CC BY
244
УДК 624.131.38 АЛЕХИН А. Н.
Обоснование метода определения параметров нелинейной модели грунта по данным его полевых испытаний
В статье приводится обоснование существования и единственности решения обратной некорректной задачи определения параметров феноменологической нелинейной модели грунта по данным полевых испытаний, обсуждаются преимущества нелинейных моделей грунта по сравнению с линейными моделями с точки зрения надежности геотехнических решений, принимаемых на их основе.
Ключевые слова: грунт, геотехника, нелинейность, модели, параметры.
ALEKHIN A. N.
SUBSTANTIATION OF METHOD OF DETERMINATION OF NONLINEAR SOIL MODEL PARAMETERS FROM IN-SITU TEST DATA
The paper provides substantiation of existence and uniqueness of solution of ill-conditioned inverse problem for determining the parameters of phenomenological nonlinear soil model from in-situ test data, discusses benefits of non-linear soil models compared with linear ones in terms of reliability of geotechnical solutions.
Keywords: soil, geotechnique, nonlinearity, models, parameters.
Алехин
Алексей
Николаевич
кандидат технических наук, доцент Уральского государственного университета путей сообщения (УрГУПС)
e-mail: alekhin.51@gmail.com
Отражение в геотехнических расчетах действительной работы грунтовой среды непосредственно вытекает из требований пункта 4 статьи 16 главы 3 Федерального закона №384-Ф3 «Технический регламент о безопасности зданий и сооружений» [1]. При этом одной из центральных задач геотехники является разработка и применение эффективного и объективного метода расчета и проектирования плитного фундамента. Характеристика «объективный» используется здесь в смысле адекватного учета физической природы грунтов основания и известных сложных особенностей взаимодействия с ним фундаментных конструкций сооружения. Можно вспомнить недавнюю ситуацию, когда возникли серьезные проблемы с плитным фундаментом одного из строящихся высотных зданий в г. Екатеринбурге [2, 25-26]. Такие проблемы, по-видимому, будут возникать все чаще по мере продвижения некоторых городов Урала в сторону мягких грунтов их пригородов с гранитных массивов их центральных частей. Уже сейчас в Ботаническом районе г. Екатеринбурга строятся несколько потенциально опасных с точки зрения надежности зданий. Решение проблемы адекватного проектирования плитных фундаментов является еще и ключевым моментом решения проблемы совместного расчета системы сооружение — фундамент — основание, как того требует статья 16 главы 3 Федерального
закона №384-Ф3 [1]. «...Игнорирование этого эффекта становится чрезвычайно опасным для обеспечения надежности здания.» [3, V-VI]. Яркими следствиями подобных проектных упущений являются, например, такие аварии, как обрушение конструкций спортивно-развлекательного комплекса «Трансвааль-парк» в Москве в 2004 г. (Иллюстрация 1); обрушение конструкций покрытия бассейна «Дельфин» в г. Чусовом в 2005 г.; обрушение кровли цеха в г. Екатеринбурге в 1998 г. Эти примеры указывают на опасность «модной» в последнее время среди инвесторов и проектировщиков тенденции игнорировать доскональное исследование, а если необходимо, то и дополнительную проверку инженерно-геотехнических условий площадки. Участившиеся подобные факты стали, в том числе, одной из причин появления директивного (в отличие от Строительных норм) указания в вышеупомянутом Федеральном законе №384-Ф3 о необходимости учета реальных нелинейных механических зависимостей грунта [1, гл. 3, ст. 16, п. 4]. Ведь одна из главных механических характеристик грунта, используемая в геотехнических расчетах и называемая в механике грунтов «модулем деформации», не имеет придаваемого ему физического смысла константы линейной зависимости между напряжением и относительной деформацией, поскольку в опытах линейная зависимость (1) не подтверждается (Иллюстрация 3). На такую
Иллюстрация 1. Обрушение конструкций спортивно-развлекательного комплекса «Трансвааль-парк» в г Москва 14 февраля 2004 г Фото European Pressphoto Agency [7]
условность грунтового модуля, по-видимому, впервые обратил внимание в 1967 г. В. В. Лушников [4, 173 ]. Хотя информация о влиянии на величину модуля, а также и коэффициента постели размеров и формы нагрузочных устройств (штампов) была известна еще в 1935 г. Л. Н. Бернацкому [5, 190], а еще раньше, в 1932-1933 гг. — немецким геоинженерам Гернеру и Кёглеру [5, 190]. Вообще-то механические характеристики грунтов, как деформационные, так и прочностные, вслед за Л. Н. Репниковым [6, 5] следовало бы называть параметрами, поскольку, по сути, они являются параметрами принятых для данного конкретного вида нагружения (статического, динамического, циклического и т. д.) механических (прочностной, деформационной или их симбиоза) моделей грунта.
