CC BY
23
4. Shmoylov V. I., Tuchapskii R. I. Algebraicheskie urav-neniia. Beskonechnye sistemy lineinykh algebraiches-kikh uravnenii. Bibliograficheskii ukazatel' [Algebraic equations. An infinite system of linear algebraic equations. Bibliographic index]. L'vov, Merkator, 2003, 83 p.
5. Mellin H. J. Resolution de l' equation algebrique generale a l'aide de function gamma. C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I : Math., 1921, vol. 172, pp. 658-661.
6. Mikhalkin E. N. On solving general algebraic equations by integrals of elementary functions. Siberian Math. J., 2006, vol. 47, no. 2, pp. 301-306. DOI: 10.1007/s11202-006-0043-4.
7. Shmoylov V. I. Nepreryvnye drobi. T. 2. Raskhodia-shchiesia nepreryvnye drobi [Continuous fractions. Vol. 2. Divergent continuous fractions]. National Academy of Sciences of Ukraine, Institute of applied problems of mechanics and mathematics, L'vov, Merkator, 2004. 558 p. (in Russian).
8. Shmoilov V. I., Kovalenko V. B. Some applications of the summation algorithm of divergent continued fractions. Vestnik Yuzhnogo nauchnogo tsentra (Vestnik SSC RAS), 2012, vol. 8, no. 4 (149), pp. 3-13 (in Russian).
9. Shmoylov V. I., Kirichenko G. A. Determination of the values of divergent continuous fractions and series. Izvestiya SFedU. Engineering Sciences, 2012, no. 4(129), pp. 210-222 (in Russian).
10. Shmoylov V. I., Savchenko D. I. Some applications Y^K 517.984
of the summation algorithm of continued fractions. Proc. Voronezh. State Univ., Ser. Physics. Mathematics, 2013, no. 2, pp. 258-276 (in Russian).
11. Shmoilov V. I. Raskhodiashchiesia sistemy lineinykh algebraicheskikh uravnenii [Diverging systems of linear algebraic equations]. Taganrog, Tekhnologicheskii Institut, Yuzhnyi Federal'nyi Universitet, 2010, 205 p. (in Russian).
12. Guzik V. F. , Shmoylov V. I., Kirichenko G. A. Continuous fractions and their application in computational mathematics. Izvestiya SFedU. Engineering Sciences, 2014, no. 1 (150), pp. 158-174 (in Russian).
13. Aitken A. C. On Bernulli's numerical solution of algebraic equations. Edinburg : Proc. Roy. Soc., 1925, 1926, pp. 289-305.
14. Shmoilov V. I. Continued fractions and the r/^-al-gorithm. Taganrog, Tekhnologicheskii Institut, Yuzhnyi Federal'nyi Universitet, 2012, 606 p. (in Russian).
15. Skorobogat'ko V. Ia. Teoriia vetviashchikhsia tsep-nykh drobei i ee primenenie v vychislitel'noi matema-tike [The theory of branched continued fractions and its application in computational mathematics]. Moscow, Nauka, 1983, 312 p. (in Russian).
16. Rutishauser G. Algoritm chastnykh i raznostei [The algorithm private and differences]. Moscow, 1960, 93 p. (in Russian).
ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
В. А. Юрко
Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математической физики и вычислительной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, YurkoVA@info.sgu.ru
Исследуется обратная спектральная задача для дискретных операторов треугольной структуры в топологических пространствах. Указана конструктивная процедура решения обратной задачи. Получены необходимые и достаточные условия ее разрешимости.
Ключевые слова: дискретные операторы, спектральная теория, обратная задача.
1. Исследуется обратная задача спектрального анализа для несамосопряженных дискретных операторов треугольной структуры в абстрактных топологических пространствах. Рассматриваемые структуры являются объектами весьма общего вида. Широкие классы обратных задач для дискретных, дифференциальных, интегро-дифференциальных операторов и пучков операторов сводятся к обратным задачам для рассматриваемых треугольных структур. В статье дается определение треугольных структур, рассматривается их канонический вид. Получено решение обратной задачи для треугольных структур. Дается приложение полученных результатов для наиболее важных классов дискретных операторов высших порядков. Отметим, что дискретные операторы второго порядка изучены достаточно подробно (см. [1-3] и библиографию в них). Дискретные операторы высших порядков исследовались в [4] и других работах.
