CC BY
20
УДК 519
ОБ ОДНОЙ ПОЛЕЗНОЙ ОЦЕНКЕ ПУАССОНОВСКИХ СУММ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ
РИСКА
© Г. А. Тырыгина
Ключевые слова: пуассоновская сумма; нормальная аппроксимация; оценка.
Аннотация: Применимые на практике оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских сумм могут быть полезными в некоторых моделях риска.
При исследовании распределения остатка средств К страховой компании по страховому портфелю из N договоров можно получить, что
N N
К =г ^ ' %%— 'У ' уг,
г=1 г=1
где г - начальный капитал то страховому портфелю, Zг - страховая премия, У - величина выплат.
При этом N может быть как детерминированной, так и случайной величиной. Представляет интерес случай, когда N случайная величина. Пусть N = N\ - случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром Л, Л > 0.
Формализация приведённой ситуации и некоторых других приводит к математическим моделям с пуассоновской суммой
= Х1 + Х2 + • • • + XNx,
где Х1,Х2)... - независимые одинаково распределённые случайные величины. Причём случайные величины N\, Х1, Х2,... независимы при каждом Л.
Для расчёта требуемых вероятностных показателей в рамках математических моделей, связанных с той или иной схемой страхования, можно привлекать результаты, полученные в теории предельных теорем. В [2] доказана асимптотическая нормальность пуассоновских сумм:
р( - аЛ= <:Л ^ Ф(х) (Л -^ж)
\л/Л(а2 + а2) ) У '
при условии существования МХ2.
Здесь Ф(х) - стандартное нормальное распределение,
МБ\ = Ла, где а = МХ1 л/ОБх = /Л(а2 + а2), где а2 = ОХ1.
При решении задач, связанных с большими рисками, приходится иметь дело с распределениями, для которых не существуют моменты третьего порядка, а существуют моменты порядка 2 + 5, где 0 < 5 < 1. Следовательно, представляет интерес случай, когда
МХ1 = а, БХ1 = а2, М|Х1|2+г < ж, 0 < 5 < 1.
Приведём практически применимые оценки точности нормальной аппроксимации для распределения пуассоновской суммы [1].
Если MXi = a, DX\ = a2, M|Xi|2+<5 < то, 0 < 5 < 1, то
ГД6
sup
x
p\ Sx - Xa. <^-Ф(ж)
л/\{а2 + a2)
M | Xi |
2+&
f 2 . 2Л (lii) .S
(a2 + a2) 2 • x2
C(5) =
n(1 + 5)(2 + 5)'
В [lj найдены числовые значения
5 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35
C (5) 0,2876 0,2592 0,2352 0,2141 0,1935 0,1791 0,1645
5 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70
C (5) 0,1515 0,1399 0,1294 0,1201 0,1116 0,1040 0,0970
5 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
C (5) 0,0907 0,0850 0,0797 0,0750 0,0706 0,0665
ЛИТЕРАТУРА
1. Королёв В.Ю., Шевцова И.Г. О точности нормальной аппроксимации. II // Теория вероятностей и её применение. 2005. Т. 50. Вып. 3. С. 555-564.
2. Королёв В.Ю. Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными индексами // Теория вероятностей и её применение. 1994. Т. 39. Вып. 2. С. 313-333.
Abstract: Normal approximation accurity estimaties poisson sums applied to practice might be beneficial in the risk models.
Keywords: Poisson sum; normal approximation; estimate.
Тырыгина Галина Алексеевна к. ф.-м. н., доцент
Тольяттинский государственный университет Россия, Тольятти e-mail: Galex@tltsu.ru
Galina Tyryguina
candidate of phys.-math. sciences,
senior lecturer
Tolyatti State University
Russia, Tolyatti
e-mail: Galex@tltsu.ru
