Об одной модели датчика инерциальной информации Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 260-261

УДК 534.1:539.3

ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ ДАТЧИКА ИНЕРЦИАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ © 2011 г. В.Ю. Ольшанский1, И. Ф. Абитова1, Ю.Н. Нагар1, А.В. Серебряков1

1 Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратов 2Энгельсский технологический институт (филиал) СГТУ

olshanskiy_vlad@mail.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Для предложенной авторами модели пьезогироскопа, представляющей собою систему твердых и деформируемых тел, на основе построенной математической модели получена зависимость напряжения в пьезопластине на выходе устройства от угловой скорости несущей платформы. Выполнен анализ влияния на характеристики устройства различных условий закрепления пьезопластин на опорных поверхностях. Определена длительность переходного процесса при работе в импульсном режиме.

Ключевые слова: сила Кориолиса, угловая скорость, пьезоэффект, электроупругость.

1. Связанная краевая задача

Рассматривается предложенная в работах [1, 2] модель датчика инерциальной информации (ДИИ), где в пьезопластинах возбуждаются плоские деформационные волны и используется прямой и обратный пьезоэффекты. Механическая система состоит из тонких пьезопластин, лежащих на взаимно перпендикулярных опорных поверхностях, и присоединенной массы, находящейся в контакте со свободными поверхностями пьезопластин. При вращении объекта, несущего ДИИ, на присоединенную массу, ко -торая считается абсолютно твердым телом, действует кориолисова сила. Изменяющееся по гармоническому закону напряжение, приложенное к пьезопластине на входе в ДИИ, порождает в ней деформационные волны. Возникающие ко -лебания присоединенной массы при действии силы Кориолиса вызывают деформации пьезопластины на выходе ДИИ, с которой снимается переменное напряжение.

В краевую задачу входят уравнения механических колебаний

д 2u. дu■ д 2u.

■ + а-

i = 1,2.

нием, контакт с упругим телом, в котором распространяются затухающие деформационные волны. Абсолютно твердой опорной поверхности соответствуют граничные условия иI (0, 0 = 0. Для упругого основания имеем условия ах(0, 0 = = —Ни{ (0, 0, где Н — коэффициент жесткости основания. При рассмотрении контакта с упругими телами полагалось, что в них распространяются плоские деформационные волны, описываемые уравнениями вида (1). На плоскостях контакта с пьезопластинами х{ = 0 перемещения и напряжения полагались непрерывными; в силу того, что толщина опорных упругих тел много больше толщины пьезопластин, использовались условия и{ = 0 при х{ = —го.

На основаниях пьезопластин, контактирующих с присоединенным грузом массы М, получим условия

а xA = -M + Fk

x &2

Fkc = (-1)k 2MQ 3

і = 1,2, k = 3 - і дЩ(5k,t)

(2)

(1)

дt2 дt дх'2 ’

Здесь t, хі, иі - безразмерные время, координата и перемещение в направлении оси Охі , і — номер пластины, ось Охі перпендикулярна пластине с номером і. Коэффициент а определяется добротностью пьезокерамического материала.

Для описания взаимодействия пьезопластин с опорными поверхностями использовались различные модели: закрепление на абсолютно твердой поверхности, контакт с упругим основа-

k 3 dt '

Здесь FkC — компонент силы Кориолиса, действующей на груз; Q.3 — компонент угловой скорости объекта. Механические напряжения <5х определяются линейными уравнениями пьезоэффекта aх = (ди/дх-d33E)/s33. Здесь s33 — упругая податливость материала, d33 — пьезоэлектрическая постоянная, E — напряженность электрического поля.

Уравнения вынужденной электростатики rot E = 0, div D = 0 позволяют в одномерном случае записать Е. =-дуг- /дх., дД /дхг- = 0. Учитывая линейные уравнения пьезоэффекта, из условий (2) получаем граничные условия:

ЙЦ (8. , 0 дУг (S.,t)

(

Dx,

+ (—1)k 2ю

Dx. duk(Sk,t) dt

+m

д 4 (S.., t)

+

дt2

4

і=1,2, k = 3—i. (3)

Здесь т = Ms33с2/(АН), ю=^3Н/с; с — скорость сопряженных продольных волн в пьезокерамике; Н, А — толщина и площадь первой пластины.

