CC BY
55
УДК 165.0
ОБ ОНТОЛОГИЧЕСКИХ И ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИХ АСПЕКТАХ
ИСТОЛКОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ В ПРОГРАММЕ ФОРМАЛИЗМА© 2011 Д. И. Алябьев
аспирант каф. философии e-mail: dmitry_al@,email. su
Курский государственный университет
В статье рассматривается попытка переосмысления формалистского течения Д. Гильберта в области оснований математики. На основе установки о наличии в фундаменте математического знания трёх компонент доказывается фундаментальность геометрической компоненты, высказывается предположение о возможности реалистичной трактовки объектов и истин геометрии представителями формалистского течения.
Ключевые слова: онтология, гносеология, философия математики, логика, формализм.
На сегодняшний день математика не имеет общепризнанного онтологического и гносеологического основания, в связи с чем разработка сущностного фундамента этой науки, соответствующего современному уровню ее развития, выступает актуальной задачей. Сущностный статус истин и объектов математики, в частности геометрии, на данный момент является до конца не определённым. Такое положение дел связанно с особенностью математики как науки. С одной стороны, её истины говорят об идеальных объектах, конструкциях человеческого разума. С другой стороны, математика коренным образом отличается от эмпирических наук, так как любая признанная математическая истина никогда не опровергается эмпирически. Г оворить о математических истинах как о конструкциях, не имеющих непосредственного отношения к реальности, не представляется возможным и в связи с тем, что истинность утверждений математики неизменно подтверждается критерием практики, то есть тем, что приложение математических истин к процессу преобразования действительности человеком (там, где оно адекватно осуществлено) оказывается всегда эффективным [Арепьев 2007: 144].
Построение геометрии, наряду с арифметикой, Гильберт проводил аксиоматическим методом, уделяя при этом большое внимание вопросам логической структуры. В качестве базиса данного построения можно выделить несколько элементарных объектов. К ним относятся: «точки», «прямые» и «плоскости». «...Обычно исходят из предположения о существовании всех элементов, т. е. заранее предполагают, что существуют три системы вещей: а именно точки, прямые и плоскости, и затем, в существенном по примеру Евклида, устанавливают между этими элементами взаимоотношения посредством известных аксиом» [Гильберт 1948: 316]. Помимо этого, Гильбертом задаются исходные отношения между данными вещами, которые выражаются понятиями «принадлежит», «между» и «конгруентен». О данных понятиях говорится лишь то, что они удовлетворяют аксиомам, для них не даётся никаких прямых определений. На основании этих понятий происходит построение всей геометрии.
Работа выполнена при поддержке РГНФ, проект № 08-03-00049а.
Выделенный статус указанных понятий, то есть объектов и отношений, позволяет предположить их онтологическую и гносеологическую значимость. Остальные же положения теории выводятся по законам формальной логики из аксиом. Логика играет значительную роль при построении Гильбертом оснований геометрии, хотя это не говорит о возможности сведения геометрических истин к истинам логическим [Рашевский 1948: 23-25]. Более того, в формалистской программе содержатся положения, позволяющие утверждать о несводимости геометрической компоненты к логической и арифметической, говорить о сущностной самостоятельности базисных понятий геометрии: «Например, геометрические факты при упорядочении выстраиваются в геометрию, арифметические факты - в теорию чисел, факты, касающиеся статических, механических, электродинамических явлений -в такие теории, как статика, механика, электродинамика, а факты из физики газов - в теорию газов» [Гильберт 1998: 409].
В пользу несводимости основополагающих объектов и истин геометрии к логике говорит Пуанкаре, комментируя труды Д. Гильберта: «Таким образом, можно было бы построить всю геометрию, я не скажу, ничего в ней не понимая, потому что будет понятно логическое сцепление предложений, но по крайней мере ничего в ней не видя. Можно было бы вставить аксиомы в логическую машину, например в логическое пианино Стенли Джевонса, и из нее вышла бы вся геометрия» [Пуанкаре 1956: 455456]. С одной стороны, выделяются законы логики, на основе которых работает машина, но, с другой стороны, утверждается онтологическая значимость, самостоятельность аксиом геометрии. Из этого следует, что данные аксиомы имеют другое, не логическое происхождение и средствами одной лишь логики построены быть не могут. Геометрическая составляющая математики в программе формализма может трактоваться с объективистских позиций. На справедливость данной точки зрения указывают, например, высказывания Гильберта об абстрактном отражении геометрией свойств протяженности материальных тел [Гильберт 1948: 459], что и означает реалистическую позицию в этом вопросе. Высказывания Гильберта о «геометрических фактах» можно понимать в том смысле, что под этим подразумевается реалистическая трактовка геометрических объектов и истин.
