Об оценке длины микропрограмм в системе преобразований абстрактного регистра Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.31, 538945, 530145 А.К. БЕЛЯЕВ*, В.П. КЛИМЕНКО*

ОБ ОЦЕНКЕ ДЛИНЫ МИКРОПРОГРАММ В СИСТЕМЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ АБСТРАКТНОГО РЕГИСТРА

Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев, Украина

Анотаця. В роботг розглядаеться задача ощнки довжини м!кропрограм у системi обернених пе-ретворень абстрактного регiстру. Мiкропрограми мiнiмальноï довжини подаються структурни-ми засобами адекватного опису квантових перетворень.

Ключовi слова: абстрактний регiстр, класи регулярностi, квантовi обчислення.

Аннотация. В работе рассматривается задача оценки длины микропрограмм в системе обратимых преобразований абстрактного регистра. Микропрограммы минимальной длины представляются структурными средствами адекватного описания квантовых преобразований. Ключевые слова: абстрактный регистр, классы регулярности, квантовые вычисления.

Abstract. In this work we consider the problem of estimating the microprograms length in a system of permutations of the abstract register. Minimum possible length microprograms are interpreted using a structural means of adequate description of quantum permutations. Keywords: abstract register, regularity classes, quantum computing.

1. Введение

Предложенная работа касается вопросов представления преобразований абстрактного регистра [1] в системе обратимых преобразований локального действия [2], а также отработки критериев оценки длины микропрограмм в этой системе преобразований. Наличие критериев оценки может быть полезным для построения эквивалентных форм микропрограмм минимальной длины для проведения структурных преобразований и возможной их дальнейшей реализации.

Так, в области квантовых вычислений [3], при рассмотрении преобразований на ансамблях кубитов, предложенные представления могут быть связаны с выяснением логики и изучением физической природы взаимодействия кубитов в процессах вычислений.

В качестве средства проведения рассматриваемых построений, выбирается множество элементарных обратимых операций преобразования состояний кубитов, в частности, операций инверсии этих состояний, а также множество логических условий их выполнения [2].

На абстрактном уровне такая система микроопераций обладает свойством функциональной полноты, образует некоторое исходное базовое множество преобразований [2] для порождения системы обратимых преобразований абстрактного регистра. Базовое множество и система микроопераций представляются элементами симметрических групп.

2. Перечисление классов регулярности преобразований абстрактного регистра

В соответствии с [2], элементарные микрооперации абстрактного регистра, которые структурно представляются разрядными преобразованиями, будем обозначать буквами некоторого абстрактного алфавита. Тогда, в результате применения методики порождения преобразований, микропрограммы могут быть представлены в виде некоторых слов переменной длины, образуя ярусное разбиение системы преобразований абстрактного регистра.

Основным направлением для исследования свойств предложенной системы преобразований выбрано разбиение системы на классы регулярных элементов [4].

© Беляев А.К., Клименко В .П., 2014

ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2014, № 2

Такое представление может быть использовано для проведения определенной классификации микропрограмм различной длины.

Классы регулярных элементов образуются операциями замены переменных абстрактного регистра и их инверсий, а также путем образования произвольных композиций этих операций для структурного преобразования микропрограмм.

Предложенные операции инвариантны к длине микропрограмм, являются операциями трансформации преобразований и порождают некоторую группу зеркальных преобразований микропрограмм. Таким образом, реализуются определенная степень упорядоченности обратимых преобразований абстрактного регистра, необходимая при исследовании симметрии ярусной системы, а также расположение элементов преобразований в ней.

При этом количество элементов в ярусах системы, а также исследование различных свойств системы преобразований, непосредственно связывается с выбранной системой образующих. Так, например, преобразования четных ярусов образуют знакопеременную подгруппу в общей группе преобразований абстрактного регистра. Такая подгруппа содержит преобразования, которые в своем разложении имеют четное количество транспозиций [5].

Для поиска и отработки методики идентификации преобразований относительно ярусов системы, а также для проведения дальнейших построений, в качестве примера будем рассматривать систему преобразований трехразрядного абстрактного регистра.

Построим некоторое перечисление преобразований абстрактного регистра. Для этого будем использовать перестановки n-степени, в частности, их модульное представление.

Модульное представление образуется сложением по mod 2 элементов перестановки с номером текущего положения элемента в этой перестановке. Здесь модульное представление рассматривается для n = 2Л m, где m - разрядность абстрактного регистра. Соответствие модульного представления и перестановок n-степени взаимно однозначно.

Например, в перестановке 8-ой степени [76234510], представляющей произведение транспозиций (0,7)(1,6), модульное представление имеет вид [77000077].

Другой пример перестановки 8-ой степени - [47230651]. Эта перестановка представляется произведением транспозиций (0,4)(1,7)(56), а ее модульное представление, соответственно, имеет вид [46004336].

Анализ позиций полученных модульных представлений приведенных выше перестановок показывает, что в первом случае модульное представление содержит четыре трехбитовых кода.

Во втором случае такое представление перестановок содержит четыре двухбитовых кода и два однобитовых кода. Указанным перестановкам могут быть поставлены в однозначное соответствие некоторые трехразрядные коды: 400 и 042.

Таким образом, преобразованиям абстрактного регистра ставятся в соответствие некоторые коды с условными весами 1, 2, 3 и т.д., начиная с младших разрядов. При этом образуется отношение естественного упорядочивания на множестве полученных кодов.

Предложенная система кодирования может быть также распространена на произвольные преобразования абстрактного регистра, представленные перестановками. Тогда в системе преобразований абстрактного трехразрядного регистра элементы базовой системы микроопераций кодируются кодом 002, тождественное преобразование кодируется кодом 000.