2. Обозначим: ЛП — линейное пространство, ЛТП — полное сепарабельное линейное топологическое пространство, имеющее счетную базу. Если Г1 и Г2 — ЛП, то Г1 ^ Г2 обозначает ЛП линейных операторов, отображающих Г1 в Г2. Для А е Г1 ^ Г2 пусть А1 (А) обозначает область определения, а А2(А) = А(А1(А)). Оператор А е Г1 ^ Г2 называется неособым (А#0), если кег А = {0},
т. е. уравнение Ах = 0 имеет только тривиальное решение. Если Г и Г2 — ЛТП, то [Г ^ Г2] обозначает множество непрерывных операторов (возможно, нелинейных), отображающих Г в Г2, а Г х Г2 обозначает ЛТП векторов х = X , х2], х- £ Гj с покординатной сходимостью. Если Г — ЛТП, то Го обозначает ЛТП последовательностей х = [xj]^о, xj £ Г, с покординатной сходимостью. Пусть Г — ЛП, Г = Г ^ Г, и пусть Л — множество многочленов вида
j2
Р(Л) = ^ рк Лк, Рк £ Г
k=-j 1
(с любыми натуральными ^ и ). Положим & (Г) = Л ^ Г. Элементы ЛП & (Г), называются обобщенными функциями (ОФ). Если Р £ & (Г), то Рк+1 = (ЕАк , Р) £ Г называются моментами Р (здесь и далее Е — единичный оператор, а (-,Р) обозначает действие Р). Ясно, что ОФ Р £ & (Г) однозначно определяется своими моментами по формуле (Р(А),Р) = к РкРк+1, Р(А) £ Л. Удобно
записывать ОФ Р £ & (Г) в виде формального ряда
^ Р
Р(Л) = Е Рк, Рк £ Г (1)
к=-о
Можно умножать Р £ & (Г) на элементы Л по формуле (Р (Л), £(А) Р) = (Р (Л) £(Л), Р), Р (Л), £(Л) £ Л. Это означает, что ряд (1) формально умножается на £(А). Пусть & + (Г) — ЛП обобщенных функций Р £ & (Г) таких, что Рк = 0 при к < 0. Если Г — ЛТП, то & [Г] обозначает ЛТП обобщенных
& [Г] ' г
функций (1) со сходимостью: Р-7 —► Р, если Р- —► Рк при всех к. Пусть & +[Г] — ЛТП функций Р £ & (Г) таких, что Рк =0 при к < 0.
Пусть теперь Г, Г0, Г1, Г2 — ЛТП. Для г £ Г0 рассмотрим следующие семейства ОФ А = А(г) £ (Г1 ^ Г2), 5 = 5(г) £ &+(Г1 ^ Г), / = /(г) £ ) с моментами Ак, 5к
/к соответственно. Предположим, что оператор А0(г) обратим при каждом фиксированном г £ Г0 а операторы А-1, Ак (к ^ 1), 5к, /к (к ^ 0) непрерывны по всем аргументам в совокупности, т.е А-1 £ [Г0 X Г2 ^ Г1 ], Ак £ [Г0 X Г1 Г2] (к ^ 1), 5к £ [Г0 х Г1 ^ Г], / £ [Г0 ^ Г2], (к ^ 0) Не нарушая общности считаем, что А2(А0) = Г2, А1 (Ак) = Г1 (к ^ 1), А1(5к) = Г1 (к ^ 0) при каждом г £ Г0. Тройка (А, /) называется обобщенным спектральным пучком (ОСП).
При г £ Г0 определим семейство операторов А = А(г) £ (Г1) ^ (Г2), 5 = ¿"(г) £ £ & + (Г1) ^ & + (Г):
оо 1 к оо 1 к оо 1
Ау = 5] хкЕА Ук—V, % = ^2 Ук-^, у = 22 ^ у' £ &+(г ).
