УДК 622.331
Васильев А.Н.
Васильев Алексей Николаевич, д. т. н., профессор кафедры механизации природообустройства и ремонта машин (МПРМ) ТвГТУ (4822)789470
ОБОСНОВАНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
ПЕРЕХОДЯЩИХ ЗАПАСОВ ТОРФА НА ПРЕДПРИЯТИИ
Аннотация. В статье показана программа для расчета надежности реализации плана торфяной компании. В ходе эксперимента было смоделировано 20 лет работы компании. Объем запасов торфа на предприятии составляет не более 30% от плана компании.
Ключевые слова: добыча торфа, резерв торфа, поставки торфа.
Vasilyev A.N.
Vasiliev Alexey N. Dr. Sc., Prof. of the Department of Environmental Engineering of Mechanization and Repair Machinery (MPRM) TvGTU
REASONS FOR SIZE OF RESIDUAL INVENTORIES OF PEAT OF A COMPANY
Abstract. The article shows the program for calculating the reliability of the implementation plan of a company. In the course of the experiment 20 years of the company was simulated. The amount of peat reserves in enterprise is not more than 30% of company's plan.
Key words: extraction of peat, peat reserve, supply of peat.
Зависимость основных технологических показателей производства фрезерного торфа от погодных условий сезона существенна. Выбор наиболее целесообразной плановой величины сезонного сбора торфа позволяет свести к минимуму зависимость поставок продукции потребителю от метеорологических условий.
Погодные условия в сезонах неодинаковые, следовательно, возможное число циклов и сборы торфа с одного гектара будут различными. Вместе с тем потребители должны быть обеспечены необходимым количеством торфа каждый год вне зависимости от метеорологических условий. Такую обеспеченность можно создать путём установления проектных показателей либо применительно к погодным условиям самого худшего за многолетний период сезона, либо применительно к некоторому среднему сезону.
Выполнение плана поставок торфа потребителям компенсируется за счёт резерва создаваемого путём перевыполнения плана в те сезоны, которые по своим погодным условиям более благоприятны, чем принятый средний.
Представление сезонного сбора и резервного запаса R торфа как дискретной случайной величины позволяет рассматривать последовательность значений резерва , в качестве однородной цепи Маркова, имеющей конечное число состояний.
Составим матрицу вероятностей движения резерва торфа на предприятии.
кретным, т/га; Rmax - максимальная величина резерва торфа на предприятии, т/га.
Резерв торфа на конец сезона в единицах 8
0 1 2 М-1 М
0 Н Р,+1 Р, + 2 Р ,+М-1 Р,+м
Резерв торфа на начало 1 Н-1 Р, Р,+1 Р ,+М-2 Р,+М-1
2 Н-2 Р,-1 Р, Р ,+М-3 Р,+М-2
сезона в едини-
цах d М-1 Н ,-М+1 Р,-М+2 Р ,-М+1 Р, Р+1
М Н ,-м Р,-М+1 Р ,-М+2 Р,-1 Р,
Элементам матрицы присвоены обозначения:
i = ^, М =
б
Rn
б
где 4р - расчетное (плановое) значение сезонного сбора, т/га; 8 - единичный объем или «шаг квантования» значений сезонного сбора для замены непрерывного распределения дис-
Нт = р (ч <ц{ )= / = ф
*' 4, - 9Л
а
вероятность того, что значение сезонного сбора будет меньше заданного
1
8*04-) 2
Т с
Pi = Р (4 )= ] Д4)<^4;-вероятность того, 1
8*0+—) 2
что значение сезонного сбора равно заданному
гн
í —\ *<4, - 4Л
Р, = Р (" > 4) = 1 - / ГШ4 = 1 - Ф
вероятность того, что значение сезонного сбора больше заданного.
По формуле полной вероятности из матрицы движения резерва составим систему уравнений для вычисления вероятности Р ^ j)
Р(^) = Р(^) • Н, + P(R1) • Н-1 + P(R2) • Н,2 + ... +
+ Р Н,-М
P(Rl) = P(Ro) Р+1+ Р№) • Р, + P(R2) • Р,-1+. +
+ ^^ Р,-М+1
P(Rм) = P(Ro) *,+м +P(Rl) *,+м-1 + P(R2) • Р+М-2+.+
+ Р^м) • Fi
Матрица вероятности движения резерва торфа на предприятии или первое уравнение системы частично читается так:
величина резерва на конец сезона будет равна нулю в том случае, если резерв торфа на начало сезона был равен нулю и план текущего сезона выполнен не свыше расчётного значения (4р) или если резерв торфа на начало сезона был равен 18 и план текущего сезона выполнен не свыше 4р - 8, или если резерв торфа на начало сезона был равен 28 и план текущего сезона выполнен Р,-2 не свыше 4р - 28 и т. д.
Решив систему линейных алгебраических уравнений, получим распределение вероятностей Р ^) резерва торфа. Вероятность недовыполнения плана поставок торфа потребителю определяется:
Ц = Р^о) 'Н,-1 + Р^) Н-2 + ... + РЫ Н-м-1.
