CC BY
32
У
Обобщение понятия частотного резонанса на поведенческую модель линейной динамической системы с внешним описанием
Ключевые слова: поведенческая модель, внутреннее поведение, внешнее поведение, многопараметрический резонанс, резонанс формы.
Зельманов С.С.,
ВВФ МТУСИ, zelmanss@yandex.ru
Ограниченность классического определения резонанса в линейных стационарных системах привела к появлению работ по теории резонанса, расширяющих класс систем, к которым это понятие могло быть отнесено[1, 2, 3]. Появление ряда определений резонанса поставило задачу обобщения понятия этого явления с использованием поведенческой модели с внешним описанием.
Рассмотрим такую бихевиоральную, т.е. поведенческую модель. При этом учтем, что в соответствии с теорией бихевиоризма система может иметь самую различную физическую природу, но главным здесь является понятие о ее поведении, как объективно наблюдаемой системе реакций на разнообразные внешние воздействия (стимулы).
Модель такой динамической системы имеет вид:
у(/)-^(и(г</)). (1)
где I - время (действительное число), а входной сигнал //: / —> и, представлен в виде и - множеством своих значений. В случае, когда система имеет п входов, то будем полагать и = /?", где /?" - множество /1-мерных векторов.
Функция р означает семейство функций внешнего отображения, индексированное состоянием системы, т.е. функций, преобразующих отрезок входного сигнала 1/(г) = ы(г </) ПРИ оо< г </ в значение выходного сигнала
уеУдля каждого выбранного начального состояния системы х.
Выходной сигнал у: / —» К функция, представленная
своими значениями в У для систем с одним выходом, где У - множество действительных чисел.
Мы не будем, как правило, рассматривать зависимость поведения системы от начального состояния и будем полагать его некоторым стандартным, например нулевым. Оператором перехода от функции внешнего воздействия «,(/) к функции-«отклику», т.е. выходному значению г/,(/) служит интеграл свертки для нулевого начального состояния:
Классическая теория резонанса в линейных стационарных динамических системах, предложенная в первой половине XX в. российскими академиками Л.Н. Мандельштамом и НД Папалекси применительно к одиночному резонатору с пренебрежимо малыми потерями, в последующие годы не получила своего развития. При этом появились резонансные системы со многими степенями свободы, существенными потерями и собственными процессами негармонического типа, на которые классическая теория резонанса не распространяется. Частота уже не является единственным резонансным параметром. Была предложена теория спектрального резонанса и резонанса формы сигнала. На базе теории пространств и в частности с использованием функционального Соболева пространства входных сигналов обосновывается возможность обобщения понятия частотного резонанса на более широкий класс линейных стационарных динамических систем с внешним описанием, для которых характерен экстремальный отклик на сигналы как гармонического, так и негармонического типа. Предлагается классификация видов резонанса для передаточных функций систем, различных по числу параметров переменных.
Это ядро оператора называется также функцией Грина для системы с распределенными параметрами. Если оператор грансляционно инвариантен, то есть если соответствующее уравнение имеет постоянные коэффициенты по отношению к А, то функция Г рина может быть выбрана в виде конволю-ционного оператора вида:
С(/,г) = С(/-г) (3)
В таком случае она совпадает с импульсной характеристикой линейной стационарной системы, а оператор имеет вид интеграла Дюамеля.
Поведенческая модель системы позволяет ставить и решать задачи на некоторые её “особые” поведения. Известны решения задачи на устойчивое поведение, неустойчивое поведение, ограниченный отклик.
Предметом настоящей работы является исследование особого поведения системы, которое принято называть резонансом. Мы будем рассматривать это поведение в расширенном понимании, по сравнению с обычным поведением, для чего сформулируем следующие определения:
I. Уровнем /. сигнала и(і) на отрезке (0;Г) будем называть значение заранее выбранной нормы соответствующей функции, суженной на отрезок (0;Г) для фиксации внимания на этом отрезке. Например, мы будем использовать в качестве такой нормы известные нормы в пространствах /, и Л
комплекснозначных и действительных функций, интегрируемых на множестве /? без квадрата и с квадратом соответственно, т.е.
К = ])и(х)|(іх и Н = ||и!(х)с1х
1 И 1 к
(4)
£/,(/) = ^(ЛОИДГ^Г'
о
где С(/,г) - это ядро этого оператора.
44
(2)
2. Используем также Липшицеву норму
||и|| = Бир м(^) 0 < / < 7" • (5)
которая в пространстве Соболева содержит ограничение на поведение приращения сигнала, допуская как разновидность максимума существование его асимптотического представления.
3. Введем также понятие вариации сигнала на отрезке (0;7~) как соответствующее сужение гладкой вариации соответствующей функции на этот отрезок. Будем обозначать такую вариацию в дальнейшем 5(и). Будем рассматривать
Т-Сотт #5-2012
У
малые вариации, полагая имея ввиду малые
отклонения функции.
Одной из задач на “особое” поведение является задача на «собственные снгналы» системы.
