Об одной интерпретации зональной дезинтеграции массива горных пород вокруг выработок Текст научной статьи по специальности «Физика»

отношение и(Н, ¿) к высоте Н сдвигаемой массы, смещения точек границы и самого тела и(у, ^ определяются через 2у по формуле (7).

То, что результат осреднения (или интегрирования (6), (7)) приводит к исследованию движения одного блока, используем следующим образом. Присоединим к этой движущейся части массу захватывающего устройства M (рис. 3). Тогда, учитывая то, что масса четверти образца равна m, имеем следующее уравнение движения Ньютона для «движущейся» части образца материала: Р - R = ( + М) и. Разделив это уравнение на S, введем при этом обозначения: Р/Б = тР, R/S = = тR, тогда после деления имеем:

Т F Т R —

1+M .

S

(10)

Учтем здесь (9), определим плотность материала образца р как отношение m к БЫ /2. Тогда (10) возможно переписать следующим образом:

Tf -TR — H2pl 1 + И IY.

(11)

Заметим, что в окончательную формулу (11) вошла высота сдвигаемой массы И/2, плотность исходного материала р, отношение масс захватывающего устройства M и четверти образца m. Измеряемые величины в (11) — нагружающее напряжение tf , сдвиг 2y; реактивное напряжение tr подлежит восстановлению.

То, что говорилось ранее по отношению к величинам F, R, x, можно здесь применить к величинам тF, тR, 2y. Рассмотрим, например, упругий сдвиг образца. Проанализируем два вида его нагружения. Пусть эксперимент проводится так, что 2Y — 0, т.е. 2Y — const. В этом случае из (11) следует: tf — tr , т.е. регистрируемое напряжение tf будет совпадать по величине с т R. Если в опыте обнаруживается, что tf — 2my (М = const), то тогда и

tR — 2my. (12)

В таком эксперименте в чистом виде определяется реактивное напряжение т R.

Рассмотрим другой случай, когда в процессе проведения опыта задается изменение тF, а не 2y. Пусть нагрузка тF растет пропорционально времени t (мягкое нагружение), а tr связано с 2y характеристическим соотношением (12). Возникает вопрос: какой при этом получится зависимость т F (2y)? Подставляя (12) и условие tf — a (a = const) в (11), имеем:

И 2р | 1 + M| Y — a - 2my.

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка для определения 2у. Решая его, находим:

2y ——— + Acos(a ) + B sin(a ), M

(13)

вольные постоянные. Полагая 2у| =0 = 2у| =0 = 0, устанавливаем, что А = 0, В = -а/ца. Тогда

т Р а . . .

2у = —----sm(a ).

ц ц а

Поскольку = т Р ¡а, окончательно имеем:

, т F a .I ат F 2y ——— -— sin1 М Ma

(14)

т.е. при заданной программе нагружения зависимость тР = тР (2у) в отличие от зависимости =тR (2у) уже нелинейная. Оценим порядки величин, входящих в (14). Если положить р = 103 кг/м3, 2ц = 10 МПа, Н~ 0.05 м, м] т ~ 103, что соответствует реальным средам и условиям испытаний, то тогда X ~ 10-3 м/кг, а ~ 104 с-1. Далее, а ~ 103 кг/м • с3, поэтому а/ (2ца) = 10-9, отсюда

Y :

т

- 10-9sin(a ), Y = 10-5(1 -cos(a ))c 2м

-1 \ „-2

-1

Y = 10 sin(a ) c Вывод: диаграмма деформирования образца материала tf — tf (2 y) в случае мягкого нагружения при постоянной скорости нагружения должна иметь вид рис. 4. Амплитуда колебаний около прямой tr — 2MY не превзойдет по абсолютной величине 10-9.

