Обобщенные формулы в задачах о проценте Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ

УДК 372.851

© Р.З. Абасов

Обобщенные формулы в задачах о проценте

В данной статье без доказательств приводится ряд обобщенных формул на тему «проценты», указываются некоторые их рациональные применения к решению задач на проценты. Также проводятся некоторые обсуждения этих формул. Ключевые слова: обобщение, проценты, отношение, рациональное решение.

R.Z. Abasov

Generalized formulas in the problems on percentage

This article provides a set of generalized formulas without proof on the theme "persentage". Further on, some of their rational applications to solving problems on percenage are defined. Some discussion of these formulas is also held. Keywords: generalization, percents, ratio, efficient solution.

Введение. Программа по школьной математике, устроена таким образом, что тема «проценты» изучается в младших классах, где, собственно говоря, серьезной математики еще нет и к задачам по этой теме, к сожалению, не возвращаются в старших классах. В результате углубленные задачи на проценты часто вызывают затруднения у учащихся. Думаем, что и по этой причине даже опытные математики не ставили вопрос об обобщенных формулах для рационального решения задач на проценты. В результате каждая задача на проценты решается стандартно, с помощью характерных вычислений, т.е. без применения соответствующей обобщенной формулы. И для другой задачи подобного типа этот же механизм вычисления повторяется. Думаем, что после решения достаточного количества задач одного и того же типа, когда ученики уже полностью поняли сущность рассмотренной задачи, если не пытаться найти соответствующую обобщенную формулу, то потом трудно будет привлечь внимание учащихся к самостоятельной работе о рациональных способах решения. А вдохновлять ученика к творчеству - главная задача нынешней школы. Противоречие налицо, что делать?

Вообще говоря, школьное изучение темы «проценты» привлекло внимание многих математиков разных времен и по разным вопросам. Взгляды, советы, подходы к этой теме отличаются [1-6]. Но, независимо от всего этого, сделать рациональные обобщения всегда является полезным делом для быстрого и эффективного решения задач определенного типа.

Учитывая все сказанное, думаем, что на факультативных занятиях в старших классах можно рассмотреть специальную тему об обобщен-

ных формулах по теме «проценты».

В данной работе без доказательства мы приводим несколько таких формул, указывая их эффективное применение и делаем некоторый анализ по этим формулам.

Ученики с помощью учителя легко могут доказать справедливость этих формул и найти задачи, где можно эффективно их применять.

Задача 1. На сколько процентов число Ь меньше а, если число а больше Ь на р%.

Ответ: 100Р % (1) 100 + р '

Например, если а больше Ь на 10%, то Ь меньше а на 100 •10 _ 9 100 +10 11

Задача 2. На сколько процентов число Ь меньше а, если число а меньше чем Ь на р%.

Ответ: 100Р % (2) 100 - р '

Эти же задачи можно соответственно сформулировать еще следующим образом.

Задача 3. Число Ь увеличили на р%. На сколько процентов надо уменьшить полученное число, чтобы получить данное число Ь ?

Ответ: 100Р % (3)

100 + р

Задача 4. Число Ь уменьшили на р%. На сколько процентов надо увеличить полученное число, чтобы получить данное число Ь ?

Ответ: 100р % (4) 100 - р '

Задача 5. Число увеличили на р%, а результат увеличили на . На сколько процентов увеличено данное число?

Ответ:

р + д + ^ 1%. (5) 100 )

Задача 6. Число сначала уменьшили на р%, а результат уменьшили на д% . На сколько процентов уменьшено данное число? Ответ: Гр + д - РЯ_(6)

100

Задача 7. Число увеличили на р%, а результат уменьшили на д% . На сколько процентов и в каком смысле изменено данное число?

Ответ:

р - д--

рд 100

(7)

Замечание 1. При конкретных значениях р и д здесь можно получить разные ответы.

Если в результате получится положительный процент, это означает, что после этой операции данное число увеличилось на столько же процентов. Если получится отрицательный процент - значит, данное число уменьшилось на столько же процентов. И, наконец, если получится нуль, значит, после этой операции данное число не изменилось.

Задача 8. Число уменьшили на р%, а результат увеличили на д % . На сколько процентов и в каком смысле изменено данное число?

