Об оснащениях Картана базисных подрасслоений скомпонованного SH-распределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Естественные и математические науки в современном мире № 9 (33), 2015 г.

СибАК

www. sibac info

СЕКЦИЯ 1. МАТЕМАТИКА

1.1. ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ

ОБ ОСНАЩЕНИЯХ КАРТАНА БАЗИСНЫХ ПОДРАССЛОЕНИЙ СКОМПОНОВАННОГО SH-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Будылкин Андрей Александрович

аспирант,

институт прикладной математики и информационных технологий Балтийский федеральный университет им. И. Канта,

РФ, г. Калининград E-mail: AndrevBudvlkin@rambler.ru

ABOUT CARTAN EQUIP OF BASIS SUBBUNDLES OF COMPOSITED SH-DISTRIBUTION

Andrey Budylkin

graduate student,

Baltic federal university of I.Kant, institute of applied mathematics

and information technologies Russia, Kaliningrad

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассмотрим скомпонованные распределения (SH-распределения) проективного пространства [1]. Изучение

SH-распределений актуально, так как теорию SH-распределений можно применить для исследования регулярных гиперполос в Pn и гиперполос специальных классов [6]; [7], а также для гиперполосных распределений [8]; [9]. Для Л-, L-подрасслоений SH-распределения

5

СибЛК

www. sibac. info

Естественные и математические науки в современном мире

№ 9 (33), 2015 г

построены оснащения в смысле Э. Картана [10]. Найдены условия инвариантности и неподвижности плоскостей Картана и связь оснащения Картана с нормализацией Нордена [4]. В работе использован метод Лаптева Г.Ф. [2]; [3] Индексы принемают значения

1,],К,... = 1,п; i,j,k,s,... = l,m; а,р,у,... = т + 1,п — 1;

ABSTRACT

In this paper, we consider the distribution of assembled (SH-distribution) projective space. Theory SH-distributions can be applied to the study of regular hyperbands in Pn and hyperbands special classes, as well as for hyperband distributions. For Л-, L-subbundles SH-distribution equipment constructed in terms of Cartan. The conditions of invariance and the stationary plane and communication equipment Cartan Cartan Norden's normalization. The paper used the method of GF Laptev , The index values Accepted

I,],K,... = l,n; i,j,k,s,... = l,m; a,p,y,... = m + l,n — 1;

Ключевые слова: распределение; оснащение; условия

инвариантности.

Keywords: distribution; equipment; invariance conditions.

§ 1. О голономности SH- распределения

1. В проективном пространстве Pn рассмотрим скомпонованное гиперплоскостное распределение (SH-распределение) [1]. Выберем подвижной репер R0 ={А;-} нулевого порядка ассоциированный с SH-распределением

A=A0, {А,}сЛ(Ас), {Aa}cL(A0), A^H^Ac),

формулы инфинитезимального перемещения которого запишем в виде

dkj = MjAx,d.Mj = wfhWj.Wj = 0. (1)

Известно [1], что SH-распределение в репере Rc задается уравнениями (2), (3):

< = Ап1кшк, шпа = АпаКшк, = А“кшк, < = А1акшк, (2)

VAпц + ААШ° = AnijLoiL, VA?a + А>° = AniaLo>L,

6

Естественные и математические науки в современном мире № 9 (33), 2015 г.

СибАК

www. sibac info

VA?n + Л?п< - Л?-й^ - Л?„о>£ - = Лг1пЬшь,

VAnaj + AnajM°0 = A™jLa>L, VAnap + АпарШ00 = Апа^, VAnan + Апапш00 - Апа]шI - АпаршР -ш°= АпапЬшь,

VA“• + Л“< + ЛАа>£ = AaijLML, VA“p + + Лп1ршЧ -

8№ = A%La>L,

VA“n + л“п"о - A“j"n - A?/?"f + Л”п< = А“пЬшь, VAlaj + Л^00 + Л^Ч - 8}а>° = Л^Ч,VAlap + Л^00 + АаД< = Л^Ч,

VAan + АаЧ - АаЧ^ - Ai,4 + A2n< = КпЬШЬ.

