Объем впадин между эвольвентными зубьями цилиндрического колеса Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.833.001.24

ОБЪЕМ ВПАДИН МЕЖДУ ЭВОЛЬВЕНТНЫМИ ЗУБЬЯМИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КОЛЕСА

Н. И. РОГАЧЕВСКИЙ

Учреждение образования «Белорусско-Российский университет», г. Могилев, Республика Беларусь

Ключевые слова: зуб, профиль, впадина, объем, смазка.

Введение

Известно, что число узлов трения, смазываемых пластичными смазочными материалами (Литол-24, ЦИАТИМ-201, ЦИАТИМ-221, ВНИИНП-284 и др.), значительно больше, чем жидкими [1]. К таким узлам относятся зубчатые передачи, работающие при окружных скоростях до 4 м/с. При этом пластичный смазочный материал закладывают при сборке в количестве, равном трети объема впадин между зубьями венца колеса. Этот метод смазки применяют в большинстве зубчатых передач систем управления самолетов и вертолетов [1]. Таким же способом смазывают зацепления передач дрелей, перфораторов, смесителей, бытовой техники.

Однако в литературе отсутствуют формулы, определяющие объем впадин между зубьями цилиндрических, конических и червячных колес. Устранение этого пробела является актуальным.

Решению указанной задачи для цилиндрических эвольвентных (наиболее применяемых) зубчатых колес посвящена настоящая работа.

Методы исследования

Аналитические зависимости, характеризующие объем впадин между эвольвент-ными зубьями цилиндрических колес, получены методами геометрии, кинематики и математического анализа.

Основная часть

Объем V впадин между z зубьями цилиндрического зубчатого колеса равен произведению площади S, ограниченной торцовыми профилями смежных зубьев и дугой окружности радиусом ra вершин зубьев, на длину зуба l = —b— и число зубьев z

cos Р

(здесь b - ширина зубчатого венца колеса; Р - угол наклона линии зуба):

V = Slz.

Площадь S очевидна из рассмотрения рис. 1, на котором показаны торцовые половины зуба и впадины, ограниченные угловым полушагом — и дугой радиусом ra

z

вершин зубьев. Торцовый профиль половины зуба состоит из участков: FcF - половина дуги между зубьями окружности впадин радиусом rf ; FL - переходная кривая; LB - эвольвента; BA - половина дуги вершины зуба радиусом ra. Общие точки F, L, B указанных кривых - особые точки профиля [2], [3]: предельная точка F впадины,

граничная точка L, точка B вершины зуба. xFc, xF, xL, xB - проекции на ось Ox (ось симметрии торцового профиля зуба), соответственно, точек Fc, F, L, B:

S = 2(SOKA — S&OFc — SFFc — SFL — SLB — SBA ),

где SOKA - площадь сектора OKA; SAOF - площадь прямоугольного треугольника

OFcXFC, SFF

sft , sl

SBA - площади криволинейных трапеций, ограниченных

сверху, соответственно, кривыми FFc , FL, LB , BA .

Vi

О

Рис. 1. Расчетная схема торцового профиля половины эвольвентного зуба

Найдем указанные площади. Площадь сектора OKA, ограниченного угловым полушагом — и дугой KA радиусом ra: z

S =wa2 = 0,5^ra2

2 z

где

Га = m(

0,5 z

Di* * c-

cosp + ha + x -o

здесь т - модуль, мм; г - число зубьев колеса; Иа , 5* - коэффициенты, соответственно, высоты головки, уменьшения высоты зуба [4]; х - номинальный коэффициент смещения [4],

E + T

* _ ^ ^HS^ 1H

x — x —

1000m

где х - коэффициент смещения; Ен8 - наименьшее дополнительное смещение исходного контура по ГОСТ 1643-81, мкм; Тн - допуск на смещение исходного контура по ГОСТ 1643-81, мкм.

z

Площадь прямоугольного треугольника OFcxFc: S

' nof,

% % 2 2% = 0,5г/ • sin—rf • cos— = 0,25r/ • sin—, c z z z

где

„ 0,5z 7 * * * ч rf = m(--ha - c + x ),

cos P

здесь с* - коэффициент радиального зазора.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой FFc (дугой радиусом rf окружности впадин) [5]:

xf xf _

Sffc = J ydx = j-yjrf 2 - x2 dx =

x Г~2 2 , rf . x —Jrf - x arcsin—

•f j

x 2

F I 2— 2 - XFc Г 2 - 2 , f

уrf XF 2 yrf XFC +

2

2

vFc

2

xf • xfc

arcsin— - arcsin——

'f J

где хрс и хр - соответственно, нижний и верхний пределы интеграла (проекции точек Ес и р на ось Ох).