Понятие «параметры модели» здесь следует понимать как зависимость вида, количества этих величин, а также способов их определения и использования в расчетах от типа моделей. Например, в классической деформационной грунтовой модели Фусса — Винклера (1798 г.) жесткость грунта моделируется константой (называемой коэффициентом постели), которая связывает конечные перемещения поверхности грунта и давление на его границах. Отметим, что зависимость между величинами, определяемая константой, означает линейную зависимость между ними. То есть, по существу, определяющее соотношение модели Фусса — Винклера является лишь краевым (граничным) линейным условием для расчетной схемы конструкции, опирающейся на грунт [8, 77], и отражает общую сжимаемость грунтового основания в одном из направлений, но не определяет автоматически особенности деформирования внутренних областей основания. Соответственно табличными значениями коэффициентов этой модели, особенно для ответственных сооружений, следует пользоваться с большой осторожностью (а лучше вообще не использовать их в расчетах из-за непредсказуемости результатов). В силу отмеченной методологической особенности модели Фусса — Винклера возникают известные затруднения с определением величин ее коэффициентов, а также проблемы использования этой модели, особенно при расчете влияния новой застройки на окружающие сооружения. Для учета реальной жесткости, которая, как известно, является комбинацией сопротивлений изменению объема и формы, а также для учета особенностей основания необходимо определять искомые коэффициенты постели на базе более общих моделей, способных отражать обе компоненты жесткости в любой точке активной зоны основания, т. е. зоны, испытывающей воздействие приложенной к основанию нагрузки. Для этих целей используется какая-либо из разновидностей модели сплошной среды (чаще всего линейная модель Гука), которая, как и все остальные модели этого
класса, свободна от основных недостатков модели Фусса — Винклера. При этом различные модификации модели Фусса — Винклера явились необходимым этапом на пути перехода к модели сплошной среды. Интересно, что интуитивно эти модификации были направлены главным образом как раз на добавку к компоненте сжатия сдвиговой компоненты [6, 4]. Однако все модификации, довольно серьезно усложняя расчетные схемы, не решали главных проблем, прежде всего касающихся методов определения расчетных параметров моделей. На определенном этапе для определения коэффициентов постели (главным образом при проектировании плитных фундаментов), а также для самостоятельного применения в расчетах оснований сначала небольших фундаментов, а затем и плитных [9] стала использоваться модель сплошной линейно-деформируемой среды (Иллюстрация 2).
Фактически эта модель является моделью Гука — Пуассона, соотношения которой обычно записываются в форме так называемого обобщенного закона Гука, связывающего компоненты тензора напряжений ст и тензора относительных деформаций е:
E1
1
-х = — \Стх -v(CTy + CTz); -y = E[СТУ -v(CTz
-z = E
' xy .
G'
'xz .
