимающий. Имеем

||Ap1 - Ap2|L„(D) = ||a(p1) - a(P2)||l„(d) <

м 1

^ Л ^ia2k(m+n),2k(m-n)(Pl) ~ а2к(т+п),2к(т-п)(Р2)]-m>n>0 k=0

k+1m,2k+1n(P1) - a2t+1m,2t+1n(P2)]| x ess sup ^2m,2n| ^

2 1 r£D

1

< Зл/2г\\р1 -р2\\и(К) ^ 2k(m-n)X

m>n>0 k=0

x max HtfoOOIl! + ^г7?ггш

m,2k+1n

max | R0(X)| 22 =

l€Y2k(m+n),2k(m-n) 2 l€Y2k+1 m,2k+1 n

= 3 y/2rs\\pi - P2Wu

(D).

По принципу С.Банаха уравнение (3.2) имеет единственное решение р. Из уравнения (3.2) видно, что р удовлетворяет свойству: р(п - х, у) = р(п - у, х).

Расширим область определения функции р до К, доопределив ее по свойствам:

п

(1) р(х,у) = р(ж - х,у) при (х,у) в £>ь = {(х,у) : — ^ х ^ л;, 0 ^ у ^ л; - х};

п

(п) р(х,у) = р(х, л; - у) при (х,у) е £> 2, £>2 = {<Х)0 : ^ х ^ л, л; - х ^ у ^ л}. Определим оператор Р, действующий в £2(К), следующим образом:

Ру(х, у) = р(х, у)у(х, у),

где р — решение уравнения (3.2). В силу леммы 1 оператор Т + Р дискретный, и его собственные числа также можно занумеровать двойным натуральным индексом, т.е. о(Т + Р) = |ц,тп}.

Покажем, что это решение р и есть искомый потенциал, т.е. для него выполняется (3.1).

По теореме 1 имеем:

^ I Цтп ^ Хтп ^ (Рутп, Утп) + атп(р).

т2+п2=Хг т2+п2=Хг т2 +п2=Хг

Преобразуем (Pvmn, vmn). (PVmn, Vmn)bi(K) =

Г Г Р(х, y)(sin mx sin ny - sin nx sin myfdxdy = л2 J Jk

= — I I p(x, y)(sin2 mx sin2 ny-П2 J Jk

-2 sin mx sin ny sin nx sin my + sin2 nx sin2 my)dxdy =

= -ir Г Г p(x, y) sin2 mx sin2 nydxdy-П2 J Jk

—- I I p(x, y) sin mx sin ny sin nx sin mydxdy+

n2 J Jk

+ — I I p(x, y) sin2 nx sin2 mydxdy = n2 J Jk

= — I I p(x,y)(l - cos 2mx)(l - cos 2ny)dxdy-

n2 J Jk

—- I I p(x, y)(sin шх sin ?ix)(sin шу sin ny)dxdy+ n2 J Jk

+ — J" J" p(x, y)(l - cos 2nx)(l - cos 2my)dxdy = (3 3)

= — f f p(x,y)cos2mxcos2nydxdy-

n2 J Jk

—- I p(x, y)[cos(m - n)x - cos(m + и)х]х n2 J Jk

x[cos(m - n)y - cos(m + n)y]dxdy+

+ — Г Г p(x, у) cos 2nx cos 2mydxdy = n2 J Jk

= — I I p(x,y)(cos2mxcos2ny + cos2nxcos2my)dxdy-

n2 J Jk

—- I I p(x,y)[cos(m - n)xcos(m - n)y-

n2 J Jk

- cos(m - n)x cos(m + n)y - cos(m + n)x cos(m - n)y+ + cos(m + n)x cos(m + n)y]dxdy =

= —(P,^>2m,2n)L2(D) + — (P, Фш+п,ш-пк2(0),

2n Л

(p, <fy2m,2n)L2{D) = 2n(PVmn, Vmn)L2(K) - 2(p, <fym+n,m-n)b2{D).

Обозначим ümn = (PVmn, Vmn)L2(K), Pmn = (P, §mn)L2(D) И перепишем (3.3) В виде

&тп — ~ Р2т,2п + Рт+п,т-п• (3.4)

2П л

Отсюда имеем два следующих равенства:

1 1

®т+п,т-п — Р2(т+п),2(т-п) + Р2т,2п 2П Л

11 1

~Z®'2m,2n — ~¡ Р4т,4п + Т Р2(т+п),2(т-п)-2 4П 2П

и

Используя их, получим ряд.