Назовем входной сигнал «(/) «собственным сигналом» системы на отрезке (0;Г). если для этой системы выполняется условие: 3/0 и А, для которых
у(г-Го)=Аи(1)1е(0,Т), (6)
т.е. существуют такие величины /(| и А, для которых выходной сигнал будет пропорционален входному сигналу, (возможно взятому с задержкой).
В этом случае, как видно, существует совпадение входного и выходного сигнала с точностью до сдвига по времени и умножения по значению. Будем говорить, что в этом случае сигналы “совпадают но форме” на заданном отрезке.
4. Пусть теперь множество входных сигналов сужено до однопарамегрического семейства функций параметра (о е О, и=и(<У,/)- Рассмотрим теперь следующие возможные ситуации:
а) и=и(й>,/) является собственным для системы для всех й)бП,
б) и =ч((0,1) является собственным только для уникальных значений параметра со, или ни для каких значений этого параметра.
Второй случай малоинтересен для практики. Первый же случай позволяет исследовать такую зависимость как £ = ||у|| = /(<у). те- зависимость уровня выходного сигнала
как функции параметрам, определяющего семейство.
Эту зависимость уровня выходного сигнала от<у - параметра семейства входных сигналов назовем нередаточной характеристикой системы на собственных сигналах. Среди возможных типов функциональных зависимостей для f((o) особое место занимают такие, для которых имеет место следующее соотношение: 3<У0 е Г} такая, что
/(<*>о)>/(6>)У<а*(0о' (7)
т.е. существует некоторый параметр *у, принадлежащий
множеству £2,
которому соответствует максимальный уровень (норма) выходного сигнала по сравнению со всеми другими параметрами из множества О.
Будем называть такое значение параметра “резонансным”, а повеление системы при входном сигнале м=и(<а0,/) резонансным поведением или просто резонансом. Введенное здесь определение резонанса характеризует внешнее поведение системы.
Однако, нетрудно видеть, что оно полностью согласуется с классическим определением резонанса, которое характеризует внутреннее поведение системы.
В работе [4] Н.Д. Папалекси так определяется явление резонанса. характеризующее внутреннее поведение системы:
"Резонанс — резкое возрастание амплитуд установившихся вынужденных колебаний, наступающее при приближении частоты/» гармоничного внешнего воздействия к частоте со, одного из нормальных колебаний, свойственных данной колебательной системе".
Обращает на себя внимание то, что это определение справедливо лишь для системы типа одиночного резонатора, так как устранение потерь, т.е. получение нормальных колебаний в ней, в любой другой резонансной системе с конструктивными потерями приведет к её разрушению.
T-Comm #5-2012
Определение резонанса как особого внешнего поведения позволяет существенно обобщить это понятие, приблизив к научному объяснению многие поведенческие ситуации в гораздо более широком классе динамических систем, по сравнению с теми системами, которые описываются дифференциальными уравнениями второго порядка.
5. Рассмотрим такое обобщение, которое выводит нас за пределы собственных сигналов динамической системы. Пусть теперь форма входного и выходного сигналов не совпадают. Покажем, что резонансное поведение может быть содержательно определено и в этом случае.
Предметом рассмотрения будет также модель (1). Снова зафиксируем начальное состояние х системы и рассмотрим семейство входных сигналов 0 с т действительными параметрами £, т.е. г/(£,/); £е0 с/?т,т.е. параметрами
принадлежащими множеству /?"'.
Рассмотрим зависимость уровня /. выходного сигнала у от многомерного параметра £, т.е. /. = || у|| = /(£) • Назовем
эту функцию передаточно-параметрической характеристикой системы по аналогии с введенной выше передаточной характеристикой системы на собственных сигналах,
Очевидно, что в этом случае сигнал на выходе уже не будет совпадать по форме с входным сигналом. Однако, передаточно-параметрическая характеристика, представимая как действительная функция т переменных, будет также определять особенности внешнего поведения системы при изменении входного сигнала. Если существует некоторая (возможно не единственная) точка £не0 в пространстве параметров
для которой справедливо соотношение:
А)=/(&)>/(£)>
означающее, что существует некоторый параметр^, которому соответствует максимальный уровень (норма) выходного сигнала по сравнению со всеми другими параметрами из множества 0, то будем говорить, что в системе существует многопараметрический резонанс для сигнала с многомерным параметром £ .
Поверхность /, = У(£)в окрестности £{) можно называть
поверхностью избирательности системы (1) в окрестности резонанса в точке £ . При т = 1 имеем кривую избирательности. Представленный здесь многопараметрический резонанс может иметь место в гребенчатом фильтре при обработке сигнала с дискретной структурой спектра. Этот резонанс также характеризует внешнее поведение системы.
6. Наконец, сделаем еще большее обобщение, допустив, что входные сигналы образуют нормированное пространство, в котором для любого сигнала и можно ввести его окрестность соотношением вида и + 3(и) где £(и) - гладкая вариация с нормой, стремящейся к нулю. Используя прежний подход, введем передаточно-параметрическую характеристику как скалярную функцию, аргументом которой может являться:
- одно число для однопараметрического резонанса;
- м-чисел для м-параметрического резонанса;
- элемент функционального пространства в общем случае.