Ответ:

д - р

рд ]%. (8) 100)

Замечание 2. Если в последних двух формулах примем д = р , то в обоих случаях получим

один и тот же ответ:

-%. (9) 100

Это означает, что нет разницы, если сначала увеличить число на р%, а потом уменьшить на р% или, наоборот, всегда данное число уменьшается на р %. 100

Пример. Если число увеличили на 14%, а потом результат уменьшили на 14% (или наоборот), то в результате данное число уменьшится 142

на-% = 1,96%.

100

Задача 9. Сколько процентов составляет число Ь от числа а, если число а составляет р% от числа Ь .

Ответ: . (10)

р

Задача 10. Число а составляет р1% от числа

Ь, Ь составляет р2 % от Ь, и так далее, Ьп-1 составляет рп % от Ьп . Сколько процентов

составляет число от числа

Ь?

Ответ: Л • р2 •...• р,

100п

В числе текстовых задач на проценты особое место занимают задачи на смеси, растворы и сплавы, называемые еще задачами на процентное содержание или концентрацию. В таких задачах, говоря о смесях, растворах и сплавах, будем употреблять общий термин «смесь» независимо от ее вида. Смесь состоит из чистого вещества и примеси. Чистое вещество определяется в каждой задаче отдельно, и при этом все остальные вещества, составляющие смесь, относят к примеси. Долей (а) чистого вещества в смеси называется отношение количества чистого вещества (т ) в смеси к общему количеству (М) смеси, т.е. а = т.

М

После этого в [2, с. 56-62] устанавливаются основные этапы решения задач, и в конце составляется уравнение, которое содержит неизвестные т,М,аа также составляют нужную таблицу вычисления.

Но думаем, что такая постановка решения задач на проценты эффективна в младших классах, чтобы ученики глубоко поняли сущность решаемых задач. Но все-таки после полного осознания сущности решаемых задач появится желание применять обобщенные формулы для решения этих задач, чтобы каждый раз не повторять стандартные этапы вычисления. Поэтому мы продолжим разговор об обобщенных формулах для решения задач на проценты и укажем еще несколько таких формул.

Задача 11. Имеем т1 смеси с процентным содержанием чистого вещества р% . Сколько

литров пресной воды нужно добавить, чтобы получилось смесь с д% чистого вещества

(р > д)?

Ответ: т(р - д) 1. (11)

д

Пример. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 10 I 70%-ной смеси, чтобы получить 40%-ную смесь?

Решение: т(р - д) = 10 •(70 - 40) = 7 5/.

д 40 ,

Задача 12. Имеем т1 смеси с процентным содержанием чистого вещества р%. Сколько литров Г % -ной смеси нужно добавить, чтобы

Абасов Р.З. Обобщенные формулы в задачах о проценте

получилось -ная смесь?

Ответ: т(р - Я) 1. (12)

Я - г

Ясно, что при Г = 0 получится формула (11). Задача 13. Имеем т1 р%-ной смеси. Сколько литров воды нужно выпарить, чтобы получить Я % -ную смесь (Я > р)?

х =

100р 100•20

= 25%.

Ответ: т(Я - р)

I.

Я

Ясно, что задачи с номерами 11 и 13 взаимно обратные по содержанию. Это видно также в соответствующих ответах.

Список подобных обобщенных формул можно продолжить, рассматривая новые задачи на проценты. Еще раз отметим, что для доказательства этих формул эффективно можно привлечь внимание учащихся старших классов, заинтересованных исследовательской работой.

Теперь рассмотрим несколько конкретных задач, где эффективно применяются вышеуказанные обобщенные формулы. Рассмотренные здесь задачи подобраны из конкретных статьей и даже учебников. Поэтому, при анализе этих задач сначала излагается (может и неполно) авторское решение, а потом применяется соответствующая вышеуказанная формула.

Пример 1. [5, с. 18-22]. На сколько процентов число а больше Ь, если Ь меньше а на 20%?

Авторское решение: «По условию Ь меньше а на 20%. Значит, приняв а за 100%, для Ь получим:

Ь = а -

20 • а 100

х • Ь 100

следует такое:

Пусть теперь а больше Ь на х%, тогда, приняв за 100 % число Ь, найдем а = ь + х'Ь . Из этих

двух равенств

( 20 • а\ х ( 20 • а а = 1 а--I +---1 а--

^ 100 ) 100 ^ 100

Решая это уравнение относительно х, получим: х =25%».

