Об особенностях работы некомпенсированной пьезокерамической антенны в скважине Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://webcenter.ru/~eeaa/ejta/

2003, 3

Д. А. Касьянов

Радиофизический институт (НИРФИ), 603950, Нижний Новгород, ул. Большая Печёрская, 25, e-mail: kasd@nirfi.sci-nnov.ru

Об особенностях работы некомпенсированной пьезокерамической антенны в скважине

Получена 21.11.02, опубликована 06.02.2003

В работе исследуется возможность получения импедансных граничных условий для дифракционной задачи об излучении протяжённой пьезокерамической антенны, находящейся в скважине. Используется метод эквивалентных электромеханических схем, с помощью которого описывается связь между параметрами антенны и полем упругих колебаний, создаваемым при излучении. Показано, что оптимальные условия перехода акустической энергии из скважины в массив в рассматриваемом случае, существенным образом отличаются от подобных условий, возникающих при использовании идеальных граничных условий.

ВВЕДЕНИЕ

При разработке скважинных акустических антенн часто встаёт вопрос о поиске

оптимальных соотношений между диаметром антенны и характерными размерами скважины. Знание этих оптимальных соотношений особенно важно при создании скважинных источников для интенсификации различного рода геотехнологических процессов акустическим полем из скважин. В этом случае принципиальным является введение акустической энергии в продуктивный коллектор с наименьшими потерями. В данной работе нас будут интересовать акустические пьезокерамические источники, находящиеся в скважине аксиально симметрично и излучающие упругие поля в массив через жидкий слой. Для таких источников условие максимального прохождения акустической энергии в массив означает, что система «антенна - слой жидкости -скважина» настроена в резонанс.

Рассматриваемая проблема близка к той, которая исследовалась в известном цикле работ, посвящённых расширению полосы пропускания цилиндрических пьезокерамических преобразователей с помощью различных переходных слоёв см., например, [1, 2]. Основные характеристики цилиндрических излучателей в этих работах рассматриваются с позиций точных уравнений теории упругости и законов пьезоэффекта, однако, в качестве акустической нагрузки предполагается жидкая среда.

Конкретная задача резонансного прохождения акустической энергии от цилиндрического скважинного источника в массив через жидкий слой рассматривалась, например, в [3-5]. Авторы работ [3, 4] моделировали подобный

источник с помощью идеальных граничных условий, т. е. на поверхности источника задавались радиальные смещения. При этом был сделан достаточно очевидный вывод о том, что в данном случае условие резонансного прохождения близко к условию полуволнового резонанса коаксиального жидкого слоя, заключённого между двумя абсолютно жёсткими цилиндрическими границами. В [5] моделировался уже конкретный тип источника, а именно, кольцевой пьезокерамический. Авторы [5] пришли к заключению, что такой источник также можно моделировать идеальными граничными условиями и является он источником давления. Таким образом, условия резонансного прохождения в [5] совпали с условиями четверть волнового резонанса коаксиального жидкого слоя, заключённого между абсолютно мягкой и абсолютно жёсткой границами. В работе [6] исследовалась частотная зависимость сопротивления излучения цилиндрического пьезокерамического источника, работающего в скважине. К сожалению, авторами [6] не была рассмотрена на должном уровне задача о поиске оптимальных соотношений между характерными параметрами пьезокерамического излучателя и скважины для максимальной передачи акустической энергии из скважины в массив. Кроме того, результаты работы [6] трудно применить для исследования дифракционной структуры упругих полей в массиве, которые создаются протяжённой пьезокерамической антенной, находящейся в скважине.

Необходимо также отметить работу [7], где ситуация, связанная с излучением пьезокерамического цилиндра в твёрдое полупространство из скважины моделируется с помощью метода конечных элементов. К сожалению, авторам работы [7] не удалось получить удовлетворительных результатов для всей исследуемой ими полосы частот излучения цилиндра. Значительные расхождения между теоретическими и экспериментальными данными наблюдались для частот, которые близки к частотам объёмных резонансов в системе «цилиндрический источник - жидкость - скважина».

Опыт изготовления и эксплуатации скважинных пьезокерамических некомпенсированных антенн [8] показывает, что частоты резонансного прохождения акустической энергии в массив, при использовании таких источников, существенным образом отличаются от теоретических, полученных с помощью идеальных граничных условий. Связано это с тем, что при расчёте режимов излучения пьезокерамической антенны в скважине необходимо учесть характер собственного импеданса такой антенны. Это возможно, например, если идеальные граничные условия при расчётах заменить на импедансные.

