Об одной задаче сопряжения для псевдопараболо-гиперболического уравнения четвертого порядка с нелокальными условиями в криволинейном треугольнике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.6

Т.Ы. Саадалов

старший преподаватель, кафедра информатики, Ошский технологический университет им. М.М. Адышева, г. Ош, Киргизия E-mail: saadtol_68@mail.ru

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ В КРИВОЛИНЕЙНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Аннотация. Доказано существование и единственность решения задачи сопряжения для псевдопараболического и гиперболического уравнений четвертого порядка в криволинейном треугольнике с нелокальными условиями сопряжения.

Ключевые слова: задачи сопряжения, псевдопараболические и гиперболические уравнения, уравнения четвертого порядка, уравнение Вольтерра.

T.Y. Saadalov, Osh technological university named after M.M. Adyshev, Osh, Kyrgyzstan

A PROBLEM OF CONJUGATION FOR PSEUDOPARABOLIC-HYPERBOLIC FOURTH ORDER

EQUATIONS WITH NONLOCAL CONDITIONS IN A CURVED TRIANGLE

Abstract. The existence and uniqueness of the solution of the conjugation problem for pseudoparabolic and hyperbolic equations in the fourth order in a curved triangle with conjugate conditions were proved.

Keywords: problems of conjugation, pseudoparabolic and hyperbolic equations, fourth order equations, Volterra equations.

1. Введение. Краевые задачи для уравнений псевдопараболического и гиперболического уравнений четвертого порядка в прямоугольных областях рассмотрены в работах [1; 3]. Такие задачи могут быть математической моделью процесса теплопередачи в составной системе с разными теплофизическими характеристиками [4; 5]. Однако в приложениях встречаются задачи, когда условия сопряжения содержит интегральные слагаемые или граничные данные задаются на криволинейных участках границы рассматриваемой области. В работе изучена задача сопряжения для псевдопараболического и гиперболического уравнений четвертого порядка в криволинейном треугольнике с нелокальными условиями сопряжения.

2. Постановка задачи. Пусть D означает криволинейный треугольник, ограниченный линиями Д A1 : х = 0, - h1 < y < О,, ДВ : х = s(y ), - h1 < y < О, BA0 : y = ju( x), 0 < x < L , а

D1 = D n (y > 0), D2 = D n (y < 0).

Здесь s(y) - монотонно неубывающая, а m(x) - монотонно невозрастающая функции. Через C"+m обозначим класс функций, имеющих производные dr+s/dxrdys (r = 0,1,...,n;s = 0,1 ,...,m).

Задача 1. Найти функцию u(x,y)е C(D)n[C2+2(D1)иC3+1(D2)], удовлетворяющую в области D1 уравнению

L (u) ° Uxxyy + a1 (x, y)Uxxy + a2 (x, y)Uxyy + b (x, y)Uxx + b2 (x, y)Uxy +

+Ьз( x, y )Uyy + сД x, y )Ux + ^2 ( x, y )Uy + d( x, y )u = /i( x, y ),

граничным условиям

u(0,y) = j(y), Ux(0,y) = j(y), 0 < y < h, (2)

u(x,m(x)) = y(x), 0 < x < L, (3)

удовлетворяющую в области D2 уравнению

М") ° ихХХу + а(X, У)иххх + а2(X, у)ихху + Д(х, у)ихх +

X, у )"ху + /(X, У )"х + у2( X, У )"у + £( X, у )и = /2( X, у),

(4)

граничным условиям

и условиям сопряжения

их(0,у) = с(у), ихх(0,у) = с(у), -Л < у < 0 (5)

и(а(у),у) = Сз(у), - < у < 0 (6)

и(х, +0) = а(х)и(х,-0) + Д(X), 0 < х < I,

X

и у (х, +0) = р( х )иу (х, -0) +1 в( х, Х)иу (X, -0)1 X + г (х), 0 < х < I,

(7)

