CC BY
22
УДК 517.968
Е.А. Созонтова1
ОБ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ ТРЕХМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В КВАДРАТУРАХ
В данной статье рассматривается система уравнений с частными интегралами в трехмерном пространстве. Целью исследования является выделение достаточных условий разрешимости этой системы в квадратурах. Предложен метод, основанный на редукции исходной системы сначала к задаче Гурса для системы дифференциальных уравнений первого порядка, а затем к трем задачам Гурса для дифференциальных уравнений третьего порядка. В результате получены условия, обеспечивающие возможности построения решения рассматриваемой системы уравнений в явном виде. Общее количество вариантов обсуждаемой разрешимости равно 16.
Ключевые слова: система с частными интегралами, условие разрешимости, решение в квадратурах, дифференциальное уравнение, задача Гурса.
В работе [1] для ряда уравнений с частными интегралами (термин встречается, например, в [2, е. 4]) реализована идея их редукции к задачам Гурса, допускающим возможности построения их решений в виде явных формул. В [3] развивается та же идея с целью ее применения к системе уравнений с частными интегралами в двумерном пространстве. В настоящей статье в области Б = {хо < х < х\, у0 < у < ух, х0 < х < хх} рассматривается трехмерная система вида
фг(х,у,х) = аа(х,у,х) ]'[Ъ11(г,у,х)ф1(г,у,х) + Ъ12{Ь,у, х)ф2^,у, х)+
Х0
(1)
+Ъ1з(г, у, х)фз(г, у, х)}& + ал(х, у, х) / [Ъ^х, т, г)ф1(х, т, х)+
Уо
+Ъ22(х, т, х)ф2(х, т, х) + Ъ2з(х, т, х)фз(х, т, х)Цт+
х
+а^з(х, у, х) / [Ъз1(х, у, в)ф!(х, у, в) + Ъз2(х, у, в)ф2(х, у, в)+
хо _
+Ъзз(х,у,в)фз(х,у,в)]ёвв + ¡^(х,у,х), I =1, 3.
Предполагается, что коэффициенты данной системы непрерывны в Б и выполнено неравенство
А(х,у) = Ле1 \\(Цк (х,у,х)\\ =0. (2)
!© Созонтова Е.А., 2015
Созонтова Елена Александровна (зоЕоп"Соуа-е1епа@гатЪ1ег.ги),кафедра математического анализа, алгебры и геометрии, Елабужский институт Казанского (Приволжского) федерального университета, 423600, Российская Федерация, г. Елабуга, ул. Казанская, 89.
(3)
Введем обозначения
X
М = ЦЬц^, У, г)ф1(г,у, г) + Ьп(г,у, г)ф2^,у, г)+
Хо
+Ь1з(Ь,у, г)фз(Ь,у, г)]&,
у
N = ¡[Ь21(х,г, г)ф1(х,т, г) + Ь22(х, т, г)<р2(х,г, г)+
уо
+Ь2з(х, т, г)фз(х, т, г)]в,т,
х
К = / [Ьз1 (х, у, в)ф1 (х, у, в) + Ь32 (х, у, в)ф2(х, у, в) +
хо
+Ьзз(х, у, в)фз(х, у, в)]в,в.
Тогда в силу (2) найдем
М = ((а22азз - а2заз2)ф1 + (а1заз2 - а^азз)ф2 +
+ (012023 - а1за22)фз - (а22азз/1 + al2a2зfз + +а1заз2/2 - а1за22/з - а2заз211 - аиазз/^А-1, N = ((а2заз1 - а21азз)ф1 + (ацазз - а1заз1)ф2+ + (а21а1з - а2зац)фз - (ацазз/2 + а22аз1/1 + (4)
+а21а1з/з - а1заз1 /2 - а^зац/з - а21азз/1))А-1, к = ((а21 аз2 - аз1 а22)ф1 + (аиаз1 - аз2ац)ф2 +
+ (аца22 - 021012)фз - (аца22/з + а12аз1/2 + +а21аз2/1 - аз1а22/1 - 0з20Ц/2 - а21а12/з))А-1.
