CC BY
74
УДК 532.52/517.946
ОБ УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов
Записаны уравнения Навье - Стокса в цилиндрических координатах, получены условия совместности систем уравнений, описывающих однонаправленное движение вязкой и невязкой сжимаемой жидкостей
Ключевые слова: совместность уравнений, сжимаемая жидкость, движение
При постоянной вязкости известная система уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости (ВСЖ), включающая уравнения Навье - Стокса и уравнение неразрывности [1], в цилиндрической системе координат может быть записана
д с + д(сМ) +1 д(гис) +1 д(^) г
д г
г дф V д М
= 0,
д ф д 2
д М д М 3 М
----+ М-------+ и------+--------
дф д2 дг г дф
= ВР2 -1 — + Б]ЬЧ2 М, с д 2
ди Зи ттди V ди V
---+ М — + и-------------------+-+
д ф д 2 д г г дф
„г, 1 дР л (2тт и 2 дV
= ВРг-----------+ B1v\V и---------- +
с дг 1 г2
2
(1)
г2 дф
дV lrдV ттдV и дV Ш
----+ М------------------+ и +-+-
д ф д 2 д г г дф г
1 дР
= ВРф--------— + Ву I V V - — + — —
сг дф I г2 г2 дф
V 2 ди
2 г а01
где 2 = — , г = — , Т =----------
Я Я я
нормированные координаты и время; ~, г, ф - исходные координаты; t -время; Я - масштаб линейных величин; а0 - мас-
р и= Р
штаб скорости; р = ■
Р = ■
Ро
ро ао
нормирован-
ные плотность и давление; р - плотность; ро -масштаб плотности; М = и2 / а о, и = иг / ао,
V = иф / а о - нормированные проекции вектора
скорости; V - коэффициент кинематической вязкости; и = Б1ру - нормированный коэффициент динамической вязкости; Р2, Рг, Рф - деленные на р проекции на оси 2, г, ф массовых сил, действующих на ВСЖ; В = Я/а%, Б1 = 1 / (ао Я) - постоянные;
„2 д2 д2 д
V2 =—- + —- +
д2 д2 - + -
1 д 1 д2 ++
дх2 ду2 д22 д22 дг2 г дг г2 дф2 оператор Лапласа.
Дободейч Иван Александрович - ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 278-о8-49 Барметов Юрий Павлович - ВГТА, канд. техн. наук, доцент, тел. 8-9Ю-348-73-68
Уравнения Навье - Стокса при допущении
ди ди „ ди „
—— = ^— = о и —— ф о можно записать как
дг дф д2
'дМ Ъ4дМ ттдМ V дМ и„2л I
+ М--------+ и-------+-------= ВР2 +—V2M +
дт д2 дг г дф
р
ат д2 '
2
ди ,,ди тт ди V ди V
+ М — + и +----------------=
дт д2 дг г дф г
= врг +^2и - и Ч - ]+^2+-■
р 1 г2 г2 дф) дг
дV 1дV дV V дV и¥
+М + и +-------------+-----=
дт д2 дг г дф г
р
= ВРф + Е^-V + 2 ди
дф
+т3 +
1 дт
г дф
где
1 ди [дМ ди и 1 дV
р д2 1 д2 дг г г дф
дТ V п[дМ ди и 1 дV
---= — В1--------+-----+ — +--------
д2 3г 1 д2 дг гг дф
1_ щдМ+и+и+1 .дV
д2 дг г г дф
1 дР р д2
3р дх
1 ди [ ди дМ
2 р д2 1 д2 дг
д2и
дг 2
1
+ —
^ = ^ в1 дг 3г
_ _1 дР_
р дг ’
т = _1 и 1 м+дд¥_
3 р д2 1 г дф д2
ди д V и
-------1-------------
дг дгдф г
1 ^ г дф
д2М
дгд2
1 д¥
2 ди д [ V ди
2 +---------+---1-----+----I + '
2 г дф дг 1 г дф) д2дф
д2М
(2)
М. = ^в,
гдф 3г [ г дф
__1_ дР_
гр дф
Во многих случаях движение ВСЖ в трубопроводах можно считать однонаправленным, т.е. М = М( 2,т) , и = о, V = о. Условие малости радиальной и окружной составляющих скорости справедливо для течения ВСЖ в трубах с жесткими стенками при небольшом их диаметре или верти-
г
г
+
Г
2
кальном расположении. Такое движение наблюдается в системах пневмо- и гидроуправления, системах подачи топлива в двигатели, системах налива нефтепродуктов, и т. д.
Для однонаправленного течения ВСЖ систему (2) можно представить как
'др + д(рм) = о
дт д2 ’
дM „2M дР д
p і pM і =
дт дz дz дz
и dM 3 дz
іи
( д 2 M
д 2 M
дz2 дr
дM ди дz дz
і B pFz і
1 дM 2 і і 2 r дr
д—
(3)
дР = дr
r д—
и д 2M дM ди
і B pFr і ,
3 дzдr дr дz
и д 2 M
+BpF—+
дM ди
3г д2дф гдф д2
Полученная система из четырех уравнений для трех переменных является переопределенной [2].
