Обобщённые многочлены Нараяны и их q-аналоги Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2016

Секция 1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

9

УДК 519.1 DOI 10.17223/2226308X/9/1

ОБОБЩЁННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАРАЯНЫ И ИХ q-АНАЛОГИ1

Л. Н. Бондаренко, М. Л. Шарапова

На введённых 312-избегающих ГС-перестановках порядка r ^ 1 рассматриваются производящие многочлены статистик rise, des и inv. Показано, что многочлены статистик rise и des являются обобщением известных многочленов Нараяны. Получены обратная производящая функция, алгебраическое уравнение для производящей функции и рекуррентная формула с кратными свёртками для обобщённых многочленов Нараяны. Для производящих многочленов пары (des, inv) найдены аналог полученной рекуррентной формулы и уравнение для производящей функции этих многочленов, частный случай которых приводит к соответствующим q-аналогам обобщённых многочленов Нараяны.

Ключевые слова: 312-избегающие ГС-перестановки, обобщённые многочлены Нараяны, производящая функция, обратная функция, свёртка, q-аналоги.

Если все буквы слова а = а1... ат длины |а| = rn над алфавитом Nn = {1,... , n}, где r ^ 1 — целочисленный параметр, стоящие между любыми двумя вхождениями символа i Е Nn, не меньше этого i, то эту особенность а назовем ГС-свойством, а множество всех перестановок мультимножества {1r,...,nr}, обладающих ГС-свойством (ГС-перестановок), обозначим GSn,r.

Эти названия мотивированы применением И. Гесселем и Р. Стенли множества GSn,2 для изучения полиномиальных последовательностей Стирлинга обоих родов [1], а также исследованием свойств чисел Эйлера порядка r, комбинаторная интерпретация которых связана с рассмотрением GSn,r [1-3].

Введем обобщение понятия рассматриваемой в [4, 5] 312-избегающей перестановки.

Определение 1. Слово а Е GSn,r назовем 312-избегающей ГС-перестановкой порядка r, если не существует тройки индексов i < j < k, для которых выполняется неравенство aj < ak < аг, а множество всех таких перестановок обозначим GSn,r.

Для слова а Е GSn,r стандартным образом вводятся неотрицательные целочисленные функции (статистики): rise^) = |{i Е Nn : аг-1 < аг,а0 = 0}| —число подъёмов; des^) = |{i Е Nn : аг > аi+1,аn+1 = 0}| —число спусков; ту(а) = |{(i, j) Е Nn : i < j, а г > aj }|/r — приведённое число инверсий.

n

Теорема 1. Производящие многочлены An,r (t) = An,r,k tk статистик rise и des __ ' k=i

на множестве GSn,r совпадают и определяются равенством

Anr(t) = ПkS(k)(k- >■ (1)

1 Работа поддержана грантом РФФИ №14-01-00273.

Теоретические основы прикладной дискретной математики

7

где A

(1) = Cn, r+1

1

rn +1

(r + 1)n

n

— числа Фусса — Каталана [2].

Доказательство. Так как rise(a) = des(n), а, п G GSn,r, п = arn+1-i, i G Nrn, то многочлены (1) статистик rise и des совпадают. Для вычисления коэффициента An,r,fc = |{а G GSn,r : rise(a) = k}| сопоставим каждой перестановке а G GSn,r слово т = т1... Trn, т = rn + 1 — arn+1-i, i G Nrn, упорядочиваемое с помощью единственного стека, и сформируем новую последовательность, в которую записывается 1, когда символ слова т помещается в стек, и —1, когда он вынимается из стека, причём в соответствии с принципом «последним пришёл — первым ушёл» из стека вынимаются последовательно r одинаковых символов. В результате перестановке а G GSn,r сопоставляется последовательность длины 2rn, состоящая из одинакового числа 1 и —1 (число записанных подряд —1 кратно r), её частичные суммы неотрицательны, а rise(a) = k, если в этой последовательности имеется k переходов с 1 на —1. rn n — 1

пар k-композиций A : а1 + ... + а^

Имеется ^ ^ ^ ^ пар к-композиций А : а + ... + ак = гп + 1 и

В : 61 + ... + 6^ = п взаимно простых чисел гп + 1 и п. Пусть циклическая последовательность и> = и>(А, В) состоит из й1 единиц, г61 минус единиц, й2 единиц, г62 минус единиц и т.д., причём имеет ровно к пар (А», В»), г = 1,...,к, вида А» : а + ат +... + ^ + Й1 +... + йг-1 = гп + 1, В» : 6» + 6г+1 + . . . + + 61 + . . . + 6»_1 = п. Тогда по лемме Рени [2, 4] единственным способом можно разорвать т так, чтобы получилась последовательность, начинающаяся с 1, после удаления которой любая частичная сумма оставшейся последовательности неотрицательна. Таким образом, получена биекция циклических классов эквивалентности {(Аг,Вг) : г = 1,... , к} с множеством (а С GS'ra)í. : rise(а) = к} и