(3)

Имеет место теорема существования [1]:

Теорема 1. В n-мерном проективном пространстве Pn скомпонованное SH-распределение в репере нулевого порядка R0 определено с произволом (2m+1)(n-m-1) + m функций n аргументов.

2. Тензоры {ЛА },{Апар },{Л“-,Л?/ },{А1ар,Апар} 1-го порядка,

вообще говоря, не симметричны по индексам i,j,a,p, но именно ими охватываются симметрические тензоры {ау },{а™^},{ А?-, },

{ Кхр, ааД}:

a?j=-(Nlj+A!}0,Va?j+a?j(^ = a?j:

мк цКш0 '

где

аук — 2 (АЧ + А7«):

= ^(ЛаД + A£a)-V<S + <4 =

яу = ^(Ау + A“i)-V4/ + А“Ч + = О,

1

Ч = J (Л«Д + Л/?Д + ЧХ + = О,

и кососимметрические тензоры г/-, г£р,{ г/-,г//}, { гаД>га/?}:

Г?} = ~ № - АЮ- + П>8 = rfaco*,

ГаР = 2 (ЛаД - Л/?а)- VC/? + Га/?"о = Р

аркШ0’

7

СибЛК

www. sibac. info

Естественные и математические науки в современном мире

№ 9 (33), 2015 г

= j (л“- - л*), Vsrf + г“у0 + = о,

1

ГаР = 2 (Л«Д “ Л/?Д + Г1арП° + = О,

Г?а = ^ - Кд. = Г?аК0)«.

3. Уравнение

< = О, (4)

Ассоциированное [2] с оснащающим распределением гиперплоскостей Н, вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда обращается в нуль тензор {rj^,}:

гапр = 0. (5)

В этом случае (5) оснащающее Н-подрасслоение определяет однопараметрическое семейство гиперповерхностей Vn-b огибающих элементы Н-подрасслоения. При смещении центра А0 вдоль фиксированной гиперповерхности Vn-1 уравнения (2)-(4) задают гиперповерхность Vn-b касательные плоскости Hn-1 которой образуют поле скомпонованных плоскостей таких, что в каждой точке А0£ Vn-1 выполняется соотношение [Л(Л0),Ь(Л0)]=Нп-1(Л0). Условия (5)

характеризуют голономность [2] H-подрасслоения. Тензор {г£р} назовем тензором неголономности оснащающего Н-подрасслоения.

4. Аналогично, система = 0,м‘о = 0, ассоциированная с базисным распределением плоскостей Ln_m_b вполне интегрируема тогда и только тогда, когда обращается в нуль тензор {r™^, r^g }:

га/? = 0 < = > = о,Гар = 0 < = > Л[ад] = 0. (6)

В этом случае (6) L-подрасслоение порождает (m+1)-параметри-ческое семейство поверхностей Vn.m.j, огибаемых плоскостями Ln.m.j (элементами L-подрасслоения).

При смещении центра А0 вдоль фиксированной поверхности Vn-m_i уравнения (2),(3) вместе с = 0, ш10 = 0 представляют собой дифференциальные уравнения регулярной (н^-^-мерной гиперполосы [6]; [7], оснащенной полем Л-плоскостей. Такие гиперполосы назовем гиперполосами Hn_m-1^). Следовательно, обращение в нуль

8

Естественные и математические науки в современном мире № 9 (33), 2015 г.

СибАК

www. sibac info

тензора {r™^, r^} есть условие, при котором пространство Pn расслаивается на (т+1)-параметрическое семейство регулярных гиперполос Нп-т-1(Л) так, что каждая плоскость Ln-m-1(A0) в центре А0 является касательной плоскостью базисной поверхности Vn-m-1 гиперполосы Нп-т-1(Л). Тензор {г™^, г^} назовем тензором неголо-номности [6]; [7] L-подрасслоения.