Исследуем на основе (11) возможную площадку текучести. Если поддерживать на этой площадке постоянной величину tf : tf — т r — ts (ts — предел текучести), то как следует из (11), 2Y — 2Y0 — const, 2y —

— 2Yо + 2ys (2ys — Ts/м). В то же время, любая попытка повысить значение tf на площадке текучести тR —

— Ts приведет к резкому увеличению скорости деформирования образца 2Y и самой деформации 2y. В самом деле, пусть нагрузка tf на площадке текучести получает приращение tf -tr — Atf — в( - 0) (в = const).

Тогда из (11) при начальных условиях 2Y _ — 2Y0,

I — о

2y — 2y 0 следует, что

Y— PS( - о)2

+ Y 0'

где а — -У2М«; 1/х — И2р(1 + И/ ); A и B — произ-

Рис. 4. Криволинейная диаграмма изменения приложенного усилия т- в зависимости от сдвига 2у в случае мягкого нагружения образца при упругих деформациях

вХ( - 0)3 ■ /

Y = , +Yo( - о) + Уо-6

Если принять в = 102 кг/мм • с3, то это будет означать, что через 1 с приращение нагрузки Атр достигнет значения 10-2 кгс/мм2, а величины Y, Y будут порядка 10.

Такой же вывод имеет место и на ниспадающей ветви диаграммы tr = tr (2y), рассматриваемой как сопротивление среды разрушению. Небольшое по величине превышение нагрузки tf над tr приведет к резкому увеличению скорости деформации, которое выразится в ударном разрушении образца, что часто происходит в экспериментах.

Отметим, что подобные картины поведения кривой «касательное напряжение TF - сдвиг 2y» наблюдаются в экспериментах [7, 8], им придается особый механический смысл, эти колебания связываются с накоплением упругой энергии и последующим ее перераспределением [9, 10].

Что касается изменения TR. До сих пор предполагалось, что TR зависит от 2y. Рассмотрим теперь случай зависимости TR от 2Y:

ТR = ТR (2Y).

При этом обратимся к такому способу нагружения образца, когда тF = т0, где т0 — некоторая константа (нагружение образца при ползучести). Будем считать, что тR = 2b&, где b = const, начальные условия зададим

в виде: Y = =Y0, Y| = =Y0. Из (11), используя обозна-

/-тз=0 - = 0

чения (13), найдем:

2(y - Y0)+ 1

2Y = ^+ b

2b X

2Y 0 -Т0 b

2 2Y0 -ТтЛ b

(1 -

-2b X

),

-2b X

(15)

Из второго соотношения видно, что при t ^ ^ скорость деформации 2у стремится к величине 2у = т0/Ь. Зависимость 2у = 2Y(t), как следует из первого уравнения (15), в общем случае нелинейная и для 2у0 >т0/Ь она имеет характер, как на рис. 5, а, а для 2у0 < т0 /Ь — как на рис. 5, б.

,2(у-у0) 0 , >2(7-Уд^^ \б\ 2у0< т0/Ь

^^ 2fo> т0/Ь

t t

Рис. 5. Графики изменения деформации 2(у-у0) от времени в случае приложения постоянной нагрузки: 2у0 >Т)/Ь (а), 2у0 < "^/6 (б)

Рис. 6. Чередование нагружающих и реактивных напряжений в деформируемой среде, начиная от ее поверхности

До сих пор речь шла о нагружении гипотетического образца. На самом деле примерно по такой же схеме происходит нагружение и реальных сред. Реальные материалы состоят из частиц — блоков, которые, смещаясь друг относительно друга, создают деформации всего тела.

На рис. 6 показано, как происходит смена значений напряжений в этом процессе. В начале (на верхнем рисунке) к поверхности тела прикладывается нагружающее напряжение тр, этому напряжению противодействует реактивное напряжение (тR )1. На вторую часть тела действует нагружающее напряжение (тр )1, равное по абсолютному значению реактивному напряжению (тR )1, что следует из третьего закона Ньютона. Теперь это напряжение (т р )1 вызывает таким же образом реактивное напряжение (т R )2 (в случае упругости пропорциональное сдвигу 2у или удлинению, если речь идет о растяжении-сжатии среды). Этому напряжению (т R )2 соответствует нагружающее напряжение (тр )2 и процесс смены значений напряжений продолжается.