к=0 V=0 к=0 v=0 к=0
При каждом фиксированном г £ Г0 оператор А = А(г) обратим, и А2(А(г)) £ & + (Г2), А-1 £ £ [Г0 X & +[Г2] ^ & +[Г1 ]], 5 £ [Г0 X & +[Г1 ] ^ & +[Г]], / £ [Г0 ^ & +[Г2]]. Определение 1. Решение
о1
^ = Е д* ^ £ & + [Г1 ] к=0
уравнения А^ = / называется решением Вейля для ОСП (А, 5,/). Обобщенная функция
о
п = Едкщ £ & +Г
к=0
определяемая соотношением П = называется функцией Вейля для ОСП (А, /). Обратная задача 1: дана функция Вейля П £ & + [Г], построить г £ Г0.
В этой обратной задаче оператор А характеризует математическую модель объекта, г £ Г0 описывает параметры объекта, / — внешнее воздействие, ^ — реакция объекта на внешнее воздействие, П — результат измерения.
Решение обратной задачи 1 эквивалентно решению уравнения П = ф(г), где ф = бА-1/ £
£ [Г0 ^ & + [Г]]. Оператор ф называется ОСП оператором, а операторы фк = фк(г) £ [Г0 ^ Г],
к
определяемые формулой фк = ^ ^V, называются моментами ф.
V=0
Пример 1 (линейный пучок). Пусть Г = Г2 и при г £ Г0 даны семейства В = В (г) £ Г ^ Г! а = а(г) £ Г ^ Г, д = д(г) £ Г1. Рассмотрим уравнение (Е — Л-1В)у = д. Обозначим
те 1 оо ^
^ = Е Äkk^ е F +[Г1 ], п = £ ^Щ е F + [Г],
k=0
k=0
Ak
где = Вкд, Пк = аВкд. В частности, если Г, Г1 — банаховы пространства и В, а — ограниченные операторы, то ^ = (Е — ^В) 1 д, П = а^ регулярны при |Л| > ||В||. Обратная задача построения г по заданному П является частным случаем обратной задачи для ОБР (А, /) с А0 = Е, А1 = —В, Ак = 0 (к ^ 2), /0 = д, 50 = а, 5к = /к = 0 (к ^ 1). Тройка (В, а,д) называется линейным ОСП (ЛОСП).
Пример 2. Рассмотрим уравнение
bvVv+1 + «vVv + bv-1Vv-1 = Ayv, v ^ 1,
(2)
где а^ — вещественные числа, а > 0. Известно, что при 1тЛ = 0 существует решение Ф уравнения (2) такое, что Ф^(Л) £ 12, Ф0(Л) = 1. Положим М(Л) = Ф1 (Л). Имеют место асимптотические формулы
те 1 те 1
Ф"(Л) = Е Т!Фк^, М(Л) = £ у, Мк, Л
k=v
k=1
причем Мк — моменты спектральной функции. Коэффициенты (а^, } однозначно определяются по {Мк}к^1. Рассмотрим ЛОСП (В,а,д), где Г1 = Г2 = Е,00, Г = Еь Го = Е2те, у = [ук]к^о, д = [4о]к^о, аУ = У1,
0 0 0 ......
Ьо а1 Ь1 ......
В = 0 Ь1 а2 Ь2 ... 0 0 Ь2 аз Ьз
Здесь и далее — символ Кронекера, а Ep — евклидово пространство размерности р. Тогда
= [Ф^]v^0 е Г1, Пк = Mk е Г — моменты решения Вейля и функции Вейля соответственно. Таким образом, в этом случае обратная задача для ЛОСП соответствует задаче построения (av, bv} по заданным моментам {Mk}k^1.
Пример 3. Рассмотрим дифференциальный оператор S вида
Loy = -y" + q(x)y, q(x) е C[0,п], U(y) = y'(0) - hy(0) = 0; V(y) = y'(п) + Hy(n) = 0.
Пусть Ф(х, д) — решение уравнения L^ = дФ, x е (0, п) при условиях U(Ф) = 1, V(Ф) = 0, и пусть M(д) = Ф(0, д). Тогда M(д) является функцией Вейля для S. Если нуль не является собственным значением, то Ф(х, д) удовлетворяет уравнению y — д^у = G(x,0), где G(x,t) — ядро интегрального оператора G = S-1. Другими словами, П = M(д) и ^ = Ф(х, д) являются функцией Вейля и решением Вейля для ЛОСП (В,ст, g) соответственно, где A = 1/д, Г0 = Г1 = Г2 = C[0, п], Г = E1, B = G, g = G(x, 0), 0"y(x) = y(0), r = q(x). Обратная задача для ОСП соответствует задаче восстановления оператора Штурма - Лиувилля по функции Вейля M(д).