Из рассмотрения рис. 1 очевидно, что

xfc = rf • cos-

%

Координату хр точки р пересечения окружности впадин радиусом rf и переходной кривой определяем в следующей последовательности.

Торцовые координаты хс и ус центра окружности, скругляющей вершину производящего контура инструмента, связаны с нормальными координатами хс и упс этой же точки, найденными из рассмотрения рис. 2, следующими соотношениями:

/- 7 * * * * \

хс = т(К +с -р*-х );

y m

Ус =^ =-

cosP cosP

% 4

+ (h* - h*a )tg a + p*f • cos a

где р * - коэффициент радиуса кривизны переходной кривой нормального исходного контура, как видно из построения рис. 2 (обозначены: 1 - оси симметрии профилей производящей рейки; 2 - делительная прямая; 3 - начальная прямая в станочном зацеплении), равен:

2h* + с*- h*

Р f

1 - sin a

где И1 - коэффициент граничной высоты зуба; а - угол профиля.

Аргумент ур определяет точку р. Для вычисления величины ур задаем ряд последовательно уменьшающихся неотрицательных значений независимого аргумента у

X

f

2

X

X

f

f

X

f

r

z

(начиная от 0,5л -а() и для каждого взятого у, при котором г( > гъ, здесь а(, гъ, соответственно, торцовый угол профиля, радиус основной окружности:

at = arctg

вычисляем следующие параметры.

tg a ; cos p'

rb =■

0,5mz cosp

cos a

Рис. 2. Схема нормального профиля производящей рейки

Координаты х( 0 и у 0 переходной кривой профиля зубьев производящей рейки в торцовой плоскости:

У .

У o = arctg- D ,

cos p

*

xto = xc+mP f •cos у 0;

mpf • sin y0

Уо = Ус

cos p

(1) (2)

(3)

Угол скатывания рейки ф и координаты х( и у( переходной кривой профиля зубьев зубчатого колеса в торцовой плоскости:

Ф =

yt 0 + xt 0 • tg У.

xt = (r - xt 0)cos ф + xt 0 • tg y- sin ф;

yt = (r -xt0)sinФ-xt0- tgУ- cosФ, где r - радиус делительной окружности зубчатого колеса,

0,5mz

(4)

(5)

r=

cos p

r

Эти уравнения устанавливают связь между координатами любой точки Т0 торцового профиля переходной кривой зуба производящей рейки х,0, у10 и координатами соответствующей точки Т торцового профиля переходной кривой обрабатываемого зуба хг, у,, которая вытекает из построения рис. 3. На рис. 3 показана подвижная система координат х(0О0у(0, связанная с производящей рейкой. Начало координат О0 лежит на начальной прямой производящей рейки. Ось О0 у, 0 направлена по начальной прямой. Ось О0 хг 0 является осью симметрии впадины между зубьями производящей рейки. у - угол между осью О0 х10 и нормалью к профилю производящей рейки в точке Т0. х,О0у, - система неподвижных осей, связанная с обрабатываемым зубчатым колесом. Начало координат О совпадает с центром торцового профиля зубчатого колеса. Ох, является осью симметрии обрабатываемого зуба. М - точка пересечения нормали к профилю производящей рейки с начальной прямой рейки. В начальный момент движения обкатки производящей рейки оси Ох, и О0х,0 направлены по одной прямой,

т. е. точка О0 находится в точке Р, . Уравнение (4) выводится из математической записи равенства длины отрезка прямой ОМ и длины дуги РМ делительной окружности. Точка Т0 соприкасается с точкой Т тогда, когда точка М касается делительной окружности заготовки в процессе качения по ней начальной прямой рейки. Проецируя точку Т на оси Ох, и Оу,, получаем выражения (5) и (6).