где э1, с1, а, Д, / ,/= 1,2), Ьу, с,- (У = 1,3), 1, а,Д,3,у,т,а,р,в,г - заданные функции, причем для них выполняются следующие условия:

81 е С(Ц) п С^(Ц), 82 е С(Ц) п С'+2(й;),Ь е С(Ц) п С^(Ц), Ь2 е С(Ц)пС1+1(01),Ь3 е С(Ц) пС°+2(01),с1 е С(С1) пС1+0(С1), с2 е С(Ц) п С+ЧЦ),! е С(С1), а1 е С(й2) п С3+0(О2),£е С(С2), (8)

а2 е С(й2) п С2+1(02),Д е С(й2) п С0+2(02),Д е С(й2) п С1+1(02), /1 е Сф2) п С1^),/ е ОД) п С0+\й2), <рл,у2 е С2[0,Л], у,т,а,Д,р,г е С2[0,4 с, С, Сз,^е С1[-Л1,0]> #е С(О) п С2+\0), О = {(х,/): 0 < х < 1,0 < t < ¿},

"х е [0, £]: а(х) ф 0, р(х) ф 0, "х е [0,^]: 0 < ¿(х) < Л, ¿(0) = Л, ¿(£) = 0, (9)

"х е [-Л1,0]: 0 < а(у) < £, а(-Л1) = 0, с(0) = £, Л, Л1,1 > 0, 02(0) = х(0),¥(1) =^3(0), 0(Л) =у(0).

Задача 1. При а(х) ° 1,р(х) ° 1, Д(х) ° в(х,t) ° г(х) ° 0 рассмотрена в [1], а в случае, когда а(х) ° 1, Д(х) ° 0 - в работе [2]. Особенность данной задачи заключается в том, что краевые условия задаются по всей границе области, поэтому ее можно называть задачей типа задачи Дирихле.

Уравнения (1) и (4) в области й в силу условия сопряжения (7) являются уравнениями смешанного типа [6].

Для решения задачи 1 введем следующие обозначения:

и(х, +0) = т(х), и(х,-0) = т*2(х), 0 < х < £,

иу (х, +0) = V1(х), иу (х,-0) = V2(х), 0 < х < £, ( )

где т(х), т2(х), у1(х), v2(х) - пока неизвестные функции.

Тогда в силу постановки задачи 1 из второго условия (7) получим

х

Т1 (X) = а(х)т2 (X) + Д(х), п (х) = р(х)у2 (х) +1 в(х, Х)у2 (XX + г(х). (11)

0

Если удастся определить функции т(х), т2(х), У1(х), У2(х), то решение задачи 1 сводятся к определению решения уравнений (1) и (4) в областях й1 и й2 соответственно.

3. Соотношение, принесенное из области й1. Рассмотрим задачу Гурса (задача 2) для уравнения (1) с условиями (2) и

и(х,0) = т1(х), иу (х, +0) = у1(х), 0 < х < £. (12)

Решение этой задачи с помощью функции Римана имеет следующее представление [1]:

у

u(x, y) = A (x, У ) j (y) - J (x, y; 0, y) j (y) + j [B1(x, y; h) j (h) -

0

-Ci (x, y; h) j (h)]dh + j [ Ji( x, y; X, 0)v"(X) - Di (x, y; £)<(£) -,

0o (13)

+a2 (X, 0) J (x, y; X, 0) v'(X) - E (x, y; X)<(X) + Ь (X, 0) J (x, y; X, 0) v (X) -