п1

Р2т,2п — ЗЪ®т+п,т-п ~ ~^®2т,2п + ~^Р4т,4п —

п1

= Лат+п^п ~ 2«2т,2„ + ~АР2(2т),2(2п) =

Л \ Л I

— ЛО,т+п^т-п — ~&2т,2п + ~^\^Ш'2(т+п),2(т-п) ~ ~^®4т,4п + —

п п п 1

— ЛО,т+п^т-п + }!: I а 1.2' >!<-и' — ~^®2т,2п ~ ~^^4т,4п + ~^Р2(4т),2(4п) —

п п п

— ЛО,т+п^т-п + —<72.}!: I а 1.2' >!<-и' — ~^®2т,2п ~ ®4т,4п+

4 2о

К п 1

+ — (Ла4(т+п),4(т-п) ~ + — Р16т,16п) - • • •

то 1 то 1

. . . = Л ^ (С12Чт+п),21(т-п) ~ л ^ о2к+1 а2к+1 т,2к+1 п) = к=0 2 к=0 2

= 71 У^ ^(а24(ш+п),24(ш-п) ~~ ^:а21+1т,21+1п) = к=0 2 2

V 1 Г 1

к=0 2 2

Таким образом,

ТО 1 1

к=0 2 2

Из (3.3) имеем:

(.РУт+п,т-п> Ут+п,т-п) — Р2(т+п),2(т—п) + Р2т,2п

2п п

и

(РУ2т,2п,У2т,2п) = ~^~Р4т,4п ^--Р2(т+п),2(т-п)-

2п п

Исключим слагаемое р2(т+п),2(т-п):

1 _ 1 1

(РУт+п,т—т ^т+п,т-п) — ^2т,2п) ~ ^т+п,т-п ~ ^т+п,т-п~

~^2т,2п ~ Х2ш,2п) " (ат+„,т_„ - -а2т,2Д

+(т-п)2 =ХГ (т+п)2 +(т-п)2 =ХГ

т2 +п2=ХГ т2+п2 =ХГ

Замечание 3.1. Если под единственностью понимать класс операторов, удовлетворяющих свойству (3.1), то можно говорить о единственности решения.

Литература

[1] Дубровский, В.В. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным потенциалом / В.В.Дубровский, А.В.Нагорный // ДУ. - 1990. - Т. 26. - №9. -С. 1563-1567.

[2] Дубровский, В.В. Терема существования в обратной задаче спектрального анализа / В.В.Дубровский // ДУ. - 1997. - Т. 33. - №12. - С. 1702-1703.

[3] Дубровский, В.В. Восстановление потенциала по собственным значениям разных задач / В.В.Дубровский // УМН. - 1996. - Т. 51. - №4(310). - С. 155-156.

[4] Дубровский, В.В. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из L2 / В.В.Дубровский, А.В.Нагорный // ДУ. - 1992. - Т. 28. -№9. - С. 1552-1561.

[5] Седов, А.И. Обратная задача спектрального анализа для одного дифференциального оператора в частных производных с неядерной резольвентой / А.И. Седов, В.В.Дубровский // Электромагнитные волны & электронные системы. - 2005. - Т. 10. - №1-2. - С. 4-9.

[6] Шестопал, А.Ф. Геометрия оператора Лапласа / А.Ф.Шестопал. - K.: Выща шк., 1991. - 159 с.

Поступила в редакцию 24/I/2008; в окончательном варианте — 25/1/2008.

AN INVERSE PROBLEM FOR THE LAPLACE OPERATOR IN THE ISOSCELES RECTANGULAR TRIANGLE

© 2008 G.A. Zackirova? A.I. Sedov4

The paper is devoted to an inverse problem for the Laplace operator with the multiple spectrum. The sufficient conditions for the existence and uniqueness solution of this problem are obtained.

Paper received 24/7/2008. Paper accepted 25/1/2008.

3 Zackirova Galiya Amrullovna (zakirova8iamail.ru), Dept. of Mathematical Analysis, Magnitogorsk State University, Magnitogorsk, 455038, Russia.

4Sedov Andrey Ivanovich (sedovSmasu.ru), Dept. of Mathematical Methods in Economics, Magnitogorsk State University.