Эта передаточная функция определена в нормированном
функциональном пространстве входных сигналов, суженных на отрезок (О,Т) так, что ^ = ||^|| = /(и), и = г/(/), 1е(0,Т),
а её значение - неотрицательное число
Если найдется такая точка в функциональном пространстве входных сигналов иа для которой справедливо соотношение вида:
45
т
4=/(мо)>/(м)» Ум*«о’ (8)
означающее, что в функциональном пространстве входных сигналов существует некоторый сигнал цп, для которого
имеет место максимальный уровень (норма) выходного сигнала по сравнению со всеми другими сигналами, т.е. в системе (1) имеет место резонанс. Такой резонанс, в частности, наблюдается в согласованном фильтре [5].
В силу линейности и стационарности (1) резонанс, очевидно, будет иметь место для всех сигналов вида: и = /л/„ (/ — ) где ц и /0 — масштабный коэффициент и
сдвиг. Это означает, что в нормированном функциональном пространстве входных сигналов могут существовать группы сигналов. При воздействии на систему каждого сигнала из своей группы резонансная реакция системы будет идентична, но будет отличаться от резонансной реакции на сигналы из любой другой группы.
Отсюда следует, что для систем вида (1) резонанс имеет место не для уникального сигнала, а для класса эквивалентности по отношению к резонансу. И этот класс эквивалентности по отношению к резонансу можно называть формой сигнала. В этом случае можно говорить о резонансе формы.
Итак, нами было обобщено понятие частотного резонанса известного из теории колебательных систем на поведенческое определение обобщенного резонанса, в котором можно выделять:
1. Однопараметрический собственный резонанс - (форма входного и выходного сигнала не изменяется, имеется максимум на передаточной характеристике - функции одной действительной переменной).
2. Многопараметрический резонанс - (форма входного и выходного сигнала не обязательно одинаковы, имеется максимум на передаточной характеристике - функции многих по числу параметров переменных).
3. Резонанс формы - имеется максимум на передаточной характеристике, как скалярной функции, определенной на функциональном пространстве входных сигналов.
Литература
1. Зельманов С.С. Резонанс в линейной стационарной системе с экспоненциальными собственными процессами // Известия ЮФУ. Технические науки-Таганрог:Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. - 12(113). -С.116-125.
2. Зельманов С.С. Критерий резонанса и резонансные явления в обобщенном двухполюснике. - Таганрог: Изд-во ТТИ Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск. «Компьютерные и информационные технологии», 2009. - №2.
3. Зельманов С.С. Исследование явления резонанса в цепной ЯС-линии // Т-Сотт - Телекоммуникации и транспорт, 2009. - №8.
4. Папалекси Н.Д. Эволюция понятия резонанса II Успехи физических наук, 1947.-Т. 31. Вып. 4.
5. Зельманов С.С. Исследование явления резонанса формы сигнала в согласованном фильтре // Электросвязь, 2011. - №1.
THE GENERALIZATION OF THE FREQUENCY RESONANCE CONCEPT ON THE BEXAVIOR MODEL OF THE LINEAR DYNAM1K SUSTEM WITH THE EXTERNAL DESCRIPTION Zelmanov Samuel Solomonovilch,
Moscow Technical University of Communication and Informatics (Volgo-Vyatskiy Branch), zelmanss@yandex.ru
Abstract
The classical resonance theory in the linear stationary dynamic system which was suggested in the first middle of the 20-thcentury by the Russian Academicians L.N. Papalecsy which was adapted to the single resonator with concept little losses, was not developed in the subsequent years. At this time the resonance systems with many freedom degrees, essential losses and with their own processes of non harmonic type were appeared, but the classic resonance theory does not spread to them and now the frequency is not a single resonance parameter. Now the theory of the spectral resonance and the resonance of a signal from were suggested. On the base o f the space theory and especially with use of functional sobolev's space of input signals we receive the possibility of the generalization of the frequency resonance conception for wider class of the linear stationary dynamic systems with external description which are characterized by extreme reaction on the signals as harmonic and non harmonic types. The classification of the resonance types for the transfer functions of the systems which are differed according to the number of the variable quantity.
Keywords: behaviour model, internal behaviour, external behaviour, multyparametric resonance, form resonance.
References
1. Zelmanov, S.S. Rezonans in linear stationary system with exponential own processes//YuFU News. Technical science. — Taganrog: TTI YuFU, 2010. 12 (113). pp.116-125.
2. Zelmanov, S.S. Kritery of a resonance and the resonant phenomena in the generalized two-pole. — Taganrog: Publishing house of TTI of News of YuFU. Technical science. Thematic release. "Computer and information technologies". 2009, No. 2.
3. Zelmanov, S.S. Issledovaniye of the resonance phenomenon in the chain RC line // T-Comm — Telecommunications and transport, No. 8, 2009.
4. nananeKCH, N.D. Evolyutsiya of concept of a resonance // Successes of physical sciences, 1947. — T.31. V4.
5. Zelmanov, S.S. Issledovaniye of the phenomenon of a resonance of a form of a signal in the coordinated filter // Telecommunication, 2011, No. 1.
46
T-Comm #5-2012