V а ;
Тогда уровень надёжности поставки фрезерного торфа равен
П = 1 - м-
Пример. Определить надёжность поставки торфа потребителю и среднюю величину резерва торфа, если распределение сезонного сбора торфа qc находится в согласии с нормальным законом с параметрами Цс = 400 т/га, ац = 80 т/га. Расчётное значение сезонного сбора принять qcр = Ц. Величина максимального резерва торфа не ограничена.
Построим кривую нормального распределения сезонного сбора с параметрами Цс = 400 т/га, ац = 80 т/га (рис. 1). Необходимые для построения кривой данные определяем по формулам [1]
q = q + u<; f (q) =
f (u)
<
Результаты расчёта сведём в табл. 1.
Таблица 1. Параметры кривой нормального распределения сезонного сбора
Table 1. The parameters of the normal distribution curve of the seasonal collection
u -3 -2 -1 0 1 2 3
q 160 240 320 400 480 560 640
f (q) 0,0044 0,054 0,242 0,3989 0,242 0,054 0,0044
103f (q) 0,055 0,675 3,03 4,98 3,03 0,675 0,055
f (u) =
u - нормальные случайные величины.
Рис. 1. Гистограмма распределения сезонного сбора
Fig. 1. Histogram of distribution of the seasonal collection of peat
Заменим плотность распределения f (ц) сезонного сбора дискретным распределением. Для этого шаг дискретности или единичную массу 8 примем равной 8 = = 80 т/га (для уменьшения числа уравнений в системе). Значения случайной величины цс и соответствующие им вероятности рассчитываются по формулам:
1
8*0+-)
Pi = P (qi) = J f (q)dq
i
8*0+1)
qi
Hi = P (q < q) = J f (q)dq = Ф
*i qi - qЛ <
qi *(qt - qA
Fi = P (q > q) = 1- J f (q)dq = 1 -Ф
<
Результаты расчётов сведём в табл. 2. Таблица 2. Результаты расчёта вероятностей Table 2. Results of calculation of a probabilities
u -3 -2 -1 0 1 2 3
qi 160 240 320 400 480 560 640
Hi = p (q < q) 0,0014 0,0228 0,1587 0,5 0,8413 0,9772 0,9986
Fi = P (q > q) 0,9986 0,9772 0,8413 0,5 0,1587 0,0228 0,0014
P (qi) 0,006 0,0606 0,2417 0,383 0,2417 0,0606 0,006
P(q < 160) = Ф*
160 - 400
F,=P(q > 320) = 1 - ф"
80
q - qЛ <
= Ф*(-3) = 0,0014.
= 1 - Ф
а320 - 400 Л
80
= 1 - Ф*(-1) =1-0,1587 = 0,8413.
*
P(q) = p(400) = Ф
440 - 400 80
- Ф*
360 - 400 80
= Ф*(0,5) - Ф*(-0,5) = 0,6915 - 0,3085 = 0,3830.
*
P(320) = Ф
360 - 400 80
- Ф*
280 - 400 80
= Ф (-0,5) - Ф (-1,5) = = 0,3085 - 0,0668 = 0,2417.
Составим матрицу вероятностей движения резерва торфа на предприятии (табл. 3).
2
1
Таблица 3. Матрица вероятностей движения резерва торфа Table 3. Matrix of probability of the peat reserves movements
Резерв торфа на конец сезона в единицах 8
0 1 2 3
Резерв торфа на начало 0 0,5 0,2417 0,0606 0,0014
1 0,1587 0,383 0,2417 0,228
сезона в едини- 2 0,0228 0,2417 0,383 0,1587
цах d 3 0,0014 0,0606 0,2417 0,5
Составим систему уравнений для вычисления вероятностей движения резерва торфа на предприятии.
'Р(ЯО) = Р(Я0)'0,5 + Р^)-0,1587 + Р^2)-0,0228 + Р^3)-0,0014 Р^) = P(R0)-0,2471 + Р(Я1)-0,383 + P(R2)-0,2417 + P(R3)-0,0606 P(R2) = P(R0)-0,0606 + Р^)-0,2417 + P(R2)-0,383 + P(R3)-0,2417
Р(Я0)+Р№)+P(R2)+P(Rз) =1
Перенесём неизвестные в одну сторону.
-0,5-Р^0) + 0,1587-Р^) + 0,0228-P(R2) + 0,0014-Р^3) = 0 0,2417-P(R0) - 0,6170-Р^) + 0,2417-P(R2) + 0,0606-P(R3) = 0 0,0606-Р(Я0) + 0,2417-Р^) - 0,6170-Р^2) + 0,2417-P(R3) = 0 Р^) + P(Rl) + Р^) + P(Rз) = 1
Каждое уравнение делим на коэффициент при Р ^0).
'Р(Я0) - 0,3174-Р^) - 0,0456-P(R2) - 0,0028-P(R3) = 0 Р(Я0) - 2,5528-P(R1) + P(R2) + 0,25072-P(R3) = 0
Р(Я0) + 3,9884-P(R1) - 10,1815-P(R2) + 3,9884-P(R3) = 0 Р^) + P(Rl) + P(R2) + Р^) = 1
Вычтем первое уравнение из остальных.