О

Рис. 3. Схема установления связи между координатами х10, у(0 и х1, у1

Торцовый профиль переходной кривой обрабатываемого зуба в полярной системе координат:

Г =лГ+ у

у,

у, = аг^—.

х,

Условие, определяющее точку Е пересечения окружности впадин радиусом гг

и переходной кривой:

Аг = г - Гу.

(7)

Уравнение (7) вытекает из построения рис. 4, на нем показан торцовый профиль зуба рассматриваемого зубчатого колеса. х(Оу( - система координат, связанная с зубчатым колесом. Начало координат О помещено в центре торцового сечения зубчатого колеса. Ось Ох1 является осью симметрии зуба. х1, у( и г{, у - декартовые и полярные координаты точки на переходной кривой профиля зуба зубчатого колеса в торцовой плоскости. Рассматриваем разность радиуса г окружности точек переходной кривой профиля зуба и радиуса г^- окружности впадин, ее характеризует

уравнение (7). Указанные радиусы совпадают в точке Р, имея общий для них радиус-вектор гр, т. е. Аг = 0.

Таким образом наибольшее значение у, при котором получают Аг = 0, и есть искомая величина ур .

При у = ур соответствующие функции аргумента у снабжаем индексом Р, т. е. получаем искомые декартовые хр, ур и полярные гр, ур координаты точки р.

Площадь 8РЬ криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой РЬ (переходной кривой торцового профиля зуба):

где хр и хЬ - соответственно, нижний и верхний пределы интеграла (проекции точек Р и Ь на ось Ох).

Определяем координату хЬ точки Ь пересечения переходной кривой и эвольвенты профиля зуба (граничной точки) по алгоритму работы [2].

Функцию у = у( х), описывающую переходную кривую торцового профиля зуба, с целью ее интегрирования в явном виде получить не удается. Поэтому интегрируем ее приближенно, используя формулу трапеций [6]:

У,

О

х

Рис. 4. Расчетная схема определения точки пересечения окружности впадин

и переходной кривой

8рь = {Х Х)^ « + ^ + Хг) + Хз) + Х4) +

хр ^ 1

где И = —Ь——; х1 = хр + И; х2 = хр + 2И; х3 = хр + 3И; х4 = хр + 4И; х5 = хр + 5И . 6

Значения функций у( хр) и у( хЬ) вычислили ранее при определении границ интегрирования хр (см. выше) и хЬ (по алгоритму работы [2]).

Значение у( х1) определяем следующим образом. В уравнении (5) присваиваем х, = х1, решаем его совместно с равенствами (2), (3) и (1), вычисляя у0, после чего находим значение у(х1) = у, из равенства (6). Указанную процедуру повторяем при х( = х2...х5, определяя, соответственно, у(х2) ... у(х5).

Площадь 8ЬВ криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой ЬБ (эвольвентой торцового профиля зуба):

8ьб = {у(х№,

где хВ - верхний предел интеграла (проекция на ось Ох точки В пересечения эвольвенты и дуги радиусом га окружности вершин зубьев). Координата хВ очевидна из рассмотрения рис. 1:

хВ = Га • С0Э Vа ,

где Vа - половина угловой толщины вершины зуба [4],

2л + 2х* • а

V а =-+ гБ а -а, - а а +а а ,

2

здесь аа - угол профиля эвольвенты в точке В на вершине зуба,

Г

а а = агссоэ—.

г

а

Уравнение эвольвенты в явном виде у = _Дх) получить невозможно. Поэтому будем использовать параметрические уравнения этой кривой, очевидные из рассмотрения рис. 5:

х = гъ [у- этО-^ ) + соэ(у^ъ)]; (8)

у = Гъ[у-соэ(у^ъ) - sin(v-Vъ)], (9)

где Vъ - половина основной угловой толщины зуба [4],

л _ *

— + 2 х •

Vъ = --+ ^ а, - а,.