Введем новые искомые функции по формулам
(а22азз - а2заз2)ф1 + (а1заз2 - а^азз)ф2 + (а12а2з - а^22)фз = и,
(а2заз1 - а21азз)ф1 + (ацазз - а1заз1 )ф2 + (а2аз - а2зац)фз = V, (5)
(а21 аз2 - аз1а22 )ф1 + (а12аз1 - 0з20ц )ф2 + (аца22 - а21а12 )фз = ы
и будем рассматривать (5) как систему уравнений для ф1, ф2, фз- Обозначим определитель этой системы через А1 и будем считать, что
А1 = 0. (6)
Тогда
Ф1 = (А1и + В^ + С1ы)(А1)-1,
ф2 = (А2и + В2'0 + С2ы)(А1)-1, (7)
фз = (Ази + Bзv + Сзы)(А1)~1,
где Аг, Вг, Сг (г = 1,3) понятным образом выражаются через коэффициенты системы (1). Соотношения (5) и (7) показывают, что задачи отыскания функций (ф1, ф2, фз) и (и, V, ы) эквивалентны друг другу. С другой стороны, подставляя (5) в (4), получим
М = (и - (а22азз/1 + 01202З/З + а1заз2/2--01З022/З - а2заз2/1 - а^азз/^А-1,
N = (V - (ацазз/2 + а22аз1/1 + а2аз/з- („)
-а1заз1/2 - а2зац/з - а21азз/1))А-1, К = (ы - (аца22/з + аиаз1/2 + а21аз2/1--0З1022/1 - 0З20Ц/2 - 021012/З))А-1 .
Теперь подставим (7) в (3), а затем получившиеся соотношения подставим в (8). В результате имеем
X
/ А--1[Ь11(Л1 и + ВIV + С+ Ь12(Л2П + В2У + С2ю) +
+Ь!3 (Л3и + Bзv + Сзш)]А =
= (и - (а.22033/1 + 0120,23/з + 013032/2 - 01за22/з - 023032/1 - 012033/2))Д у
/ Д- 1[Ь21(Л1 и + В^ + С1т) + Ь22 (Л2и + B2V + С\т) +
Уо
+Ь23 (Л3и + Bзv + С3'ш)]А =
= (V - (011033/2 + 022031/1 + 021013/3 - 013031/2 - 023011/3 - 021033/))Д
х
/ Д-1[Ьз1(Л1и + В^ + С1-ю) + Ьз2(Л2и + B2V + С2ю)+
хо
+Ьзз (Лзи + Bзv + Сз'ш)]А = = (ю - (011022/3 + 012031/2 + 021032/1 - 031022/1 - 032011/2 - 021012/з))Д
1
1
1
Продифференцируем полученные соотношения по х, у, г соответственно. В итоге получим систему (после домножения на Д обеих частей соотношений)
их + а.1и + ¡3^ + = О1, Vy + а.2 и + в2V + ю = 02, + ази + ^ + ^зю = Оз,
(9)
где
а1 = -((1п Д)х + (ЬцЛ1 + Ь12Л2 + Ь1з Лз) £), в1 = -(Ь1^1 + Ь^2 + Ь1з Bз) £, 11 = -(ЬцС1 + Ь12С2 + Ь1зСз) ££, а2 = -(Ь21Л1 + Ь22Л2 + Ь2зЛз) £,
в2
(10)
01 02 Оз
-((1пД)у + (Ь2^1 + Ь22B2 + Ь2зBз) £),
12 = -(Ь21С1 + Ь22С2 + Ь2зСз) £, аз = -(Ьз1Л1 + Ьз2Л2 + Ьзз Лз) £, вз = -(ЬзФ1 + Ьз2B2 + ЬззBз) £, 1з = -((1пД)х + (Ьз1С1 + Ьз2С2 + ЬззСз) £),
^22^33 /1+^12^23/3 + ^13^32 /2—^13^22 /3-^23^32 /1-^12^33 /2 ) Д( ^11^33/2 + ^22^31/1+^21^13/3-^13^31/2-^23^11/3-^21^33/1 ) Д( ^11^22/3+^12^31/2+^21^32/1-^31^22/1-^32^11/2-^21^12/3 )
Так как из обозначений М, N К следуют тождества М(хо,у,г) = N(х,уо,г) = = К(х,у,го) = 0, то из (8) вычисляются граничные значения
и(хо, у, г) = 022033/1 + 012023/3 + 013032/2013022/3 - 023032/1 - 012033/2, v(x, уо, г) = 011033/2 + 022031/1 + 021013/3-013031/2 - 023011/3 - 021033/1, ю(х,у,го) = 011022/3 + 012031/2 + 021032/1-031022/1 - 032011/2 - 021012/3.