5. Также система = 0, Шд = 0, ассоциированная с базисным распределением плоскостей Лт, вполне интегрируема тогда и только тогда, когда обращается в нуль тензор {7у, 7у }:

гп = 0<=> Ап.] =01Г« = 0 <=> А«л = 0. (7)

В этом случае (7) базисное Л-подрасслоение определяет (n-m)-параметрическое семейство m-мерных поверхностей (плоскости Лт огибаются m-мерными поверхностями (^тетраметрического

семейства). При смещении центра А0 вдоль фиксированной поверхности Vm уравнения (2),(3) вместе с Шд = 0,Шд = 0 представляют собой дифференциальные уравнения регулярной т-мерной гиперполосы, оснащенной полем L-плоскостей. Такие гиперполосы назовем Hm(L). Следовательно, обращение в нуль тензора {7у, 7у } есть условие, при котором пространство Pn расслаивается на (тт)-пара-метрическое семейство регулярных гиперполос Hm(L) так, что каждая плоскость Лm(A0) в центре А0 является касательной плоскостью базисной поверхности Vm гиперполосы Hm(L). Таким образом, условия (7) определяют голономность [2] Л-подрасслоения. Тензор {7у, 7у} назовем тензором неголономности Л-подрасслоения.

Определение. Скомпонованное Н-распределение назовем

голономным [9], если оба базисных подрасслоения (L и Л) голономны, т.е. выполняются условия (6), (7) и полуголономным, если

выполняется только одно условие: либо (6), либо (7).

6. В общем случае плоскость L(A) в каждом центре А не совпадает с характеристикой Xn_m-1(A) [9] гиперплоскости Н(А), т. е.

Х-п-т-1(^) ^ Ln-m-1(^) _ Л-„-т-2(Л).

В частности, если

Х-п—т—1(^) — Ln-m-1(^),

то SH(L) распределение есть гиперполосное распределение, которое исследовал Столяров А.В. [9] Таким образом, теорию

9

СибЛК

www. sibac. info

Естественные и математические науки в современном мире

№ 9 (33), 2015 г

регулярного скомпонованного SH-распределения проективного

пространства Pn можно применить как для исследования регулярных гиперполос Hm с Pn и гиперполос специальных классов, так и для гиперполосных(полосных) распределений.

§2. Инвариантное оснащение Л-подрасслоения данного SH-распределения в смысле Э. Картана

1. В дифференциальной окрестности 1 -го порядка рассмотрим квазитензоры {Л“},{Л1П},{Л^[},{Л°}, компоненты которых удовлетворяют соответственно уравнениям:

Л“ = ^Л“.Л£, VA“ + < = АапКш\ (8)

Лп = TblAi«PAna. VA‘„ + Ч = Ккик, (9)

Al = ~^ (Л^ - Kfn), VA° + о>° = А0акшк, (10) A°i=- ^ - Л^Л“)'УЛ? + = Л>* (11)

Уравнения (9), (8) задают нормали 1-го рода [1], а уравнения (11), (10) задают поля нормалей 2-го рода соответственно L-подрас-лоения и Л-подрасслоения в дифференциальной окрестности 1 -го порядка.

Охваты (10), (11) носят более общий характер:

V2 = - г (Alai - Л>4). Vv° + < = V^

vr = -■

■(Л?а-Л?Х), Vvf + = v?KwK.

(12)

где квазитензоры {v'n}, {v“ } задают соответственно нормали 1-го рода Л- и L-подрасслоений произвольного порядка, а квазитензоры {vf}, {v,5} — задают нормали 2-го рода Л- и L-подрасслоений того же порядка.

Определение. Л-подрасслоение т- мерных линейных элементов данного SH-распределения назовем оснащенным в смысле Э. Картана [10], если каждому центру А0 поставлена в соответствии плоскость K„-m-i(Ao), не имеющая общих точек с текущим элементом Лт(А0) базисного Л-подрасслоения.