Р^0) - 0,3174-Р^) - 0,0456-P(R2) - 0,0028-Р^3) = 0 - 2,2356-P(R1) + 1,0456-Р^2) + 0,25352-P(R3) = 0 4,3058-Р^) - 10,1359-P(R2) + 3,9912-Р^3) = 0 1,3174-P(R1) + 1,0456-Р^2) + 1,0028-P(R3) = 1
Делим на Р начиная со второго уравнения.
'Р(Я0) - 0,3174-P(R1) - 0,0456-P(R2) - 0,0028-P(R3) = 0
Р(Я1) - 0,46775-P(R2) - 0,11341-P(R3) = 0 P(R1) - 2,354-Р^2) + 0,92694-P(R3) = 0 P(R1) + 0,79368-P(R2) + 0,7612-Р^3) = 0,75907
Вычтем второе уравнение из третьего и четвёртого.
P(R0) - 0,3174-Р^) - 0,0456-P(R2) - 0,0028-P(R3) = 0
P(R1) - 0,46775-P(R2) - 0,11341-Р^3) = 0 -1,88625-Р^2) +1,04035-P(R3) = 0 1,26143-Р^2) + 0,87461-P(R3) = 0,75907
Каждое уравнение, начиная с третьего, делим на Р (К2).
Р(Я0) - 0,3174-Р(К1) - 0,0456-Р(й2) - 0,0028-Р(й3) = 0
Р(Я1) - 0,46775 -Р(Я2) - 0,11341-Р(Я3) = 0 Р(Я2) - 0,55154-Р(й3) = 0 Р(Я2) + 0,69335-Р(й3) = 0,60175
Вычтем третье уравнение из четвёртого.
Р(К0) - 0,3174-Р(К1) - 0,0456-Р(й2) - 0,0028-Р(й3) = 0
Р(Я1) - 0,46775-Р(й2) - 0,11341-Р(Я3) = 0 Р(Я2) - 0,55154-Р(й3) = 0
1,24489-Р(К3) = 0,60175
Обратный ход.
Р (Я3) = 0,60175 / 1,24489 = 0,48338 Р (я2) = 0,55154 • 0,48338 = 0,2666 Р (яг) = 0,46775 • 0,2666+0,11341 • 0,48338 = 0,1795 Р (я0) = 0,3174 • 0,1795+0,0456 • 0,2666+0,0028 • 0,48338 = 0,07052
Проверка.
Р (Я0) + Р (Яг) + Р (Я2) + Р (Я3) = 0,07052 + 0,1795 + 0,2666 + 0,48338 = 1
Запишем закон распределения резерва торфа.
Таблица 4. Распределение резерва торфа
на предприятии
Table 4. Distribution of peat reserves at a company
Средний размер резерва
R = •P(R) = 0-0,07052 + 80-0,1795 +160-•0,2666 + 240-0,48338 = 173,0 т/га.
Средний размер резерва в долях от среднего
— R 173 0 —
R = — =-'— = 0,433, т. е. R = 0,4330.
п q 400
Вероятность недовыполнения поставок торфа потребителю
ц = P(Rq ) • Hj_i + P(Ri) • H,._2 + P(R2) • Hi3 = = 0,07052^0,1587 + 0,1795^0,0228 + +0,2666^0,0014 = 0,01565.
Надёжность поставки торфа потребителю составит
П = 1 - 0,01565 = 0,98435.
Расчеты выполнялись по 54 метеорологическим станциям с определением суммарной эффективной испаряемости за сезон. Л.М. Мал-ковым установлена связь между суммарной эффективной испаряемостью за сезон и сезонным сбором. Число лет наблюдений по метеостанциям составляло от 54 до 66. Первоначально если коэффициент вариации суммарной эффективной испаряемости за сезон составлял менее V < 0,3, то использовался закон нормального распределения; если V > 0,3, принималось гамма распределения с целочисленными параметрами. Затем для всех метеостанций применялось эмпирическое SB-распределение Джонсона без фиксированного начала и конца. Моделировалось 20 лет работы предприятия.
Рассчитывалось число лет невыполнения плана предприятием, минимальная, максимальная и средняя величина недопоставки торфа потребителю с надежностью 0,95 и 0,99 при ограничении ежегодной величины перевыполнения плана (величина переходящего
8 0 1 2 3
R, т/га 0 80 160 240
p №) 0,07052 0,1795 0,2666 0,48338
остатка или резерв торфа на предприятии) 0, 10, 20, 30, ... 100%. С увеличением величины переходящих запасов торфа на предприятии возрастают «замороженные» средства.
Рациональная величина переходящих запасов торфа на предприятии составила не более 30% плана предприятия. Выше приведен пример (часть большой программы), который будет использоваться магистрами на первом этапе при ручном счете для обоснования
уровня надежности производственной программы автотранспортного предприятия.
Библиографический список
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для втузов, 9-е изд. стер. - М.: Высшая школа, 2004. -404 с.