G '
yz G
(1)
2 (1 + у)
Как следует из формул (1), жесткость грунта в рамках этой модели описывается двумя константами: модулем Юнга Е (в механике грунтов его называют модулем деформации) и коэффициентом Пуассона V. Более современная и, как кажется, более содержательная форма этих соотношений записывается через инварианты тензоров, отражающих отдельно объемные деформации и деформации формоизменения (сдвига):
СТ С:
- = —; -i =77
K
(2)
где ст, ст, — инварианты тензоров напряжений; е, ^ — инварианты тензоров деформаций; К — модуль объемного сжатия; О — модуль сдвига.
Здесь также жесткость моделируется двумя константами К и О, имеющими несколько иной смысл, чем константы Е и V в формуле (1), но в комплексе и те и другие отражают один и тот же процесс деформирования, а потому допускают попарную взаимозаменяемость, например:
E=
3KG
(К + О)' У 2 (К + О)'
Постоянство этих величин, т. е. независимость их от напряженно-деформированного состояния (НДС) грунта, как и в случае с моделью Фусса — Винклера, означает линейный характер содержащей их модели, а именно модели линейно-деформируемой среды. Добавка к соотношениям (1) или (2) закона прочности грунта в записи Кулона:
т = с - tgф + с, (4)
где т, ст — напряжения в грунте; с — прочностные параметры грунта по версии Кулона, или в записи Мизеса:
(9K - 2G)
(3)
= Ст- tg + C,
(5)
"1 к
1 С = 1др = Согк! ОД 0
К = 1да = Сопй
е1 1
Иллюстрация 2. Графическая интерпретация (диаграмма) системы линейных деформационно-прочностных моделей грунта, описываемой формулами (2), (4), (5); на графике в скобках даны обозначения для версии Кулона по формуле (4)
Иллюстрация 3. Девиаторная часть (ст; — ) протокола испытаний в стабилометре (Иллюстрация 4) твердого элювиального суглинка ненарушенной структуры [10, 149 ]
где , ст — инварианты тензоров напряжении в грунте; ф, С — прочностные параметры грунта по версии Мизеса, замыкает систему определяющих соотношении линейной модели грунта в рамках теории сплошной среды для случая статического нагружения. Графическая интерпретация этой системы приведена на Иллюстрации 4. Модель линейно-деформируемой среды сняла ряд существенных недостатков модели Фусса — Винклера [8, 77]. Однако сравнение идеализированной диаграммы этой модели (Иллюстрация 2) с результатами фактических испытаний грунта в специальном исследовательском приборе для проверки теоретических грунтовых гипотез — стабилометре показывает их существенное отличие (Иллюстрация 3).
Главное отличие заключается в том, что реальное деформирование грунта значительно сложнее, чем это изображено на диаграмме Иллюстрации 4, и при этом характер деформирования существенно зависит от текущего НДС грунта. Впервые это экспериментально определил в 1939 г. А. И. Боткин [11, 153-172]. Он же весьма удачно применил для описания сложного девиторного нагружения (сдвига) грунта весьма эффективную гиперболическую формулу (6), которую затем в том или ином виде для описания деформаций грунта применяли многие авторы, например [10, 12, 13]. Ниже приведены определяющие соотношения феноменологической нелинейной модели Боткина согласно ГОСТ 12248-96, с некоторыми ремарками, касающимися учета вида НДС [14, 1203]:
£ = ви .
' (1 -и)
в, = в (1 + р,,0); и = ;
(6)
На Иллюстрации 5 приведена упрощенная диаграмма модели Боткина в координатах инвариантов тензоров напряжений и деформаций, как и на диаграмме Иллюстрации 4.
В несоответствии линейной модели грунта его реальному деформированию заключаются все известные противоречия, возникающие при применении к расчету, прежде всего естественных оснований, теории линейно-деформируемой среды [15, 142-148]. Характерно, что главное противоречие применения этой теории к грунтам заключается в том, что основной ее расчетный параметр — модуль Юнга (модуль деформации в механике грунтов) зависит от вида нагружения грунта. Таким образом, модуль деформации неинвариантен относительно НДС, а значит, не может считаться параметром, т. е. константой грунта, как того требуют правила построения определяющих соотношений среды, т. е. ее модели.