В данной работе пьезокерамическая антенна, излучающая из скважины в массив через жидкий кольцевой слой, моделируется с помощью известного метода эквивалентных электромеханических схем. Этот метод даёт возможность получить приближённые, но достаточно эффективные, импедансные граничные условия, и в дальнейшем сформулировать дифракционную задачу об излучении из скважины упругих волн в массив с помощью протяжённой пьезокерамической антенны. В работе получены также соотношения между характерными параметрами пьезокерамической антенны и скважины оптимальные для максимального прохождения акустической энергии в массив через жидкий слой.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рис.1

Рассмотрим следующую модель. Пусть в безграничной изотропной однородной упругой среде находится бесконечная круговая цилиндрическая полость радиусом г2 , которая заполнена идеальной сжимаемой жидкостью. Твёрдая среда характеризуется плотностью р!1, продольной скоростью звука cl, поперечной скоростью звука ct, упругими модулями Я и /I,

для которых выполняются известные

22

соотношения: ! = р^{ , Я + 2! = р!,с1 ; жидкость характеризуется своей плотностью р:^ и скоростью звука cf. В полости осесимметрично находится протяжённая пьезокерамическая антенна с внешним радиусом г и внутренним радиусом г3 , геометрия коаксиальной системы «антенна -жидкий слой - массив» представлена на рис. 1. Пьезокерамика, из которой состоит антенна, характеризуется плотностью рс, скоростью распространения продольных

волн в стержне C1B, пьезоэлектрическим модулем d31 и модулем гибкости S1E . Считаем,

что пьезокерамическая антенна совершает осесимметричные колебания, поляризацию пьезокерамики предполагаем радиальной. Антенна возбуждается переменным электрическим напряжением U = иоelШ f (г) , где f (z) - нормированное распределение электрического напряжения вдоль образующей протяжённой цилиндрической антенны.

О ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

Для расчёта движения пьезокерамических преобразователей часто используется метод эквивалентных электромеханических схем (см., например, [9, 10]), который позволяет выразить в явном виде скорость движения границы преобразователя и корректно записать после этого граничные условия дифракционной задачи. Общая структура подобных эквивалентных схем известна и изображена на рис. 2, где 2е1 —

импеданс электрической стороны преобразователя, 2т — механический импеданс

преобразователя, — импеданс нагрузки, N — коэффициент электромеханической

трансформации, с помощью которого

можно пересчитывать на электрическую ; г %

И

сторону импеданс механической стороны °--------------т---

преобразователя: 2ет = (1 /N )(2т + 2г) и

и

выразить внутренний импеданс

преобразователя следующим образом:

(1 / г? )=(1 / 2«)+(/ гт).

Рис.2

Для некоторых случаев колебаний радиально поляризованного бесконечно длинного цилиндра известны точные эквивалентные электромеханические схемы [11], которые весьма сложны и неудобны для использования на практике, но на их основе можно получить достаточно простые приближённые эквивалентные схемы, например, при условии малой волновой толщины стенки цилиндра [9-11], что выполняется практически всегда.

а)

1:Ы

А

К.

ЖІ

б)

1:п Z2

и

1ЯІ

Рис 3.

Приближённая эквивалентная схема удобная для наших исследований представлена на рис. 3. На рис. 3а изображена эквивалентная схема протяжённой, но конечных размеров, пьезокерамической антенны, которая согласована с питающим генератором; введены следующие обозначения: 20 = іаЬ, где Ь — внешняя индуктивность, компенсирующая статическую ёмкость антенны Ста , І" = 1 /(іаСта), Я^1 —

сопротивление электрических потерь антенны, которое можно выразить через тангенс диэлектрических потерь tg8 : Яе^ ~ 1 /(аСт^8); 21,231,2], 2] — интегральные

эквивалентные импедансы, Ят1 — интегральное сопротивление механических потерь в

антенне. На практике, чаще всего, удаётся введением внешней индуктивности согласовать антенну с генератором, причём, если у антенны невысокая добротность, согласование можно провести в достаточно широкой полосе частот [8]. Для дальнейшего анализа предположим, что достигнута идеальная компенсация статической ёмкости антенны, кроме того, пренебрежём величиной Яег1, так как обычно tg8 для пьезокерамических материалов мал. Эти допущения приводят к эквивалентной схеме изображённой на рис. 3б. Здесь все величины импедансов, находящихся на механической стороне, нормированы на единицу длины антенны: 22 = іп2/(аСа),