Рассмотрим некоторые свойства предложенной системы кодирования на примерах системы преобразований трехразрядного абстрактного регистра.

Кодам различных преобразований соответствуют определенные множества классов регулярности преобразований абстрактного регистра.

Базовое множество микроопераций определяется кодом 002, образует класс регулярных элементов с количеством элементов 12.

Микропрограммы длины 2, представляющие инволютивные преобразования второго яруса, образуют три регулярных класса с количеством элементов 6, 12, 24, которые кодируются кодом 004. В качестве представителей классов могут быть выбраны произвольные перестановки этих классов, например, [05634127], [052374163] и [052341763], а их модульные представления, соответственно, имеют вид [04404400], [04040404] и [04000411]. Иными словами, предложенная система кодирования инвариантна к зеркальным преобразованиям микропрограмм и может объединять классы регулярности в ярусах системы. Поэтому предложенная система кодирования преобразований абстрактного регистра может служить некоторым средством идентификации классов регулярности и их множеств. Это обстоятельство вытекает также из логики образования кодов и операций группы зеркальных преобразований микропрограмм.

Нужно отметить, что классы регулярности не выходят за пределы своих соответствующих кодов. Тем самым устанавливается соответствие выбранной системы кодирования и множеств классов регулярности преобразований абстрактного регистра.

Тогда для выбранной системы преобразований (трехразрядного абстрактного регистра) образуется некоторое распределение кодов, описывающих классы регулярности относительно ярусов системы. Это распределение приводится в табл. 1.

Таблица 1. Таблица распределения кодов перестановок в ярусах системы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

002

004 004

006 006 006

ООН 008 008 008

012 !

014 011

020

016 016 016

022 .....022 022.....

024 024 024

026 .....026 026

030

032 032 032

034 034 034

.....040..... ........................ .....040' 040

1Ш .....042"" 042

....................... 044 044 044

050 050

.....052"" .....052..... 052

.....ОбО" .....дбд..... 060

062 062..... 062

.....070..... ....................... 070..... 070

080 080 080

103

10^ 105

107 107 107

111

1 13 1 13

115 115

121

123 123 123

125 12^ 125

131 131 131

133 133 133

141 141

143 143 143

151 151

161 161

Продол ж. табл. 1

200

202 202

204 204 204

206 206 206

212 212

214 214

220 220

222 222 222

224 224 224

230 230

2.32 232

240 240

242 2.50 242 250

"зоз" 260 260

303 ; ;

305 .....311..... \

313 313

321 321

323 323

331 331

341 341

400

402 402 •

404 404 1 404

412 :

420 420 :

422 430 422

440 440

503

511

521

600 602

620

800

1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11 12

Курсивом обозначены коды классов регулярности инволютивных преобразований. Выделенные рамкой позиции отмечают классы регулярности для инволютивных и неинво-лютивных преобразований, которым соответствуют одинаковые коды.

В приведенном распределении коды упорядочены по возрастанию значений и номеров ярусов. Максимальная длина микропрограмм р = т *2А (т — 1). Эта величина равна

количеству элементов базиса.

В рассматриваемом случае она равна 12. Максимальную длину имеет инволютив-ное преобразование безусловной инверсии разрядов абстрактного регистра, которое отмечается кодом 800.

Анализ распределения кодов, описывающих классы регулярности по ярусам для предложенной системы преобразований, указывает на наличие неоднозначного соответствия кодов и ярусов системы.

Так, микропрограммы, представленные одинаковыми кодами классов регулярности, имеют попарно различную длину.

Поэтому основным средством анализа соответствия классов регулярности и номеров ярусов является исследование связи с соседними ярусами [4]. Пусть, например, рассматривается класс регулярности, обозначенный кодом 006, который представляется неин-

волютивным элементом, заданный перестановкой [25630147]. Этот элемент не может занимать позиции третьего яруса ввиду его неинволютивности.

Анализ переходов в соседние ярусы также показывает, что при умножении исходной перестановки справа на базовый элемент, заданный транспозицией (1,5), образуется перестановка [25630147] с кодом 004, которая не является инволютивной. Поэтому исходная перестановка - это элемент четвертого яруса. Действительно, анализ перехода, соответственно, по базовому элементу (3,7) образует перестановку [25670143] с кодом 008, которая не инволютивна и, таким образом, исходная перестановка не является элементом пятого яруса.

3. Выводы

1. Максимальная длина микропрограммы в системе преобразований, локализованных в разрядах абстрактного регистра, определяется размерностью множества базовых микроопераций, а соответствующий ей элемент равен их произведению.

2. Структурная регулярность преобразований является одним из основных критериев оптимизации микропрограмм в этой системе преобразований абстрактного регистра.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глушков В.М. Кибернетика, вычислительная техника, информатика: избр. тр. в 3 т. / Глушков В.М. - Киев: Наукова думка, 1990. - Т. 1. - С. 179 - 191.

2. Беляев А.К. Базовая система микроопераций и ее применение / А.К. Беляев // Кибернетика. -1972. - № 2. - С. 71 - 76.

3. Беляев А.К. Анализ модели квантовых вычислений / А.К. Беляев, В.П. Клименко // Математичш машини i системи. - 2009. - № 2. - С. 45 - 52.

4. Беляев А.К. О регулярности преобразований на абстрактном регистре / А.К. Беляев // Кибернетика и системный анализ. - 1998. - № 4. - С. 184 - 187.

5. Холл М. Теория групп / Холл М. - М.: Иностр. лит., 1962. - 468 с.

Стаття над1йшла до редакцп 02.04.2014