3. R-структуры. Пусть 70, 71, 72, Г- ЛТП, и пусть rv = 7Г (v = 0,1, 2), r = [rk]k^0, rk е 70. Положим xp = [rk]k=0-p, xp = [rk]k>p. При r е Г0 рассмотрим семейства a^j = ajj (xv+k) е 71 ^ 72, Skj = Skj (xk) е 71 ^ Г, fkv = fkv(xk+v) е 72, k, v, j ^ 0, где ajj = 0 (j > v + k), Skj = 0 (j > k), и при каждом r е Г0 операторы a0j обратимы. Предположим, что (a0j)-1 е [70+1 х Y2 ^ Y1 ], akj е [70v+k+1 х71 ^ Y2] (k + |v — j| > 0), fkv е [70v+k+1 ^ 72], Skj е [70k+1 х71 ^ Г]. Без ограничения общности считаем, что /00 = 0, А2(a0j) = 72, A^a^-) = 71, (k + |v — j| > 0), A1 (Skj) = 71 при каждом r е Г0.
При г е Го рассмотрим / = [/^^>0 е Г2, Ак е Г1 — Г2, 5к е Г1 — Г, где Ак У =
5=0
^>0
5кУ = X} У? ' У = [У5Ь>0 е Г1.
5=0
(3)
При каждом фиксированном г е Г0 оператор А0 обратим и А2(А0) = Г2, А-1 е [Г0 х Г2 — Г1], Ак е [Г0 х Г1 — Г2] (к ^ 1), 5к е [Г0 х Г1 — Г], / е [Г0 — Г2] (к ^ 0). ^-структурой называется ОСП (А, /), где
А
А = Е 3 е ^+(Г1 - Г2), 5 = £ § е ^ + (Г1 - Г), / = £ Лк е ^ + (Г2),
Л
лк
к=0 к=0 и Ак, 5к определяются формулами (3). Пусть
Лк
к=0
Лк
п
р = Е Лк е ^ + [Г1], рк = [рк* ]* >0 е Г1, п = £ е & + [Г] к=0 к=0
— решение Вейля и функция Вейля для ^-структуры (А, /) соответственно. Тогда их моменты удовлетворяют соотношениям
к
к в
Е Е^= /к*, Е Е^в?= Пк, к, V ^ 0
(4)
в=0 5=0
в=0 5=0
При Г е 70 рассмотрим семейства р' = [р*-^]„=07 е т1+1> /' = [/'-*,*^=07 е т2+1, е 7Г+1 — Г,
„1+1
А'м е 7Г+1 — 72+1, д = 0,1
где
5=0
А'^ =
5=0
V=0,'
Ум = [У5]5=0^ е 7^+1, «к5- = 0 при к ^ 0. При каждом г е Г0 операторы А'' обратимы и А2(А'' ) = 71+1. Операторы /', , не зависят от х', и
/' = /'(X') е [70+1 — 72+1 ], ^ = ^(х;) е [70+1 х 7Г+1 — Г], (А'')-1 = (А''(X'))-1 е [70+1 х 72+1 — 71+1], А'^ = (X') е [70+1 X 7Г+1 — 72+1] (д < 1).
Преобразуем (4) к виду
^А'^ = /', ^^ р^ = П', 1 ^ 0.
д=0 д=0
Так как А'' обратимы, то
Определим операторы ^:
'-1
р =
(А '')-1 /' - ^ А
1 > 0.
д=0
^ = Е ^, 1 ^ 0.
д=0
(5)
(6)
(7)
Используя (6) и (7), заключаем, что р' и ^ не зависят от х', и р' = р'(х') е [70+ — 71+ ], = ^(х') е [70+1 — Г]. Таким образом, доказана следующая теорема.