Плоскость Kn_m_i (A0) в каждом центре А0 зададим точками

КаМ = V°A0 + Аа,Кп(у) = v°A0 + v£Aa + v’nAi + An = v°A0 +

An.(11)

10

Естественные и математические науки в современном мире № 9 (33), 2015 г.

СибАК

www. sibac info

Функции, входящие в соотношения (11), удовлетворяют уравнениям

которые задают условие инвариантности плоскости Картана Kn-m-1(A0) = [Ka, Kn]. В дальнейшем, если специально не оговорено, в качестве функций v“,v° берем соответственно охваты

если v!n = Л1п то . Таким образом, оснащение Л-подрас-

слоения данного SH - распределения в смысле Э. Картана равносильно заданию на подмногообразии SH полей геометрических объектов (v(j},{Va},{v4>vn>Л“}. Заметим, что плоскость Kn-m-1(A0) пересекает Ln-m-1(A0) по плоскости

и если Л?а = 0, то плоскость Kn-m-2(A0) является осью плоскости Кёнигса [5]. В силу этого плоскость Kn-m-2(A0) = [Ka] назовем осью оснащающей плоскости Kn-m-1(A0) = [Ka, Kn]. Ясно, что оснащение Л-подрасслоения в смысле Э. Картана влечет за собой оснащение Л-подрасслоения полем нормалей 1-го рода {v'n}. Верно и обратное утверждение: если на Л-подрасслоении задано поле нормалей 1-го рода {v^}, то такое оснащение определяет оснащение в смысле

Э. Картана Л-подрасслоения, так как в качестве одного из возможных охватов функции v° можно взять

(13)

Kn-m-2(A0) Ln-m-1(A0)H Kn-m-1(A0)= [ Ka] = [ Ka=^a

(14)

или

(15) 11

11

СибЛК

www. sibac. info

Естественные и математические науки в современном мире

№ 9 (33), 2015 г

При таком охвате (14), (15) функции v° оснащающая плоскость K„-m-i(Ao) — называется плоскостью Кёнигса [10] нормали {v'n}. Охват (15) универсален в том смысле, что он справедлив для любого поля нормалей 1-го рода {v^}. Из охвата (15) функции v° следует:

Теорема 2. В каждом центре А0 SH-распределения

инвариантные оснащающие плоскости Кёнигса (х1 — v„xn = 0,хо — Х0аха — v°xn = 0) всех нормалей 1-го рода Nn-m(v) Л-подрасслоения принадлежат одной связке, (п-т-2)-мерная вершина Kn-m-2=\Aa + ы которой является осью каждой из плоскостей Кёнигса.

2. Пусть Л-подрасслоение оснащено полями нормалей {v)j} 1го рода. Следуя работе Столярова А.В. [8], найдем условия неподвижности плоскости Э. Картана Kn-m-1(A0) = \Ka, KJ. Разложив dKa, dKn по реперу {A0,Aj, Kp , Kn } и приравняв коэффициенты при A0, Aj к нулю, находим

Кк - ^5(Л“^ + + v^AfK) - (v° - v°A“)(a£a^ + +

vnjAJKn=0, (16)

VaK - - (v° - v°pApn)(AnaK + V°5^) = 0, (17)

<k + + AnKtK - + v^A7)K + АрпАпрк) = 0, (18)

Как + - v^(v^5^ + AnaK) = 0. (19)

Одновременное выполнение соотношений (18),(19) является условием того, что смещение оснащающей плоскости Kn-m-1(v) не выходит из нормали 1-го рода Nn-m(v^). При этом оснащающая плоскость Kn-m-1(v) является плоскостью Кёнигса [3] нормали {v^}, так как из соотношений (19), (18) непосредственно следует

'г0 _

— (Л‘ ■ — Ап -v^")

„„V'-ai llacnJ’

т

--К; - Л^-v^) - V°A“.