Признание объективности геометрических истин сочетается у Гильберта с указанием на их априорность, их включенность в структуру разума: «Геометрия, так же как и арифметика, требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений - это задача, которая со времён Евклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления» [Гильберт 1948: 55]. На различия между арифметикой и геометрией Гильберт указывает явно: «Присматриваясь и сравнивая между собой многочисленные работы, посвящённые принципам арифметики и аксиомам геометрии, мы, наряду с многочисленными аналогиями и случаями сходства между этими двумя предметами, замечаем, однако, и существенное различие в отношении метода исследования» [Гильберт 1948: 315]. Геометрия трактуется сторонниками формализма, наряду с арифметикой и логикой, как фундамент естествознания. О геометрии Гильберт пишет: «При таком подходе теория пространства и времени - а следовательно, в частности, и геометрия - должна быть чем-то таким, что, как и арифметика, предшествует всему естествознанию» [Гильберт 1998: 462]. Таким образом, признавая наличие у человека пространственных представлений, лежащих в основе аксиом геометрии, Гильберт отмечает специфичность геометрии по отношению к логике и в то же время допускает ее априорное происхождение.
О Л 7 7 АГп 0/10
Отдельно следует рассмотреть вопрос о гильбертовской аналогии между геометрией и физикой, о которой он говорит в работе «Познание природы и логика»: «В самом деле, эйнштейнова теория гравитации со всей очевидностью показала, что геометрия есть не что иное, как ветвь физики; геометрические истины ни в едином отношении принципиально не отличаются от физических и устанавливаются так же, как и они» [Гильберт 1998: 463]. Здесь необходимо признать, что эмпиристское истолкование геометрической компоненты математики противоречит как множеству аргументов (прежде всего, отсутствие случаев установления или опровержения геометрических истин эмпирическим путем), так и общей картине содержательного обоснования геометрии и всей математики в программе формализма. Ни Гильберт в своих работах, ни кто-либо из его последователей, да и вообще математиков, не разрабатывали методов эмпирического установления геометрических истин, такая задача вообще всерьез не ставилась, что является признанием ее бессмысленности. Противоречивость же возникает из-за традиционного для математиков нежелания Гильберта углубляться в так называемые метафизические аспекты, то есть в проблемы, относящиеся к онтологическим и гносеологическим вопросам. Несмотря на схожесть математики с эмпирическими науками, такими как механика, они имеют и кардинальные отличия. Прежде всего, это различие связано с тем, что признанные математикой истины никогда не опровергались эмпирически, а также не получались путём эмпирического обобщения. Вместе с этим математические истины имеют значительное приложение в эмпирическом изучении реальности и окружающего мира, и их адекватность, соответствие свойствам действительности подтверждается также практикой [Арепьев 2007: 144-151].
Гильберт многократно сравнивает геометрию с эмпирическими науками: «И хотя евклидова геометрия является непротиворечивой в самой себе системой понятий, отсюда еще не следует, что она имеет законную силу в действительности. Так это или не так - может решить лишь наблюдение и опыт» [Гильберт 1998: 434]. Обращая внимание на то, что её непротиворечивость подтверждается наблюдениями и опытами, однако, при построении доказательств он никогда не обращается к экспериментам, для подтверждения их достоверности. При рассуждении об эмпиричности геометрии можно говорить лишь о том, что результаты её полностью приложимы к действительности через эмпирическое естествознание и практику. Это означает, на наш взгляд, что высказывания Гильберта об эмпиричности геометрии на самом деле ошибочны и что их нужно трактовать в том смысле, что истины геометрии объективны, что они не могут устанавливаться произвольно, а отражают, как и эмпирические истины, свойства действительности, но на более высоком уровне абстракции и, как указывает множество аргументов, на более высоком уровне надежности [Перминов 2001: 20-21].
Говоря об аналогии геометрии с эмпирическими науками в трудах Гильберта, П.К. Рашевский указывает на разделение геометрии на две составляющих. Первая из них, говорит он, является составной частью физики, то есть наукой эмпирической, а вторая - частью математики, которая не относится к опытным дисциплинам: «Таким образом, в том разрезе, в каком мы до сих пор говорили о геометрии, она есть часть физики и, следовательно, должна расти и развиваться вместе с нею на экспериментальной основе. Но в геометрии есть и другая, математическая сторона...» [Рашевский 1948: 10]. Можно сказать, что к эмпирической части относится
интерпретация законов геометрии на действительность, а к математической относятся исходные объекты геометрии, аксиомы и др. Именно последние и интересуют нас в настоящей работе.
