Об оптимизации стержневых конструкций из упрочняющихся упругопластических материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСос ЦАГИ

Том ХХП №1 Мб

УДК 624.071.3 624.072.2

ОБ ОПТИМИЗАЦИИ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЯ ИЗ УПРОЧНЯЮЩИХСЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ

МАТЕРИАЛОВ

с. В. Селюгuн

Доказана равнонапряженность минимальных по объему (весу) статически определимых стержневых конструкций (ферм, рам) задаиной жесткости из упрочняющихся упругопластических материалов в случае линейного и степенного законов упрочнения. Предложен и проиллюстрирован на примере алгоритм оптимизации статически неопределимых ферм при пластических деформациях с упрочнением.

в раосте [I ] был преобожен- и исъеедован критерий выосра рационвече ных параметров конструкций из упелчняющихся упругопластнческих материалов. Поведение материала в [I] описывве",ь д^слрмационной трорией пластичн",ти, основная идея оптимизации зареючвеась в максимизации жесткости эквивалентной нелинейно-упругой конструкции. Ниже подход применен к стержневым коналрукциям (есрмам, рамам).

1. Задача минимизации суммарного потенцивеа П2 раосты де^рмацни (или, что то же, максимизации жесткости конструкции) при задаином гёдеме Vo материала, согласно [1], имеет вид:

П2 = JndV—min,

\dV= V0= const,

v

где П —потенциал работы деформации:

dn = o(/de,j.

d — знак дифес^нциала, Оц — тенздр напряжений, е,-,- — тензор де^рмацнй,

V — область, занятая конструкцией.

Здесь по повторяющимся индексам — суммируется, система кдординат — декартова.

Рассмотрим задачу ( I) обя статически опредедимых стержневых' (есрменных, рамных) конструкцнй.

Примем, что в домах сечение эдемента — идевеизиелваннге [2], т. е. балка представляет из себя двутавр с одинаковыми подками площадью

F/2, разнесенными на расстояние h, и тоикой стенкой, не работающей при изгибе. Внешиие нагрузки и строительные высоты вдоль балок распределены «гладким» образом, а продольные силы отсутствуют. Условимся, что поведение материала при растяжении и сжатии описывается одной и той же диаграммой о — е (напряжение — деформация), как это принято, например, в [2] в случае идеальной упругопластичности.

Будем считать, что фермы нагружены только в узлах, причем стержни — растянуты.

Примем также, что все элементы каждой конструкции изготовлены из одного изотропного материала.

Уравнения Эйлера для задачи (1) в этом случае будут:

+ 1.= О, i= *, . ■. *”> (2)

где i — номер элемента конструкции, n — общее число элементов, F, — площадь сечения, 11 — потенциал работы деформации в i-M элементе, Л — множитель Лагранжа.

Здесь 11 и F,, эообще говоря, зависят от координаты вдоль i-ro стержня.

Так как имеет место статическая определимость, то для рам и ферм соответственно справедливы с^этношения:

2М‘ • 1 /ъ\

°‘=Ж' i= 1....n- (3)

р.

oi = y-, i= 1, ... ,n, (4)

где P,, М,- — внешняя нагрузка, O' — напряжения, Л,- — строительная высота в i-M элементе.

П^реобразуя (2), с учетом (3), (4), получаем:

—- а, + П, + А, = 0, t^1,... ,n. (5)

Рассмотрение первого члена в левой части (5) приводит к выводу о том, что если, бы функция П (O') = 11 была однородной, то, согласно формуле Эйлера для однородных функций, указанный член был бы пропорционален 11. Следствием этого было бы выравнивание потенциала П по всем элементам.

Покажем, что желательным свойством однород^кти будет обладать функция П(о) в случае широко используемых в деформационной теории пластична™ моделей линейного и степенного упрочнений [3].

Связь О' — е при этом в одномерном случае, отвечающем стержневым конструкциям, соответственно дается соотношениями:

„_/£-е O<OT,

\oI + £i(e-eT), о>от, ( )

1 О' 1 = Л-| е 1 у, О < у < 1, А > О, (7)

где Е — модуль упругости, О'т — предел текучести, £. — модуль упрочнения, ет = От/Е, А,у — константы материала.

Зависимости (6) могут быть записаны в форме [3]:

1 { О', О'^ О'т

е=т 1О'+(О(О'-О'т), О'>О'т.

где

Ш = т----1 >0.