В работе [9] доказано, что при m>2 для гиперполосных распределений из соотношений (18), (19) вытекают соотношения

(16), (17). Так же можно показать, что для Л-подрасслоения данного SH-распределения условий (18), (19) достаточно, чтобы восстановить (16), (17). В случае m>2 аналогично доказываем, что при любом смещении центра А0 SH-распределения смещение оснащающей плоскости Э. Картана Kn.m.j не выходит из нормали 1-го рода {v^}

12

Естественные и математические науки в современном мире № 9 (33), 2015 г.

СибАК

www. sibac info

тогда и только тогда, когда оснащающая плоскость Kn-m-1 неподвижна. В этом случае плоскость Kn-m-1 является плоскостью Кёнигса [9] нормали {v^ }.

§ 3. Инвариантное оснащение L-подрасслоения в смысле Картана

1. Пусть теперь задано поле нормалей 1-го рода {v“} L-подрасслоения. Тогда поле квазитензора

п — т

■ ГЛ“ - Л” v“3

V'-ia 1'-iavnJ’

заданное уравнениями

Vvf + a? = vika>K,

определяет поле нормалей 2-го рода L-подрасслоения.

Определение. L-подрасслоение (п-т-1)-мерных плоскостей

данного SH-распределения назовем оснащенным в смысле

Картана [10], если каждому центру А0 поставлена в соответствие плоскость Кт(А0), не имеющая общих точек с текущим элементом L(A0) базисного L-подрасслоения.

В плоскости нормали Nm+1(v) найдем ивариантную плоскость Кт(у)=[С1,Сп], натянутую на точки:

C„(v) = Ц°А0 + 5Rn(v) =Ап + v£Aa + N:nAi + ^А0, Q(v) = At +

v.%,

или

mn(v) — An + v!^Aa + AinAi.

Согласно (1), (2), (9), (12), (13) находим условия инвариантности плоскости Кт(у)=[С1,Сп]:

'Щ0п + Л>? + v>° + й>° = Л0пкшк VA‘n + ш1п = А1пКшк,

Vv“ + 0)“ = у“кшк,

Vvf + ш° = У°КШК,

(20)

13

СибЛК

www. sibac. info

Естественные и математические науки в современном мире

№ 9 (33), 2015 г

Таким образом, оснащение L-подрасслоения данного SH-распределения в смысле Э. Картана равносильно заданию на подмногообразии SH полей геометрических объектов {v“},{vf},{v“,^°, A‘n} (20). Отметим что плоскость Km(v) пересекает плоскость Лт(А0) по плоскости

Km-i(Ao):Km-i(Ao): Km(Ao) П Лт(Ао) = [Cj(v)] = [At + v?40],

которую будем будем называть осью плоскости Km Э. Картана. Ясно, что если Л”а = 0, то плоскость Km-1(A0) является осью плоскостей Кёнигса [3] в этом случае

-о _ до ^

-Л“а, Ci= Ai+A0iA0.

Оснащение L-подрасслоения в смысле Э. Картана полем плоскостей Km(v) влечет за собой оснащение L-подрасслоения полем нормалей 1-го рода {v“}. Верно и обратное утверждение: если на L-подрасслоении задано поле нормалей 1-го рода {v“}, то такое оснащение определяет оснащение в смысле Э. Картана L-подрасслоения, так как в качестве одного из возможных охватов функции можно взять

яО ____

Чп — "

«а - A”»V>£) -

(21)

или

« = -^ (Упа - A»f) - A°A‘n. (22)

При охвате (21), (22) функции оснащающая плоскость Km(A0) [9] является плоскостью Кёнигса нормали {v“}. Охват (22) универсален в том смысле, что он справедлив для любого поля нормалей {v“ } 1-го рода L-подрасслоения в данном центре А0.

2. Пусть L-подрасслоение оснащено полем нормалей {v“ } 1-го рода. Аналогично (см §2) найдем условия неподвижности плоскости

Э.Картана ^(A^^C^C,,]. Разложив dCn, dCt по реперу {A0,Aa,C,,Cn} и приравняв коэффициенты при A0 и Aa к нулю, находим

Лпк

■ vf(AlnK + <4 + v^A1^) - (4 - v10A1n)(A1nAfK + 44 +

vn/SAfiKn=0, (23)

14

Естественные и математические науки в современном мире № 9 (33), 2015 г.