A

n,r,fc

1 rn

kU - 1

n — 1 k1

1 / n

nk

rn k1

Отметим, что при г =1 эта конструкция аналогична используемой в [4, 5], а Ап г (1) легко вычисляется с помощью свёртки Вандермонда. ■

При г =1 выражение (1) задает многочлены Нараяны, коэффициенты которых называются числами Нараяны. Эти многочлены и числа встречаются в ряде комбинаторных задач [4]. Поэтому в рассматриваемом обобщении назовем АП)Г)£ числами Нараяны порядка г, а АП;Г(¿) — многочленами Нараяны порядка г.

Следствие 1. Многочлены Нараяны порядка г находятся по формуле

1 дп-1

Ап,г(*)= п ^((V + *)> +1Г\_о

Доказательство. Непосредственное вычисление (2) с помощью формулы Лейбница для (п — 1)-й производной приводит к выражению (1). ■

те _

Теорема 2. Производящей функции V = Аг (¿,и) = ^ АП)Г (г) ип отвечает обрат-

Го^

ная функция и = А-1(£, V) = v(v + + 1)_г, и справедливо соотношение

Ao,r(t) = 1, а4п+1,г(t) = (t — 1) (а4п,г(t)}r + (А*,г(t)}r+1, n ^ 0, (3)

8

Прикладная дискретная математика. Приложение

где (Pn(t))m = Pkl(t)... Pkm (t) — m-кратная свёртка последовательности

ki + ...+km=n, ki ^G

многочленов P0(t), Pi(t),..., Pn(t), deg(Pk(t)) = k, k = 0,1,..., n.

Доказательство. Первое утверждение теоремы 2 вытекает из (2) и теоремы Лагранжа [4]. Применение функции v = Ar(t,u), увеличенной на 1, к u = A-i(t,v) даёт алгебраическое уравнение u(v + 1)r+1 + u(t — 1)(v + 1)r — (v +1) +1 = 0. Так как ко-

( ~ \ r+i

эффициент при un степенного ряда (v + 1)r+1 равен свертке ( An,r (zU , то сравнение

коэффициентов в этом уравнении при степенях u даёт рекуррентное соотношение (3), причём при t =1 уравнение и соотношение (3) соответствуют формулам из [2]. ■

Теорема 2 допускает q-обобщение.

Теорема S. Справедливо рекуррентное соотношение

Adrv(t, q) = 1, in+írv(t, q) = (t — 1) (lners,inv(t, q))r + ( (t, q))r+1 , n ^ 0, (4)

где (Pn(t, q))m = E qk2+2k3+...(m-i)kmPki (t,q)... Pkm (t,q) является q-аналогом

ki + ...+km=n, ki ^G

m-кратной свёртки последовательности многочленов P0(t, q), Pi(t, q),... , Pn(t, q), а

œ_

производящая функция AdJes,inv(t,u; q) = E Aner,inv(t,q)un удовлетворяет уравнению

r n=0 n,r

A4des,inv(t, u; q) = 1 + u(Ades,inv(t, u; q) + t — 1)Afs,inv(t, qu; q)... Afs,inv(t, qru; q).

Доказательство. Рекуррентное соотношение (4) для производящих многочленов пары (des, inv) является q-обобщением выражения (3) и может быть получено применением метода математической индукции по r к словам из 1 и — 1 , используемым в доказательстве теоремы 1, причем для случая r =1 применяется метод доказательства, аналогичный рассмотренному в [б] при t =1. Соотношение (4) при t = 1 определяет q-многочлены Нараяны Bn,r(q) = An+i"rv(1, q) порядка r, совпадающие при

r = 1 с многочленами из [б]. Уравнение для производящей функции AdJes,inv(t,u; q) соответствует рекуррентному соотношению (4). ■

Таким образом, рассмотрение статистик на множестве 312-избегающих ГС-перестановок порядка r позволяет получить естественным путём как обобщённые многочлены Нараяны, так и их q-аналоги.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gessel I. and Stanley R. P. Stirling polynomials //J. Comb. Theory. Ser. A. 1978. V. 24. P. 24-33.

2. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 1998. 703 с.

3. Бондаренко Л. Н., Шарапова М. Л. Параметрические комбинаторные задачи и методы их исследования // Известия вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2010. №4 (16). С.50-63.

4. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Т. 2. М.: Мир, 2009. 768 с.

5. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 1. М.: Мир, 1976. 720 с.

6. Fürlinger J. and Hofbauer J. q-Catalan numbers //J. Comb. Theory. Ser. A. 1985. V. 40. P. 248-264.