зс
зс
Теорема 1. Пусть ^ = ^(г) — ОСП оператор для Я-структуры (А, /) с моментами ^(г), I ^ 0. Тогда
1. Операторы ^ = ^ (х,) не зависят от х,, они строятся по формулам (6), (7) и ф, (х,) е
е [y
Г]. Уравнение обратной задачи П = ^(r) имеет вид
П = ^l(ro,ri,..., ri), l ^ 0.
(8)
2. Для того чтобы ОФ П е & + [Г] была функцией Вейля для Я-структуры (А, /), необходимо и достаточно, чтобы П е А2(^).
3. Если оператор ^(г) обратим, то решение обратной задачи единственно. В частности, если при любых го,Г1, ...,г1-1, I ^ 0 операторы ^(х1-1,г1) обратимы относительно г,, то решение обратной задачи единственно.
Отметим, что ОСП оператор для Я-структуры имеет треугольный вид: ^ = ^(г0, г1,..., г,), т. е. моменты ^ не зависят от х, (назовем это свойство У-свойством). Построение г = [гк]к^0 реализуется решением (8) относительно г, последовательно для I = 0,1, 2,.... Отметим также, что Я-структура является каноническим видом дискретных ОСП с У-свойством.
Рассмотрим теперь важный частный случай Я-структур: линейные в главном Я1 -структуры. При г = К]^о е Го рассмотрим семейства в^ = в^(х^+к) е 71 ^ 72, ^ = ^(х^+к) е 72 (к + V > 0), ск = ск(хк) е 71 ^ Г (к ^ 0), и предположим, что при фиксированном х^+к-1 е 7^+к операторы в^ е 70 ^ (71 ^ 72), е 70 ^ 72 являются линейными по и при фиксированном хк-1 е 7о операторы ск е 70 ^ (71 ^ Г) являются линейными по гк. Предположим также, что
вк е [7,
k + v+1
o
X 71 ^ 72], Ck е [7k+1 х Yi ^ Г], Zkv е [7,
k+v+1
o
*,k
72]. Пусть <0 = вк + а
*,к v0
/kv = Zkv + /*v (k + v > 0), Sko = Ck + (k ^ 0), и пусть a*0k, /
kv
а"
(j ^ 1) не зависят от rv+k,
а 5*0, (^ ^ 1) не зависят от гк. Я-структура с этими свойствами называется Я1 -структурой. При фиксированном х1-1 е 70 определим операторы
c*rl = C(а0о) 1 foo, в1 r = [eV v(а0о) 1foo - zl—v,v]v=07•
l—vf„0 \ —1 v
Операторы с*, В1 являются линейными по г,. Для Я1-структуры преобразуем (5) к виду
г—1
c*ri + Sl1 (l = Пг - S*V - Sl^l ^ 1,
j«=1 l—1
вгrl + a11 (l = /* - Ä*0(0 - Al^, l ^ 1,
^=1
где A*0, S*0, /* строятся по a*0k, S*o, /*v, так же как Al0, Sl0, /l строятся по ak0, Sk0, /kv. Используя (6), (7), получим для R1 -структур
^l = dl rl + l ^ 1,
dl = c* - ."(A" ) —1 el, l—1
Ф* = s11 hl + S*0 (0 + SlM (h^ - (Ä^)—1 в^ rM), ^=1 l—1
hl = (A11 )—f - A*V - Ä1^h - (Äw)—1 в^)}.
Д=1
(9) (10)
(11) (12)
Обозначим
Dl =
c* S11
el a11
При каждом xl—1 е 7o операторы dl = dl (xi—1) е 70 ^ Г и Dl = Dl (xi—1) е 70 х y1+1 ^ Г х y1
„l+1
являются линейными по г, и [г,, соответственно. Кроме того, ^(хг-1)г, е [70 ф* = ^*(х,-1) е [70 ^ Г]. Следующие системы эквивалентны
с* у1 + Б11 У2 = у1 е 70, У2 е 71+1,
В1 у1 + АпУ2 = ^2, е Г1, ^2 е 72+1,
l+1
Г],
—>
—>
—>
У2 + (А )-1©г У1 = (А )-1 , ёу1 = - (А11 )-1 ,
и, следовательно, при фиксированных I ^ 1,х1-1 £ 70, линейный оператор ё £ 70 ^ Г является обратимым (неособым) тогда и только тогда, когда линейный оператор Д £ 70 х 71+1 ^ Г х 71+1 является обратимым (неособым). Для простоты считаем, что г0 известно (это почти всегда так в приложениях), т.е. (8) рассматриваем при I ^ 1. Следующая теорема дает решение обратной задачи для -структур. Пусть ф = ф(г) — ОСП оператор для ^-структуры (А, /) с моментами ф^.