Е,

Тогда (8) и (7) соответствует потенциал П(о) вида:

о' < О"

П =

*

2 Е ’

(9)

0'> ОР

2 £, 2£

т+1

п=т5гА-1/у |ст| т • (1°)

откуда видно, что выражение о' -^0. будет пропорционально 'П для зависимости (1°). В случае зависимости (9) при о<от это также будет иметь место,

а при о' > от будет пропорциональность о' —■ выражению П + Ь, где Ь—

константа, зависящая от материала.

В точке о' = от функция (9) неди^фференцируема, но существуют производные слева и справа, равные с^этветственно О'т/Е и О'т/Е|. Поэтому при о' = О' следует ^^пользоваться условиями оптимальными в субдифференциальной форме [4] для выпуклых задач, к классу которых принадлежит и (1). Действительно, целевая функция в (1) с уч^м (9), (1°) выпукла по /', а огра-иичение — линейно по / и может рассматриваться изменения физического смысла задачи как ограничение сверху иа ^объем материала, т. е., как неравенство. Тогда условия оптимальности запишем в виде [4]:

Ое д ( ПFdx) + АЗ ((^х-у). (11)

где д — знак субди^фференциала, а под интегрированием по контуру £ понимается интегрирование по всем стержням.

Опуская выкладки, аналогичные приведенным выше, п^осл п^реобразований из (11) получаем при о' = О'т:

Ое [ _.1] + П(«т)+ А, ( 12)

где квадратные скобки означают отрезок действительной осн.

Для гладких участков зависимости (9) условия оптимальности (5) запишутся в виде:

П,= А, о<О'т

' (13)

{П, = А, о<О'т, Л

П/_ А —о>0'т / * 1

о>о

V Е

и для (1°) — в виде:

'\'11= А, *= 1, .. . , п. (14)

Из всех этих с^этношений сразу следует, что А > О. Также из (12) — (.13) видно, что если хотя бы в одном элементе о' > а,. то ^ будет иметь м^есто и во всех элементах (т. е. (12) и (13.1) не может быть выполнено нигде для п^ициала (9) ).

Таким образом, в случае упрочнения (6), (7) с точки зрения н^еобходимых условий оптимума, потенциал ра^^ы деформации П для статически определимых оптимальных в смысле. (1) стержневых конструкций должен быть постоянен вдоль силовых элементов и, ^мее того, одинаков во всех' элементах, т. е. оптимальная конструкция будет равнонапряженной. Этот результат известен в случае линейной упругости [5] и выше продолжен нами в пластиче-

скую область. Возможно также ^обобщение на конструкции с элементами из разных материалов и заданным общим весом.

2. В работе [1] показано. что задача (1) в определенном смысле эквивалентна задаче

V= JdV-min.

V ( 15)

П2 = J ndV = П2о = const, v

У

•

где П2о= ns(Vo) есть решение задачи (1). Решением (15) будет V = Vo, множитель Лагранжа J.L в (15) будет равен 1/').. а распределение материала и напряженно-деформирован^де состояние для (l) и (15) — одно и то же.

Из результатов предыдущего пункта следует. что для задачи (15) будет справедлив вывод о выравнивании потенциала П ра^эты деформации. Таким образом. доказано. что статически определимая стержневая конструкция минимального ^^«ма (веса) и заданной общей жесткости в случае линейного и степенного упрочнений является равнонапряженной.

3. Получим, также зависимости. связывающие уровень нагруженности — потенциал П оптимальной конструкции с объемом материала конструкции V. Из (9), (10) с учетом (3). (4) получаем для линейного упрочнения при пластическом деформировании:

У(1) _ /П(2> + С

у<2) _ у П<‘> + с ’ 2Е ’ .

и для степенного упрочнения:

у

у О__/П(2)\Т+1

т®- _ ’

где верхний индекс в скобках соответствует рассматриваемому варианту уровня нагруженности.

4. Исходя из полученных выше результатов. перейдем к построению алгоритма оптимизации для статически неопределимых ферменных конструкций. Все принятые ранее допущения будем считать справедливыми.

Пусть им^^ся статически определимая ферма из п стержней с площадями стержней и напряжениями в них аР). /_ 1,.п. В этом случае переход к распределению площадей ^2), <= 1. . п реализующему заданный уровень напряжений О'дОП и обеспечивающему минимум веса конструкции. как нетрудно вндеть. будет осуществляться по формуле:

• /_ 1 ,...,п. ( 16)

О'ДОП

По аналогии с линейно-упругим случаем (6] можно использовать формулу (16) для итераиионного пересчета параметров статически неопределимых ферм из упрочняющихся упругопластических материалов.