Из этой схемы решения следует, что если вместо 20% было задано другое число (процент), то для решения задачи мы должны были повторять всю схему решения. Конечно, это неэффективно в практических целях. Поскольку такие задачи имеют стандартный характер, то выгодно доказать соответствующую обобщенную формулу.

Если применим формулу (2), то сразу получим ответ:

100 - р 100 - 20

Пример 2. На сколько процентов увеличится реальная стоимость зарплаты, если все цены промышленных и продовольственных товаров уменьшатся на 25%?

В [1, с. 50-60] автор, принимая несколько обозначений, после долгих вычислений, приходит к результату: 33 — %

3

Анализ показывает, что если вместо 25% взяли бы р% и повторяли бы всю схему вычисления, по которой действовал автор в [1], то можно было прийти опять к формуле (2) в задаче 2, хотя эти две задачи могут нам показаться разными:

х = _Ш0^ = Ш-25 = 331%.

100 - р 100 - 25 3

Пример 3. [6, с. 20-22].

а) высоту прямоугольной коробки увеличили на 10%, а ее длину и ширину не изменили. На сколько процентов увеличился объем коробки?

б) длину и ширину прямоугольной коробки уменьшили на 10%, а высоту не изменили. На сколько процентов уменьшили объем коробки?

в) длину прямоугольной коробки увеличили на 10%, ширину уменьшили на 10%, а высоту не изменили. Изменился ли объем коробки? Если да, то как?

Автор этой задачи не дает полное решение, вместе с тем считает, что задачи олимпиадного характера.

Легко доказать, что произведение нескольких положительных чисел изменится на р% , если

только один сомножитель изменится на р% ,

причем характеры изменения одинаковы. Поэтому в пункте а) ответ будет 10%, поскольку объем коробки вычисляется по формуле V = а • Ь • С, где а, Ь и с - длины сторон коробки.

Если изменятся только два сомножителя, то можно применять формулы (5) - (9). В частности, если увеличены две стороны коробки, то применяется формула (5):

рЯ Ш Л А 10 •1^,0/ р + Я + ^- = 10 +10 +-= 21%.

100 100

И, наконец, если одну из сомножителей увеличили на р%, а другую уменьшили на р%, то

надо применять формулу (9). И поэтому, в пункте в) получим

р2 100

т.е. в данном случае объем коробки уменьшится на 1%.

Пример 4. [3, с. 32-37]. В одном городе Канады 70% населения может говорить по-французски, а 80% - по-английски. Сколько процентов населения этого города владеет двумя языками?

Автор этой задачи предложил два способа решения - алгебраический и геометрический методы. Но что нам мешает в конце такой простой задачи найти соответствующую обобщенную формулу: если р% говорит на одном языке, а д% - на другом (р + д > 100), то (р + д -100)% населения могут говорит на этих двух языках (в таких задачах предполагается,

что каждый житель этого города может говорит хотя бы на одном языке).

Пример 5. [2, с. 56-62]. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

Авторское решение:

1. Пусть требуется добавить х кг пресной воды.

2. За чистое вещество примем соль. Тогда морская вода - это смесь с 5%-ным содержанием чистого вещества, пресная вода - с 0%-ным.

3. Переходя к долям, получаем, что доля соли в морской воде составляет 0,05, а в пресной воде равна 0, доля соли в смеси, которую нужно получить, - 0,015.

4. Происходит соединение смесей по следующей таблице/

Таблица

Состояние смеси т (кг) М(кг) а

1 0,05 • 30 30 0,05

2 0 • х х 0

3 0,05 • 30 30+х 0,015

5. Исходя из третьей строки таблицы, составим уравнение m = аM :

0,05 • 30 = 0,015(30 + x).

6. Решаем полученное уравнение и находим x = 70 кг.

Конечно, такое подробное решение насколько разборчиво, настолько и не практично. Потому, что если данные числа в условии этой задачи изменятся, то для ее решения придется повторять всю схему решения полностью.

Но, если использовать обобщенную формулу (11), то сразу получим

х = m(р - д) = 30 • (5 -1,5) = 70 кг.

д 1,5

И, наконец, последний пример возьмем из учебника [4, с. 225].

Пример 6. Стороны прямоугольника увеличились на 10%. На сколько процентов увеличится его площадь.