Ь

У

О

ку \ L

/ inVCXy ^ ' ^ \

и__ \ Y -—я

/ 1 Л / Гл 1

1 \ / \ ** i 1 / X

V

(Ху \ ¿У

Рис. 5. Схема установления параметрических уравнений эвольвенты зуба

Площадь 8ЬВ криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой ЬВ (эвольвентой торцового профиля зуба, описанной указанными выше параметрическими уравнениями), выражается формулой [7]:

SLB = {y(v) x(v)dv

(10)

где X и д - соответственно, нижний и верхний пределы интеграла (границы угла V при гу = гЬ и гу = гВ, см. рис. 5).

Величины X ид определяем методом последовательных приближений [8] из уравнений:

хь = гь Iх' ^Х-^ ) + С08(Х"^ь )];

VB = гъ [) + cosO-^b)].

Подставляя в равенство (7) вместо ,y(v) зависимость (6), а вместо x(v)dv выражение, полученное от дифференцирования по dv функции (5):

x, (v)dv = rbv • cos (v - )dv,

после интегрирования по частям алгебраических и тригонометрических преобразований получаем:

SLB = 'г- j!

LB 2 [ 3 À3

+1 • cos[2(| -уъ )] + 0,5(|2 -1) sin[2(| - ^ъ )] -

- y - À • cos[2(À -уъ )] - 0,5(À2 -1) sin[2(À - уъ )] k

Площадь ЯВА криволинейной трапеции, ограниченной кривой ВА (дугой радиусом га окружности вершин зубьев) [5]:

ЛВ ЛВ

ХА ХА ._ С __ 2 ^

Явл = |У^Х = {7га2 - Х2¿Х = Хл1га2 - Х2 + ^Тагс81п—

V2 2 Га У

В

Ха I 2 2 Хв \~~2 2 , Г

= ^Га - ХА - ХВ + ^

2 С

2

ХА • ХВ

агсБт— - агсБт—

Га Га У

2

К . Хв

— агсБт—В

V 2 Га у

ХВ 2 2

^Га - ХВ ,

где ХВ и ХА - соответственно, нижний и верхний пределы интеграла (проекции точек В и А на ось Ох (рис. 1)). Из рассмотрения рис. 1 очевидно, что ХА = га.

Заключение

Предложенный алгоритм расчета определяет достоверные значения объема впадин между зубьями венца колеса. Последнее позволяет закладывать правильный объем пластичного смазочного материала при сборке передачи, а значит - повысить качество ее работы.

Литература

1. Детали машин и основы конструирования : учеб. для вузов / Г. И. Рощин [и др.] ; под ред. Г. И. Рощина, Е. А. Самойлова. - М. : Дрофа, 2006. - 415 с.

2. Рогачевский, Н. И. Параметры особых точек профиля эвольвентных зубьев / Н. И. Рогачевский // Вестн. Гомел. гос. техн. ун-та им. П. О. Сухого. - 2010. -№ 2. - С. 3-8.

3. Цилиндрические эвольвентные зубчатые передачи внешнего зацепления. Расчет геометрии : справ. пособие / И. А. Болотовский [и др.]. - М. : Машиностроение, 1974. - 160 с.

4. Андожский, В. Д. Теория определения размера по роликам / В. Д. Андожский, Н. И. Рогачевский. - Могилев. машиностр. ин-т. - Могилев, 1981. - 75 с. : ил. -Библиогр. : 6 назв. - Деп. в БелНИИНТИ 23.05.81, № 302.

5. Воднев, В. Т. Основные математические формулы : справочник / В. Т. Воднев,

A. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович ; под ред. Ю. С. Богданова. - Минск : Выш. шк., 1988. - 269 с.

6. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1 / Н. С. Пискунов. - М. : Наука, 1978. - 456 с. : ил.

7. Сухая, Т. А. Задачи по высшей математике : учеб. пособие / Т. А. Сухая,

B. Ф. Бубнов. - Минск : Выш. шк., 1993. - 416 с.

8. Гусак, А. А. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак, Г. М. Гусак. -Минск : Навука 1 тэхн1ка, 1991. - 480 с.

Получено 04.09.2018 г.

Х

А