Проиллюстрируем применение эвристического алгоритма (16) на примере.

Рассмотрим трижды статически неопределимую пятистержневую ферму. изображенную на рис. 1.

Упрочнение материала за пределом текучести О'т предполагается линейным. отношение модули упругости Е к модулю упрочнения £■ принято равным 9.7. Предел текучести О'т составляет 0.77 от допускаемого напряжения ам„.-

\ео° 90 У У//./{/////уи / / ЧҐУ зву'

і / /уґ

Р

Рис. I

РИс. 2

Примем следующие характерные значения длины, напряжения, площади, потенциала работы деформации, объема и суммарного потенциала работы деформации соответственно, обозначаемые сверху звездочкой:

I* _ [ 0* = О , Р* = Р/О

* *? ^ ^ДОП» ' Л /иДОП»

2

П*___ 0д°" V* _ Р* [* п:, = п* V*

£|

Далее везде будем использовать соответствующие размерные величины в долях этих характерных значений.

Естественно ожидать, что в ходе оптимизации ферма выродится в единственный вертикальный стержень. Для изолированного вертикального стержня, растянутого силой Р до напряжения о*,", имеем П£ _ 0,2341.

Начальная точка процесса оптимизации соответствует одинаковым площадям сечений стержней ц объему материала, равному 1 /ош„ = 1.

Приведем результаты расчетов.

На рис. 2 показано изменение П£ и V для фермы за первые 10 итераций. Видно, что на первом шаге объем материала возрастает более чем в полтора раза, а затем монотонно убывает вместе с

Как и ожидалось, в результате оптимизации произошло вырождение конструкции в единственный вертикальный стержень с напряжением, равным Одоп, т. е. в статически определимую конструкцию. Соответствующие данные для напряжений а,, площадей Р,, і _ 1, ...,п. П£ и V приведены в таблице. Там же д.ля сравнения помещен результат для нзолированного вертикального стержня.

Исходные данные Число итераций Извдированный вертикальный стержень

10 зо 65

Оі 1,287 0,3961 0,392 0,4017

02 2,419 0,9037 0,8873 0,8867

оз 2,954 1,035 1,003 1,00 1

О. 1,787 0,9151 • 0,8904 0,8868

05 1,225 0,822 0,8064 0,8039

Р| 0,1321 2,231Е - 03 8,441Е - 12 9,022Е - 26

Р2 0,1321 0,1958 1,962Е - 02 2,93Е - 04

£з 0,1321 0,7392 0,9733 0,996 1

Р. 0,1321 0,1089 1,336Е - 02 2,069Е - 04

Рб 0,1321 0,0263 4,2Е — 04 2,079Е - 07

П}; 1,473 0,2589 0,2363 0,2341 0,2341

V 1 1,176 1,016 1,00 1

Наиболее интенсивно улучшение проекта идет в начале процесса оптимизации — П}; уменьшается в несколько раз в течение первых десяти итераций. Точность в 1 % по критерию достигается в районе*3О итераций.

Известно, что в линейно-упругом случае решение такой задачи с точностью 1 % потребовало бы порядка 10 итераций [6]. Увеличение по сравнению с этой цифрой числа итераций в нашем примере обусловлено нелинейным поведением материала.

Таким образом, алгоритм (16) может быть использован для оптимизации пластически деформируемых конструкций на этапе локализации решения в окрестности оптимума. Дальнейшую оптимизацию проекта, по-видимому, следует вести методами нелинейного программирования, Подобная стратегия с успехом используется [5, 6] для линейно-упругих конструкций.

ЛИТЕРАТУРА

1. С е л ю г и н С. В. О критерии оптимальности упрочняющихся упругопластических тел.— Труды ЦАГИ, 1990, вып. 2476.

2. Ч и р а с А. А. Строительная механика.— М.: Стройиздат, 1989.

3. Г о л ь д ш т е й н Ю. Б., С о л о м е щ М. А. Вариационные задачи статики оптимальных стержневых систем.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

4. И о ф ф е А. Д., Т и х о м и р о в В. М. Теория экстремальных задач.— М.: Наука, 1974.

5. Б а н и ч у к Н. В. Введение в оптимизацию конструкций.— М.: Наука, 1986.

6. G е 11 а 1 1 у R. А., В е г к е ОрИт 11:. а тайіс сотраНЫе Іа^е всаіе

аіИотаїес) тіпітит сієбійп ргойгат.— AFFDL-TR-74-79, 1974, уо 1. 1.

Рукопись поступила 8/1 1990 г.