x y

-Fi (x, y; X)ti (X)]dX+j dXj Ji (x, y; X, hf (X, h)dX,

где

A (x, y) = JihX (x, y;0, y) - a2 (0, y ) J (x, y ;0, y),

Bi (x, y; h) = Jihh (x, y ;0, h) - ai(0, h) Jih (x, y ;0, h) + [b (0, h) - aih (0, h)] Ji( x, y ;0, h), Ci(x, y; h) = JiXhh (x, y;0, h) - ai(0, h) JiXh (x, y; 0, h) --a2 (0, h) Jihh (x, y;0, h) + [bi (0, h) - aih (0, h)] J (x, y;0, h) + +b (0,h) - aiX (0, h) - 2a2h (0, hJ (x, y; 0, h) + +[biX (0, h) - aiXh (0, h) - a2hh (0, h) + ^ (0, h) - Ci (0, h)] J (x, y; 0, h), Di (x, y; X) = Jih (x, y; X, 0) - a (X, 0) Ji (x, y; X, 0), Ei (x, y; X) = a2 (X, 0) J (x, y; X,0) + ^ (X, 0) - b2 (X, 0)] Ji (x, y; X, 0), Fi (x, y; X) = Ьз (X, 0) Jih (x, y; X, 0) + [^ (X,0) - C2 (X, 0)] Ji (x, y; X,0), а Ji(x,y;X,h) - функция Римана для уравнения (i).

Различные методы построения функции Римана для псевдопараболических уравнений третьего порядка изложены в работах [7]-[9].

Используя условие (3) из (i3), получаем интегро-дифференциальное соотношение для функции ti(x) и vi(x):

x

j [ Ji (x, m( x); X, 0)vi(X) - Di( x, m( x); X)tT(X) +a2 (X, 0) Ji (x, m( x);

0

X, 0)vi(X) - Ei (x, m(x); X)t(X) + Ьз (X, 0) Ji (x, m(x); X, 0)Vi (X) - (i 4)

-Fi( x,m( x );X)t(X)]dX = Ф1( x),

где

0i (x) = y(x) - a (x, m(x)) ji (m(x))+Jh (x, m(x);0, m(x j (m(x)) -

h x m(x)

- j [B i (x, m( x); h) j (h) - Ci (x, m( x); h)j (h)]dh - j dX j J( x, m(x); X, h)1 (X, h)dh.

0 00

Осуществляя интегрирование по частям в (i4), учитывая свойства функции Ji(x, y;X,h) и условия согласования

ti(0) = ji(0),ti(0) = j(0), Vi(0) = j'(0), vi(0) = j2(0), получим соотношение между неизвестными функциями ri(x) и vi(x), принесенное из области Di:

x

DiX(x,m(x); x)ti( x) - Jix( x,m(x); x,0)Vi( x) = j Hi( x,X)ti(X)dX +

0 (i5)

j H2{ x,X)Vi(X)dX + Oi( x),

0

x

+

где

Н1(х,Х) = Дх (х,т( х );Х) - Ех (х,т( х);Х) + х,т( х);Х), Н (х, X) = (х, т( х); х,0) + а2 (X, 0)^ (х, т( х); х,0) +

+[а2х(Х,0) - Ьз(Х,0)]^1( х,т(х );Х,0),

®2(х) = ФДх) - х,т(х);0,0) - а2(0,0)^1(х,т(х);0,0)]^1(0) + +Й, (х, т( х) ;0,0) ^ (0) + ^ (х, т( х) ;0) - Е1( х, М( х) ;0)]^ (0) --Ц( х,т( х );0)^(0).

4. Соотношение, принесенное из области й2. С учетом постановки задачи 1 и устремляя у к нулю, из уравнения (4) получаем:

<( х) + а1 (х, 0)т2"(х) + а2 (х, 0^( х) + Д (х, 0)т2"( х) + +Д (х, 0)12 (х) + И (х, 0)7 (х) + Г2( х, 0)^2 (х) + ¿( х, 0)т2 (х) = ^ (х, 0). Интегрируя это уравнение по х в пределах от 0 до х и учитывая условия согласования

(0) = йОШ, Т2 (0)=с(0), <(0)=с(0), а(0)

^2(0) = й(0) -Г(0), ^2 (0) = с1(0), ^(0) = с2 (0),

Г(0)

имеем

х х

V 2 (х) = х) - а( х, 0)Т2 (х) +1 Нз (х, £)Т2 хж +1Н4 (х, X)v 2 (X)dX, (16)