Таким образом, система (1) редуцирована к задаче Гурса (9)-(11), которая является однозначно разрешимой [4]. Для отыскания условий ее разрешимости в явном виде положим
71 = а2 = вз = 0 (12)
и применим к полученной системе подстановки
и = и ехр(-а1х), V = V ехр(-в2у), ю = Ш ехр(-13г). (13)
(11)
В итоге из (9) получим систему
Их = вУ + Ръ
Уу = 7Ш + Е2, (14)
Шг = аИ + Ез, где
а = -аз ехр(7зг - а1х), в = -в1 ехр(а.1х - в2у),
7 = -72 ехрву - 7зг), (15)
Е1 = /1 ехр(а1х), Е2 = /2 ехр(в2у), Ез = /з ехр(7зг). Подставляя значения из (11) в (13), получим
И (х0,у,г) = (а22азз/1 + апа2з/з + а1заз2/2-
-а1за22/з - а2заз2/1 - а12азз/2)ехр(а1хо), У(х,уо, г) = (ацазз/2 + а22аз1/1 + а2аз/з-
-а1заз1/2 - а2зац/з - а21азз/1) ехр(в2уо), Ш(х,у, го) = (аца22/з + аиаз1/2 + а21аз2/1--аз1а22/1 - аз2ац/2 - а21 аи/з) ехр(7зго).
Далее воспользуемся возможностью редукции системы (14) к уравнениям вида &хуг + авху + Ьвух + евхх + ¿вх + вву + / вх + дв = Ф. (17)
При выполнении неравенства
в7 = 0, (18) исключая из системы (14) функции У, Ш, приходим к (17) для в = и. При этом нетрудно заметить, что коэффициенты уравнения даются формулами
Ь = е = / = 0, а = -(1п(в7))х, с = -(1пв)у,
(19)
(16)
d = -(In ß)yz + (ln ß)y [ln(ß7)b
д = -авъ Ф = в^Ез + (вЕ2)х - ((1пв)уЕ^+ + [1п(в7)]х(-Е2в + Е1(1пв)у - (Е1 )у) + (Е1)уг.
При выполнении неравенства
а7 = 0 (20)
приходим к (17) для в = У с коэффициентами
с = й = / = 0, а = (1п7)г, Ь = -(1п(а7))х,
е = -(1п 7)хг + (1п 7)г И^к (21)
д = -ав7, Ф = а7Е1 + (7Ез)х - ((1п7)гЕ2)х+ ( )
+ [1п(а7 )]х(-Ез7 + Е2(1п 7)х - (Е2)х ) + №)хг,
а при
ав = 0 (22)
приходим к (17) для в = Ш с коэффициентами
а = й = е = 0, Ь = -(1па)х, с = -(1п(ав))у,
(23)
f = -(ln a)Xy + (ln a)x\Yn(aß)\y,
g = -aßY, Ф = aßF2 + (aF-)y - ((lna)xF3)y+ + [ln(aß)\y (-F-a + F3(ln a)x - (F3)x) + (F3)xy
Остановимся теперь подробно на исследовании уравнения (17) при О = U (в случаях, когда О = V или О = W рассуждения проводятся аналогичным образом). Для отыскания О = U из (17) первого условия из (16) недостаточно: нужно иметь еще значения
U(x,yo,z)= r(x,z), U(x,y,zo)= g(x, y). (24)
Они могут быть найдены из (14). Действительно, полагая в первом уравнении системы (14) сначала у = уо, а потом 2 = го, приходим к линейным уравнениям вида
гх(х,г) = Ф1(х,г), 9х(х,у) = ф2(х,у).