23 = і2ка8гарс, 24 = 2к8 /(аг^), п = 2м131 / 5^, гт1 — погонное сопротивление

механических потерь, импеданс 22 учитывает прямой пьезоэффект, Са — погонная ёмкость, га и 8 — соответственно средний радиус и толщина стенки

пьезокерамического цилиндра. Используя определение коэффициента

электромеханической трансформации п (см., например, [10]), получим, что величину колебательной скорости поверхности цилиндра можно выразить следующим образом:

пи

V =---------, (1)

2 + 2 v ’

где 2т = 22 + 23 + 24 + гт1, направление вектора скорости совпадает с направлением нормали к поверхности цилиндра, положительное направление нормали совпадает с осью г на рис. 1.

Перед дальнейшим анализом необходимо сделать следующее замечание. Эквивалентная схема изображённая на рис. Зб пригодна для описания не только протяжённого тонкостенного пьезокерамического цилиндра, работающего в районе первого радиального резонанса, но и антенны, состоящей из тонкостенных цилиндрических колец, при условиях: И <<2га, 8 <<2га, АН <<2га, где И — высота

кольца, АН — расстояние между кольцами и при условии, что взаимодействие между кольцами мало [9, 10].

Введём потенциал смещения в жидкости р, при этом Р-^ =—Pf (д 2р/ дt2), ¥г = (д/дt ) р , где Р^ и Vf — соответственно давление и скорость в жидкой среде на

границе пьезокерамического цилиндра, зависимость от времени определяется

лая. г

множителем е . Если пьезокерамический излучатель нагружен при г = г1 на

удельный импеданс 2г, а при г = гЗ поверхность является свободной (влиянием

воздуха, который находится внутри антенны пренебрегаем), получаем следующие модельные граничные условия (см., например [11]):

= ГЗ = ^ =-1а21иг , (2)

где иг — радиальное смещение границы преобразователя.

Далее воспользуемся условием неразрывности нормальной составляющей колебательной скорости на поверхности цилиндра и получим вместо (1) следующее соотношение, выполняющееся на границе г1 :

рг сор и 0 f (г )п

Ур + —------= 0 . (З)

12т 1о2т

Выражение (3) является тем необходимым граничным условием, с помощью которого можно сформулировать интересующую нас дифракционную задачу о распространении

упругих волн в массиве при возбуждении их протяжённой пьезокерамической антенной, находящейся в скважине.

УСЛОВИЯ РЕЗОНАНСНОГО ПРОХОЖДЕНИЯ

Уравнения движения через потенциал смещения в жидкости р, продольный р1 и поперечный у потенциалы смещений в массиве запишутся в виде:

д 2р 1 др д 2р 2

+7зт+^т+к 2 р=0

дг г дг дг

д 2р, 1 др, д 2р, і2

+ л +^Т2+кіРі =0; (4)

дг г дг дг2

г д V ,2

+ +^гг+к<¥ = 0

д 2у 1 ду у д 2у

дг2 г дг г2 дг2 г

где к^, кг, к — соответственно модули волновых векторов в воде, продольный в массиве, поперечный в массиве. Напряжения огг, аг2 и смещения иг и иг в массиве связаны с потенциалами посредством равенств:

& 2 ~ д р, „ дV

—® р1 + 2^—-2^^ ; с, дг дідг

2Ш ті Г ^_2

, 2 2

2Эр, -2д^

2

р® V;

(5)

дгдг дг2

дрі дм

и =—1----------;

г дг ді

др, дм V

п, =-^~ + -!- + ^- . ді дг г

На границе г1 выполняется граничное условие (3), предположим также, что на границе г2 выполняются классические граничные условия, характерные для контакта жидкости с твёрдым телом, т. е. условия неразрывности нормальных составляющих смещений и напряжений и равенства нулю касательных напряжений:

иг

др

дг

Огг

- р

0. (6)

Процедура решения дифракционной задачи, сформулированной в выражениях (3)-(6), стандартна (см., например, [12]). В дальнейшем нас будет интересовать поле объёмных деформаций 8У в массиве. Поле сдвиговых деформаций в массиве при возбуждении упругих волн протяжённой антенной мало, предполагается, что характерный масштаб изменения функции / (г) много больше длины поперечной волны в массиве.