0 0

где

1

Нз (х, X) = х - X)2 ^ (X, 0) - Дхх (Х,0) + ^ (X, 0) - ¿(X, 0)] -

-(х - X) [3а1xx (X, 0) - 2Д1x (X, 0) + /1 (X, 0)] + 3a1x (X, 0) - Д (X, 0), 1

Н4 (х, X) = - х - X)2 [a2xx ^0) - Д2x (X, 0) + /2 (X, 0)] +

+(х - X)[2a2x (X, 0) - Д (X, 0)] - а2 (X, 0), 1

01 (х) = О (0,0) -Дх (0,0)]х2 - [2а (0,0) - Д1(0,0)]х + а1(0,0)}^ (0) -

11 -{^К (0,0) - Д(0,0)]х2 -а1(0,0)х}с(0) + ^аДОСДОх2 -

-4 О (0,0) + Д (0,0)]х2 - «2(0,0)х -1} й(0)~Г(0) +

2 Г(0)

1 11 х

+[2а(0,0)х2 + х]с'(0) + 1 с2(0)х2 +1{ (х -X)2 f2(X,0)dX-

2 2 2 0

Обращая интегральное уравнение (16) относительно v2(x), приходим к следующему соотношению:

х

V2 (х) = 02 (х) - а (х, 0)7-2 (х) +1Н3 (х, X)r2 (X)dX, (17)

0

х х

где Н3 (х, X) = Нз (х, X) - а (X, 0)*1 (х, X) +1 ^ (х, t)НзX)dt, 02 (х) = 01 (х) +1 «1 (х, X)gл (X)dX, а «1 (х, X) -

X 0

резольвента ядра H4(x,X).

5. Сведение к интегральному уравнению. С учетом (17) из условия сопряжения (11)

имеем

X

У (X) = 9з (X) - а (X, 0)р( X )т2 (X) +1К1 (X, Х)т2 (ХСХ, (18)

о

где

К,(X, Х) = р(X)Н* (X, Х) -в(Х^) + )Н* Ц,£)с№, 9з(X) = р^)д2(X) + г(X) + ¡в(х,ХШХ)Х

Х о

Исключив тМ и у.^) из соотношений (15) и (18), получим интегральное уравнение

X

р (X )Т2 (X) = д( X) +1К (X, Х)Т2 (Х)сСХ, (19)

о

где

р^) = а^й^ x,m( X); X) + р( x)a1(x,0)J1x( х^М; x,0),

К (X, Х) = а(Х)Н (X, Х) - р(Х)а1 (Х, 0)Н 2 (X, Х) +

X

+К1 (X, Х)3Х (X, т( X); *0) +1Н2 (X, в)К1 (в, ХС,

Х

д( X) = Ф1 (X) - Р( X )Дх (X, т( X); X) + (X, т( X); X, 0)дз (X) +

X X

+1Н2 (X, Х)дз (Х)сХ+1Н1 (X, Х)Ь(Х)СХ-

0 0

Нетрудно заметить, что если

"X е [0,^]: р1(X) * 0, (20)

то уравнение (19) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и допускает единственное решение-

При выполнении условия (20) интегральное уравнение (19) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и допускает единственное решение. Определив т2М из уравнения (19), будем знать и у1( X) по соотношению (17). Из условия сопряжения (11) определяем тМ и у1(X). Тогда решение задачи 1 в области 01 имеет вид (13).

6. Решение задачи 1 в области й2. В области й2 рассмотрим задачу Гурса (задача 3): найти решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям (5) и

и(x,0) = т2(x), 0 < X < £, и(0,у) = с(У), -Ь < X < 0, (21)

где с(У) - пока неизвестная функция.