Теорема 2. 1. Операторы фг,1 ^ 1 строятся по (9)-(12), они не зависят от Х, и Ф1 (х) £ [7О+1 ^ Г].
2. Пусть Д #0, I ^ 1 при каждом Х-1 £ 70. Тогда для любого П £ А2 (ф) обратная задача имеет единственное решение, которое может быть найдено по следующему алгоритму.
Алгоритм 1. Для I = 1, 2,...:
а) строим по (10)-(12);
б) находим г из соотношения ёг + ф* = П. В частности, если Д обратимы, то П = й-1 П - ё-1ф*.
5. Кроме того, если операторы ё-1 непрерывны по всем аргументам в совокупности, то ф-1 £ + [Г] ^ Г0] (устойчивость решения обратной задачи).
Рассмотрим теперь частный случай -структуры, когда 70, 71, 72, Г — конечномерные пространства. Пусть 71 = 72 = Ет, 70 = Г = ,
к? = [аА;г/з]ад,2=1,те, /к^ = [/кг/]г=1,т, 5к3 = [5кз ]Д=1,^; г=1,т'
П = [г3 ]з = 1^' Пк = [ПкД]Д=Т^, вк3 = ]ад,2=ТТт,
Ск3 = [сДз ]Д=1^; 2=1^, ^ = ]з = 1^ = [%г3з = 1^,
_ ___ г з
скз ]Д=1,^; 2=1^, V =
N N N
к = Е вЬк,3 + , ЛV = ^ 3+к,з + , 5к0 = ^ Ск?+ 5*0'
«,,п =
V0 — М^Г к,з "Г ' ,}ки — к^ V+к,3 ^ Jkl'
? = 1 3 = 1 3 = 1
в*3к = вкз Ю-1 Л00, с3 = сз ^00, к = [в*3к ]з=1^ = Ц^гт з^г^,
С = [с*з ]3=1^ = [с1Д3 ]Д=1^; 3 = 1^, ® = [в*' — =07.
Тогда матрица Д имеет вид Д = [Д^к, где Д^к = аЦ-(к, V ^ 0), А,_1,к = 5кк, = в*'1-^ — ^^, Д1)_1,_1 = с*. Матрицы ё и Д являются квадратными матрицами порядков N и N + т(1 + 1) соответственно. Условие Д#0, I ^ 1 теоремы 2 имеет вид А = 0, I ^ 1.
4. В этом параграфе мы рассмотрим важный частный случай треугольных структур — дискретные операторы высших порядков. Пусть р, д ^ 1. Рассмотрим уравнение
р
= +3 = Ау^, V ^ д, = 1, (13)
з=-д
где у = [у^и а^з £ С — комплексные числа. Оператор Ь называется невырожденным, если = 0, V ^ д. Пусть + = & +(С) — множество ОФ
те 1
Р(А)^ Акрк, Рк £ С,
к=0
а — множество ОФ Р(А) £ & +, для которых Р0 = 0.
Пусть Ф^ (А) = [Ф^ (А)]1^^, V ^ 0 — решение уравнения (13) при условиях
те
Фг-(А) = Е ^Фк* £ &+, Фг,(А) = ^<,.-1 (V = 0, д — 1).
А* к=0
Решение (Ф^ (А)}^^0 называется решением Вейля, а матрица М (А) = [М3<(А)]3-=1р; <=1;^, М<(А) = Ф3+9-1 (А) — матрицей Вейля для Ь.
Обратная задача 2. Построить Ь по заданной матрице М(Л). Положим Л = рд,
ч
Н(р) = Е Р1-гф^(Л), V ^ 0; П(р) = (р), 3 = 1~Р; П(р) = [П;(р)],^.
