Обоснование выбора методов решения задач оптимального управления сложными процессами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.85

ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

В.В. Володин, Н.В. Мокрова

Кафедра «Прикладная математика и информатика»,

Московский государственный университет инженерной экологии

Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: декомпозиционные методы оптимизации; иерархическая структура; координация решения; локальные и глобальная задачи; многостадийные процессы; оптимальное распределение затрат; очистка кобальтовых растворов; сложная система; явная декомпозиция.

Аннотация: Рассмотрены основные особенности сложных систем, доказано преимущество иерархической структуры системы оптимального управления сложными процессами по сравнению с централизованной. Приведено обоснование выбора декомпозиционных методов управления сложными технологическими системами.

Рассмотрены особенности управления многостадийными процессами. Приведен пример многостадийного процесса тонкой очистки кобальтовых растворов от примесей железа и меди. Решена задача моделирования и оптимального управления каскадом реакторов непрерывного действия с применением метода явной декомпозиции.

На конкретном примере решена задача распределения затрат с использованием декомпозиции. Предложен алгоритм решения локальных и глобальной задач. Приведены графические результаты исследований.

Обозначения

Су - матрица связи подсистем;

*

С - концентрации компонентов ( * - для железа, меди, никеля, кобальта, ионов водорода);

Е - общий критерий эффективности технологического процесса;

/і - критерий эффективности подсистемы;

Оі - вектор-функция уравнений связей;

%сі - потоки жидкости через каждый реактор;

& - расход соды в реакторах;

Ні - вектор-функция уравнений ограничений;

і - номера подсистем;

- критерий эффективности многостадийного процесса;

М - множество допустимых управлений глобальной задачи;

*

Щ - скорости реакций по каждому компоненту;

S - критерий эффективности задачи распределения ресурсов; s¡ - затраты одного вида; г - время распределения затрат;

Ы1 - решения локальных задач; и - множество допустимых управлений локальных задач;

V- объем реакторов;

XI - переменные входов и выходов, параметры координации;

АС,с° - потери кобальта на каждой стадии.

В теории автоматического управления под объектом управления понимают: отдельный аппарат; цепочку аппаратов, связанных общими принципами функционирования; часть технологического процесса или весь процесс в целом. Каж-

дый технологический объект характеризуется определенными свойствами и имеет ряд поставленных перед ним задач, но в функционировании самого объекта человек не принимает непосредственного участия.

Действия более сложных открытых систем, в функционировании которых принимает участие человек, подчиняются не только технологическим закономерностям, но и действиям некоторых экономических законов. При решении задачи оптимального управления сложными процессами применим метод разбиения изучаемой системы на отдельные обособленные части, называемые подсистемами. В этом случае под большой (сложной) системой понимают совокупность подсистем, объединенных общей целью функционирования.

Наиболее распространенным типом структур систем автоматизированного управления до недавнего времени являлась централизованная, где вся информация, необходимая для управления, поступает в единый центр. Подобная структура обладает полной информацией обо всех элементах системы, она наиболее проста и имеет ряд эксплуатационных достоинств. Одним из наиболее важных недостатков централизованной структуры является большая трудоемкость обработки всей информации в едином центральном органе. Жесткая структура централизованной системы, состоящей из большого количества подсистем, не позволяет отслеживать даже значительные изменения, происходящие в отдельных элементах системы, где их трудно выделить из множества помех. Существенным ее недостатком является необходимость использования часто дорогостоящих элементов для обеспечения надежности функционирования, поэтому централизованная структура целесообразна для небольших по мощности и достаточно компактных автоматизированных комплексов с умеренным требованием к надежности.

Иерархическая структура систем автоматизированного управления получает широкое распространение. Главная особенность такой структуры - последовательное разбиение системы на ряд локальных автономных подсистем, тесно связанных друг с другом. Каждая из локальных систем представляет собой однотипно выполненную централизованную структуру, они могут быть объединены в единую систему сетью передачи данных с высокой пропускной способностью или связаны между собой посредством некоего управляющего (координирующего) органа, который корректирует состояние подсистем в соответствии с общей стратегией управления всем технологическим процессом. Схема подобной системы приведена на рис. 1.