и
Ьи =(1 + С))
£ = Л0са,
где ст — 1-й инвариант тензора напряжений; — 2-й инвариант девиатора напряжений; е — 1-й инвариант тензора деформаций; — 2-й инвариант девиатора деформаций; — предельное значение ;
Л = tg ф, В,С, Л0, а, а,, в, — параметры нелинейной модели грунта; ремарки касаются главным образом учета вида НДС ,а.
Иллюстрация 4. Рабочая камера стабилометра. Фото А. Н. Алехина
Иллюстрация 5. Упрощенная диаграмма нелинейной модели Боткина
Иллюстрация 6. Графики радиальных аг (черный цвет) и тангенциальных стф (красный цвет) напряжений в песчаном грунте вокруг скважины при различном давлении р на ее стенку [10, 99]
Сравнение диаграмм (Иллюстрации 4 и 5 с опытными данными на Иллюстрации 2 убедительно свидетельствует в пользу нелинейной модели Боткина, тем более, что в оригинальном варианте модель Боткина имеет лишь на один параметр больше, чем в линейной системе Гука — Кулона (Иллюстрация 4). Этот параметр превращает линейный график в девиаторной области нагруже-ния (ст; — е;) в семейство кривых, определяющих всю гамму особенностей деформирования грунта в условиях монотонного статического нагружения грунтовых массивов [10, 18-29]. Преимущества модели Боткина относительно линейной модели неоднократно широко обсуждались в специальной литературе и на различных конференциях, в том числе международных [14-17]. При этом впервые на перспективность использования в расчетах нелинейных зависимостей Боткина и на хо-
рошее совпадение результатов этих расчетов с экспериментальными данными еще в 1978 г. указали результаты опытов В. С. Христофорова и Г. А. Задворнева [12, 19-21]. Тем более, что (как следует из Иллюстраций 4 и 5) нелинейная феноменологическая модель Боткина, по сути, является дальнейшим нелинейным обобщением также феноменологической модели Гука — Кулона. На базе этого вывода Христофоров и Задворнев предложили в 1979 г. метод определения нелинейных параметров только несвязного (песчаного) грунта по данным прес-сиометрических испытаний, правда, используя для этого соотношения модели более низкого ранга, т. е. на базе линейной системы Гука — Кулона и приближенного одномерного решения прессиометрической задачи [17, 112117]. Очевидно, такая методика не могла давать надежные, устойчивые результаты. Поэтому, видимо, этот метод и не получил дальнейшего развития. Вместе с тем в методе были опробованы некоторые приемы решения некорректных задач [17, 112-117], в частности, использование дополнительной информации о соотношениях искомых параметров и особенностях нагрузочной схемы. И только через 20 лет исследований стало ясно, что задача определения реальных, в природном состоянии нелинейных параметров грунтов требует решения на первый взгляд довольно сложной обратной некорректной задачи механики сплошной среды [18]. Сложность постановки этой задачи легко понять из определения самого грунта: это хаотичный, сложный конгломерат твердых частиц различных размеров, формы и происхождения, в том числе органического, а также жидкостей и газов в пустотах грунта; при этом в расчетах грунт рассматривается в виде сплошной среды, бесконечно малая часть которой идентична целому [19, 85]. Вместе с тем революционное развитие вычислительной техники в конце XX в. позволило с приемлемой для проектирования и исследований скоростью решать сложные многомерные нелинейные задачи [20, 25-28]. Это обстоятельство вкупе с удобным и, как отмечалось выше, весьма эффективным, в смысле описания реальной картины деформирования грунта, видом определяющих жесткостных соотношений А. И. Боткина позволило с помощью дополнительных условий и с использованием всей совокупности опытных точек регуляризировать обратную неустойчивую задачу определения параметров. Как известно, именно эти два способа: использование дополнительной информации и увеличение количества опытных данных — являются главными приемами повышения устойчивости некорректных задач [18]. Общая методика обработки данных полевых испытаний грунтов прессиометрами и штампами для определения параметров нелинейной феноменологической модели Боткина изложена в [14, 1201-1208]. По мнению Л. Н. Репникова, любая методика определения механических параметров грунта в полевых условиях должна быть обоснованной [6, 5]. Следует добавить, что в случае обратной некорректной задачи под обоснованностью следует считать существование и единственность решения [18]. Покажем, что в случае определения параметров модели Боткина для решения проблемы применим широко распространенный в практике способ подбора. Операторное уравнение прямой задачи определения перемещений грунта под действием приложенной нагрузки имеет вид:
А (г ) = и, (7)
где г е ¥ — совокупность искомых параметров грунта, принадлежащих метрическому пространству ¥; и е V — совокупность измеренных в опытах величин, принадлежащих также метрическому пространству и; А — оператор, отображающий множество ¥ на множество и.