Если пренебречь объемными силами, то два последних уравнения системы (3) сводятся при
ди ди
дr д—
= o к одному выражению
п и dM ди \
P = —---------+M — + f (r,z),
3 дz дz
(4)
в котором /(т,г) - произвольная функция. В этом случае система (3) не является ни переопределенной, ни недоопределенной.
Но если не пренебрегать массовыми силами и использовать условие равенства смешанных производных Р по координатам г и ф, выражаемых из третьего и четвертого уравнений системы (3), известное как условие совместности уравнений переопределенной системы [3], то получим вполне интегрируемую систему уравнений.
Это условие запишется как
д 2 P
д 2 P
дфдт дтдф
а с учетом правых частей третьего и четвертого уравнений системы (3)
о д ( F , + и д3 M
B-----(pFr ) +-------------
д— 3 д—дrдz
ди д 2 M дz d—r
=B
д (rpF— ) +и
д 3 M
ди д 2 M
(5)
дг ^ 3 дгдф д2 дгдф
После несложных преобразований условие совместности (5) примет вид:
Fr
dp
_ F—dp\ — = F—+ r-
dF— дFr
д— — дr) p — дr д—
Отсюда следует, что если Fr, F— не зависят от т и z, то справедливо
р = А(т’21/2 (г,ф)-
В частности, если массовые силы представлены только гравитационными силами, то
Fr =_g ■ cos в ■ cos — F—= g ■ cos в ■ sin —,
(6)
Fz = g ■ sin в,
где в - угол наклона трубопровода к горизонту, g -ускорение свободного падения.
Аналогичная (1) система уравнений, описывающих движения невязкой сжимаемой жидкости, включает уравнения Эйлера и уравнение неразрывности:
5с + д(сМ) +1 д(гис) +1 д(^) = о
дф д2 г дг г дф
дМ дМ ттдМ V дМ 1 дР
----+ М — + и---------+------= ВР2---------,
дф д2 дг г дф с д2
2
дU trdU TTdU V дU V +M + U +-------------------+ —
дф дz дr r д— r
дV lfdV rTdV U дV UV
+M + U +-------------------+-----
дф дz дr r д— r
= BFr _-
с дr
= BF _± — ч> я ' сг д—
Для однонаправленного движения эта система и условие совместности могут быть записаны в виде
' др + д(рМ) = о дт д2 ’
дM AM дP п „ p — + pM — + — = pBg sm6>, дт dz dz
дР
дг
(7)
= Bop cos —,
ap b •
— = _rBopsin ——
д—
Bo
дд — (p cos —) + sin — — (rp)
д— dr
=o
(8)
где B0 = -Bg cos в .
Семейства частных аналитических решений системы (7) при условиях (6), (8) приведены в [4].
В ряде случаев используют допущения
дР дР
— = 0 , -------= 0 и пренебрегают массовыми си-
дг тдф
лами. Тогда в системах (3) и (6) остаются только по два первых уравнения с тремя неизвестными функциями. В этом случае для замыкания исходной системы используют уравнение состояния ВСЖ. Например, для капельной жидкости:
dP = a2 dp dz dz
(9)
к
Р Р р
для газа: — = ЯТ или —= — , (1о)
р Ро (р)
где а - скорость звука в ВСЖ, Я - газовая постоянная, Т - температура ВСЖ, к - показатель адиабаты.
і
1
і
і
2
г
Но при наличии доказательств справедливости зависимостей (9), (1о) для неподвижной ВСЖ в “прилипшем” к стенке слое не известны доказательства их справедливости в движущейся ВСЖ. Представляется целесообразным учитывать гравитационные массовые силы, действующие на ВСЖ в трубопроводе, а для нахождения функции / (т, 2) в
уравнении (4) использовать (9) или (1о) в качестве граничных условий при г = 1 (т.е. при
М (г = 1) = о):
= ЯТг=1 .
г=1
Литература
1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 2003. - 848 с.
2. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.
3. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968. 592 с.
4. Дободейч И. А., Барметов Ю. П. Первичная волна давления в жидкости после срабатывания клапана, установленного на трубопроводе. //Прикл. механика и техн. физика. 2005. Т .4, №1. С. 78-84.
дР
dz
Г=1
;5p
dz
r=1
P
или —
p
= a
Воронежская государственная технологическая академия
ABOUT THE EQUATIONS OF A COMPRESSIBLE FLUID DYNAMICS
I.A. Dobodeich, Yu.P. Barmetov
The Navier - Stokes equations in cylindrical co-ordinates are writing. The conditions of consistency equations system for unit - direction motion of viscous and nonviscous compressible fluid are received
Key words: consistency of equations, compressible fluid, motion