¿=1
Тогда
Н (р) = £ - , Н
*д/+г—= Ф/Ы 5
/=0
П (р) = Е р/ П/;, П (р) = £ р1—г М] (Л).
/ =0
¿=1
Подставляя Н(р) в (13), получаем:
= Е (к > V ^ д),
;=—ч
= ^ (С ^ V),
= 0
(V = 0,д - 1, С> V).
(14)
(15)
Отсюда находим и, следовательно, Ф/^). Итак, для Ь существует единственное решение Вейля, которое может быть найдено при помощи (14), (15).
Через М* обозначим множество матриц М(Л) = [М](Л)];=1р,г=1д, М*(Л) е & +, таких, что = (3 = 1,р, к = 1,3 + д — 1). Ясно, что если М(Л) — матрица Вейля для Ь, то
М(Л) е М*.
Обратная задача 2 является частным случаем обратной задачи для Д-структуры. Применим метод из параграфа 2 для решения задачи 2. Положим
Х/г =
к — д — г р + д
№ = РХк* + д + г — 1, 7кг = к — 2д — г + 1(шоё(р + д)), г/* =
;
= а;р+д+г—1,р = НА; —«д^р+д+г—1 (5 = Х/гX ^хы + 1 = Гы'
где [■] обозначает целую часть числа. Группируя соотношения (14) и используя равенство Нк;г+ч-1 = = Пкг, получаем:
Нк,г+Ч-1 = Щг,
дз,зр+д+г —1 — ^ ^ азр+д+г — 1,;д(з — 1),зр+д+г+; —1 5 5 —
;=—д
(16)
При к ^ д + 1 рассмотрим линейную систему X/ = (Хкг), г = 1, шт(р, к — д) вида (15), (16) относи-
тельно , 5 = 0,хкг + 1. Определитель системы равен
Хйг — 1
П
;=0
Решая последовательно при к = д + 1, д + 2, ..., находим коэффициенты , а^-. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 3. Для того чтобы матрица М(Л) е М* была матрицей Вейля для некоторого оператора Ь вида (13), необходимо и достаточно, чтобы системы X, к ^ д+1, были разрешимы. Для невырожденных операторов решение обратной задачи единственно.
Для невырожденных операторов Ь можно получить более удобные и легко проверяемые необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи. В дальнейшем считаем, что Ь невырожденный оператор. Положим
Д/ (Л) = Д (Л)]Т=1р, ЯРк+г—1(Л) = Лк, г =
д
зс
Л* (А) = [Л*-7 (А)]^, л^+г_1 (А) = ¿] А*, г = М.
Пусть Рк(А) = Р (А)]т=т-р, (А) = [ф*(А)]Т=^, к ^ 0, — решения уравнения (13) при условиях
Рк(А) = 0 (к = 07^—1), Рк+д(А) = Лк(А) (к = 0р-Т); (А) = ¿*+м (к = ^-Г), фк+д(А) = 0 (к = 0,р — 1). Тогда
к
Рк+д(А) = ^2 ^ Лг(А), к ^ 0, Скк =0. (17)
¿=0
Подставляя (17) в (13) и сравнивая соответствующие коэффициенты, вычисляем
р
^ ^ аА]сг,к — д = сг—р,к —д, г = 0, к + р — д.
Отсюда получаем рекуррентные формулы для нахождения а^ по с^:
р
= (сА+ — —д) 1 (сА+ — д—р,к —д — ^ аА] сА+ — д,к+7 — д )7 ^ = Р7 —5 +1- (18)
+1
Здесь к ^ д при V ^ 0 и к ^ д — V при V < 0. Кроме того, с^ = 0 при г < 0. В частности,
акр (ск+р—д,к+р—д ) ск —д,к —д .