В силу сложности оператора А и неточности значений измеренных величин и прямая задача (7), вообще говоря, не имеет обратного решения, т. е. обратная задача х = А-1 (и) является некорректно поставленной, неустойчивой к малым изменениям исходных данных. С другой стороны, согласно утверждению Ж. Адамара [21] корректными могут считаться «естественные» задачи, описывающие существующие физические процессы. Поскольку процесс деформирования грунта при его нагружении не вызывает сомнения, задача определения механических параметров грунта, определяющих этот процесс, может считаться, по крайней мере, потенциально корректной, т. е. хотя бы поддающейся процессу регуляризации. Эта операция означает добавление условий задачи, позволяющих ее решить, например, путем уменьшения числа неизвестных в основном уравнении обратной задачи. Таких регулязирую-щих условий или операторов может быть несколько. В случае определения нелинейных параметров грунта ключевым условием является условие, вытекающее из подобия реальных и численно смоделированных графиков деформации грунта, о чем свидетельствуют как данные вышеупомянутой работы [12], так и материалы работы [10]. В работе [10] наряду с другими результатами имеется график, очень точно отражающий природу грунта. На Иллюстрации 6 приведено численно смоделированное расчетное распределение радиальных ог и тангенциальных стф напряжений в песчаном грунте вокруг скважины. На графиках хорошо видно, что при любом давлении р на стенки скважины тангенциальные напряжения стф в песке остаются сжимающими. Экспериментальное подтверждение чему, кстати, приведено в работе [10]. Заметим, что в упругопластических решениях приходится принудительно задавать условие равенства нулю тангенциальных напряжений стф для песка. Упомянутое условие подобия графиков было, с одной стороны, использовано для разработки метода прогноза осадки фундаментов [22, 23], а с другой — метода определения наиболее важного деформационного параметра гиперболической функции для модуля сдвига в модели Боткина — параметра В [16, 121-122]. Вообще в классическом построении модели Боткина присутствует, как указывалось выше, пять параметров — кроме параметра В еще параметры А, С, А$, а, к которым могут быть добавлены параметры, учитывающие вид НДС. Согласно [16]:
В = В,
ЕАиС.
(8)
Здесь В, — лабораторное значение параметра В, а Аи1 и Аи{ (А, С, А$, а, В) — соответственно фактические и численно смоделированные значения перемещений грунта при прес-сиометрическом или при штамповом испытаниях; в случае раздельного использования данных и тех и других имеется возможность определения полевого значения коэффициента (6) при параметре вида НДС (параметр Лодэ — Надаи |1а ).
Очевидно, что согласно формуле (8) значение параметра В существует и единственно для конкретного полевого испытания. В работе [16, 122] приводятся результаты независимого определения параметра В по двум графикам штампового испытания одного и того же грунта на разных глубинах. Отличие, как неудивительно, не превысило 3%, что свидетельствует в пользу высокой степени адекватности модели Боткина, учитывающей, в том числе, увеличение жесткости грунта с глубиной [10, 153], т. е. об ее эффективности.