Колебания напряжений и перемещений во времени t обнаруживаются и в других конструкциях. Особенно ярко динамические эффекты проявляются на ниспадающей ветви «касательное напряжение - сдвиг», характеризующей падение сопротивления среды деформированию, даже в том случае, когда нагрузки, прикладываемые к телу (мягкий режим нагружения), изменяются по линейному закону и скорость изменения незначительна. На примере решения задачи о выработке исследуем мягкое нагружение и его влияние на запредельное деформирование пород.

3. Учет запредельного деформирования в задаче о мягком нагружении массива пород с цилиндрической выработкой

Предполагается, что массив с выработкой радиуса г = а находится в условиях плоской деформации. Кроме того, в нем реализуется осесимметричное напряженно-деформированное состояние. Во всей области деформирования в каждой ее точке выполняются уравнение равновесия

Значения n и к при разных скоростях нагружения

Таблица 1

Скорость нагружения, МПа/с 3 10 15 20 40 80 160 320 640 1300

n 15.2 11.7 9.8 6.3 4 2.88 3.06 3.01 3.048 3.036

к 0.089 0.091 0.32 0.54 0.82 0.9 10 36 140 700

п и к. Чтобы найти п и к, прологарифмируем (28), тогда получим зависимость

1пТ = 1п + 1п а. (32)

Возьмем два значения кинетической энергии при образовании первой и второй зон дезинтеграции. Обозначим их как Т и Т2. Когда происходит отрыв первой зоны дезинтеграции, начальный радиус выработки равен а, значение кинетической энергии при этом равно Т. Когда образовалась вторая зона, радиус выработки равен уже V2а и значение кинетической энергии Т2. Подставляя эти значения в (31), получаем систему двух уравнений для двух неизвестных вида:

+ 1п а,

InTj = In

lnT2 = In

+

ln a + — ln2.

2

(33)

Решая ее относительно n, получаем:

= —lnT2 или = 2.885lnT2. (34)

ln2 T1 T1

Параметр к (плотность кинетической энергии) находим из (28):

= . (35)

a

Вопрос теперь ставится так: при каких нагружениях, т.е. при какой скорости нагружения, «ложные» контуры будут образовывать геометрическую последователь-

ность с основанием ->/2, т.е. не только два первых введенных радиуса, но и последующие радиусы будут удовлетворять этому условию? Для решения данного вопроса был проведен численный эксперимент. Задавались 10 различных скоростей нагружения массива пород. При этих скоростях по (31) вычислялись кинетические энергии Tj и T2 соответственно для образования первой и второй зон дезинтеграции. По формуле (34) находились значения n, по (35) — значения к. После этого шел расчет третьего «ложного» контура. Те значения n и к, которые не противоречили заданному значению основания прогрессии, равного л/2, оставлялись и закладывались в дальнейшие расчеты. Таким образом, шел отбор как параметров n и к , так и соответствующих значений скоростей нагружения. В табл. 1 приведены значения n и к для разных скоростей нагружения, при которых, по крайней мере, четыре радиуса j, 2,..., 4, образовывали геометрическую последовательность с основанием V2".