Авторское решение: «Пусть а-длина и Ь -ширина этого прямоугольника. Находим стороны нового прямоугольника: длина -

а + ±--10 = 1,1а, ширина - ь + — • 10 = 11Ь Тогда 100 100 ' '

площадь нового прямоугольника будет

1,1а • 1,1Ь = 1,21аЬ . По известной формуле нахо-

дим, на сколько процентов увеличилась площадь данного прямоугольника:

1,21аЬ - аЬ аЬ

•100% = 21%».

Ясно, что если в таких задачах вместо 10% зададим другое число (процент), то придется повторять все вычисления заново.

Здесь целесообразно применять формулу (5), при р = д = 10%:

р + д +рд = 10 +10 + ^ = 21%.

100 100

В этом учебнике аналогичными вычислениями решается и следующая задача: длина прямоугольника увеличилась на 20%, а ширина уменьшилась на 10%. На сколько процентов и в каком смысле изменилась площадь прямоугольника?

Замечание 3. Поскольку площадь прямоугольника вычисляется по формуле £ = а • Ь , то процентное изменение площади прямоугольника фактически не зависит от того, какие именно стороны прямоугольника и на сколько процентов изменятся (в любом варианте).

В каждом варианте для решения подобных задач можно применять соответствующую формулу из (5) - (9).

Бадмаева Э.С. Интегративный подход в профессиональной подготовке математиков-программистов

Учитывая замечание 3, необходимо сделать корректировку в условиях подобных задач, которые встречаются в разных источниках.

Также ясно, что процентное изменение площади квадрата и круга (5 = а2 = а • а; 5 = пг2 = п • г • г) можно найти, применив формулу (5)-(9). Например, если радиус круга увеличился на 10%, то его площадь

увеличится на ^ + ^

10-10 100

= 21%

(в формуле (5)

тематических фактов. Для этого не требуется специальное математическое дарование, необходимо, чтобы учитель всегда поддерживал творческую активность ученика, предлагая ему соответствующие задания. А таких задач в школьной математике достаточно, поскольку любой математический вопрос можно углублять неограниченно и учитель может в каждой теме требовать от своих учеников рациональных обобщений, доступных для них. Как показало наше исследование, одной из таких тем может оказаться тема «проценты». Думаем, что на факультативных занятиях можно рассмотреть специальную тему об обобщенных формулах по теме «проценты». И вообще, не пора ли пересмотреть программу школьного курса математики по теме «проценты»?

принимаем p = q = 10%).

Заключение. Выявление и развитие математических способностей учащихся и повышение их интереса к самостоятельной творческой работе в математике является одной из важных задач современных средних школ. При этом основным показателем считается умение находить нужное обобщение и рациональное решение рассмотренных задач, а также делать анализ ма-

Литература

1. Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления // Математика в школе. - 2003. - №5. -С.50-60.

2. Водинчар М.И., Лайкова Г.А., Рябова Ю.К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений // Математика в школе. - 2001. - №4. - С. 56-62.

3. «Квант» для младших школьников: математика 6-8. М.: Бюро Квантум, 1988. - С.32-37.

4. Марданов М.Дж. и др. Математика: учебник 6-го класса. Баку, 2002. - С. 225 (на азерб. языке).

5. Рязановский А.Р. Задачи на части и проценты // Математика в школе. - 1992. - №1. - С. 18-22.

6. Шевкин А.В. Еще раз об изучении процентов // Математика в школе. - 1993. - №1. - С. 20-22.

Абасов Рагиб Зейнал оглы, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшей математики» Азербайджанской государственной нефтяной академии, профессор Российской академии естествознания. г.Баку, e-mail: [email protected]

Abasov Rahib Zeinal ogly, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of higher mathematics, Azerbaijan State Oil Academy, professor of the Russian Academy of Nature Studies. Baku, e-mail: [email protected]

УДК 378.016:51

© Э. С. Бадмаева

Интегративный подход в профессиональной подготовке математиков-программистов

В статье рассматривается возможность интеграции личностно-ориентированного и компетентностного подходов в подготовке специалистов по математическому моделированию информационных систем.

Ключевые слова: фундаментализация профессионального образования, личностно-ориентированный и компетентност-ный подходы в образовании, контекстное обучение, математическое моделирование.

E.S. Badmaeva

Integrative approach in professional training of mathematicians-programmers

In the article a possibility of integration of personality-oriented and competence approaches in the training of specialists on mathematical modeling of informational systems is considered.

Keywords: fundamentalization of professional education, personality-oriented and competence approaches in education, contextual teaching, mathematical modeling