В качестве основной идеи, используемой при формализации математики вообще и геометрии в частности, можно выделить, прежде всего, доминирующую роль символизации, а также использование законов логики при оперировании с этими символами. Фактически, происходит замена процесса логического мышления манипуляциями с формулами по строго определённым правилам. «Аналогично тому, как это делалось при переходе от содержательной арифметики к формальной алгебре, мы и в логическом исчислении рассматриваем знаки и символы операций в отрыве от их содержательного значения. Тем самым мы, в конце концов, вместо содержательной математической науки, которая передается обыкновенным языком, получаем некоторый запас формул, построенных по определенным правилам из математических и логических знаков» [Гильберт 1998: 445]. Здесь возникает определенная аналогия доказательства и арифметического вычисления, где содержательность объектов, участвующих в операциях, не важна. Исходные объекты, которые также заменяются символами, по сути, выступают как бессодержательные.
Для формализации теории необходимо предварительно сформулировать аксиомы и записать их в символической форме, а также описать допустимые правила логики. Из этого, конечно, не следует сведения математики к логике. Помимо формулировки системы аксиом, также требуется доказать непротиворечивость выбранной аксиоматической системы [Перминов 2004: 135-136]. Д. Гильберт,
вероятно, при определении основных понятий предполагает реальное существование математических и логических объектов и истин, относящихся к объективной действительности [Гильберт 1998: 439]. Более того, во многих высказываниях Гильберта можно обнаружить явное указание на объективность [Гильберт 1998: 439-440] понятий и истин, лежащих в фундаменте его построений.
Относительно полноты списка аксиом геометрии Пуанкаре в работе «Отзыв о работах Д. Гильберта, представленных в 1903 году казанскому физикоматематическому обществу для соискания международной премии имени Н. И. Лобачевского» замечает следующее: «Нужно узнать, есть ли геометрия
логическое следствие явно выраженных аксиом, т.е. могут ли эти аксиомы, вставленные в логическую машину, заставить выйти из нее весь ряд предложений. Если да, то мы можем быть убеждены, что мы ничего не забыли, ибо наша машина может работать только сообразно с правилами логики, для которых она построена; она не знает того смутного инстинкта, который мы называем интуицией» [Пуанкаре 1956: 456]. Если данное предположение верно, оно не противоречит нашей точке зрения о несводимости геометрии к другим составляющим математики. На современном этапе развития математики и ее оснований мы не можем отрицать наличие неформализуемой составляющей в геометрических аксиомах, которые предполагается загружать в «логическую машину».
В качестве итогов данной статьи мы можем отметить несводимость геометрической компоненты к логической и арифметической компонентам, утверждать сущностную самостоятельность базисных понятий геометрии, говорить о четкой реалистической тенденции в трактовке математики и геометрии программой формализма. Высказывания Гильберта об абстрактном отражении геометрией свойств протяженности материальных тел указывают на реалистическую позицию в этом вопросе. Мы также можем заключить, что признание объективности геометрических истин сочетается у Гильберта с имплицитным указанием на их априорность, их включенность в структуру разума.
ОП1 1 АГп 0/10
Библиографический список
Арепьев Е. И. Онтологические и гносеологические компоненты оснований математики: геометрическая составляющая // Философская Россия. 2007. 3. М.: Изд-во РУДН, 2007. С. 144-151.
Гильберт Д. Аксиоматическое мышление // Гильберт Д. Избр. тр. Т. I. М.: Факториал, 1998. С. 409-417.
Гильберт Д. О понятии числа // Гильберт Д. Основания геометрии / пер. с нем. И.С. Градштейна. М.-Л..: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1948. С. 315321.
Гильберт Д. О бесконечном // Гильберт Д. Избр. тр. Т. I. М.: Факториал, 1998. С. 431-448.
Гильберт Д. Познание природы и логика // Гильберт Д. Избр. тр. Т. I. М.: Факториал, 1998. С. 458-465.
Гильберт Д. Основания геометрии / Пер. с нем. И.С. Градштейна. М.-Л..: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1948. - 491 с.
Рашевский П.К. «Основания геометрии Гильберта» и их место в историческом развитии вопроса // Гильберт Д. Основания математики / пер. с нем. И. С. Градштейна. М.-Л..: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1948. С. 7-54.
Перминов В.Я. Философия и основания математики. М.: Прогресс-Традиция, 2001. 320 с.
Перминов В. Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с.
Пуанкаре А. Отзыв о работах Д. Гильберта, представленных в 1903 году казанскому физико-математическому обществу для соискания международной премии имени Н.И. Лобачевского // Об основаниях геометрии / ред. и вст. статья А.П. Нордена. М.: Изд-во технико-теоретической лит-ры, 1956. С. 452-478.