Приняв в дальнейшем алгоритме действительное число В е В в качестве константы, мы тем самым переводим решение проблемы в область ограниченного множества натуральных чисел (А е N и С е N), поскольку нормативными геотехническими документами задано ограничение на величину угла внутреннего трения ф: 5...45° с шагом 1° [24, 14]. В принципе этот диапазон может быть даже расширен, но при современных технологических возможностях компьютеров это не имеет существенного значения. Значение же А является аналогом тангенса угла внутреннего трения ф и связано с tg ф константой, зависящей от вида НДС, то же касается соотношения удельного сцепления с и параметра Мизеса С [25, 216]. Соотношение между параметрами Мизеса С и А такое же, как между с и tg ф [25, 216-217], а это последнее достаточно надежно определяется в испытаниях грунта на срез. Параметр кривизны графика объемных деформаций а в компрессионной области нагружения (ст — е) определяется в компрессионном приборе и практически не отличается от полевого значения. В этом случае для поиска решений некорректно поставленных задач эффективен метод подбора [18, 38-42]. Метод заключается в том, что для некоторого набора параметров (в данном случае А, В, С, а и по-
лученного в компрессионном приборе приближенного значения параметра Ад) решается прямая задача (7) и в качестве решения берется набор параметров г с минимальной невязкой ри (Ах, и). Очевидно, что в силу существования решения прямой задачи такой набор параметров существует и единственен для конкретного полевого испытания, а в случае раздельного использования данных прессио-метрических и штамповых испытаний, как и в случае с параметром В, имеется также возможность определения полевого значения коэффициента о^ (6) при параметре вида НДС Лодэ — Надаи. Наконец на последнем этапе метода корректировка параметра А осуществляется стандартным методом минимизации, например, по методу наименьших квадратов невязки ри (Ахк, и) по одному параметру хк = А0. При этом и — та же, что и в (7), совокупность измеренных в опытах величин. Поскольку в случае одного неизвестного параметра уравнение регрессии будет линейным, то существование и единственность искомого параметра А, как и в случае остальных параметров, также очевидны. Таким образом, в силу вышеизложенного предлагаемый метод определения параметров по данным полевых испытаний обеспечивает существование и единственность набора их значений, соответствующих фактическим данных этих испытаний, т. е. характеризующих реальные механические свойства исследованного грунта.
Заключение
1 Приведенное в статье обоснование существования и единственности решения проблемы определения параметров одной из эффективных нелинейных моделей грунта по данным его полевых испытаний открывает возможность скорейшего внедрения нелинейных моделей в практику проектирования согласно положениям Федерального закона №384-Ф3.
2 Эти модели позволяют учесть в геотехнических расчетах две главные особенности грунтов: сложность их деформирования и природное происхождение.
3 Для обеспечения экономической эффективности перехода в геотехническом проектировании от линейных моделей к их нелинейным аналогам на базе полевых испытаний грунтов следует также повысить технологичность и оптимизировать параметры полевых приборов, прежде всего размеры их нагрузочных частей.
Список использованной литературы
1 Федеральный закон №384-Ф3 «Технический регламент о безопасности зданий и сооружений» // Собрание законодательства РФ. 04.01.2010. № 1.
2 Отчет №ТК-120 по результатам обследования технического состояния несущих и ограждающих конструкций здания многопрофильной клиники, расположенной на пересечении улиц Большакова — Чайковского в городе Екатеринбурге/ООО «ТЕХКОН». Екатеринбург, 2012.
3 Улицкий В. М. Предисловие // Взаимодействие сооружений и оснований: методы расчета и инженерная практика : труды междунар. конф. по геотехнике. СПб., 2005. Т. 2. С. V-VI.