Лемма. Справедливы соотношения
(1, Рк+д(А)М(А)Л* (А)) = ©^, 0 ^ к < V ^ д — 1, ©^ = ад+к,^—д—к, (19)
(1, Рк+д(А)М(А)Л* (А)) = ¿^, 0 ^ V ^ к. (20)
Обозначим
д^ = (1, Лг(А)М(А)Л* (А)), г, V ^ 0; А,; = ^[д^, к ^ 0. Подставляя (17) в (20), вычисляем
к
д^ = ¿^, 0 ^ V ^ к. (21)
¿=0
При каждом к ^ 0 (21) является линейной алгебраической системой относительно с^. Определитель системы (21) равен Ак = 0 при всех к ^ 0. Решая (21), находим
с^ = (—1)к—* А—Меф^ ^ =о-к\<; ^с-к—г (г = М), с** = А,—1А—1. (22)
Так как Рк+д(А) = Лк(А), к = 0,р — 1, то в силу (20) получаем д^ = ¿¿^, 0 ^ V ^ г ^ р — 1. Отметим, что множество М* можно определить иначе: М* — множество матриц М(А) = [М|(А)]=1-р; г = 1, д, М](А) е Р0+ таких, что д^ = ¿¿^ при 0 ^ V ^ г ^ р — 1.
Теорема 4. Для того чтобы матрица М(А) е М* была матрицей Вейля для невырожденного оператора Ь, необходимо и достаточно, чтобы Ак = 0 при всех к ^ 0. Оператор Ь может быть построен по следующему алгоритму.
Алгоритм 2. 1. Строим с^ (0 ^ г ^ к) и Рк+д (А) при к ^ 0 по (22), (17); положим Рк (А) = 0 при к = 0, д — 1.
2. Вычисляем а^ по (18).
Следствие. Для того чтобы матрица М(А) е М* была матрицей Вейля для невырожденного оператора Ь с вещественными коэффициентами а^ ,а^р > 0, необходимо и достаточно, чтобы д^ были вещественными и Ак > 0 при всех к ^ 0.
Замечание. Рассмотрим случай р = д = 1. Тогда
те 1
М(А) = Х1 ^Мк е Р+, М1 = 1, д^ = Мг+^+1, а, = ае1[Мг+^+1]^=0-к. к=1
Функция Вейля М( Л) совпадает с обобщенной спектральной функцией [3]. Если ^ 1 > 0, а а^ — вещественные числа, то существует, по крайней мере, одна спектральная функция Л) такая, что
о
Мк+1 = (Ак, М( А)) = У АкЛ), к ^ 0.
-о
Числа {Мк}к^1 являются моментами Л). Поэтому следствие 1 при р = q = 1 совпадает с теоремой о разрешимости классической проблемы моментов.
Результаты получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России (проект № 1.1436.2014К).
Библиографический список
1. Atkinson F. Discrete and Continuous Boundary Problems. N.Y. : Academic Press, 1964.
2. Nikishin E. M. The discrete Sturm - Liouville operator and some problems of the theory of functions // J. Soviet Math. 1986. Vol. 35. P. 2679-2744.
3. Гусейнов Г. Ш. Определение бесконечной несамо-
сопряженной матрицы Якоби по ее обобщенной спектральной функции // Матем. заметки. 1978. Т. 23, вып. 2. С. 237-248.
4. Yurko V.A. On higher-order difference operators // J. Differ. Equ. Appl. 1995. Vol. 1. P. 347-352.
Inverse Spectral Problem for Discrete Operators in Topological Spaces
V. A. Yurko
Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, 410012, Russia, YurkoVA@info.sgu.ru
An inverse spectral problem for discrete operators of a triangular structure in topological spaces is studied. A constructive procedure for the solution of the inverse problem is provided. Necessary and sufficient conditions for its solvability are obtained.
Keywords: discrete operators, spectral theory, inverse problems.
The results obtained in the framework of the national tasks of the Ministry of education and science of the Russian Federation (project no. 1.1436.2014K).
References
1. Atkinson F. Discrete and Continuous Boundary Prob- selfadjoint Jacobi matrix from its generalized spectral lems. New York, Academic Press, 1964. function. Math. Notes, 1978, vol. 23, iss. 2, pp. 130-136.
2. Nikishin E. M. The discrete Sturm - Liouville operator qqj. 10 1007/BF01153153 and some problems of the theory of functions. J. Soviet
Math., 1986, vol. 35, pp. 2679-2744. 4. Yurko V. A. Qn higher-order difference °perat°rs. J.
3. Guseinov G. S. The determination of the infinite non- Differ. Equ. Appl., 1995, vol. 1, pp. 347-352.