СибАК

www. sibac info

- «№* - « - + «) = 0, (24)

+ Л‘пл“к - v“(^S£ + v^AlpK + Л7ПЛ^) = О, (25) Л“* + vf5“ - v“ (vX + X) = О. (26)

Следуя работе [8] можно показать, что условия (23), (24) являются следствиями (25), (26), а при n-m-1>2 условий (25), (26) достаточно, чтобы плоскость Э. Картана Кт(А0) была неподвижной. В этом случае плоскость Кт(А0) является плоскостью Кёнигса [9] так как из (25), (26) следует, что

'гО _

■ (Л“ — Лп Vя) Яс

\llia lliavnJ' Чг

-«* -A^v^vf) - vfA^

Для инвариантных оснащений в смысле Картана L-подрасслоения имеет место теорема аналогичная теореме 2.

Теорема 3. В каждом центре А0 SH-распределения инвариантные оснащающие плоскости Кёнигса (ха — v“xn = 0, х0 — X0txa — = 0) всех нормалей 1-го рода Nm+1(v) L- подрасслоения

принадлежат одной связке, (т-1)-мерная вершина Km_1=[Ai + Я°Л0] которой является осью каждой из плоскостей Кёнигса Km(A0).

Резюмируя, приходим к следующим предложениям

Теорема 4. При т>2 при любом смещении центра А0 SH-распределения в дифференциальной окрестности 1-го порядка оснащающая плоскость Э. Картана Kn.m.1=[Ka(v), Kn(v)J (является плоскостью Кёнигса) не выходит из нормали 1-го рода {V„} Л-подрасслоения тогда и только тогда, когда она неподвижна. Условия (18),(19) — аналитический признак неподвижности

плоскости Кёнигса Kn_m_1.

Теорема 5. При n-m-1>2 при любом смещении центра А0 SH-распределения в дифференциальной окрестности 1-го порядка оснащающая плоскость Э. Картана Кm(v)=[CiCn] (плоскость Кёнигса) не выходит из нормали 1-го рода {v“} L-подрасслоения тогда и только тогда, когда она неподвижна. Условия (22),(23) — аналитический признак того, что «вращаясь» вокруг своей оси Kn_m_2 =[А0 + Х°А0], плоскость Кm остается неподвижной.

Список литературы:

1. Будылкин А.А. Инвариантные нормализации скомпонованного гиперплоскостного распределения проективного пространства // Естественные и математические науки в современном мире / г. Новосибирск, — 2015. — вып. № 2(26) — с. 24—33.

15

СибЛК

www. sibac. info

Естественные и математические науки в современном мире

№ 9 (33), 2015 г

2. Лаптев Г.Ф. Распределение касательных элементов. Тр. Геометр. семинара. ВИНИТИ, АНСССР, — 1971. — т. 3, — с. 29—48.

3. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. Труды геометрического семинара. Т. 3. — М-ВИНИТИ АН СССР, 1971, — с. 49—94.

4. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М. изд. «Наука», 1976. — 432 с.

5. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве. Тр. Геометрич семинара. АНСССР, — 1973. — т. 4 — с. 71—120.

6. Попов Ю.И. Общая теория регулярных гиперполос: учебное пособие / Калининград ун-т, Калининград, 1988, — 82 с.

7. Попов Ю.И. Столяров А.В. Специальные классы гиперполос проективного пространства. Учебное пособие, Калининград, БФУ им. И. Канта, — 122 с.

8. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий; Монография 2-е изд. / Чуваш. Ин-т, Чебоксары 1994 г. — 290 с.

9. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии// ВИНИТИ АНСССР — 1975. — Т. 7. — с. 117—151.

10. Cartan E. Les espaces a connexion projective // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М. — 1977. — вып. 4 — с. 147—159.

16