В силу условий (16) известны Ф1(х,г), Ф2(х,у) и начальные условия г(хо,г), д(хо,у), поэтому вычисление г(х,г), д(х,у) происходит путем непосредственного интегрирования полученных дифференциальных уравнений, причем при нахождении г(х, г) г рассматривается как параметр, а при решении второго уравнения в качестве параметра выступает у. Понятно, что первое соотношение в (16) и соотношения (24) есть граничные условия задачи Гурса для уравнения вида (17) при О = и. Подобным образом могут быть получены граничные условия для уравнения вида (17) при О = V и О = Ш.
Известно [5, с. 26-28], что решения сформулированных задач Гурса записываются через соответствующие функции Римана, причем для последних имеются [5, с. 36-46] различные случаи их построения в явном виде. Важную роль в обозначенной выше работе играют конструкции
Ь-1 = 0х + 0Ь - е, к4 = Ьх + 0Ь - е, кч = Лх + ЬЛ - д,
Ь-2 = 0у + 0с - Л, к5 = Сх + Ьс - /, к% = еу + се - д,
кз = Ьу + Ьс - /, кв = сх + 0с - Л, кд = /х + 0/ - д
и условия
1. к1 = Ь,2 = к§ = 0, 3. Н.4 = к§ = кв = 0, 5. к1 = к2 = кз = 0, 7.0 = \(г) + 5ху,
к7 е М к9 е М к8 е М
2. к2 = кз = к4 = 0, к8 е М; 4. к1 = к5 = к6 = 0, к7 е М; 6. кз = к4 = к6 = 0, к9 е М;
(25)
Ь = (л(х) + 5уг, с = V(у) + 5хг, 5 = сопвЬ,
где М - класс функций вида т1(х)т2(у)тз(г). Каждого из условий 1-6, выполненного совместно с условием 7, достаточно для получения явного вида функции Римана.
Теперь для достижения основной цели нам необходимо записать условия (25) через коэффициенты системы (9) для каждой из трех задач Гурса, используя формулы (15), (19), (21), (23). При О = и получаем
1. \)п\.(в112)]хх + (а1х - чзг)хх = (1п 12)ух + (в2у - 1зг)ух = = (1п в1)ху + (а1х - в2у)ху = 0, азв112 е М;
2. (1п 12)уг + (в2у - 7зг)ух = 0, азвЦ2 е М;
3. (1п в1)ху + (а1х - в2у)ху = 0, азвц2 е М;
4. \1п(аз^2)]хг + (а1х - 1зг)хг = (26)
= (1п в1)ху + (а1х - в2у)ху = 0, азвц2 е М; ( )
5. \Уп(аз^2)]хх + (а1х - 7зг)хх =
= (1п 12)уг + (в2у - 1зг)ух = 0, азв112 е М;
6. азвц2 е М;
7.0 = \(г), с = V (у).
Аналогично при О = V условия (25) принимают вид
1. (lnY2)yz + (@2У - Y3z)yz = 0, a3PiY2 G M;
2. (lnY2)yz + (в2У - Y3z)yz = \\n(a3Y2)]xy + (в2У - aix)Xy = = (lna3)xz + (Y3Z - aix)xz = 0, а3вЦ2 G M;
3.(ln a.3)xz + (Y3Z - aix)xz = 0, аз/3^2 G M;
4. азвЦ2 G M; _
5.(ln Y2)yz + (в2У - Y3z)yz = ( ) = \\-n(a.3Y2)]xy + (12У - aix)xy = 0, азви2 G M;
6. \\n\.(a.3Y2)]xy + (в2У - aix)xy =
= (lna.3)xz + (Y3Z - aix)xz = 0, a3^ij2 G M;
7. a = X(z), b = fi,(x).