Анализируя данные табл. 1, следует сказать, что при скоростях нагружения больше 80 МПа/с параметр n колеблется около значения n = 3. Причиной этого, возможно, является формула для кинетической энергии: v1 ¡2. Дело в том, что по существу рассматривается одномерная модель, в которой масса пропорциональна длине. С другой стороны, деформация контура выработки есть отношение смещения этого контура к радиусу

Таблица 2

Радиусы зон дезинтеграции ( = 1, ...,4), внешняя нагрузка ( = 1, ...,4) в моменты откола, энергия и полное время нагружения до образования 4-й зоны включительно при разных скоростях нагружения

Скорость нагружения, МПа/с 6 10 20 40 80 160 320 640

1, м 1.4

1, м 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1

3, м 1.7 1.9 2.2 2.5 2.7 2.8 3.0

4, м 1.8 2.1 2.4 3.0 3.5 3.8 4.5

1, МПа 57 56 58 83 134 233 422

2, МПа 61 65 72 108 169 281 486

3, МПа 65 70 88 136 212 348 558

4, МПа 68 77 95 163 259 425 710

Энергия, необходимая для откола, МДж 0.0012 0.0062 0.01 0.02 0.1 0.3 0.8 2.5

Полное время нагружения до образования 4-й зоны дезинтеграции, с 10.0 6.7 4.5 2.3 2.0 1.6 1.3 1.1

Таблица 3

Радиусы зон дезинтеграции ( = 1, ...,4), внешняя нагрузка ( = 1,..., 4) в моменты откола и другие параметры процесса нагружения в зависимости от отношения внешнего радиуса к внутреннему Ь/а

Ь\а 31 5/1 1/1 9/1 111 21/1

1, м 1.4

2, м 2.0

3, м 2.5 2.6 2.7

4, м 2.9 3.2 3.4 3.5

ь МПа 110 121 128 134 137 145

2, МПа 134 152 160 169 174 185

3, МПа 152 184 198 212 219 238

4, МПа 163 214 240 259 268 297

Скорость нагружения, МПа/с 160

Энергия, необходимая для откола, МДж 0.55 0.36 0.32 0.30 0.28 0.24

Полное время нагружения до образования 4-й зоны дезинтеграции, с 1.0 1.3 1.5 1.6 1.7 1.6

выработки: е = ¡а. Отсюда и = еа, и скорость V = ' = = е а получается пропорциональной радиусу г = а. В итоге выражение V2/2 становится пропорциональ-

1 3

ным длине в степени 3, в данном случае а , что согласуется с результатами табл. 1. Другой вывод, следующий из табл. 1: более устойчивым параметром в вычислениях является п (если при указанной скорости нагружения п изменяется от значения п = 2.88 до значения п = 3.06, то параметр к варьируется от к = 0.9 до 700).

Другие вычисления посвящены исследованию влияния параметров нагружения (скорости нагружения на границе г = Ь, отношения модулей упругости и спада, скорости разгрузки в на границе г = с, отношения радиуса г = Ь к радиусу г = а) на значения параметра к. Для этого диапазон изменения скоростей нагружения брался выше 80 МПа/с, в котором значение п полага-

лось равным 3. Результаты вычислений представлены в табл. 2-5.

Анализируя данные приведенных таблиц, можно заключить следующее:

- при медленном нагружении происходит непрерывное дробление массива пород;

- при скоростях нагружения более 40 МПа/с наблюдается образование зон дезинтеграции в геометрической последовательности по удалению от центра выработки с основанием л/2;

- для образования зон дезинтеграции с каноническим законом изменения [1] ( = 42 -1) отношение Ь/а должно быть больше или равно 9;

- скорость разгрузки и отношение модуля упругости к модулю спада существенно не влияют на радиусы зон дезинтеграции массива горных пород.

Таблица 4

Радиусы зон дезинтеграции ( = 1, ...,4) и другие параметры процесса нагружения массива пород в зависимости от скорости разгрузки внешнего контура зоны разрушения

Скорость разгрузки, МПа/с 1.5 1.4 1.3 1.0 0.7 0.4

1, м 1.4

2, м 2.0 2.1

3, м 2.8 3.0

4, м 3.8 4.0

Скорость нагружения, Па/с 320

Энергия, необходимая для откола, МДж 0.87

Полное время нагружения до образования 4-й зоны дезинтеграции, с 1.32 1.34 1.36 1.38