Опуская промежуточные выкладки, представим выражение для 8У в виде:

г

г-

г■

где Ф(|) — интегральное Фурье преобразование от / (г),

3 = Д,П ‘д/Т1?7 - +4 Н )!

со Н(2)\с^а2-|2 )

X

+4 - 02 ]УЩ | ( 72-г-

-<2 )(с^ 1 -г2)

Д = {к, (сол/Ь2 -|2 V0(сол/Ь2 -Г )-#о(:0^[Ь^~ГV 1 (с0"\/Ь2 “Г )}В: Ді -{/0 С„і/Ь -Г У - К 0 (с^4ЬГ-ГТ)і }в,

В - #1 (с^Ь2 )т -/1 с„л/Ь2-Г У,

I - /

с -X

С0 ь

\\ /у

7 - #1

\Л

с -X

С0 ь

\Ь-Г

І^-Г2

ргсгЬ ((

^/ / /

*•' I

iZ^VЬт"г?

Р/с/Ь

X

с0 - Ь

\л /V

’К

\\

с -X

с0 - ь

І^ЬЧ7

>/ьт^?

А -

а 2ци 0 и

^Ьс/^и

0 и Р / с, с і

П - — , а - , Ь - —, с0 - к1г2, с - к1г , с1 - ,

с,

Р,

X

/

(7)

Х = к/ (г2 - г1 ), с0 - * = к1г1 .

Анализируя выражение (7) и действуя аналогично [4], можно получить приближённые условия резонансного прохождения акустического поля, создаваемого скважинной пьезокерамической антенной, в массив. Условия эти накладываются на волновую толщину слоя жидкости х, находящегося между скважинной антенной и внутренней стенкой скважины, для простоты скважина считается необсаженой. Сформулировать эти условия можно с помощью следующего выражения:

XX)-#1МІ /1 (с,,Ь-х)-рт~/0(с„Ь-X)

-/1 (^Ь! #1 (с„Ь-х)-рс.ха (ь-X)

(8)

Резонансное прохождение акустической энергии от пьезокерамической протяжённой скважинной антенны через жидкий слой в массив должно наблюдаться при тех значениях х, при которых модуль |Х(%) из (8) принимает минимальные значения.

Зададимся конкретным типом протяжённой пьезокерамической антенны, например, из [8] и исследуем условия резонансного прохождения акустической энергии от данной

антенны в массив в зависимости от диаметра скважины. Антенна состоит из пьезокерамических цилиндров с внешним диаметром 74 мм, внутренним 66 мм и высотой 30 мм, сделанных из пьезокерамики со следующими характеристиками: е,Е =3500 м/с; ¿31 = 1,95 • 10-10 Кл/Н; ^ = 11,3 • 10-12 м2/Н; рс = 7,2 -103 кг/м3, погонная ёмкость у антенны Са ~ 0,45 мкФ/м. Исходя из эквивалентной схемы, изображённой на рис. 3б, получим выражение для удельного механического импеданса антенны:

7т =-Гт.—+1-^—, (9)

р/с/ р/с/ р/с/

2ф 8 2прс (сЕ )2 и з2і

сЕ [2ПЇІс1 Уі Ы1с1 УаСа

1

V

Основной проблемой в расчётах является корректное определение величины (гт!/ РуСу) см., например, [9]. Значительные проблемы возникают, если предполагается использование антенны под значительным статическим давлением (десятки МПа). Величина гт1 существенно зависит от внешнего давления и измерение её, если это необходимо, нужно проводить под рабочим давлением, при этом следует учесть, что величины ё31 и также имеют зависимость от внешнего давления. В нашем случае

протяжённая (длиной около 5 метров) антенна использовалась при избыточном давлении не более 0,5 МПа в среде, по своим характеристикам близкой к воде [8]. При проведении дальнейших оценок для рассматриваемого случая будем пренебрегать влиянием внешнего избыточного давления и его изменениями вдоль протяжённой антенны. В принципе, величину (гт11 РуСу ) можно грубо оценить из измерений в воде

электроакустического к.п.д. Пеа при работе на резонансной частоте антенны:

(Тпа/РуСу )~(/Пеа -1) [10]. При этом необходимо предположить, что появление

скважины не изменяет существенно интегральные механические потери в конструкции антенны, а касается лишь активной и реактивной составляющих сопротивления излучения. Резонансная частота антенны в скважине, которая является одной из нормальных частот системы из двух связанных колебательных систем, ниже, чем собственная резонансная частота антенны в воде. Следовательно, для корректного определения величины (гт11 РуСу) необходимо знать частотную зависимость этой

величины, которая может быть определена при исследовании, например, частотной зависимости давления, создаваемого протяжённой пьезокерамической антенной в воде. Легко видеть, что давление Р, измеряемое в воде на некотором расстоянии Я от антенны, можно записать в виде:

р = Р^^Ц^гЦк (9)

7 + 7 , (

^т^ ^1

где 2г — эквивалентное сопротивление излучения протяжённой цилиндрической антенны в воде; Zb = (а + iß)pwcw (см., например, [9]), а и ß — безразмерные коэффициенты при составляющих сопротивления излучения, pw и cw — соответственно плотность и скорость звука для воды. Окончательно, выражение (9) приобретает следующий вид:

P =________________nU^_______ (10)

(r„l(PwCw )+а)+( + ß) ( >

На рис. 4 показана величина (rml/pwcw ) для антенны из [8], измеренная таким образом.

Рис. 4. Рис. 5.

Пользуясь экспериментальными данными и выражениями (7), (8) можно получить оптимальные условия прохождения акустической энергии в массив от рассматриваемой скважинной антенны, работающей на разных частотах, в зависимости от параметра х .

На рис. 5 представлено поле объёмных деформаций ¿V на расстоянии 1 метр от оси скважины, полученное с помощью выражения (10) для исследуемого случая. Кривая 1 соответствует частоте излучения антенны /= 15,7 кГц; 2 — /= 15,2 кГц; 3 — / = 14,7 кГц; 4 — /= 14 кГц; 5 — /= 13,3 кГц; 6 — /= 12,8 кГц. Для расчёта взяты параметры из [8]: п = 0,5, а = 2,11, Ь = 1,27, и0 = 300В, в качестве жидкости, находящейся в скважине, предполагается вода. Резонансная частота антенны, измеренная в воде =14,7 кГц. При работе антенны в скважине максимальная

амплитуда объёмных деформаций в околоскважинном пространстве создаётся на частоте =14 кГц, при значении х1е* =0,9, х!, - Х1е* ~п . При отходе от ^ падает амплитуда ¿V и изменяется параметр х^, соответствующий оптимальному прохождению акустической энергии в массив. На рис. 6 представлено сравнение значений хТге*, полученных из выражений (7) (зависимость 1) и (8) (зависимость 2), при работе антенны в районе своей резонансной частоты. Хорошо видно, что отличие

значений %\е8, полученных из разных выражений, менее 10%, что вполне приемлемо для практики.

Таким образом, формулой (8) можно пользоваться для оценок оптимальных условий излучения различных протяжённых антенн, находящихся в рамках эквивалентной схемы, изображённой на рис. 3б.

12 13 14 15 16 17

Рис. 6. Рис. 7.

На рис. 7 на примере рассматриваемой антенны представлена эволюция в

зависимости от частоты возбуждения протяжённой антенны. Зависимость получена с помощью выражения (8). При уменьшении волнового размера кг1 происходит переход к известной задаче об излучении точечного источника в скважине [13], где выполняется условие У1 0 ( ^ 3,82) см. рис. 7.

Эквивалентная схема на рис. 3б является справедливой для работы цилиндрического преобразователя вблизи низкочастотного радиального контурного резонанса. Тем не менее, выражение (8) описывает закономерное стремление Х™ к нулю при увеличении

относительных волновых размеров стенки излучающего цилиндра (см. рис. 7), т. е. качественно описывается предельный переход к задаче, рассмотренной в [3, 4].