Решение задачи 3 через функции Римана представим в виде [1]

X

и( X, У) = ^2хх( X, у; X, 0)т (X) +1А (X, у; Х)т2 (Х)сХ

0

где

У

+|[ й(X,у;0,п)х2Л) + а(0л)А(X,У;0,Л)Х2Л) - В(X,у;л)С(л) -

0

+С2 (X, у; л)с (V) + Ц> (X, у; л)х'(л) + Е (X, у; л)хШСл +

X у

+1 сХ|й( X, у;Х,л)/2(Х,л)СХ,

00

А (х, у; Х) = Й2ХХХ (х, у;Х, 0) - а2 (Х, 0) Й2ХХ (х, у;Х,0) + А (Х,0) --2а2х(Х,0)]Й2х(х,у;Х,0) + [А2х(Х,0)-^2 (Х,0)-а2хх(Х,0)]й (х,у;Х,0), В2 (х,у;л) = Й2Х (х,у;0,л) - а2 (0,л) й (х,у;0,л), С2 (х,у;л) = а (0,л)Й2Х (х,у;0,л) + [^1Х (0,л) -Р (0,л)]й (х,у;0,л),

(22)

+

02 (х,у;,) = (X,У;0,л) - а2 (0,,) ^ (х,У;0,,) - [а2x (0,,) - Д (0,,)Н (х,УД,), Е2 (х,у;,) = а, (0,v)J2xx (х,У;0,,) + [2а^ (0,,) - Д (0,,)]х х^ (X,у;0,,) + [a1xx (0,,) - Дxx (0,,) + /1 (0,,)]^ (х,у;0,,), а йДх,y;X,h) - функция Римана для уравнения (4).

Теперь, воспользовавшись условием (6) из (22), имеем

У

Г(У )С(У) = 7" (У) +1 Е(У,Л)СЛШ (2з)

0

Е(у,,) = 02, (о( у), у,,) - Е2 (о( у), у,,),

где

7(у) = Сз(У)-*Мо(у),у;о(у),0)т(а(у))- { ^(у),у^г^-

0

у

-1 [4 (о-(у), у ;0, ,)с2(у) + а(0,,) ^ (о(у), у; 0, (,) - 62 (о( у), у; ,)С(,) -

0

о(у) у

+^2(о(у),у;л)хМ¥л- | dX¡J2(s(у),y;X,h)/2(X,h)dh.

00

Если

"у е [-Й1,0]: Г2 (у) * 0, (24)

то уравнение (2з) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и допускает единственное решение.

Пусть выполняется условие (24), тогда интегральное уравнение (2з) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода. Определив отсюда с(у) и подставляя ее в (22), получим представление решение задачи з и, тем самым, решение задачи 1 в области 02.

Таким образом, теорема доказана.

Если выполняются условия (8), (9), (20), (24), то решение задачи 1 существует единственно и определяется в областях 01 и 02 по формулам (1з) и (22) соответственно.

Список литературы:

1. Джураев Т.Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. - Ташкент: Фан, 2000. - 144 с.

2. Саадалов Т.Ы. Краевые задачи для смешанного псевдопараболо-гиперболического уравнения четвертого порядка с нелокальным условием сопряжения в криволинейном треугольнике // Вестн. Ошс. гос. ун-та. Сер. естеств. наук. - 2012. - № з. - С. 114-121.

3. Саадалов Т.Ы. О задаче сопряжения для гиперболического и псевдопараболического уравнений четвертого порядка // Изв. Том. политехн. ун-та. Математика и механика. Физика. -2014. - Т. З25, № 2. - С. 22-28.

4. Нахушева В.А. Об одной математической модели теплообмена в смешанной среде с идеальным контактом // Вестник СамГТУ. - Вып. 42. Сер. ФМН. - 2006. - С. 11-з4.

5. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высш. шк., 1995. - з01 с.

6. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. - М.: Наука, 1970. - 296 с.

7. Шхануков, М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений третьего порядка: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02. - Нальчик, 1985. - 225 с.

8. Жегалов В.И., Уткина Е.А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Математика. - 1999. - № 10. - С. 7з-76.

9. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. - Казань: Изд. Казан. мат. общества, 2001. - 226 с.