Рис. 1 Структурная схема иерархической системы управления

Применение иерархических структур можно наблюдать в различных сложных системах: технических, технологических, биологических, экономических. В первую очередь это объясняется их надежностью. Локальные системы (ЛС) производят первичную обработку информации и решают задачи управления низшего уровня. Управляющий орган координирует работу этих систем, его информация в укрупненных показателях передается в общем случае на следующий уровень.

При решении задач оптимального управления с использованием децентрализованного подхода широко применяются декомпозиционные методы, которые позволяют значительно снизить вычислительные трудности и упростить методологию решения большого класса задач.

Применение декомпозиционных методов решения задач оптимального управления состоит из двух этапов. Первый - это разбиение сложной многомерной задачи на отдельные подзадачи меньшей размерности и более простой структуры. Второй этап - организация совместного решения полученных подзадач, который включает выбор метода и разработку алгоритма решения каждой подзадачи, обмена информацией между подзадачами и коррекция решения задачи в соответствии с общим критерием оптимальности.

Все множество декомпозиционных методов оптимизации можно разделить на два больших класса - методы явной и неявной декомпозиции [1]. Основное отличие методов декомпозиции заключается в способе координации решения независимых локальных задач. В методе явной декомпозиции в качестве параметров координации выступают переменные, отражающие связи между стадиями, а в методе неявной декомпозиции - параметрами координации являются неопределенные коэффициенты, имеющие смысл цен.

Приведем общую задачу управления с использованием метода явной деком-

0 0

позиции. Если обозначить хг-1, х1 , I = 1,2,... ,Ы, некоторые значения переменных связи входов и выходов, задаваемые координирующим органом, то в локальных задачах они будут фигурировать как заданные величины, и эта задача для 1-й подсистемы запишется в виде:

f

( о

Xi

о

-1, Xi,

^ max

uiîUi

(1)

оо

. Xi = Gi (X_1, ui )

• о о Hi ( xi_i, xi, ui ) > 0

I = 1, 2, ..., N.

Глобальную задачу координации можно представить следующим образом:

N ( 0 Л

X f ui ( xi_b xi )

i=1 V

^ max ;

Хвх >ХБЫХеМ

(2)

M =

N

X _1 = X Cj ■ Xi ; i = 1,2,..., N

j=1

ui (Хвх , Хвых ) ^ Ui ; i 1,2,...,N

где и(хвх >хвых) - решение локальной задачи в 1-й подсистеме, обусловленное заданной парой хвх, хвых из М.

u

о

Решение исходной задачи оптимального управления с использованием метода явной декомпозиции сводится к совместному решению сформулированных выше локальных задач (1) и задачи координации (2).

Рассмотрим применение метода явной декомпозиции для решения задачи оптимального управления каскадом реакторов непрерывного действия.

Процессы, проводимые в многоступенчатых реакторах или каскаде реакторов, где последовательно соединены входы и выходы аппаратов, расположенные друг за другом, называют многостадийными. Обычно для подобной задачи заданы: х0 - концентрация реагента на входе в каскад; xN - концентрация на выходе из него. Выходные параметры одной из стадий являются входными для следующей стадии. В теории оптимального управления существует общая методика решения задач управления многостадийными процессами [3]. В большинстве случаев реальные процессы описываются векторами параметров xi и векторами управляющих воздействий ui . Многостадийный управляемый процесс представлен на рис. 2.

Результирующая оценка эффективности многостадийного процесса, протекающего в однотипных аппаратах, связанных общим потоком реагентов и общей целью функционирования, определяется как аддитивная функция эффективности каждой стадии процесса

N__________

IN = X f (X-1, U). (3)

i=1

Процесс тонкой очистки кобальтовых растворов от примесей железа и меди происходит в каскаде из трех реакторов одинакового объема, при постоянной температуре, с учетом мгновенного перемешивания может быть принята модель идеального смешения [5]. Каждый из реакторов принимается за отдельную стадию, связями являются материальные потоки реагентов, что соответствует принятой модели многостадийных процессов.