Таблица 5

Радиусы зон дезинтеграции ( = 1,..., 4) и другие параметры процесса нагружения в зависимости от отношения модуля упругости к модулю спада ц/ц,

ц/ц. 0.1 1.0 10.0 0.1 1.0 10.0

1, м 1.4

2, м 2.0

3, м 2.7 2.8

4, м 3.4 3.5 3.8

Скорость нагружения, МПа/с 160 320

Энергия, необходимая для откола, МДж 0.29 0.30 0.34 0.82 0.83 0.84

5. Выводы

Построена математическая модель зональной дезинтеграции массива горных пород вокруг цилиндрической выработки, в которой основными параметрами являются запредельное деформирование, возрастание скорости смещений, кинетическая энергия, плотность кинетической энергии, отрыв зоны запредельного деформирования, повторное нагружение и т.д.

Определены параметры нагружения и характеристики среды, при которой вокруг цилиндрической выработки возможно образование зон дезинтеграции со средними радиусами, образующими геометрическую прогрессию со знаменателем >/2.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-05-64596) и гранта НШ-3803.2008.5.

Литература

1. Открытие № 400. Явление зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок / Е.И. Шемякин, М.В. Курленя, В.Н. Опарин, В.Н. Рева, Ф.П. Глушихин, М.А. Розенбаум. - Опубл. в Б.И., 1992, № 1.

2. Тропп Э.А., Розенбаум М.А., Рева В.Н., Глушихин Ф.П. Зональная дезинтеграция породы вокруг горных выработок на больших глубинах. - Л., 1985 / Препринт ФТИ им. А.Ф. Иоффе АН СССР № 976. - 68 с.

3. Одинцев В.Н. Отрывные разрушения массива скальных горных пород. - М.: ИПКОН РАН, 1996. - 270 с.

4. Гузев М.А., Парошин А.А. Неевклидова модель зональной дезинте-

грации горных пород вокруг подземной выработки // ПМТФ. -2001. - Т. 42. - № 1. - С. 147-156.

5. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности. - М.: ННГЦП-ИГД им. Скочинского, 2007. - 207 с.

6. Волков С.Д. Статистическая теория прочности. - М.-Свердловск: Машгиз, 1960. - 176 с.

7. Предводителев А.А., Троицкий О.А. Дислокации и точечные дефек-

ты в гексагональных металлах. - М.: Атомиздат, 1973. - 198 с.

8. Прочность материалов и элементов конструкций в экстремальных

условиях: В 2-х т. / Под ред. Г.С. Писаренко. - Киев: Наукова думка, 1980. - Т. 1. - 536 с.

9. Никифоровский В.С., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1979. - 271 с.

10. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. К вопросу о плоском деформировании упрочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов // ПМТФ. - 1977. - № 3. - С. 156-174.

11. Петухов И.М., Линьков А.М. Механика горных ударов и выбросов. - М.: Недра, 1983. - 280 с.

12. Шемякин Е.И., Фисенко ГЛ., Курленя М.В. и др. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок. Часть I: Данные натурных наблюдений // ФТПРПИ. - 1986. - № 3. - C. 3-15.

13. Шемякин Е.И., Фисенко ГЛ., Курленя М.В. и др. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок. Часть II: Разрушение горных пород на моделях из эквивалентных материалов // ФТПРПИ. - 1986. - № 4. - C. 3-13.

14. Шемякин Е.И., Фисенко Г.Л., Курленя М.В. и др. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок. Часть III: Теоретические представления // ФТПРПИ. - 1987. - № 1. - C. 3-8.

Поступила в редакцию 10.11.2008 г.

Сведения об авторах

Чанышев Анвар Исмагилович, д.ф.-м.н., заведующий лабораторией ИГД СО РАН, admin@misd.nsc.ru Белоусова Ольга Евгеньевна, к.т.н., младший научный сотрудник ИГД СО РАН, belousova_o@ngs.ru