4 Лушников В. В. Сопоставление результатов полевых и лабораторных исследований сжимаемости элювиальных глинистых грунтов // Вопросы строительной механики. Свердловск, 1967. С. 168-174.
5 Бернацкий Л. Н. Прикладная геотехника. М., 1935.
6 Репников Л. Н. Расчет конструкций на комбинированном основании. М., 1973.
7 Дмитриев Г. Трансвааль и пустота. Информационная война вокруг трагедии (фото European Pressphoto Agency). URL: http://www. 2005.novayagazeta. ru/nomer/2005/11n/n11n-s31.shtml) (дата обращения: 10.03.2015).
8 Алехин А. Н. Краткая характеристика моделей грунта // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2011. № 1. С. 75-80.
9 Горбунов-Посадов М. И. Расчет конструкций на упругом основании. М., 1955.
10 Алехин А. Н. Нелинейный анализ напряженно-деформированного состояния грунтовых массивов : дис. ... канд. техн. наук / Уральский политехн. ин-т. Свердловск, 1982.
11 Боткин А. И. Исследование напряженного состояния в сыпучих и связных грунтах // Известия НИИ гидротехники. М. ; Л., 1939. Т. 24. С. 153-172.
12 Христофоров В. С., Задворнев Г. А. Напряженно-деформированное состояние грунта с нелинейными характеристиками при осесимметричной плоской деформации // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1978. № 6. С. 19-21.
13 Ломизе Г. М., Крыжановский А. Л., Петрянин В. Ф. Исследование закономерностей развития напряженно-деформированного состояния песчаного основания при плоской деформации // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1972. № 1. C. 4-7.
14 Алехин А. Н., Алехин А. А. Определение параметров нелинейной модели грунта по данным полевых ис-пытаний//Геотехнические проблемы мегаполисов : труды междунар. конф. по геотехнике. М. 2010. Т. 4. С. 1201-1208.
15 Алехин А. Н. Критика применения теории линейно-деформируемой среды при расчете деформации грунтов // Проблемы градостроительства на Урале в 21 в. : Пятые Уральские академические чтения. Екатеринбург, 2000. С. 142-148.
16 Алехин А. Н. Определение параметров некоторых нелинейных моделей грунта по данным полевых испытаний // Инженерно-геологические проблемы урбанизированных территорий : материалы междунар. симпозиума «EngGeolCity-2001». Екатеринбург, 2001. Т. 1. С. 115-122.
17 Христофоров В. С., Задворнев Г. А. Определение прочностных и нелинейных деформационных характеристик несвязного грунта по результатам прессиометрических испытаний // Экспериментально-теоретические исследования процессов упру-
гопластического деформирования оснований и фундаментов : межвуз. сборник. Новочеркасск, 1979. С. 112-117.
18 Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М., 1979.
19 Алехин А. Н. Геотехнические аспекты Федерального закона №384-Ф3 «Технический регламент о безопасности зданий и сооружений» // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2014. № 4. С. 82-86.
20 Алехин А. Н., Соломин В. И. Решение прессиометри-ческой задачи в нелинейной постановке // Основания и фундаменты в геологических условиях Урала : межвуз. сборник науч. трудов. Пермь, 1988. С. 25-28.
21 Hadamard J. Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. 1902. P. 49-52.
22 Alekhin A., Nikulin B. New developments in computer aided prediction of soil base settlements // Proceedings of the 4-th Intern. Conf. on Civil and Structural Engineering Computing. London, 1989. Vol. 2. P. 249-254.
23 Алехин А. Н. Метод расчета осадок грунтовых оснований с использованием нелинейной модели // Реконструкция городов и геотехническое строительство. СПб., 2004. № 8. С. 156-161.
24 СП 50-101-2004. Проектирование и устройство оснований и фундаментов зданий и сооружений. М., 2005.
25 Малышев М. В. Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений. М., 1994.