Задача оптимального управления каскадом реакторов сформулирована как максимизация содержания целевого продукта - кобальта на выходе из последнего реактора путем изменения подачи основного реагента - кальцинированной соды в каждый реактор [4]. Добиться максимального выхода целевого продукта возможно в случае уменьшения потерь кобальта в каждом реакторе каскада, а следовательно их суммарного уменьшения. Основным возмущением является состав и в некоторой степени расход исходного раствора. К ограничениям можно отнести содержание примесей железа и меди на выходе из последнего реактора.

Постановка задачи оптимального управления процессом тонкой очистки в статическом режиме с учетом математической модели может быть записана в следующем виде [6]:

3

F = CoCo - X ACiC0 ^ max; (4)

i=1 Sci

gj ■ C*-1 - Si ■ с* ± V. R* = 0, i = 1,2,3;

C3Fe < 0,03 г/л; C3Cu < 0,01 г/л;

* * . ■ — 1 o

ci = ci+1; 1 1, 2.

Рис. 2 Многостадийный управляемый процесс

Программа выбора оптимального режима управления сложной химикотехнологической системой очистки состоит из двух модулей. Первый составляет реализацию метода квадратичной аппроксимации и служит для решения локальных задач. Он включает блок проверки множества допустимых решений задач и блок оценки эффективности поиска. Второй модуль предназначен для решения глобальной задачи, изменение параметров координации осуществляется с учетом множества допустимых управлений. Условия останова в данной программе - это получение такого значения глобального критерия, которое невозможно улучшить за последующие итерации.

По результатам серии расчетов можно сделать вывод, что методика решения задачи оптимального управления процессом тонкой очистки кобальтовых растворов с применением метода явной декомпозиции позволяет получить устойчивое оптимальное решение. Определены допустимые оптимальные значения управляющего воздействия на каждой стадии, позволяющие получить более высокий выход кобальтового продукта.

Рассмотрим применение метода явной декомпозиции для решения задачи оптимального распределения затрат. Под затратами будем понимать информационные, денежные, материальные и людские ресурсы, используемые в процессе функционирования объекта (цеха, предприятия, организации), т.е. реализации некоторого технологического процесса для получения определенной продукции. В задаче оптимального управления выделены системы, предназначенные для сбора, первичной переработки и представления информации для последующего принятия решения на верхнем уровне.

Задачу распределения ресурсов можно отнести к типовым задачам управления производственными комплексами в условиях функционирования автоматизированной системы управления. Решение таких задач, также как и оптимальное управление многостадийными процессами, удобнее реализовать с использованием иерархической системы управления (см. рис. 1), где решения принимаются последовательно на каждом уровне иерархии, при этом каждая подсистема со значительной степенью автономности оптимизирует свою функцию цели с учетом ограничений, поступающих от управляющего органа высшей ступени [2].

В общем случае заданы экспериментальные данные распределения денежных затрат по трем видам продукции во времени. Требуется найти минимум сум-3

марных затрат X (/) и соответствующее ему значение аргумента ? с условием,

г=1

что общие затраты являются скалярной величиной Я, т.е. их можно вычислить только как алгебраическую сумму отдельных видов затрат

3

я = XЪ (?) = ^) + 52(?) + 5з(?)- (5)

г=1

Для решения задачи оптимального распределения ресурсов разработан алгоритм и программа, состоящая из блоков по обработке экспериментальных данных, поиску решений локальных задач и координации глобального решения.

Алгоритм решения глобальной задачи состоит из нескольких этапов. Первый этап - согласование решения локальных подзадач, т.е. выбор интервала согласования значения аргумента ? с использованием стандартных статистических данных. С учетом значений минимальных, максимальных и среднестатистических решений на нижнем уровне удается сузить допустимую область решения глобальной задачи. Второй этап - поиск глобального решения на интервале согласования. Практика решения подобных задач показывает, что первый этап позволяет

ч

о

&

03

S

5

6 и к

© Ü

+

+

+

+

+

12

t

2 4 6 8 10

Время распределения, мес.