В случае, когда О = W, имеем
1. (ln в1) xy + (a1x - e2V)xy = ° а3@Ц2 G M;
2.(ln a3)xz + (Y3Z - aix)xz = 0, a3^iY2 G M;
3.(ln a3)xz + (Y3Z - aix)xz = (lnPi)xy + (aix - в2У)xy = = \ln(a3Pi)]yz + (Y3Z - $2V)yz = 0, a3$iY2 G M;
4. (ln ei)xy + (a1x - @2У)xy = (28)
= [ln(a3pi)]yz + (Y3Z - в2У)yz = 0, a3@ij2 G M; ()
5. a3^H2 G M;
6. (lna3)xz + (Y3Z - aix)xz =
= \ln(a3Pi)]yz + (Y3Z - $2V)yz = 0, a3$iY2 G M;
7. b = fj,(x), c = у(у).
Таким образом, из проведенных выше рассуждений вытекает
Теорема 1. Пусть при выполнении неравенств (2), (6) и набора тождеств (12):
- или выполняется неравенство (18) и одно из условий 1-6 совокупности (26) совместно с условием 7 из той же совокупности;
- или выполняется неравенство (20) и одно из условий 1-6 совокупности (27) совместно с условием 7 из (27);
- или выполняется неравенство (22) и одно из условий 1-6 совокупности (28) совместно с условием 7 из той же совокупности.
Тогда система (1) разрешима в квадратурах.
Литература
[1] Жегалов В.И. Решение уравнений Вольтерра с частными интегралами с помощью дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 7. С. 874-882.
[2] Арре1 J.M., Kalitvin A.S., Zabreiko P.P. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations. New York, 2000.
[3] Жегалов В.И., Созонтова Е.А. Условия разрешимости одной системы интегральных уравнений в квадратурах // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 7. С. 958-961.
[4] Чекмарев Т.В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производными // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 9. С. 1614-1622.
[5] Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань, 2001.
References
[1] Zhegalov V.I. Solution of Volterra partial integral equations using differential equations. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 2008, Vol. 44, no 7, pp. 874-882 [in Russian].
[2] Appel J.M., Kalitvin A.S., Zabreiko P.P. Partial integral operators and integro-differential equations. New York, 2000 [in Russian].
[3] Zhegalov V.I., Sozontova E.A. Conditions for the solvability of a system of integral equations by quadratures. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 2015, Vol. 51, no 7, pp. 958-961 [in Russian].
[4] Chekmarev T.V. Formula of solution of the Goursat problem for one linear system of partial derivatives. Differentsial'nye uravneniia [Differential equations], 1982, Vol. 18, no 9, pp. 1614-1622 [in Russian].
[5] Zhegalov V.I., Mironov A.N. Differential equations with leading partial derivatives. Kazan, 2001 [in Russian].
E.A. Sozontova2
ON CONDITIONS OF SOLVABILITY OF THREE-DIMENSIONAL INTEGRAL SYSTEM IN QUADRATURES
In this paper we consider the system of equations with partial integrals in three-dimensional space. The purpose is to find sufficient conditions of solvability of this system in quadratures. The proposed method is based on the reduction of the original system, first, to the Goursat problem for a system of differential equations of the first order, and after that to the three Goursat problems for differential equations of the third order. As a result, the sufficient conditions of solvability of the considering system in explicit form were obtained. The total number of cases discussing solvability is 16.
Key words: partial integral system, condition of solvability, solution in quadratures, differential equation, Goursat problem.
Статья поступила в редакцию 28/IX/2015. The article received 28/IX/2015.
2Sozontova Elena Aleksandrovna (sozontova-elena@rambler.ru), Departament of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Elabuga Institute of Kazan Federal University, 89, Kazanskaya Street, Elabuga, 423600, Russian Federation.