К сожалению, на практике чаще всего геометрические характеристики скважины и акустических антенн заданы заранее и не являются оптимальными. Случайные соответствия, как, например, в случае [8], где решались задачи, связанные с акустической интенсификацией геотехнологических процессов, являются лишь исключениями. Протяжённая пьезокерамическая антенна в [8] работала в скважине с эффективным внутренним диаметром ё2 ~ 210 мм., который достаточно близко

соответствовал параметру Х™. Оптимальной же для данной антенны, с точки зрения прохождения акустической энергии в массив, является скважина с внутренним диаметром ё2 ~ 100 мм., который соответствует параметру . Моделирование реальной ситуации, описанной в работе [8], с помощью выражений (3)-(6) даёт весьма близкое соответствие с экспериментальными данными [8], особенно при расчёте частот пропускания системы «протяжённая пьезокерамическая антенна - жидкий слой -массив».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе рассмотрено излучение протяжённой некомпенсированной пьезокерамической антенны, находящейся в необсаженой скважине, которая заполнена жидкостью. Аналогичным образом можно рассмотреть задачу об излучении компенсированной антенны. Эквивалентную электромеханическую схему для записи граничных условий дифракционной задачи в этом случае можно получить следуя результатам работы [11].

В скважинной акустике часто используются магнитострикционные модули для излучения акустического поля из скважины [14]. В принципе, на их основе можно создать протяжённую скважинную антенну. Эквивалентные электромеханические схемы магнитострикционных излучателей известны [9] и их также можно использовать для определения реальных граничных условий при решении дифракционных задач. Метод получения граничных условий на излучающей поверхности будет аналогичен представленному в данной работе. Не представляет труда обобщение приведённого выше решения задачи на случай излучения акустической энергии из скважины в массив через обсадную колонну и закрепляющее её цементное кольцо, дополнительные к (3) граничные условия для такой многослойной коаксиальной системы выписаны в [15].

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 03-02-16805 и гранта Минобразования Е02-8.0-58.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дианов Д. Б., Кузьменко А. Г. Исследование возможности расширения полосы

пропускания цилиндрических пьезокерамических преобразователей. Акустический журнал. Т. 16. № 2. С. 236-240. 1970.

2. Алексеев В. Н. Расширение полосы пропускания цилиндрического пьезокерамического преобразователя с помощью двух переходных слоёв. Акустический журнал. Т. 22. № 2. С. 179-184. 1976.

3. Крутин В. Н., Кузнецов О. Л., Стрекозин В. В. Излучение продольных и поперечных волн из скважины с жидкостью в упругую среду. Ядерногеофизические и геоакустические исследования скважин на нефть и газ. М.: ВНИИЯГГ. 1977. С. 5-21.

4. Крутин В. Н. Энергетические соотношения при излучении упругих волн из

скважины. Новые геоакустические методы поиска и разведки месторождений полезных ископаемых. М.: ВНИИЯГГ. 1982. С. 76-88.

5. Стрелков Е. М., Шалашов Г. М. Исследование эффективности возбуждения

цилиндрических акустических упругих волн в межскважинной среде. Исследование и разработка наземных невзрывных источников сейсмических колебаний. М.: Геол. Фонд РСФСР, 1988. С. 47-55.

6. Бушер М. К., Михайлов А. В., Попов В. П. О проектировании скважинных

акустических излучателей. Геофизика. № 3. С. 52-55.

7. Ekeom D., Dubus B., Gradner C. Coupled finite-element wave number decomposition method for the modeling of piezoelectric transducers radiating in fluid-filled boreholes. J. Acoust. Soc. Am. 104(5), 1998, p. 2779-2789.

8. Касьянов Д. А., Шалашов Г. М. Об опыте акустического воздействия на процесс подземного выщелачивания редких металлов. Труды XI Сессии РАО, т. 2. М.: ГЕОС, 2001.С. 121-125.

9. Подводные электроакустические преобразователи. Л.: Судостроение. 1983. 248 с.

10. Свердлин Г. М. Гидроакустические преобразователи и антенны. Л.: Судостроение.

1 988. 200 с.

11. Дианов Д. Б., Кузьменко А. Г. Расчёт цилиндрического пьезокерамического преобразователя, совершающего радиально-симметричные колебания.

Акустический журнал. Т. 16. № 1. С. 42-48. 1970.

12. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. О дисперсии гидроволн в цилиндрическом кольце. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып. 16. Л.: Наука. 1976. С. 54-60.

13. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. Волновое поле точечного источника в скважине, Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып. 16. Л.: Наука. 1976. С. 41-53.

14. Кузнецов О. Л., Ефимова С. А. Применение ультразвука в нефтяной

промышленности. М.: Недра. 1983. 172 с.

15. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. О спектре продольной волны в скважине с зацементированной обсадной колонной. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып. 17. Л.: Наука. 1976. С. 156-164.