Рис. 3 Оптимальное распределение затрат

выделить достаточно узкии интервал согласования, и последующее решение не приводит к большим затратам времени на вычисления.

При решении задачи оптимального распределения затрат были получены графики функции, характеризующие изменение затрат трех видов по месяцам (рис. 3). Условно показанная сплошной линией результирующая функция £ распределения затрат имеет два минимума, глобальныи из которых удалось получить на основе решения методом явной декомпозиции.

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что на практических примерах доказано преимущество декомпозиции и последующего решения задач меньшей размерности, по сравнению с использованием общей методологии для решения задач, принадлежащих к определенному классу.

Список литературы

1 Артамонов, А.Г. Математическое моделирование и оптимизация плазмохимических процессов / А.Г. Артамонов, В.М. Володин, В.Г. Авдеев. - М.: Химия, 1989. 224 с.

2 Балакирев, В. С. Оптимальное управление процессами химической технологии / В.С. Балакирев, В.М. Володин, А.М. Цирлин. - М.: Химия, 1978, 384 с.

3 Бояринов, А.И. Методы оптимизации в химической технологии / А.И. Бояринов, В.В. Кафаров. М.: Химия, 1975. - 576 с.

4 Володин, В. М. Задача оптимального управления процессом тонкой очистки кобальтовых растворов от железа и меди / В.М. Володин, А.В. Заев, Н.В. Мокрова // Методы кибернетики химико-технологических процессов. Тез. докл. VI Международной конференции. - М., 1994. - 75 с.

5 Мокрова, Н. В. Моделирование и оптимальное управление многостадийными процессами. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук / Н.В. Мокрова. - 1995. 16 с.

6 Мокрова, Н.В. Декомпозиционное управление каскадом реакторов непрерывного действия / Н.В. Мокрова, Ю.М. Швецов, Н.В. Ращаникова, И.В. Ращани-кова // Труды МГУИЭ: Сборник статей аспирантов и студентов. - М.: МГУИЭ, 1999. - Т. IV. 22-26 с.

7 Реклейтис, Г. Оптимизация в технике: в 2-х кн. Кн.2: пер. с англ. / Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Регсдел. - М.: Мир, 1986. - 320 с.

Reasons for the Choice of Methods for Solving Tasks of Optimum Control over Complex Processes

V.V. Volodin, N.V. Mokrova

Department «AppliedMathematics and Computing»,

Moscow State University of Engineering Ecology

Key words and phrases: decomposition methods of optimization; hierarchical structure; solution coordination; local and global tasks; multi-stage processes; optimum costs distribution; cobalt solutions purification (refining); complex system; obvious decomposition.

Abstract: The paper deals with basic peculiarities of complex systems; the advantage of hierarchical structure of the system of optimum control over complex systems compared to centralized one is proved. Reasons for the choice of decomposition methods of control over complex technological systems are given.

Begründung der Wahl der Methoden der Lösung der Aufgaben der optimalen Steuerung von komplizierten Prozessen

Zusammenfassung: In der Arbeit sind die grundlegenden Besonderheiten der komplizierten Systeme untersucht, es ist der Vorteil der hierarchischen Struktur des Systems der optimalen Steuerung von komplizierten Prozessen im Vergleich zum zentralisierten System bewiesen. Es ist die Begründung der Wahl der dekompositiven Methoden der Steuerung von komplizierten technologischen Systemen aufgeführt.

Fondation du choix des méthodes de la solution des problèmes de la commande optimale des processus complexes

Résumé: Dans l’article sont examinées les principales particularités des systèmes complexes, est montré l’avantage de la structure hiérarchique de la commande optimale des processus complexes par rapport à la structure centralisée. Est citée la fondation du choix des méthodes décomposites de la commande des processus technologiques complexes.