С учетом пьезоэффекта электрическая индукция О определяется равенством О = в33 Е + +ё33сх. Здесь гТ33 — диэлектрическая проницаемость при постоянных механических напряжениях. Используя уравнения вынужденной электростатики, получим уравнения, связывающие электрические потенциалы и перемещения

(1-к323 )д2цтг/дх2 = к323д2иг/дх2, I = 1,2. (4)

Здесь к323 — продольный статический коэффициент электромеханической связи. Интегрируя уравнения (4) при заданных граничных условиях для потенциалов уг-, получим выражения потенциалов ^ (хр г) через перемещения ui (xi , 0. Краевая задача для уравнений (1) становится замкнутой относительно перемещений.

2. Режим вынужденных колебаний

Для случая, когда напряжение на пластине на входе изменяется по закону и(г) = в,

перемещения в пластинах отыскивались в виде иг- (хг- , г) = ^ (хг)е08 в + Пг (х^Ш вг. Амплитудные функции (хг), П (хг) находятся из системы обыкновенных дифференциальных уравнений и представляются выражениями ^г- (хг) =

= 1т (/Сг 8Ь(ухг)), П| (х1) = Яе ]Сг 8Ь(ухг)). Деформации позволяют определить силу тока в пьезопластине на выходе. Резонансное возрастание амплитуды наблюдается для значения в = Р: , близкого к первой собственной частоте свободных колебаний пластины без внутреннего трения. Например, при ю = 1.685-10—6, что соответствует угловой скорости П3 = 10 рад/с для пластин с толщинами 6-10—4 м, изготовленными из пьезокерамики марки ЦТС-19 с механической добротностью Q = 90, получаем значение Р1 = 0.508. При замене абсолютно твер-

дой опорной поверхности упругим основанием максимальное значение амплитуды и соответствующая ему частота Р уменьшались.

Была найдена зависимость максимальной амплитуды тока на выходе от угловой скорости ДИИ, которая может быть использована при решении обратной задачи по определению угловой скорости. Отклонение от линейной зависимости не превышает 0.1% до значений ю, соответствующих П3 = 100 рад/с. В диапазоне до П3 = 376.8 рад/с отклонение не превысило 1.2%.

3. Переходный процесс

Для работы в импульсном режиме, когда короткие периоды возбуждения колебаний чередуются длинными паузами, необходимо, чтобы время переходного процесса было малым. Рассмотрен переходный процесс, когда в связанную краевую задачу добавлялись начальные условия. Обратное преобразование Лапласа построено при помощи вычетов. Простые полюсы рп удовлетворяют уравнениям уе1Ьу = к33 + + (1 -к323)(2г1тюру-тр2), где г1 = ± 1, у2 = р2+ар. Отметим, что полученная асимптотика значений рп = Мп + А , где

а

а

U =-------1--

n 2 m(1_ k323)(nn)2

X n = r2nn + r2

8_а m(1_k33) 8m(1_ k323)nn

(n >> 1)

дает очень малую погрешность при конечных значениях п, до п = 1. Определено время выхода на режим установившихся колебаний для различных параметров ДИИ.

Одним из соавторов представленной работы является проф. В.М. Панкратов.

Список литературы

1. Нагар Ю.Н. и др. Об одной модели пьезогироскопа // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. №2. С. 71—74.

2. Панкратов В.М. и др. Влияние диссипации на характеристики измерителя угловой скорости на основе взаимного пьезоэффекта // Авиакосмическое приборостроение. 2010. №8. С. 3—7.

ON A MODEL OF THE SENSOR INERTIAL INFORMATION V.Yu. Olshanskiy., I.F Abitova, J.N. NagarA- V Serebryakov

Based of the proposed mathematical model of the piezogyroscope, the voltage on the output device as a function of the angular velocity of the platform is determined. Estimates were made for different fixing conditions of piezoplates. Duration of the transition process in the pulsed mode is calculated.

Keywords: Coriolis force, angular velocity, piezoeffect, electroelasticity.